Векторы · урок 5 из 20

Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число в координатах

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9U-049

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Векторы» (20 ч), урок 5/20, единица R04.5 «Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число в координатах». Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 1 · цели 0,5 · сумма и разность 2,5 · умножение на число 2,5 · коллинеарность 2,5 · середина и деление отрезка 2 · сводка 1,5.
Практика (32,5): разминка 3 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 3 · из жизни 1,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 3,5 · итог 0,5.
Если не успеваете: задачу из жизни и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Действовать в координатах

складывать, вычитать векторы, умножать на число, составлять $α a + β b$

Доказывать правила

выводить формулы через разложение по координатным векторам

Проверять коллинеарность

по условию $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ , в том числе с параметром

Решать задачи о фигурах

середина, деление отрезка, вершины параллелограмма и трапеции

повторение: R04.2 · R04.3 · R04.4

Разминка · устно

Координаты вектора и действия над ним

Координаты $a$ (клетка — 1)? ${3; 2}$
Координаты $b$ ? ${2; - 3}$
$A (1; 2)$ , $B (4; - 2)$ . Координаты $A B$ ? ${3; - 4}$
Длина вектора ${3; - 4}$ ? $5$
$m = - 2 i + 5 j$ . Координаты $m$ ? ${- 2; 5}$
$p = - 3 q$ . Как направлен $p$ , во сколько раз длиннее? противоположно, в 3 раза

R04.5

Новый материал · сумма и разность в координатах

Координаты складываются

Дано:

a {x_{1}; y_{1}}

,

b {x_{2}; y_{2}}

.
Доказать:

a + b {x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2}}

.

1

a + b = (x_{1} i + y_{1} j) + (x_{2} i + y_{2} j)

разложение по координатным векторам

2

= (x_{1} + x_{2}) i + (y_{1} + y_{2}) j

переместительный, сочетательный и распределительный законы

3

a + b {x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2}}

коэффициенты разложения — координаты (разложение единственно)

4

c = a - b \Leftrightarrow b + c = a

, отсюда

c {x_{1} - x_{2}; y_{1} - y_{2}}

определение разности и пункт 3

R04.5

Образец → сам · линейная комбинация векторов

Сначала умножаем, потом складываем

Образец: $a {2; 1}$ , $b {1; - 1}$ . Найдите координаты $c = 2 a - 3 b$ .

$2 a {4; 2}$ обе координаты × 2

$3 b {3; - 3}$ обе координаты × 3

$c {4 - 3; 2 - (- 3)}$ разность в координатах

$c {1; 5}$

Сам: $a {- 1; 3}$ , $b {2; - 4}$

Найдите $a + b$ . ${1; - 1}$
Найдите $3 a - 2 b$ . ${- 7; 17}$
Найдите $\frac{1}{2} b - a$ . ${2; - 5}$

R04.5

Новый материал · умножение вектора на число

Каждая координата умножается на $k$

Дано:

a {x; y}

,

k

— число.
Доказать:

k a {k x; k y}

.

1

k a = k (x i + y j)

разложение по координатным векторам

2

= (k x) i + (k y) j

распределительный и сочетательный законы умножения на число

3

k a {k x; k y}

коэффициенты разложения — координаты

Следствие.

α a + β b {α x_{1} + β x_{2}; α y_{1} + β y_{2}}

, в частности

- a {- x; - y}

.

R04.5

Образец → сам · векторное уравнение

Неизвестный вектор — как неизвестное число

Образец: $a {4; - 2}$ , $b {2; 0}$ . Найдите $x$ , если $2 x + a = 3 b$ .

$2 x = 3 b - a$ перенос: прибавим $- a$ к обеим частям

$2 x {6 - 4; 0 - (- 2)} = {2; 2}$ действия в координатах

$x {1; 1}$ умножаем на $\frac{1}{2}$

Сам

${x; - 3} + 2 {1; y} = {5; 1}$ . Найдите $x$ , $y$ . $x = 3$ , $y = 2$
$a {1; 2}$ , $b {5; - 8}$ , $3 x - a = b$ . Найдите $x$ . ${2; - 2}$
$a {- 2; 5}$ , $m a = {6; n}$ . Найдите $m$ , $n$ . $m = - 3$ , $n = - 15$

R04.5

Новый материал · условие коллинеарности

Коллинеарны $\Leftrightarrow$ $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$

Теорема. Ненулевые

a {x_{1}; y_{1}}

и

b {x_{2}; y_{2}}

коллинеарны тогда и только тогда, когда

x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0

.

1

\Rightarrow

b = k a

:

x_{2} = k x_{1}

,

y_{2} = k y_{1}

лемма о коллинеарных векторах и умножение на число

2

x_{1} \cdot k y_{1} - k x_{1} \cdot y_{1} = 0

подстановка в выражение

3

\Leftarrow

x_{1} \neq = 0

:

k = \frac{x _{2}}{x _{1}}

, тогда

y_{2} = \frac{x _{2} y _{1}}{x _{1}} = k y_{1}

значит,

b = k a

4

x_{1} = 0

:

y_{1} \neq = 0

,

x_{2} y_{1} = 0

,

x_{2} = 0

оба вектора параллельны оси

O y

— коллинеарны

R04.5

Образец → сам · коллинеарность с параметром

Произведения крест-накрест равны

Образец: при каких $m$ векторы $a {m; 4}$ и $b {9; m}$ коллинеарны? Как они направлены?

$m^{2} - 36 = 0$ условие $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$

$m = 6$ : $a {6; 4}$ , $b = \frac{3}{2} a$ $k > 0$ — сонаправлены

$m = - 6$ : $b = - \frac{3}{2} a$ $k < 0$ — противоположно направлены

$m = \pm 6$

Сам

$a {2; - 3}$ и $b {- 6; y}$ коллинеарны. Найдите $y$ . $y = 9$
$a {1; 2}$ , $b {1; - 1}$ . При каком $k$ вектор $a + k b$ коллинеарен ${3; 0}$ ? $k = 2$
Лежат ли $A (1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $C (7; 11)$ на одной прямой? да

R04.5

Новый материал · середина и деление отрезка

Середина — полусумма радиус-векторов

Дано:

A (x_{1}; y_{1})

,

B (x_{2}; y_{2})

,

M

— середина

A B

.
Доказать:

M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

.

1

OM

=

O A

+ \frac{1}{2} A B

правило треугольника,

A M = \frac{1}{2} A B

2

= O A + \frac{1}{2} (OB - O A) = \frac{1}{2} (O A + OB)

A B = OB - O A

3координаты

M

— полусуммы координат концовкоординаты точки = координаты её радиус-вектора

A M : MB = m : n

\Rightarrow

OM = \frac{n O A + m OB}{m + n}

R04.5

Образец → сам · вершины и середины

Четвёртая вершина параллелограмма

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A (- 2; 1)$ , $B (1; 3)$ , $C (4; 0)$ . Найдите $D$ и центр $O$ .

$A D = BC {3; - 3}$ противоположные стороны параллелограмма

$D (- 2 + 3; 1 - 3) = (1; - 2)$ прибавили вектор к точке $A$

$O (\frac{- 2 + 4}{2}; \frac{1 + 0}{2}) = (1; 0, 5)$ середина диагонали $A C$

Сам

$A (- 3; 5)$ , $B (7; - 1)$ . Найдите середину $A B$ . $(2; 2)$
$M (1; - 2)$ — середина $A B$ , $A (4; 3)$ . Найдите $B$ . $B (- 2; - 7)$
$A (- 1; 4)$ , $B (5; - 2)$ , $A C : CB = 2 : 1$ . Найдите $C$ . $C (3; 0)$

R04.5

Образец → сам · задача на доказательство

Докажите, что $A BC D$ — трапеция

Образец: $A (- 3; - 1)$ , $B (- 1; 3)$ , $C (3; 3)$ , $D (5; - 1)$ . Докажите, что $A BC D$ — трапеция.

$BC {4; 0}$ , $A D {8; 0}$ $A D = 2 BC$ ⇒ $BC ∥ A D$ , $BC \neq = A D$

$A B {2; 4}$ , $D C {- 2; 4}$ $2 \cdot 4 - (- 2) \cdot 4 = 16 \neq = 0$ ⇒ $A B ∦ C D$

ровно одна пара параллельных сторон — трапеция

Сам

Докажите: $A BC D$ — параллелограмм, $A (0; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 4)$ , $D (4; 1)$ . $A B = D C = {1; 3}$
Докажите: $A (- 1; - 1)$ , $B (1; 0)$ , $C (5; 2)$ лежат на одной прямой. $A C = 3 A B$
Параллелограмм ли $A (1; 1)$ , $B (2; 4)$ , $C (6; 5)$ , $D (4; 2)$ ? нет: $A B \neq = D C$

2,5 мин · практика
Образец: план — 1) найти векторы сторон; 2) проверить коллинеарность пар противоположных сторон; 3) вывод по определению трапеции. $BC$ и $A D$ лежат на разных прямых ( $y = 3$ и $y = - 1$ ), поэтому четырёхугольник не вырожден. Средняя линия: $\frac{4 + 8}{2} = 6$ — проверка через середины $(- 2; 1)$ и $(4; 1)$ .
1) $A B {1; 3} = D C {1; 3}$ — признак параллелограмма (пара сторон параллельна и равна); $A$ , $B$ , $D$ не на одной прямой: $1 \cdot 1 - 4 \cdot 3 \neq = 0$ .
2) $A B {2; 1}$ , $A C {6; 3} = 3 A B$ , общая точка $A$ . 3) $A B {1; 3}$ , $D C {2; 3}$ — не равны (и не коллинеарны: $1 \cdot 3 - 2 \cdot 3 \neq = 0$ ) — не параллелограмм.

R04.5

Схема-конспект

Действия над векторами в координатах

Что	Формула
Сумма и разность	$a \pm b {x_{1} \pm x_{2}; y_{1} \pm y_{2}}$
Умножение на число	$k a {k x_{1}; k y_{1}}$
Линейная комбинация	$α a + β b {α x_{1} + β x_{2}; α y_{1} + β y_{2}}$
Коллинеарность	$a ∥ b \Leftrightarrow x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$
Середина отрезка	$M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$
Деление $A M : MB = m : n$	$OM = \frac{n O A + m OB}{m + n}$
Параллелограмм $A BC D$	$A D = BC$ , $D = A + C - B$ (по координатам)

R04.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$a {1; - 3}$ : $2 a {2; - 3}$	умножили только абсциссу	$2 a {2; - 6}$
${2; 5} - {- 1; 3} = {1; 2}$	потерян знак: $2 - (- 1) = 3$	${3; 2}$
${2; 3}$ , ${4; 6}$ : $2 \cdot 4 - 3 \cdot 6 \neq = 0$ — не колл.	перемножили не те координаты	$2 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 0$ — коллинеарны
середина: $(\frac{x _{2} - x _{1}}{2}; \frac{y _{2} - y _{1}}{2})$	спутали с половиной $A B$	$(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

R04.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $a {3; - 2}$ , $b {- 1; 4}$ . Найдите $2 a - 3 b$ .

$2 a {6; - 4}$ , $3 b {- 3; 12}$

${6 - 3; - 4 - 12} = {3; - 16}$

$6 - (- 3) = 9$ : ${9; - 16}$

б) $A BC D$ — параллелограмм, $A (1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $C (6; 4)$ . Найдите $D$ .

$D = B + C - A$

$D (3 + 6 - 1; 5 + 4 - 2) = (8; 7)$

$A D = BC$ : $D = A + C - B = (4; 1)$

в) При каком $m$ векторы ${m; 2}$ и ${8; m}$ коллинеарны?

$m^{2} - 16 = 0$

$m^{2} = 16$ , $m = 4$

потерян корень: $m = \pm 4$

R04.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте: $a {- 2; 5}$ , $b {3; - 1}$

базаНайдите $a + b$ . ${1; 4}$
базаНайдите $a - b$ . ${- 5; 6}$
базаНайдите $- 3 a$ . ${6; - 15}$

базаНайдите $2 a + 3 b$ . ${5; 7}$
базаСередина $A B$ : $A (- 4; 3)$ , $B (2; - 5)$ . $(- 1; - 1)$
базаКоллинеарны ли ${3; - 6}$ и ${- 1; 2}$ ? да

R04.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $a {1; - 2}$ , $b {- 3; 4}$ . Найдите $∣2 a + b ∣$ . $1$
повыш. $a {1; 2}$ , $b {3; - 1}$ . При каком $k$ векторы $a + k b$ и $a - b$ коллинеарны? $k = - 1$
повыш. $A (2; - 1)$ , $B (- 4; 8)$ . Точка $C$ на отрезке $A B$ , $A C : CB = 1 : 2$ . Найдите $C$ . $C (0; 2)$
повыш. $△ A BC$ : $A (1; 1)$ , $B (7; 1)$ , $C (3; 9)$ . Найдите длину медианы $A M$ . $42$

R04.5 · из жизни

Задача из жизни · робот-пылесос

Маршрут по командам-векторам

Робот выехал с базы

(0; 0)

и выполнил команды: 3 раза

{2; 1}

, затем 2 раза

{- 1; 3}

(единица — 1 м).

В какой точке оказался робот? $(4; 9)$
Каким вектором вернуться на базу? ${- 4; - 9}$
Как далеко он от базы? $97 \approx 9, 8$ м

R04.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ . Найдите длину вектора $a + b$ . $5$
ОГЭ 18Найдите ординату вектора $2 a - b$ . $- 7$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат слагаемых.
Векторы с пропорциональными координатами перпендикулярны.
Координаты середины отрезка равны полусуммам координат его концов.

Ответ: 13

R04.5

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1: $a {2; - 3}$ , $b {- 1; 4}$

Найдите $a + 2 b$ . ${0; 5}$
Найдите $3 a - b$ . ${7; - 13}$
Середина $A B$ : $A (- 3; 4)$ , $B (5; - 2)$ . $(1; 1)$
При каком $y$ векторы ${4; y}$ и ${- 6; 9}$ коллинеарны? $y = - 6$

Вариант 2: $a {- 3; 1}$ , $b {2; - 5}$

Найдите $a + 2 b$ . ${1; - 9}$
Найдите $3 a - b$ . ${- 11; 8}$
Середина $A B$ : $A (6; - 5)$ , $B (- 2; 3)$ . $(2; - 1)$
При каком $x$ векторы ${x; 6}$ и ${- 2; 4}$ коллинеарны? $x = - 3$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти координаты $α a + β b$ ?
Как по координатам проверить коллинеарность?
Как найти середину отрезка?

Домашнее задание

$a {3; - 4}$ , $b {- 2; 1}$ . Найдите $2 a - 5 b$ .
$A BC D$ — параллелограмм, $A (- 1; - 2)$ , $B (2; 3)$ , $C (6; 1)$ . Найдите $D$ .
* При каком $m$ векторы ${m; m + 1}$ и ${2; 3}$ коллинеарны?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-049 · Действия над векторами в координатах

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Векторы», 20 ч · урок 5/20 · тип Н
Единицы → слайды	R04.5 «Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число в координатах» → 2, 4–21 · повторение (R04.2–R04.4) → 3
Результаты	ПР-12 → 2–21
Виды деятельности	«Вычислять сумму, разность … векторов в координатах» → 4–7, 13, 16, 20 · «Решать геометрические задачи с использованием векторов» → 9–12, 17, 18
ОГЭ	линия 18 → 19 (задачи 1, 2) · линия 19 → 19
Вне урока	физический смысл, центр масс — GEOM9U-050 (R04.6); разложение по базису — GEOM9U-051 (R04.7)
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число в координатах

Сегодня вы научитесь

Действовать в координатах

Доказывать правила

Проверять коллинеарность

Решать задачи о фигурах

Координаты вектора и действия над ним

Координаты складываются

Сначала умножаем, потом складываем

Образец: a{2;1}, b{1;−1}. Найдите координаты c=2a−3b.

Сам: a{−1;3}, b{2;−4}

Каждая координата умножается на k

Неизвестный вектор — как неизвестное число

Образец: a{4;−2}, b{2;0}. Найдите x, если 2x+a=3b.

Сам

Коллинеарны ⇔ x1​y2​−x2​y1​=0

Произведения крест-накрест равны

Образец: при каких m векторы a{m;4} и b{9;m} коллинеарны? Как они направлены?

Сам

Середина — полусумма радиус-векторов

Четвёртая вершина параллелограмма

Образец: ABCD — параллелограмм, A(−2;1), B(1;3), C(4;0). Найдите D и центр O.

Сам

Докажите, что ABCD — трапеция

Образец: A(−3;−1), B(−1;3), C(3;3), D(5;−1). Докажите, что ABCD — трапеция.

Сам

Действия над векторами в координатах

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) a{3;−2}, b{−1;4}. Найдите 2a−3b.

б) ABCD — параллелограмм, A(1;2), B(3;5), C(6;4). Найдите D.

в) При каком m векторы {m;2} и {8;m} коллинеарны?

Решите и проверьте: a{−2;5}, b{3;−1}

Подумайте и решите

Маршрут по командам-векторам

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1: a{2;−3}, b{−1;4}

Вариант 2: a{−3;1}, b{2;−5}

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-049 · Действия над векторами в координатах

Образец: $a {2; 1}$ , $b {1; - 1}$ . Найдите координаты $c = 2 a - 3 b$ .

Сам: $a {- 1; 3}$ , $b {2; - 4}$

Каждая координата умножается на $k$

Образец: $a {4; - 2}$ , $b {2; 0}$ . Найдите $x$ , если $2 x + a = 3 b$ .

Коллинеарны $\Leftrightarrow$ $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$

Образец: при каких $m$ векторы $a {m; 4}$ и $b {9; m}$ коллинеарны? Как они направлены?

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A (- 2; 1)$ , $B (1; 3)$ , $C (4; 0)$ . Найдите $D$ и центр $O$ .

Докажите, что $A BC D$ — трапеция

Образец: $A (- 3; - 1)$ , $B (- 1; 3)$ , $C (3; 3)$ , $D (5; - 1)$ . Докажите, что $A BC D$ — трапеция.

а) $a {3; - 2}$ , $b {- 1; 4}$ . Найдите $2 a - 3 b$ .

б) $A BC D$ — параллелограмм, $A (1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $C (6; 4)$ . Найдите $D$ .

в) При каком $m$ векторы ${m; 2}$ и ${8; m}$ коллинеарны?

Решите и проверьте: $a {- 2; 5}$ , $b {3; - 1}$

Вариант 1: $a {2; - 3}$ , $b {- 1; 4}$

Вариант 2: $a {- 3; 1}$ , $b {2; - 5}$