Векторы · урок 3 из 20

Умножение вектора на число

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9U-047

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Векторы» (20 ч), урок 3/20, единица R04.3. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 2,5 · законы умножения 2 · доказательство распределительного закона 3 · коллинеарность 2,5 · схема-конспект 1,5.
Практика (32,5): разминка 3 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задание 4 повышенного уровня и третьи задания «сам» — в ДЗ; доказательство на слайде 7 не сокращать.

R04.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить вектор $k a$

по определению: длина и направление, на клетчатой бумаге (ПР-12)

Преобразовывать выражения

по законам умножения: раскрывать скобки, приводить подобные (ПР-12)

Узнавать коллинеарные векторы

и точки на одной прямой: $b = k a$ (ПР-12)

Решать задачи векторами

деление отрезка, средняя линия, перемещение и сила (ПР-12)

0,5 мин · теория
ПР-12: «Владеть понятием вектора. Уметь складывать и вычитать векторы, умножать на число, владеть правилами треугольника и параллелограмма. Владеть практическими интерпретациями векторов…».
Виды деятельности ФРП R04: знать определения суммы и разности векторов, умножения вектора на число, исследовать геометрический и физический смысл этих операций; решать геометрические задачи с использованием векторов.
Связь с ПР-5 (гомотетия): умножение всех векторов от центра на $k$ — это гомотетия с коэффициентом $k$ ; на доказательстве (слайд 7) это видно.

повторение: R04.1–R04.2

Разминка · устно

$A BC D$ — параллелограмм, $O$ — точка пересечения диагоналей

$A B + A D = ?$ $A C$
$A B - A D = ?$ $D B$
$A B + C D = ?$ $0$
Вектор, противоположный $O A$ ? $OC$
Чем похожи $A O$ и $A C$ ? сонаправлены, $A O = \frac{1}{2} A C$
Как построить $A B + A B$ ? отложить $A B$ от $B$

R04.3

Новый материал · определение

Произведение вектора на число

Произведение ненулевого $a$ на число $k \neq = 0$ — вектор $k a$ :

длина $∣ k a ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣$ ,
$k a ↑↑ a$ при $k > 0$ , $k a ↑↓ a$ при $k < 0$ .

$0 \cdot a = 0$ , $k \cdot 0 = 0$ , $(- 1) a = - a$ .

Векторы

k a

и

a

всегда коллинеарны.

2,5 мин · теория
По рисунку: $a$ — 2 клетки вправо, 1 вверх. $2 a$ — вдвое длиннее, то же направление; $\frac{1}{2} a$ — вдвое короче; $- 1, 5 a$ — в полтора раза длиннее и в противоположную сторону.
Вопрос классу: какой знак у $k$ , если $k a$ короче $a$ и противоположен ему? ( $- 1 < k < 0$ .) Чему равна длина $- 1, 5 a$ при $∣ a ∣ = 5$ ? ( $1, 55$ .)
Результат умножения — вектор, а не число. Частая путаница: писать $∣ - 2 a ∣ = - 2∣ a ∣$ (разберём на слайде ошибок).
Физический смысл: перемещение за время $t$ при скорости $v$ — это $t v$ ; сила $F = m a$ (слайд 12).

R04.3

Образец → сам · клетчатая бумага

Постройте вектор и найдите его длину

Образец: постройте $2 a - b$ и найдите его длину (клетка — 1).

$2 a$ : 4 вправо, 2 вверхвдвое длиннее, то же направление

от конца — $- b$ : 1 влево, 2 вверх $- b$ противоположен $b$

итог: 3 вправо, 4 вверхправило треугольника

$∣2 a - b ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5$ теорема Пифагора по клеткам

Сам (те же $a$ , $b$ )

Постройте $a + 2 b$ . Длина? $5$
Длина $3 a$ ? $35$
Длина $- \frac{1}{2} b$ ? $\frac{5}{2}$

R04.3

Новый материал · законы умножения

Для любых чисел $k$ , $l$ и векторов $a$ , $b$

Сочетательный

(k l) a = k (l a)

$2 \cdot (3 a) = 6 a$ длины и направления совпадают

Первый распределительный

(k + l) a = k a + l a

$2 a + 3 a = 5 a$ векторы на одной прямой

Второй распределительный

k (a + b) = k a + k b

$3 (a - b) = 3 a - 3 b$ доказательство — на следующем слайде

С векторными выражениями действуем как с алгебраическими: раскрываем скобки, приводим подобные.

R04.3

Новый материал · доказательство

Второй распределительный закон ( $k > 0$ )

Доказать:

k (a + b) = k a + k b

.

1

O A = a

,

A B = b

⇒

OB = a + b

правило треугольника

2

O A_{1} = k a

,

A_{1} B_{1} = k b

⇒

O B_{1} = k a + k b

A_{1}

на луче

O A

,

A_{1} B_{1} ∥ A B

,

O A_{1} = k O A

,

A_{1} B_{1} = k A B

3

∠ O A B = ∠ O A_{1} B_{1}

⇒

△ O A_{1} B_{1} \sim △ O A B

соответственные углы; две стороны пропорциональны (

k

) и угол между ними равен

4

B_{1}

на луче

OB

,

O B_{1} = k OB

⇒

O B_{1} = k (a + b)

∠ A_{1} O B_{1} = ∠ A OB

; сравнили с п. 2 — что и требовалось

3 мин · теория (учитель доказывает сам, класс отвечает на «почему?»)
Случай общего положения: $a$ и $b$ неколлинеарны. Если коллинеарны — $b = t a$ (или $a = 0$ ), и закон сводится к первому распределительному: $k (a + t a) = k (1 + t) a = k a + k t a$ .
Шаг 3: $\frac{O A _{1}}{O A} = \frac{A _{1} B _{1}}{A B} = k$ , углы при вершинах $A$ и $A_{1}$ равны как соответственные при $A B ∥ A_{1} B_{1}$ и секущей $O A_{1}$ — второй признак подобия.
Шаг 4: из подобия $∠ A_{1} O B_{1} = ∠ A OB$ и обе точки по одну сторону от $O A$ , значит, $B_{1}$ лежит на луче $OB$ , а $O B_{1} = k \cdot OB$ ; по определению $O B_{1} = k OB = k (a + b)$ .
При $k < 0$ рассуждение то же, но точки $A_{1}$ , $B_{1}$ — на продолжениях лучей за точку $O$ (треугольники центрально-подобны); $k = 0$ — обе части равны $0$ . Связь с гомотетией (ПР-5): $△ O A_{1} B_{1}$ — образ $△ O A B$ при гомотетии с центром $O$ .

R04.3

Новый материал · признак коллинеарности

Коллинеарный вектор — это $k a$

Теорема. Если

a \neq = 0

и

b ∥ a

, то существует единственное число

k

, что

b = k a

.

1

k = \frac{∣ b ∣}{∣ a ∣}

при

b ↑↑ a

,

k = - \frac{∣ b ∣}{∣ a ∣}

при

b ↑↓ a

тогда

k a

и

b

равны по длине и направлению

2

k a = l a

⇒

(k - l) a = 0

⇒

k = l

единственность:

a \neq = 0

Следствие:

A

,

B

,

C

на одной прямой ⇔

A C = k A B

.

R04.3

Образец → сам · деление отрезка

Точка делит отрезок: найдите число $k$

Образец: $M$ лежит на $A B$ , $A M : MB = 2 : 3$ . Выразите векторы через $A B$ .

$A M = \frac{2}{5} A B$ $A M$ — 2 части из 5, направление то же

$MB = \frac{3}{5} A B$ 3 части из 5, то же направление

$BM = - \frac{3}{5} A B$ противоположное направление — знак «−»

$A B = 2, 5 A M$ обратная задача: $5 : 2$

Сам: $K$ на $A B$ , $A K : K B = 3 : 1$

$A K = k A B$ , $k = ?$ $\frac{3}{4}$
$K B = k B A$ , $k = ?$ $- \frac{1}{4}$
$B K = k A K$ , $k = ?$ $- \frac{1}{3}$

R04.3

Образец → сам · векторы в параллелограмме

Выразите вектор через $a$ и $b$

Образец: $A B = a$ , $A D = b$ , $M$ — середина $BC$ , $C K : KD = 1 : 2$ . Найдите $M K$ .

$A M$ $= a + \frac{1}{2} b$ $BM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} b$

$A K$ $= b + \frac{2}{3} a$ $DK = \frac{2}{3} D C = \frac{2}{3} a$

$M K = A K - A M$ правило вычитания

$M K = - \frac{1}{3} a + \frac{1}{2} b$ привели подобные

Сам (тот же чертёж, $O$ — центр)

$D M = ?$ $a - \frac{1}{2} b$
$K B = ?$ $\frac{1}{3} a - b$
$O K = ?$ $\frac{1}{6} a + \frac{1}{2} b$

R04.3

Образец → сам · доказательство векторами

Теорема о средней линии треугольника

Образец: $M$ , $N$ — середины $A B$ и $BC$ . Докажите: $MN ∥ A C$ , $MN = \frac{1}{2} A C$ .

$MN$ $=$ $MB$ $+$ $BN$ правило треугольника

$= \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} BC$ $M$ , $N$ — середины

$= \frac{1}{2} (A B + BC) = \frac{1}{2} A C$ распределительный закон

$MN = \frac{1}{2} A C$ ⇒ $MN ∥ A C$ , $MN = \frac{1}{2} A C$ признак коллинеарности

Сам: докажите векторами

$M$ — середина $A B$ , $O$ — любая точка: $OM = \frac{1}{2} (O A + OB)$ . сложить $O A + A M$ и $OB + BM$
Середины сторон четырёхугольника — вершины параллелограмма. обе стороны равны $\frac{1}{2} A C$

R04.3 · физический смысл

Образец → сам · перемещение и сила

Физический смысл умножения на число

Образец: катер шёл 2,5 ч со скоростью $v$ , $∣ v ∣ = 12$ км/ч, затем 1 ч обратно с той же скоростью. Перемещение?

$s_{1} = 2, 5 v$ перемещение $=$ время $\cdot$ скорость

$s_{2} = 1 \cdot (- v) = - v$ обратно — противоположный вектор

$s = 2, 5 v - v = 1, 5 v$ первый распределительный закон

$∣ s ∣ = 1, 5 \cdot 12 = 18$ кмпуть при этом $30 + 12 = 42$ км

Сам

Самолёт 3 ч летит со скоростью $v$ , $∣ v ∣ = 800$ км/ч. Перемещение? $3 v$ , 2400 км
$F = m a$ , $m = 4$ кг, $∣ a ∣ = 2, 5$ м/с². $∣ F ∣$ ? $10$ Н, $F ↑↑ a$
Силу $∣ F ∣ = 7$ Н заменили на $- 3 F$ . Её модуль? $21$ Н, противоположно

R04.3

Схема-конспект

Вектор $k a$ при $a \neq = 0$

$k > 0$

$k a ↑↑ a$

длина $k ∣ a ∣$

$k < 0$

$k a ↑↓ a$

длина $∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣$

$k = 0$

$0 \cdot a = 0$

длина $0$

Законы:

(k l) a = k (l a)

,

(k + l) a = k a + l a

,

k (a + b) = k a + k b

Признак:

b ∥ a

⇔

b = k a

·

A

,

B

,

C

на прямой ⇔

A C = k A B

R04.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$∣ - 2 a ∣ = - 2∣ a ∣$	длина не бывает отрицательной: множитель берут по модулю	$∣ - 2 a ∣ = 2∣ a ∣$ , направление противоположное
$A M : MB = 1 : 2$ ⇒ $A M = \frac{1}{2} A B$	отношение частей — не доля целого: всего $1 + 2 = 3$ части	$A M = \frac{1}{3} A B$
там же: $BM = \frac{2}{3} A B$	$BM$ направлен от $B$ к $A$ — противоположно $A B$	$BM = - \frac{2}{3} A B$

R04.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $M$ — середина $BC$ . Выразите $A M$ через $a$ и $b$ .

$BC = a - b$ , $A M = \frac{3}{2} a - \frac{1}{2} b$

$BC = b - a$ , $A M = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$

б) Дано $A C = - 3 A B$ . Как расположены точки?

« $C$ лежит между $A$ и $B$ , так как $k < 0$ »

$A C ↑↓ A B$ : $A$ лежит между $B$ и $C$ , $A C = 3 A B$

в) Упростите $2 (a - 3 b) - 3 (a - b)$ .

$2 a - 6 b - 3 a - 3 b$

$= - a - 9 b$

$- 3 \cdot (- b) = + 3 b$ : $- a - 3 b$

R04.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $∣ a ∣ = 5$ . Найдите $∣ - 3 a ∣$ . $15$
базаУпростите $4 (a - b) - 2 (a - 3 b)$ . $2 a + 2 b$
база $b ↑↓ a$ , $∣ b ∣ = 6$ , $∣ a ∣ = 4$ . Найдите $k$ : $b = k a$ . $- 1, 5$

база $A BC D$ — параллелограмм, $O$ — центр. $A O = k A C$ , $k = ?$ $\frac{1}{2}$
базаТам же: $OB = k B D$ , $k = ?$ $- \frac{1}{2}$
базаНайдите $x$ : $3 x + a = b - x$ . $x = \frac{1}{4} (b - a)$

R04.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $a$ и $b$ неколлинеарны. При каком $x$ векторы $2 a + x b$ и $3 a - 6 b$ коллинеарны? $x = - 4$
повыш. $G$ — точка пересечения медиан $△ A BC$ , $A B = a$ , $A C = b$ . Найдите $A G$ . $\frac{1}{3} (a + b)$
повыш. $M$ на $A B$ , $A M : MB = 2 : 1$ , $O$ — любая точка. Выразите $OM$ через $O A$ и $OB$ . $\frac{1}{3} O A + \frac{2}{3} OB$
повыш.Трапеция $A BC D$ , $BC ∥ A D$ , $BC = \frac{1}{3} A D$ , $A B = a$ , $A D = b$ . Найдите $C D$ . $\frac{2}{3} b - a$

R04.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 19 и 24

Векторы помогают и на экзамене

как ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если $b = - 2 a$ , то $a$ и $b$ сонаправлены.
$∣3 a ∣ = 3∣ a ∣$ для любого $a$ .
$0 \cdot a = 0$ для любого $a$ .
Если $A B = 2 BC$ , то $B$ — середина $A C$ .

Ответ: 23

ОГЭ 24 $M$ , $N$ — середины диагоналей $A C$ и $B D$ трапеции $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ). Докажите: $MN ∥ A D$ .

$A M = \frac{1}{2} (A B + BC)$ , $A N = \frac{1}{2} (A B + A D)$

$MN = \frac{1}{2} (A D - BC) = \frac{1 - t}{2} A D$ , $t = \frac{BC}{A D}$ ⇒ $MN ∥ A D$

2,5 мин · практика
19) 1 — неверно ( $k < 0$ : противоположно направлены). 2 — верно. 3 — верно. 4 — неверно: $BC = \frac{1}{2} A B$ , точки идут в порядке $A$ , $B$ , $C$ , но $BC = \frac{1}{2} A B$ , а не $A B$ . В бланк — «23». На ОГЭ векторы в линии 19 встречаются редко — это тренировка формата.
24) $M$ — середина $A C$ : $A M = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} (A B + BC)$ ; $N$ — середина $B D$ : $A N = \frac{1}{2} (A B + A D)$ . $MN = A N - A M = \frac{1}{2} (A D - BC)$ . Так как $BC ↑↑ A D$ , $BC = t A D$ , $t = \frac{BC}{A D}$ , и $MN = \frac{1 - t}{2} A D$ — коллинеарен $A D$ ; $M \in / A D$ , значит, $MN ∥ A D$ . Бонус: $MN = \frac{1}{2} (A D - BC)$ ; на рисунке $A D = 8$ , $BC = 3$ , $MN = 2, 5$ .
Критерии ОГЭ 24: 2 балла — доказательство верное, все шаги обоснованы; 1 балл — доказательство в целом верное, но есть неточности.

R04.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$∣ a ∣ = 4$ . Найдите $∣ - 2, 5 a ∣$ . $10$
Упростите $3 (a - 2 b) + 2 (b - a)$ . $a - 4 b$
$△ A BC$ , $M$ — середина $BC$ , $A B = a$ , $A C = b$ . $A M = ?$ $\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$
$A C = - 2 A B$ . Как расположены $A$ , $B$ , $C$ ? $A$ между $B$ и $C$ , $A C = 2 A B$

Вариант 2

$∣ b ∣ = 6$ . Найдите $- \frac{2}{3} b$ . $4$
Упростите $2 (a + 3 b) - 4 (a - b)$ . $- 2 a + 10 b$
$A BC D$ — параллелограмм, $M$ — середина $C D$ , $A B = a$ , $A D = b$ . $A M = ?$ $\frac{1}{2} a + b$
$A B = 3 A C$ . Как расположены $A$ , $B$ , $C$ ? $C$ на отрезке $A B$ , $A C : CB = 1 : 2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти длину и направление $k a$ ?
Какие три закона умножения вы знаете?
Как векторами доказать, что прямые параллельны?

Домашнее задание

Упростите $5 (a - 2 b) - 3 (2 a - 3 b)$ .
$A BC D$ — параллелограмм, $K$ — середина $A D$ . Выразите $C K$ через $A B$ и $A D$ .
* $G$ — точка пересечения медиан $△ A BC$ . Докажите: $G A + GB + GC = 0$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-047 · Умножение вектора на число

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Векторы», 20 ч · урок 3/20 · тип Н
Единицы → слайды	R04.3 «Умножение вектора на число» → 2, 4–20 · повторение R04.1–R04.2 → 3
Результаты	ПР-12 (умножение вектора на число, практические интерпретации векторов) → 2–20 · ПР-5 (представление о гомотетии) → 7 (заметки)
Вне урока	координаты вектора — GEOM9U-048; действия в координатах — R04.5; центр масс — R04.6; базис и разложение — R04.7–R04.8
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Умножение вектора на число

Сегодня вы научитесь

Строить вектор ka

Преобразовывать выражения

Узнавать коллинеарные векторы

Решать задачи векторами

ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей

Произведение вектора на число

Постройте вектор и найдите его длину

Образец: постройте 2a−b и найдите его длину (клетка — 1).

Сам (те же a, b)

Для любых чисел k, l и векторов a, b

Сочетательный

Первый распределительный

Второй распределительный

Второй распределительный закон (k>0)

Коллинеарный вектор — это ka

Точка делит отрезок: найдите число k

Образец: M лежит на AB, AM:MB=2:3. Выразите векторы через AB.

Сам: K на AB, AK:KB=3:1

Выразите вектор через a и b

Образец: AB=a, AD=b, M — середина BC, CK:KD=1:2. Найдите MK.

Сам (тот же чертёж, O — центр)

Теорема о средней линии треугольника

Образец: M, N — середины AB и BC. Докажите: MN∥AC, MN=21​AC.

Сам: докажите векторами

Физический смысл умножения на число

Образец: катер шёл 2,5 ч со скоростью v, ∣v∣=12 км/ч, затем 1 ч обратно с той же скоростью. Перемещение?

Сам

Вектор ka при a=0

k>0

k<0

k=0

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) M — середина BC. Выразите AM через a и b.

б) Дано AC=−3AB. Как расположены точки?

в) Упростите 2(a−3b)−3(a−b).

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Векторы помогают и на экзамене

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-047 · Умножение вектора на число

Строить вектор $k a$

$A BC D$ — параллелограмм, $O$ — точка пересечения диагоналей

Образец: постройте $2 a - b$ и найдите его длину (клетка — 1).

Сам (те же $a$ , $b$ )

Для любых чисел $k$ , $l$ и векторов $a$ , $b$

Второй распределительный закон ( $k > 0$ )

Коллинеарный вектор — это $k a$

Точка делит отрезок: найдите число $k$

Образец: $M$ лежит на $A B$ , $A M : MB = 2 : 3$ . Выразите векторы через $A B$ .

Сам: $K$ на $A B$ , $A K : K B = 3 : 1$

Выразите вектор через $a$ и $b$

Образец: $A B = a$ , $A D = b$ , $M$ — середина $BC$ , $C K : KD = 1 : 2$ . Найдите $M K$ .

Сам (тот же чертёж, $O$ — центр)

Образец: $M$ , $N$ — середины $A B$ и $BC$ . Докажите: $MN ∥ A C$ , $MN = \frac{1}{2} A C$ .

Образец: катер шёл 2,5 ч со скоростью $v$ , $∣ v ∣ = 12$ км/ч, затем 1 ч обратно с той же скоростью. Перемещение?

Вектор $k a$ при $a \neq = 0$

$k > 0$

$k < 0$

$k = 0$

а) $M$ — середина $BC$ . Выразите $A M$ через $a$ и $b$ .

б) Дано $A C = - 3 A B$ . Как расположены точки?

в) Упростите $2 (a - 3 b) - 3 (a - b)$ .