Векторы · урок 6 из 20

Применение векторов в физике, центр масс

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9U-050

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Векторы» (20 ч), урок 6/20, единица R04.6 «Применение векторов в физике, центр масс». Тип урока — Н.
Теория (13,5): титул 0,5 · цели 0,5 · силы 2 · скорости 1,5 · центр масс двух точек 2 · теорема (доказательство) 3 · система точек и медианы 2,5 · сводка 1,5.
Практика (31,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2 · ОГЭ 1,5 · задача из жизни 2 · самостоятельная 5 · итог 1.
Разложение силы по двум направлениям и проецирование — следующие уроки (базис, GEOM9U-051 и далее). Если не успеваете: образец 5 (метод масс) — разобрать устно, «сам» к нему — в ДЗ; доказательство не сокращать.

R04.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Складывать силы

равнодействующая по правилу параллелограмма и в координатах (ПР-12)

Проверять равновесие

сумма сил равна нулевому вектору, многоугольник сил замкнут (ПР-13)

Находить центр масс

двух точек (правило рычага) и системы точек в координатах

Решать задачи методом масс

медианы, отношения отрезков, ОГЭ 15, 19, 23

повторение: R04.5

Разминка · устно

Действия с векторами в координатах

Координаты $a$ и $b$ ? $a (4; - 1)$ , $b (- 1; 5)$
$a + b$ $(3; 4)$
$∣ a + b ∣$ $5$
$a - b$ $(5; - 6)$
$2 a$ и $- b$ $(8; - 2)$ и $(1; - 5)$
$cos 12 0^{\circ}$ $- \frac{1}{2}$
Середина $A B$ : $A (2; 6)$ , $B (8; 0)$ $(5; 3)$

R04.6

Сила — вектор · равнодействующая и равновесие

Силы складываются как векторы

Равнодействующая — сила, которая действует так же, как все силы вместе.

R = F_{1} + F_{2}

диагональ параллелограмма

F_{1} + F_{2} + F_{3} = 0

равновесие

При равновесии силы, отложенные «цепочкой», образуют замкнутую ломаную.

R04.6

Образец → сам · равнодействующая двух сил

Две силы под углом: теорема косинусов

Образец: $F_{1} = 3$ Н, $F_{2} = 5$ Н, угол между силами $6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

$R = OC$ правило параллелограмма

$O A = 3$ , $A C = OB = 5$ , $∠ O A C = 12 0^{\circ}$ соседние углы: $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}$

$R^{2} = 9 + 25 + 15 = 49$ теорема косинусов в $△ O A C$ , $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$

$R = 7$ Н

Сам: найдите $R$

$6$ Н и $8$ Н, угол $9 0^{\circ}$ $10$ Н
$10$ Н и $10$ Н, угол $12 0^{\circ}$ $10$ Н
$5$ Н и $3$ Н, угол $12 0^{\circ}$ $19 \approx 4, 36$ Н

R04.6

Образец → сам · равновесие в координатах

Какую силу добавить, чтобы было равновесие?

Образец: $F_{1} (4; 1)$ , $F_{2} (- 1; 3)$ . Найдите $F_{3}$ для равновесия и $∣ F_{3} ∣$ .

$R = F_{1} + F_{2} = (3; 4)$ складываем координаты

$F_{3} = - R = (- 3; - 4)$ сумма всех сил $= 0$

$∣ F_{3} ∣ = 9 + 16 = 5$ длина вектора

Сам

$F_{1} (2; 5)$ , $F_{2} (3; - 1)$ . Найдите $R$ $(5; 4)$
$F_{1} (7; - 1)$ , $F_{2} (- 1; 9)$ . Найдите $F_{3}$ и $∣ F_{3} ∣$ $(- 6; - 8)$ , $10$
$(2; - 3)$ , $(- 5; 1)$ , $(3; 2)$ — равновесие? да: сумма $(0; 0)$

R04.6

Перемещение и скорость · сложение

Лодка пересекает реку

Скорость относительно берега = скорость относительно воды + скорость течения.

v = v_{1} + v_{2}

v_{1} = 4

м/с поперёк,

v_{2} = 3

м/с: $v = 5$ м/с. Ширина

60

м — за

15

с, снос

45

м.

R04.6

Определение · центр масс двух точек

Правило рычага векторами

Центр масс точек

A

(масса

m_{1}

) и

B

(масса

m_{2}

) — такая точка

M

, что

m_{1} M A + m_{2} MB = 0

m_{1} \cdot A M = m_{2} \cdot MB

правило рычага

M

лежит на отрезке

A B

ближе к большей массе.

R04.6 · углублённый

Теорема · доказательство

Формула центра масс через любую точку $O$

Теорема. Центр масс

M

существует, единствен и для любой точки

O

:

OM = \frac{m _{1} O A + m _{2} OB}{m _{1} + m _{2}}

.

1

M A = O A - OM

,

MB = OB - OM

правило вычитания векторов

2

m_{1} (O A - OM) + m_{2} (OB - OM) = 0

подставили в определение центра масс

3

(m_{1} + m_{2}) OM = m_{1} O A + m_{2} OB

распределительные законы умножения на число

4делим на

m_{1} + m_{2} > 0

: вектор

OM

определён однозначновсе шаги обратимы ⇒

M

существует и единственна

5

O = A

:

A M = \frac{m _{2}}{m _{1} + m _{2}} A B

⇒

M \in A B

следствие:

A M : MB = m_{2} : m_{1}

3 мин · теория
Шаг 4: преобразования равносильны, поэтому точка $M$ , заданная формулой, удовлетворяет определению — существует; вектор $OM$ от фиксированной $O$ задаёт ровно одну точку — единственна. Результат не зависит от выбора $O$ .
Шаг 5: при $O = A$ вектор $O A = 0$ . Коэффициент $\frac{m _{2}}{m _{1} + m _{2}} \in (0; 1)$ ⇒ $M$ на отрезке, $A M = \frac{m _{2}}{m _{1} + m _{2}} A B$ , $MB = \frac{m _{1}}{m _{1} + m _{2}} A B$ .
В координатах ( $O$ — начало координат): $x_{M} = \frac{m _{1} x _{A} + m _{2} x _{B}}{m _{1} + m _{2}}$ , так же для $y$ . При $m_{1} = m_{2}$ — формула середины отрезка.

R04.6

Образец → сам · центр масс двух точек

Где поставить опору?

Образец: на концах стержня $A B = 1, 2$ м грузы $4$ кг ( $A$ ) и $2$ кг ( $B$ ). Найдите $A M$ .

$A M : MB = 2 : 4 = 1 : 2$ $A M : MB = m_{B} : m_{A}$

$A M = \frac{1}{3} \cdot 1, 2$ $A B$ — это $3$ равные части

$A M = 0, 4$ м проверка: $4 \cdot 0, 4 = 2 \cdot 0, 8$

Сам

$m_{A} = 3$ , $m_{B} = 7$ , $A B = 50$ см. $A M$ ? $35$ см
$A M = 2$ , $MB = 6$ , $m_{A} = 9$ кг. $m_{B}$ ? $3$ кг
$m_{A} = 1$ , $A (1; 5)$ ; $m_{B} = 2$ , $B (7; - 1)$ . $M$ ? $(5; 1)$

R04.6 · углублённый

Теорема · центр масс системы точек

Три равные массы — точка пересечения медиан

OM = \frac{m _{1} O A _{1} + \dots + m _{n} O A _{n}}{m _{1} + \dots + m _{n}}

x_{M} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{n} x _{n}}{m _{1} + \dots + m _{n}}

1Группировка: часть точек можно заменить их центром масс с суммарной массойследует из формулы (сумму разбиваем на части)

2Массы

1

в

B

и

C

→ масса

2

в середине

A_{1}

центр масс равных масс — середина

3

M \in A A_{1}

,

A M : M A_{1} = 2 : 1

следствие теоремы:

m_{A_{1}} : m_{A} = 2 : 1

4То же для

B B_{1}

,

C C_{1}

⇒ медианы пересекаются в

M

и делятся

2 : 1

центр масс единствен

R04.6

Образец → сам · центр масс в координатах

Координаты центра масс системы

Образец: массы $1$ , $2$ , $3$ в точках $A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ , $C (0; 6)$ . Найдите $M$ .

$m = 1 + 2 + 3 = 6$ суммарная масса

$x_{M} = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 0}{6} = 2$ формула для абсциссы

$y_{M} = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 6}{6} = 3$ формула для ординаты

$M (2; 3)$

Сам

Равные массы в $A (1; 2)$ , $B (5; - 2)$ , $C (3; 6)$ $M (3; 2)$
$3$ кг в $A (- 2; 1)$ , $1$ кг в $B (6; 5)$ $M (0; 2)$
$m_{A} = 1$ , $A (1; 1)$ ; $m_{B} = 2$ ; центр $M (3; 5)$ . Найдите $B$ $B (4; 7)$

R04.6 · углублённый

Образец → сам · метод масс

Отношения отрезков без вычислений

Образец: $A A_{1}$ — медиана, $K \in A C$ , $A K : K C = 1 : 2$ , $A A_{1} \cap B K = O$ . Найдите $A O : O A_{1}$ и $BO : O K$ .

массы $2$ , $1$ , $1$ в $A$ , $B$ , $C$ $K$ — центр масс $A$ и $C$ : $m_{A} : m_{C} = K C : A K = 2 : 1$

$B, C$ → $2$ в $A_{1}$ ; $A, C$ → $3$ в $K$ группировка

центр масс системы на $A A_{1}$ и на $B K$ — это $O$ он единствен

$A O : O A_{1} = 2 : 2 = 1 : 1$ , $BO : O K = 3 : 1$

Сам

То же, но $A K : K C = 1 : 3$ $2 : 3$ и $4 : 1$
$K \in A C$ , $L \in BC$ , $A K : K C = B L : L C = 2 : 1$ , $A L \cap B K = O$ . $A O : O L$ ? $3 : 1$
Докажите: отрезки между серединами противоположных сторон четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам массы $1$ в вершинах

2,5 мин · практика
Образец проверен координатами. План: расставить массы так, чтобы данные точки делений были центрами масс пар; затем сгруппировать двумя способами.
1) $m_{A} = 3$ , $m_{C} = 1$ , $m_{B} = 1$ : в $A_{1}$ масса $2$ ⇒ $A O : O A_{1} = 2 : 3$ ; в $K$ масса $4$ ⇒ $BO : O K = 4 : 1$ . 2) $m_{A} = 1$ , $m_{B} = 1$ , $m_{C} = 2$ : в $L$ масса $3$ ⇒ $A O : O L = 3 : 1$ (и $BO : O K = 3 : 1$ ).
3) Массы $1$ в $A, B, C, D$ : пары $(A, B)$ , $(C, D)$ → по $2$ в серединах $A B$ и $C D$ ⇒ центр масс — середина отрезка между ними; пары $(B, C)$ , $(D, A)$ → середина второго отрезка; центр масс один ⇒ общая середина.

R04.6

Сводка · векторы в механике

Ситуация → вектор → формула

Ситуация	Векторная запись	Как считать
Равнодействующая	$R = F_{1} + F_{2}$	$R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} cos α$ ; в координатах — сумма
Равновесие	$F_{1} + \dots + F_{n} = 0$	сумма координат $= (0; 0)$ ; ломаная сил замкнута
Скорости	$v = v_{1} + v_{2}$	правило треугольника
Центр масс двух точек	$m_{1} M A + m_{2} MB = 0$	$A M : MB = m_{2} : m_{1}$
Центр масс системы	$OM = \frac{\sum m _{i} O A _{i}}{\sum m _{i}}$	$x_{M} = \frac{\sum m _{i} x _{i}}{\sum m _{i}}$ ; группировка

R04.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$3$ Н и $5$ Н под $6 0^{\circ}$ : $R = 3 + 5 = 8$ Н	длины складываются только для сонаправленных сил	$R = 7$ Н (параллелограмм)
$m_{A} = 1$ , $m_{B} = 4$ ⇒ $A M : MB = 1 : 4$	центр масс ближе к большей массе	$A M : MB = m_{B} : m_{A} = 4 : 1$
$x_{M} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2}}{2}$	делят на число точек, а не на сумму масс	$x_{M} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2}}{m _{1} + m _{2}}$
$R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} - 2 F_{1} F_{2} cos α$	$α$ — угол между силами, в треугольнике — $18 0^{\circ} - α$	знак « $+$ »: $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$

R04.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Силы $6$ Н и $6$ Н, угол между ними $12 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

силы равны и складываются:

$R = 6 + 6 = 12$ Н

$R^{2} = 36 + 36 + 72 \cdot (- \frac{1}{2}) = 36$ , $R = 6$ Н

б) $1$ кг в $A$ , $4$ кг в $B$ , $A B = 10$ . Найдите $A M$ .

$A M : MB = 1 : 4$ ,

$A M = \frac{1}{5} \cdot 10 = 2$

$A M : MB = 4 : 1$ , $A M = 8$

в) $1$ кг в $A (0; 0)$ , $2$ кг в $B (6; 3)$ . Найдите $M$ .

$x = \frac{0 + 6}{2} = 3$ , $y = \frac{0 + 3}{2} = 1, 5$

$M (3; 1, 5)$

$x = \frac{0 + 12}{3} = 4$ , $y = \frac{0 + 6}{3} = 2$ , $M (4; 2)$

R04.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаСилы $7$ Н и $3$ Н на одной прямой: в одну сторону и в разные. $R$ ? $10$ Н и $4$ Н
базаСилы $9$ Н и $12$ Н перпендикулярны. Найдите $R$ $15$ Н
база $F_{1} (2; - 3)$ , $F_{2} (- 6; 6)$ . Найдите $R$ и $R$ $(- 4; 3)$ , $5$
базаГрузы $3$ кг и $1$ кг на стержне $80$ см. От груза $3$ кг до центра масс? $20$ см
базаЦентр масс равных масс в $A (- 1; 4)$ и $B (3; 0)$ $(1; 2)$
базаРавные массы в $A (0; 0)$ , $B (9; 0)$ , $C (3; 6)$ . Центр масс? $(4; 2)$

R04.6 · углублённый

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Две силы по $10$ Н дают $R = 103$ Н. Угол между ними? $6 0^{\circ}$
повыш.Три силы по $5$ Н приложены к точке, и она в равновесии. Углы между силами? по $12 0^{\circ}$
повыш. $A B = 12$ , $m_{A} = 2$ кг. Какую массу поместить в $B$ , чтобы $A M = 4$ ? $1$ кг
повыш.Докажите: центр масс равных масс в вершинах треугольника совпадает с центром масс равных масс в серединах его сторон. суммы векторов равны

R04.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 19 и 23

Точка пересечения медиан в задачах ОГЭ

ОГЭ 15Медианы треугольника $A BC$ пересекаются в точке $O$ , медиана $BM = 18$ . Найдите $BO$ . $12$

ОГЭ 19Какие утверждения верны?

Медианы делятся точкой пересечения в отношении $2 : 1$ , считая от вершины.
Длина суммы двух векторов равна сумме их длин.
Центр масс двух равных масс — середина отрезка.
Если сумма сил равна нулю, то каждая сила равна нулю.

Ответ: 13

ОГЭ 23Медианы $A A_{1}$ и $B B_{1}$ треугольника $A BC$ перпендикулярны, $A A_{1} = 9$ , $B B_{1} = 12$ . Найдите $A B$ .

Ответ: $10$

R04.6 · практика

Задача из жизни · фонарь на тросах

Фонарь весом $60$ Н висит на двух одинаковых тросах

Угол между тросами $12 0^{\circ}$ . Натяжение каждого? $60$ Н: треугольник сил равносторонний
Угол $9 0^{\circ}$ ? $302 \approx 42, 4$ Н
Угол $6 0^{\circ}$ ? $203 \approx 34, 6$ Н
Почему трос нельзя натянуть почти горизонтально? натяжение неограниченно растёт

R04.6

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Силы $5$ Н и $12$ Н перпендикулярны. $R$ ? $13$ Н
$F_{1} (3; - 1)$ , $F_{2} (1; 4)$ . Найдите $F_{3}$ для равновесия и $∣ F_{3} ∣$ $(- 4; - 3)$ , $5$
Грузы $2$ кг и $6$ кг на стержне $40$ см. От груза $2$ кг до центра масс? $30$ см
$1$ кг в $A (1; 0)$ , $2$ кг в $B (4; 3)$ . Центр масс? $(3; 2)$

Вариант 2

Силы $8$ Н и $15$ Н перпендикулярны. $R$ ? $17$ Н
$F_{1} (- 2; 5)$ , $F_{2} (- 4; 3)$ . Найдите $F_{3}$ для равновесия и $∣ F_{3} ∣$ $(6; - 8)$ , $10$
Грузы $3$ кг и $9$ кг на стержне $48$ см. От груза $3$ кг до центра масс? $36$ см
$3$ кг в $A (- 1; 2)$ , $1$ кг в $B (3; 6)$ . Центр масс? $(0; 3)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти равнодействующую двух сил?
Когда тело в равновесии?
К какой массе ближе центр масс и почему?

Домашнее задание

Силы $4$ Н и $6$ Н под углом $6 0^{\circ}$ : найдите $R$ .
$A A_{1}$ — медиана, $K \in A C$ , $A K : K C = 2 : 1$ , $A A_{1} \cap B K = O$ : найдите $A O : O A_{1}$ и $BO : O K$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-050 · Применение векторов в физике, центр масс

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Векторы», 20 ч · урок 6/20 · тип Н
Единицы → слайды	R04.6 «Применение векторов в физике, центр масс» → 2, 4–22 · повторение R04.5 (действия в координатах) → 3
Результаты	ПР-12 (практические интерпретации векторов) → 4–7, 14–22 · ПР-13 (простейшие физические задачи) → 4–13, 20
Вне урока	разложение вектора (силы) по базису и проецирование — GEOM9U-051 и далее (R04.7, R04.8); работа силы и скалярное произведение — R04.9–R04.12
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Применение векторов в физике, центр масс

Сегодня вы научитесь

Складывать силы

Проверять равновесие

Находить центр масс

Решать задачи методом масс

Действия с векторами в координатах

Силы складываются как векторы

Две силы под углом: теорема косинусов

Образец: F1​=3 Н, F2​=5 Н, угол между силами 60∘. Найдите R.

Сам: найдите R

Какую силу добавить, чтобы было равновесие?

Образец: F1​(4;1), F2​(−1;3). Найдите F3​ для равновесия и ∣F3​∣.

Сам

Лодка пересекает реку

Правило рычага векторами

Формула центра масс через любую точку O

Где поставить опору?

Образец: на концах стержня AB=1,2 м грузы 4 кг (A) и 2 кг (B). Найдите AM.

Сам

Три равные массы — точка пересечения медиан

Координаты центра масс системы

Образец: массы 1, 2, 3 в точках A(0;0), B(6;0), C(0;6). Найдите M.

Сам

Отношения отрезков без вычислений

Образец: AA1​ — медиана, K∈AC, AK:KC=1:2, AA1​∩BK=O. Найдите AO:OA1​ и BO:OK.

Сам

Ситуация → вектор → формула

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Силы 6 Н и 6 Н, угол между ними 120∘. Найдите R.

б) 1 кг в A, 4 кг в B, AB=10. Найдите AM.

в) 1 кг в A(0;0), 2 кг в B(6;3). Найдите M.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Точка пересечения медиан в задачах ОГЭ

Фонарь весом 60 Н висит на двух одинаковых тросах

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-050 · Применение векторов в физике, центр масс

Образец: $F_{1} = 3$ Н, $F_{2} = 5$ Н, угол между силами $6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

Сам: найдите $R$

Образец: $F_{1} (4; 1)$ , $F_{2} (- 1; 3)$ . Найдите $F_{3}$ для равновесия и $∣ F_{3} ∣$ .

Формула центра масс через любую точку $O$

Образец: на концах стержня $A B = 1, 2$ м грузы $4$ кг ( $A$ ) и $2$ кг ( $B$ ). Найдите $A M$ .

Образец: массы $1$ , $2$ , $3$ в точках $A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ , $C (0; 6)$ . Найдите $M$ .

Образец: $A A_{1}$ — медиана, $K \in A C$ , $A K : K C = 1 : 2$ , $A A_{1} \cap B K = O$ . Найдите $A O : O A_{1}$ и $BO : O K$ .

а) Силы $6$ Н и $6$ Н, угол между ними $12 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

б) $1$ кг в $A$ , $4$ кг в $B$ , $A B = 10$ . Найдите $A M$ .

в) $1$ кг в $A (0; 0)$ , $2$ кг в $B (6; 3)$ . Найдите $M$ .

Фонарь весом $60$ Н висит на двух одинаковых тросах