Векторы · урок 2 из 20

Сложение и вычитание векторов

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9U-046

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Векторы» (20 ч), урок 2/20, единица R04.2 «Сложение и вычитание векторов – правила треугольника и параллелограмма». Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · правило треугольника 2 · правило параллелограмма (доказательство) 2,5 · законы и правило многоугольника 2 · разность (теорема) 2,5 · разность из общего начала 1,5 · сводка 1.
Практика (32,5): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 5 · итог 1.
Если не успеваете: образец 6 (силы) — в ДЗ, задания «сам» к нему разобрать в начале следующего урока; правила и доказательства не сокращать.

R04.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Складывать векторы

по правилам треугольника, параллелограмма и многоугольника (ПР-12)

Вычитать векторы

строить $a - b$ и противоположный вектор (ПР-12)

Доказывать

законы сложения и векторные равенства — по шагам

Находить длину суммы

через теорему косинусов; равнодействующая сил

0,5 мин · теория
ПР-12: «Владеть понятием вектора. Уметь складывать и вычитать векторы, умножать на число, владеть правилами треугольника и параллелограмма. Владеть практическими интерпретациями векторов…».
Вид деятельности ФРП R04: «Знать определения суммы и разности векторов… исследовать геометрический и физический смысл этих операций. Решать геометрические задачи с использованием векторов».
Умножение вектора на число — следующий урок (GEOM9U-047), сегодня его не используем.

повторение: GEOM9U-045

Разминка · устно

Векторы в параллелограмме

Вектор, равный $A B$ ? $D C$
Вектор с концами в вершинах, противоположный $A D$ ? $CB$ (и $D A$ )
$A C = 10$ . Найдите $∣ A O ∣$ $5$
Равны ли $A O$ и $OC$ ? да
Коллинеарны ли $A B$ и $C D$ ? да, противоположно направлены
Сколько ненулевых векторов задают вершины треугольника? $6$
Стороны $3$ и $5$ , угол между ними $12 0^{\circ}$ . Третья сторона? $7$

R04.2

Новый материал · правило треугольника

Сумма векторов: правило треугольника

От точки

A

отложим

A B = a

, от точки

B

—

BC = b

. Вектор

A C

— сумма

a + b

.

A B + BC = A C

для любых точек

A

,

B

,

C

; сумма не зависит от выбора

A

2 мин · теория
Щелчками строим: 1) от A откладываем вектор, равный $a$ ; 2) от его конца B — вектор, равный $b$ ; 3) соединяем начало первого с концом второго.
Почему сумма не зависит от точки A (углублённый уровень): если начать с $A_{1}$ , то $A A_{1} = B B_{1} = C C_{1}$ (каждый раз откладываем равные векторы), четырёхугольник $A C C_{1} A_{1}$ — параллелограмм, значит, $A_{1} C_{1} = A C$ .
Мнемоника: «конец первого — начало второго», средние буквы «сокращаются». Вопрос классу: чему равно $A B + B A$ ? ( $0$ .)

R04.2

Новый материал · правило параллелограмма · доказательство

Правило параллелограмма: $a + b = b + a$

Дано:

a

,

b

не коллинеарны. Доказать: сумма — диагональ параллелограмма,

a + b = b + a

.

1

A B = a

,

A D = b

; строим параллелограмм

A BC D

откладывание вектора от точки

2

BC = b

,

D C = a

противоположные стороны параллельны и равны

3

a + b = A B + BC = A C

правило треугольника

4

b + a = A D + D C = A C

значит,

A B + A D = A C

и

a + b = b + a

2,5 мин · теория
Правило параллелограмма: векторы откладываем от одной точки, сумма — диагональ из общего начала. Правило треугольника — «цепочкой».
На каждом шаге — вопрос классу «почему?». Цвет векторов на чертеже совпадает с цветом в строках.
Для коллинеарных векторов параллелограмма нет: переместительный закон проверяется правилом треугольника на одной прямой (сонаправленные — длины складываются, противоположные — вычитаются).

R04.2

Новый материал · законы сложения

Сочетательный закон и правило многоугольника

(a + b) + c = a + (b + c)

1

(a + b) + c = A C + C D

= A D

правило треугольника дважды

2

a + (b + c) = A B + B D

= A D

обе части равны

A D

Цепочка: сумма — от начала первого к концу последнего; замкнулась —

0

.

R04.2

Образец → сам · упростите сумму

Соберите цепочку и найдите сумму

Образец: упростите $C D + A B + D E + BC$ .

$= A B + BC + C D + D E$ переставили слагаемые

цепочка $A \to B \to C \to D \to E$ конец каждого — начало следующего

$= A E$ правило многоугольника

Сам: упростите

$K M + P K + MN$ $PN$
$A B + C A + BC$ $0$
$D E + B D + EF + A B$ $A F$

R04.2

Образец → сам · длина суммы

Длина суммы — по теореме косинусов

Образец: $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол между векторами $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ .

$A B = a$ , $A D = b$ , $A C = a + b$ правило параллелограмма

$∠ B = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ углы параллелограмма; $BC = 5$

$A C^{2} = 34 - 30 cos 12 0^{\circ} = 49$ теорема косинусов, $△ A BC$

$∣ a + b ∣ = 7$ , а не $3 + 5$

Сам: найдите $∣ a + b ∣$

$∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 4$ , угол $9 0^{\circ}$ $42$
$∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 6$ , угол $12 0^{\circ}$ $6$
$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол $12 0^{\circ}$ $19$

R04.2

Новый материал · разность векторов · доказательство

Противоположный вектор и разность

Разность

a - b

— вектор, сумма которого с

b

равна

a

.

- b

: та же длина, противоположное направление.

!Теорема:

a - b = a + (- b)

1

(a + (- b)) + b = a + ((- b) + b)

сочетательный закон

2

= a + 0 = a

- b + b = 0

: цепочка замкнулась

3значит,

a + (- b) = a - b

по определению разности

R04.2

Новый материал · разность из общего начала

Диагонали параллелограмма: сумма и разность

O A - OB = B A

из общего начала: от конца вычитаемого к концу уменьшаемого; проверка:

OB + B A = O A

a + b = A C

,

a - b = D B

R04.2

Образец → сам · упростите разность

Разность — через общее начало или противоположный вектор

Образец: упростите $K A - K B - C A$ .

$K A - K B = B A$ общее начало $K$

$- C A = A C$ противоположный вектор

$B A + A C = BC$ правило треугольника

Ответ: $BC$ проверка: $K B + BC + C A = K A$

Сам: упростите

$A B - A C$ $CB$
$A B - CB - D C$ $A D$
$O A - OB + OC - O A$ $BC$

R04.2

Образец → сам · выразите вектор

Правильный шестиугольник: всё через $a$ и $b$

Образец: $A BC D EF$ — правильный шестиугольник, $O$ — центр, $A B = a$ , $A F = b$ . Выразите $A O$ , $BC$ , $FB$ .

$A O = a + b$ $A BOF$ — ромб; правило параллелограмма

$BC = A O = a + b$ $A BCO$ — ромб: $BC ∥ A O$ , $BC = A O$

$FB = A B - A F = a - b$ общее начало $A$

Сам: выразите через $a$ , $b$

$OC$ $a$
$C D$ $b$
$CE$ $b - a$

R04.2

Образец → сам · докажите равенство

Векторное тождество для любых четырёх точек

Образец: докажите, что для любых точек $A$ , $B$ , $C$ , $D$ $A B + C D = A D + CB$ .

$A B = A D + D B$ правило треугольника

$C D = CB + B D$ правило треугольника

сумма $= A D + CB + 0$ законы сложения; $D B + B D = 0$

равенство доказано

Сам: докажите

$A B - C D = A C + D B$ вставьте точку $C$ :
$A B = A C + CB$
$A BC D$ — параллелограмм, $O$ — любая точка: $O A + OC = OB + O D$ ключ: $B A = C D$

R04.2

Образец → сам · задача из жизни

Равнодействующая сил — сумма векторов

Образец: два буксира тянут баржу с силами $6$ кН и $10$ кН, угол между тросами $6 0^{\circ}$ . Найдите равнодействующую.

$R = F_{1} + F_{2}$ правило параллелограмма

$R^{2} = 136 - 120 cos 12 0^{\circ}$ теорема косинусов

$R^{2} = 136 + 60 = 196$

$R = 14$ кН меньше, чем $6 + 10$

Сам: найдите

Лодка: $4$ км/ч поперёк реки, течение $3$ км/ч. Скорость относительно берега? $5$ км/ч
Две силы по $50$ Н, угол $12 0^{\circ}$ . Равнодействующая? $50$ Н
Две силы по $8$ Н, угол $6 0^{\circ}$ $83 \approx 13, 9$ Н

R04.2

Сводка · сложение и вычитание

Какое правило когда применять

Правило	Как отложить векторы	Результат
треугольника	цепочкой: конец первого — начало второго	$A B + BC = A C$
параллелограмма	от одной точки, не коллинеарны	$A B + A D = A C$ — диагональ
многоугольника	цепочкой из нескольких векторов	от начала первого к концу последнего
разность	от одной точки	$O A - OB = B A$
законы	переставлять и группировать	$a + b = b + a$ , $a - b = a + (- b)$

R04.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A B + A C = BC$	это не цепочка: общее начало — правило параллелограмма	$A B + A C = A D$ , $A B D C$ — параллелограмм
$O A - OB = A B$	разность направлена к концу уменьшаемого	$O A - OB = B A$
$∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$	верно, только если $a ↑↑ b$	теорема косинусов в параллелограмме

R04.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Упростите $A B - A C$ .

общее начало $A$

$A B - A C = BC$

стрелка — к концу уменьшаемого $B$ : $A B - A C = CB$

б) $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ , $a ⊥ b$ . Найдите $∣ a + b ∣$ .

$∣ a + b ∣ = 3 + 4 = 7$

длины не складываются: $3^{2} + 4^{2} = 5$

в) $A BC D$ — параллелограмм. Найдите $A B + BC$ .

по правилу параллелограмма

$A B + BC = B D$

это цепочка — правило треугольника: $A B + BC = A C$

R04.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $MN + N K$ $M K$
база $A B - A D$ $D B$
база $C A + A B + BC$ $0$
база $A B + BC - D C$ $A D$
базаКвадрат $A BC D$ , $A B = 3$ : $∣ A B + A D ∣$ $32$
базаПрямоугольник $A BC D$ , $A B = 5$ , $A D = 12$ : $∣ A B - A D ∣$ $13$

R04.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Упростите $(A B - C D) - (A C - B D)$ $0$
повыш. $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ , $∣ a + b ∣ = 3$ . Найдите $∣ a - b ∣$ $1$
повыш. $△ A BC$ равносторонний, сторона $2$ . Найдите $∣ A B + A C ∣$ $23$
доказать $A B + A D = A C$ , точки $A$ , $B$ , $D$ не на одной прямой. Докажите: $A BC D$ — параллелограмм $BC = A C - A B = A D$

R04.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17, 18 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 17Дан прямоугольник $A BC D$ , $A B = 9$ , $A D = 12$ . Найдите длину вектора $A B - A D$ . $15$

ОГЭ 19Какие утверждения верны?

Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору.
Длина суммы двух векторов всегда равна сумме их длин.
Для любых точек $A$ , $B$ , $C$ верно $A B + BC = A C$ .

Ответ: 13

ОГЭ 18На клетчатой бумаге с клетками $1 \times 1$ изображены векторы $a$ и $b$ . Найдите длину вектора $a - b$ .

Ответ: $5$

R04.2

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Упростите $PQ + RS + QR$ $PS$
Упростите $K A - K B$ $B A$
Упростите $A B - CB + C D$ $A D$
$∣ a ∣ = 7$ , $∣ b ∣ = 8$ , угол $6 0^{\circ}$ : $∣ a + b ∣$ $13$

Вариант 2

Упростите $BM + A B + MC$ $A C$
Упростите $OC - O D$ $D C$
Упростите $MN - K N + K P$ $MP$
$∣ a ∣ = 5$ , $∣ b ∣ = 8$ , угол $12 0^{\circ}$ : $∣ a + b ∣$ $7$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем правило треугольника отличается от правила параллелограмма?
Как построить $O A - OB$ ?
Когда $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ ?

Домашнее задание

Упростите $A B + D C - D B$ .
$∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 5$ , угол $6 0^{\circ}$ : $∣ a + b ∣$ и $∣ a - b ∣$ .
Докажите:
$A B + C D + EF = A F + CB + E D$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-046 · Сложение и вычитание векторов – правила треугольника и параллелограмма

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Векторы», 20 ч · урок 2/20 · тип Н
Единицы → слайды	R04.2 «Сложение и вычитание векторов – правила треугольника и параллелограмма» → 2, 4–22 · повторение R04.1 (равные, коллинеарные векторы) и теоремы косинусов → 3
Результаты	ПР-12 (сложение и вычитание векторов, правила треугольника и параллелограмма, практические интерпретации) → 4–22
Вне урока	умножение вектора на число — GEOM9U-047; координаты вектора — R04.4–R04.5; физический смысл, центр масс — R04.6 (здесь только равнодействующая, сл. 14)
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Сложение и вычитание векторов

Сегодня вы научитесь

Складывать векторы

Вычитать векторы

Доказывать

Находить длину суммы

Векторы в параллелограмме

Сумма векторов: правило треугольника

Правило параллелограмма: a+b=b+a

Сочетательный закон и правило многоугольника

Соберите цепочку и найдите сумму

Образец: упростите CD+AB+DE+BC.

Сам: упростите

Длина суммы — по теореме косинусов

Образец: ∣a∣=3, ∣b∣=5, угол между векторами 60∘. Найдите ∣a+b∣.

Сам: найдите ∣a+b∣

Противоположный вектор и разность

Диагонали параллелограмма: сумма и разность

Разность — через общее начало или противоположный вектор

Образец: упростите KA−KB−CA.

Сам: упростите

Правильный шестиугольник: всё через a и b

Образец: ABCDEF — правильный шестиугольник, O — центр, AB=a, AF=b. Выразите AO, BC, FB.

Сам: выразите через a, b

Векторное тождество для любых четырёх точек

Образец: докажите, что для любых точек A, B, C, D AB+CD=AD+CB.

Сам: докажите

Равнодействующая сил — сумма векторов

Образец: два буксира тянут баржу с силами 6 кН и 10 кН, угол между тросами 60∘. Найдите равнодействующую.

Сам: найдите

Какое правило когда применять

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Упростите AB−AC.

б) ∣a∣=3, ∣b∣=4, a⊥b. Найдите ∣a+b∣.

в) ABCD — параллелограмм. Найдите AB+BC.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-046 · Сложение и вычитание векторов – правила треугольника и параллелограмма

Правило параллелограмма: $a + b = b + a$

Образец: упростите $C D + A B + D E + BC$ .

Образец: $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол между векторами $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ .

Сам: найдите $∣ a + b ∣$

Образец: упростите $K A - K B - C A$ .

Правильный шестиугольник: всё через $a$ и $b$

Образец: $A BC D EF$ — правильный шестиугольник, $O$ — центр, $A B = a$ , $A F = b$ . Выразите $A O$ , $BC$ , $FB$ .

Сам: выразите через $a$ , $b$

Образец: докажите, что для любых точек $A$ , $B$ , $C$ , $D$ $A B + C D = A D + CB$ .

Образец: два буксира тянут баржу с силами $6$ кН и $10$ кН, угол между тросами $6 0^{\circ}$ . Найдите равнодействующую.

а) Упростите $A B - A C$ .

б) $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ , $a ⊥ b$ . Найдите $∣ a + b ∣$ .

в) $A BC D$ — параллелограмм. Найдите $A B + BC$ .