Векторы · урок 4 из 20

Координаты вектора

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9U-048

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Векторы» (20 ч), урок 4/20, единица R04.4 «Координаты вектора». Тип урока — Н.
Теория (12): титул 1 · цели 0,5 · координатные векторы 1,5 · теорема о разложении 2 · по началу и концу 2 · равные векторы 1,5 · коллинеарность 1,5 · длина 1 · сводка 1.
Практика (33): разминка 3 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 3 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4,5 · итог 1.
Сложение, вычитание и умножение на число в координатах — следующий урок (GEOM9U-049, R04.5); сегодня из них нужен только вывод $k a {k x; k y}$ в теореме о коллинеарности.
Если не успеваете: задачу 2 «сам» к образцу 3 (три вершины параллелограмма) и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Раскладывать по $i$ и $j$

доказывать, что разложение $a = x i + y j$ существует и единственно

Находить координаты

по клеткам и по началу и концу: $A B {x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}}$

Применять равенство векторов

находить вершину параллелограмма, решать обратные задачи

Проверять коллинеарность и длину

$x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ и $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}$

повторение: R04.2 · R04.3 · R03

Разминка · устно

Что понадобится сегодня

$A B + BC = ?$ $A C$
$b = - 3 a$ , $∣ a ∣ = 2$ . Длина и направление $b$ ? $6$ , противоположно $a$
$a \neq = 0$ , $b$ коллинеарен $a$ . Как записать $b$ через $a$ ? $b = k a$

$3 a = m a$ , $a \neq = 0$ . Найдите $m$ . $m = 3$
$A (1; - 2)$ , $B (5; 1)$ . Найдите $A B$ . $5$
Середина отрезка с концами $(2; 4)$ и $(6; - 2)$ ? $(4; 1)$

R04.4

Новый материал · координатные векторы

Шаги вдоль осей — координаты

i

,

j

— координатные векторы: длина

1

, направлены как оси

O x

и

O y

.

1Любой вектор:

a = x i + y j

разложение единственно — теорема на следующем слайде

2Определение. Числа

x

и

y

— координаты вектора:

a {x; y}

вектор — в фигурных скобках, точка

A (x; y)

— в круглых

3

i {1; 0}

,

j {0; 1}

,

0 {0; 0}

i = 1 \cdot i + 0 \cdot j

и т. д.

R04.4

Новый материал · теорема о разложении

Разложение существует и единственно

Теорема. Любой вектор

a

раскладывается по

i

,

j

, и притом единственным образом.

1

O A = a

;

A_{1}

,

A_{2}

— проекции

A

на оси

O A_{1} A A_{2}

— прямоугольник

2

a

=

O A_{1}

+

O A_{2}

=

x i

+

y j

правило параллелограмма; лемма о коллинеарных векторах

3Пусть ещё

a = x^{'} i + y^{'} j

:

(x - x^{'}) i = (y^{'} - y) j

вычли два разложения

4

x \neq = x^{'}

\Rightarrow

i = \frac{y ^{'} - y}{x - x ^{'}} j

— противоречие; значит,

x = x^{'}

,

y = y^{'}

i

и

j

неколлинеарны

R04.4

Образец → сам · координаты по клеткам

Считаем клетки от начала к концу

Образец: найдите координаты вектора $a$ (клетка — 1).

$4$ клетки вправо: $+ 4 i$ по оси — знак плюс

$2$ клетки вниз: $- 2 j$ против оси — знак минус

$a = 4 i - 2 j$ , $a {4; - 2}$

Сам

Координаты $b$ ? ${2; 5}$
Координаты $c$ и $d$ ? ${- 3; 0}$ и ${- 2; - 2}$
Координаты $p = 2 i - 5 j$ и $q = - j$ ? ${2; - 5}$ и ${0; - 1}$

R04.4

Новый материал · вектор по началу и концу

Конец минус начало

Дано:

A (x_{1}; y_{1})

,

B (x_{2}; y_{2})

.
Доказать:

A B {x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}}

.

1

C (x_{2}; y_{1})

:

A B

=

A C

+

CB

правило треугольника

2

A C = (x_{2} - x_{1}) i

A C ∥ O x

,

A C = ∣ x_{2} - x_{1} ∣

; знак разности задаёт направление

3

CB = (y_{2} - y_{1}) j

так же:

CB ∥ O y

4

A B = (x_{2} - x_{1}) i + (y_{2} - y_{1}) j

коэффициенты разложения — координаты

R04.4

Образец → сам · по координатам концов

Прямая и обратные задачи

Образец: $A (- 2; 3)$ , $B (4; - 1)$ . Найдите координаты $A B$ и $B A$ .

$A B {4 - (- 2); - 1 - 3}$ конец $B$ минус начало $A$

$A B {6; - 4}$ по клеткам: 6 вправо, 4 вниз ✓

$B A {- 6; 4}$ противоположный вектор

Сам

$C (3; - 5)$ , $D (- 1; 2)$ . Найдите $C D$ . ${- 4; 7}$
$A (- 1; 4)$ , $A B {5; - 2}$ . Найдите точку $B$ . $B (4; 2)$
$MN {- 3; 6}$ , $N (2; - 1)$ . Найдите точку $M$ . $M (5; - 7)$

R04.4

Новый материал · равные векторы

Равные векторы — равные координаты

Теорема.

a {x_{1}; y_{1}} = b {x_{2}; y_{2}}

\Leftrightarrow

x_{1} = x_{2}

,

y_{1} = y_{2}

.

1Равные векторы — одно и то же разложениеединственность разложения по

i

,

j

2Координаты не зависят от точки, от которой отложен векторна чертеже

A B = D C

, оба

{4; 1}

3

A BC D

— параллелограмм

\Leftrightarrow

A B = D C

A

,

B

,

C

не на одной прямой; отсюда

D = A + C - B

по координатам

R04.4

Образец → сам · четвёртая вершина

Параллелограмм по трём вершинам

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A (- 1; - 2)$ , $B (3; - 1)$ , $C (4; 3)$ . Найдите $D$ .

$A B {4; 1}$ конец минус начало

$D C$ $=$ $A B$ : $4 - x_{D} = 4$ , $3 - y_{D} = 1$ равные векторы — равные координаты

$D (0; 2)$ проверка: $A D = BC = {1; 4}$

Сам

$A BC D$ — параллелограмм, $A (1; 0)$ , $B (4; 2)$ , $D (0; 3)$ . Найдите $C$ . $C (3; 5)$
$K (1; 1)$ , $L (3; 4)$ , $M (6; 2)$ . Все $N$ , при которых $K, L, M, N$ — вершины параллелограмма? $(4; - 1)$ , $(- 2; 3)$ , $(8; 5)$
При каких $x$ , $y$ векторы ${x + 1; 2 y}$ и ${3; y - 4}$ равны? $x = 2$ , $y = - 4$

R04.4

Новый материал · коллинеарные векторы

Координаты пропорциональны

Теорема.

a {x_{1}; y_{1}} \neq = 0

. Вектор

b {x_{2}; y_{2}}

коллинеарен

a

\Leftrightarrow

x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0

.

1

b = k a = k x_{1} i + k y_{1} j

лемма о коллинеарных векторах; законы умножения на число

2

b {k x_{1}; k y_{1}}

,

x_{1} \cdot k y_{1} - k x_{1} \cdot y_{1} = 0

единственность разложения

3Обратно:

x_{1} \neq = 0

,

k = \frac{x _{2}}{x _{1}}

\Rightarrow

b = k a

из

x_{1} y_{2} = x_{2} y_{1}

следует

y_{2} = k y_{1}

; случай

y_{1} \neq = 0

— так же

k > 0

— сонаправлены,

k < 0

— противоположно направлены.

R04.4

Образец → сам · условие коллинеарности

Задача с параметром

Образец: при каких $m$ векторы $a {m; 2}$ и $b {8; m}$ коллинеарны? При каком — сонаправлены?

$m \cdot m - 8 \cdot 2 = 0$ условие $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ ; $a \neq = 0$ при любом $m$

$m^{2} = 16$ , $m = 4$ или $m = - 4$ оба значения дают коллинеарные векторы

$m = 4$ : $a {4; 2}$ , $b {8; 4} = 2 a$ $k = 2 > 0$ — сонаправлены

$m = - 4$ : $a {- 4; 2}$ , $b {8; - 4} = - 2 a$ $k = - 2 < 0$ — противоположно направлены

Коллинеарны при $m = \pm 4$ , сонаправлены при $m = 4$

Сам

Коллинеарны ли ${- 3; 6}$ и ${2; - 4}$ ? да, $k = - \frac{2}{3}$
При каком $x$ векторы ${x; - 6}$ и ${- 2; 3}$ коллинеарны? $x = 4$
Лежат ли $A (- 1; 1)$ , $B (2; 3)$ , $C (8; 7)$ на одной прямой? да, $A C = 3 A B$

R04.4

Новый материал · длина вектора

Длина — расстояние от начала до конца

Дано:

a {x; y}

. Найти:

∣ a ∣

.

1

O A = a

\Rightarrow

A (x; y)

координаты радиус-вектора равны координатам его конца

2

∣ a ∣ = O A = x^{2} + y^{2}

формула расстояния (R03) — теорема Пифагора

3

∣ A B ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

координаты

A B

— «конец минус начало»

R04.4

Образец → сам · длина вектора

Обратная задача: два ответа

Образец: $a {x; - 4}$ , $∣ a ∣ = 5$ . Найдите $x$ .

$x^{2} + (- 4)^{2} = 25$ квадрат длины

$x^{2} = 9$ концы — на окружности радиуса $5$ и прямой $y = - 4$

$x = 3$ или $x = - 3$

Сам

Найдите $∣ a ∣$ , $a {- 5; 12}$ . $13$
$A (1; y)$ , $B (4; 5)$ , $A B = 5$ . Найдите $y$ . $y = 1$ или $y = 9$
Найдите единичный вектор, сонаправленный $a {6; - 8}$ . ${0, 6; - 0, 8}$

R04.4

Схема-конспект

Всё о координатах вектора

Что	Формула
Координаты вектора	$a = x i + y j \Leftrightarrow a {x; y}$ — разложение единственно
По началу и концу	$A B {x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}}$ — конец минус начало
Равные векторы	равные координаты; $A BC D$ — параллелограмм $\Leftrightarrow A B = D C$
Коллинеарность	$b = k a \Leftrightarrow b {k x_{1}; k y_{1}} \Leftrightarrow x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$
Длина вектора	$∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}$ , $A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

R04.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A (2; 1)$ , $B (5; 7)$ : $A B {- 3; - 6}$	вычли «начало минус конец»	$A B {3; 6}$
$A (1; 2)$ , $B (4; 3)$ : $A B {4; 3}$	взяли координаты конца — так только при начале в $O$	$A B {3; 1}$
$∣ {- 3; 4} ∣ = - 9 + 16 = 7$	$(- 3)^{2} = 9$ , а не $- 9$	$9 + 16 = 5$
${0; 3}$ и ${0; - 5}$ : «на $0$ делить нельзя — не коллинеарны»	пропорция с нулём не работает	$0 \cdot (- 5) - 0 \cdot 3 = 0$ — коллинеарны

R04.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A BC D$ — параллелограмм, $A (1; 2)$ , $B (4; 3)$ , $C (6; 7)$ . Найдите $D$ .

$A B {3; 1} = C D$

$D (6 + 3; 7 + 1) = (9; 8)$

Нужно $A B = D C$ : $D (3; 6)$

б) $A (- 3; 2)$ , $B (3; - 6)$ . Найдите $A B$ .

$A B {3 - 3; - 6 - 2} = {0; - 8}$

$A B = 8$

$3 - (- 3) = 6$ : ${6; - 8}$ , $A B = 10$

в) При каком $m$ векторы ${m; 3}$ и ${12; m}$ противоположно направлены?

$m^{2} - 36 = 0$

Ответ: $m = 6$ или $m = - 6$

При $m = 6$ сонаправлены ( $k = 2$ ). Ответ: $m = - 6$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 минута в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) В параллелограмме $A BC D$ равны $A B$ и $D C$ (а $C D = - A B$ ). $D = C - A B = (3; 6)$ ; проверка: $A D {2; 4} = BC {2; 4}$ ✓. Точка $(9; 8)$ даёт «перекрученный» четырёхугольник.
б) Потерян знак абсциссы начала: $A B {6; - 8}$ , $A B = 36 + 64 = 10$ .
в) Условие коллинеарности дало оба значения, а направление не проверено: $m = 6$ : ${12; 6} = 2 {6; 3}$ — сонаправлены; $m = - 6$ : ${12; - 6} = - 2 {- 6; 3}$ — противоположно ✓.

R04.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $a = - 5 i + j$ . Найдите координаты $a$ . ${- 5; 1}$
базаРазложите $b {0; - 3}$ по $i$ , $j$ . $b = - 3 j$
база $A (4; - 2)$ , $B (- 1; 10)$ . Найдите $A B$ . ${- 5; 12}$

базаНайдите длину $A B$ из задания 3. $13$
база $OM {- 2; 7}$ , $O$ — начало координат. Координаты $M$ ? $M (- 2; 7)$
базаКоллинеарны ли ${4; - 6}$ и ${- 6; 9}$ ? да, $k = - \frac{3}{2}$

R04.4 · из жизни

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A (2; - 1)$ , $B (- 4; 7)$ , $M$ — середина $A B$ . Найдите координаты $A M$ и $∣ A M ∣$ . ${- 3; 4}$ , $5$
повыш.При каком $m$ векторы ${m; 4}$ и ${1; m}$ сонаправлены? $m = 2$
повыш.Найдите вектор длины $10$ , противоположно направленный вектору ${3; 4}$ . ${- 6; - 8}$
из жизниКатер вышел из точки $(- 2; 1)$ и пришёл в точку $(4; 9)$ (км; ось $x$ — на восток, $y$ — на север). Найдите вектор перемещения и пройденное по прямой расстояние. ${6; 8}$ , $10$ км

R04.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ . Найдите длину вектора $a$ . $5$
ОГЭ 18Найдите сумму координат вектора $b$ . $3$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если координаты векторов равны, то векторы равны.
Координаты любого вектора равны координатам его конца.
Векторы ${2; 3}$ и ${4; 6}$ коллинеарны.

Ответ: 13

R04.4

Самостоятельная работа · 4,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Координаты вектора $a = 3 i - 7 j$ ? ${3; - 7}$
$A (- 2; 5)$ , $B (4; - 3)$ . Найдите $A B$ и $A B$ . ${6; - 8}$ , $10$
$A BC D$ — параллелограмм, $A (1; - 1)$ , $B (3; 2)$ , $C (7; 3)$ . Найдите $D$ . $D (5; 0)$
При каком $y$ векторы ${2; y}$ и ${- 6; 9}$ коллинеарны? $y = - 3$

Вариант 2

Координаты вектора $b = - 4 i + 9 j$ ? ${- 4; 9}$
$A (3; - 4)$ , $B (- 2; 8)$ . Найдите $A B$ и $A B$ . ${- 5; 12}$ , $13$
$A BC D$ — параллелограмм, $A (- 2; 1)$ , $B (1; 4)$ , $C (5; 3)$ . Найдите $D$ . $D (2; 0)$
При каком $x$ векторы ${x; 4}$ и ${- 3; - 6}$ коллинеарны? $x = 2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему координаты вектора определены однозначно?
Как найти $A B$ по координатам точек?
Как по координатам проверить коллинеарность?

Домашнее задание

$A (- 3; 2)$ , $B (5; - 4)$ . Найдите $A B$ и $A B$ .
$K (- 1; 2)$ , $L (2; 6)$ , $M (5; 1)$ . Найдите все $N$ — четвёртые вершины параллелограмма.
* Вектор длины $15$ , сонаправленный ${- 3; 4}$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-048 · Координаты вектора

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Векторы», 20 ч · урок 4/20 · тип Н
Единицы → слайды	R04.4 «Координаты вектора» → 2, 4–22 · повторение (R04.2, R04.3, R03) → 3
Результаты	ПР-12 → 4–22 · ПР-9, ПР-10 (метод координат, опора) → 3, 13, 14
Виды деятельности	«Решать геометрические задачи с использованием векторов» → 10, 12, 19, 21 · «Вводить векторы как направленные отрезки, исследовать геометрический (перемещение) смысл» → 19 (задача 4)
ОГЭ	линия 18 → 20 (задачи 1, 2) · линия 19 → 20
Вне урока	действия над векторами в координатах — GEOM9U-049 (R04.5); базис — R04.7–R04.8; скалярное произведение — R04.9
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Координаты вектора

Сегодня вы научитесь

Раскладывать по i и j​

Находить координаты

Применять равенство векторов

Проверять коллинеарность и длину

Что понадобится сегодня

Шаги вдоль осей — координаты

Разложение существует и единственно

Считаем клетки от начала к концу

Образец: найдите координаты вектора a (клетка — 1).

Сам

Конец минус начало

Прямая и обратные задачи

Образец: A(−2;3), B(4;−1). Найдите координаты AB и BA.

Сам

Равные векторы — равные координаты

Параллелограмм по трём вершинам

Образец: ABCD — параллелограмм, A(−1;−2), B(3;−1), C(4;3). Найдите D.

Сам

Координаты пропорциональны

Задача с параметром

Образец: при каких m векторы a{m;2} и b{8;m} коллинеарны? При каком — сонаправлены?

Сам

Длина — расстояние от начала до конца

Обратная задача: два ответа

Образец: a{x;−4}, ∣a∣=5. Найдите x.

Сам

Всё о координатах вектора

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ABCD — параллелограмм, A(1;2), B(4;3), C(6;7). Найдите D.

б) A(−3;2), B(3;−6). Найдите AB.

в) При каком m векторы {m;3} и {12;m} противоположно направлены?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-048 · Координаты вектора

Раскладывать по $i$ и $j$

Образец: найдите координаты вектора $a$ (клетка — 1).

Образец: $A (- 2; 3)$ , $B (4; - 1)$ . Найдите координаты $A B$ и $B A$ .

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A (- 1; - 2)$ , $B (3; - 1)$ , $C (4; 3)$ . Найдите $D$ .

Образец: при каких $m$ векторы $a {m; 2}$ и $b {8; m}$ коллинеарны? При каком — сонаправлены?

Образец: $a {x; - 4}$ , $∣ a ∣ = 5$ . Найдите $x$ .

а) $A BC D$ — параллелограмм, $A (1; 2)$ , $B (4; 3)$ , $C (6; 7)$ . Найдите $D$ .

б) $A (- 3; 2)$ , $B (3; - 6)$ . Найдите $A B$ .

в) При каком $m$ векторы ${m; 3}$ и ${12; m}$ противоположно направлены?