Векторы · урок 1 из 20

Векторы на плоскости

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9U-045

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Векторы» (20 ч), урок 1/20, единица R04.1 «Векторы на плоскости». Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 2 · смысл (перемещение, сила) 2 · коллинеарные 1,5 · равные и откладывание 1,5 · теорема (доказательство) 3 · сводка 1,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · задача из жизни 2 · самостоятельная 5 · итог 1.
Сложение и вычитание векторов — следующий урок (GEOM9U-046); сегодня только понятия, равенство векторов и их длины. Если не успеваете: образец 5 (подсчёт векторов) — в ДЗ, определения и доказательство не сокращать.

R04.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое вектор

направленный отрезок, длина, нулевой вектор; перемещение и сила (ПР-12)

Распознавать векторы

коллинеарные, сонаправленные, противоположно направленные, равные

Доказывать равенство векторов

через параллелограмм и через общую середину отрезков

Считать длины

по клеткам и по координатам концов, решать задачи ОГЭ 17–19

повторение: метод координат

Разминка · устно

Четырёхугольник на координатной плоскости

Длина $A D$ ? $5$
Длина $A B$ ? $3^{2} + 4^{2} = 5$
Середина $A C$ ? $(5; 3)$
Середина $B D$ ? $(5; 3)$
Что за фигура $A BC D$ ? Почему? ромб: диагонали делятся пополам, $A B = A D$
«Катер прошёл $5$ км от пристани». Где он? неизвестно: нужно направление

R04.1

Определение · вектор и его длина

Вектор — направленный отрезок

Вектор — отрезок, у которого указано, какая точка — начало, какая — конец.

A B

,

a

обозначения

∣ A B ∣ = A B

длина (модуль)

MM = 0

,

∣ 0 ∣ = 0

нулевой вектор

R04.1

Смысл вектора · перемещение и сила

Величина + направление

Скалярные: число	Векторные: число и направление
масса, время	перемещение
длина, площадь	сила, скорость
температура	ускорение

Геометрический смысл — перемещение точки

P

в

Q

; физический — сила: модуль, направление, точка приложения.

R04.1

Образец → сам · длина вектора

Длина вектора по клеткам и по координатам

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите $∣ a ∣$ .

$4$ вправо, $3$ вверх клетки от начала к концу

катеты $4$ и $3$ вектор — гипотенуза

$∣ a ∣ = 4^{2} + 3^{2} = 5$ теорема Пифагора

Сам: найдите длину вектора

$6$ клеток вправо, $8$ вниз $10$
$5$ влево, $12$ вверх $13$
$2$ вправо, $2$ вверх $22$
$A B$ : $A (- 1; 3)$ , $B (2; - 1)$ $5$

R04.1

Определение · коллинеарные векторы

Коллинеарные, сонаправленные, противоположные

Коллинеарные — ненулевые векторы на одной прямой или на параллельных прямых.

a ↑↑ b

сонаправлены

a ↑↓ c

противоположно направлены

d

не коллинеарен

a

. Нулевой вектор считают коллинеарным любому.

R04.1

Образец → сам · коллинеарные векторы

Векторы с концами в вершинах фигуры

Образец: $A BC D$ — трапеция, $A D ∥ BC$ . Какие векторы коллинеарны $A D$ ?

$BC ↑↑ A D$ основания параллельны, обход в одну сторону

$CB, D A ↑↓ A D$ те же прямые, обратный обход

$A B$ — только с $B A$ боковые стороны не параллельны

Сам: правильный шестиугольник

Векторы, равные $A B$ $FO, OC, E D$
Вектор $↑↑ A B$ и вдвое длиннее $FC$
$A D$ и $BC$ коллинеарны? да, $↑↑$

R04.1

Определение · равные векторы

Равные векторы и откладывание от точки

Равные векторы: сонаправлены и имеют равные длины.

a = b ⟺ a ↑↑ b, ∣ a ∣ = ∣ b ∣

От любой точки

M

можно отложить вектор, равный

a

, и только один.

MN = A B

A BNM

— параллелограмм

R04.1 · углублённый

Теорема · доказательство

Признак равенства векторов через середины

Теорема.

A B = C D ⟺

середины отрезков

A D

и

BC

совпадают.

1Не на одной прямой:

A B ∥ C D

,

A B = C D

,

A B ↑↑ C D

определение равных векторов

2

A B D C

— параллелограммдве стороны параллельны и равны;

B

и

D

по одну сторону от

A C

3диагонали

A D

и

BC

делятся точкой

O

пополамсвойство параллелограмма

4Обратно: общая середина

O

⇒

A B D C

— параллелограмм ⇒

A B = C D

признак по диагоналям

5На одной прямой:

b - a = d - c ⟺ \frac{a + d}{2} = \frac{b + c}{2}

координаты точек на прямой

3 мин · теория
Шаг 2: важен порядок вершин — $A B D C$ , а не $A BC D$ . Так как $A B ↑↑ C D$ , точки $B$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $A C$ , и четырёхугольник $A B D C$ не самопересекающийся.
Шаг 4: в параллелограмме $A B D C$ противоположные стороны $A B$ и $C D$ параллельны и равны, а обход $A \to B$ и $C \to D$ идёт в одну сторону — векторы равны.
Шаг 5: ось на прямой, $a$ , $b$ , $c$ , $d$ — координаты точек; на чертеже $a = 1$ , $c = 3$ , $b = 4$ , $d = 6$ : $4 - 1 = 6 - 3$ , середина $3, 5$ у обоих отрезков.
Следствие (сегодня в задачах): равенство векторов по координатам точек проверяем через середины — как в разминке. Координаты вектора — уроки GEOM9U-048 и далее.

R04.1

Образец → сам · равные векторы в координатах

Найти точку по равенству векторов

Образец: $A (1; 2)$ , $B (4; 3)$ , $C (- 2; 0)$ . Найдите $D$ , если $A B = C D$ .

середина $BC$ : $(1; 1, 5)$ она же середина $A D$

$x_{D} = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ $x_{D} = 2 x_{O} - x_{A}$

$y_{D} = 2 \cdot 1, 5 - 2 = 1$ $y_{D} = 2 y_{O} - y_{A}$

$D (1; 1)$ проверка: смещения $(+ 3; + 1)$

Сам

$A (0; 0)$ , $B (2; 3)$ , $C (1; - 1)$ , $D (3; 2)$ . Равны ли $A B$ и $C D$ ? да: середины $(1, 5; 1)$
$A (1; 1)$ , $B (3; 4)$ , $C (0; 2)$ , $D (2; 6)$ . Равны ли? нет: $(1, 5; 3, 5) \neq = (1, 5; 3)$
$M (2; - 1)$ , $N (5; 3)$ , $K (- 1; 4)$ . Найдите $P$ : $MN = K P$ $P (2; 8)$

R04.1 · углублённый

Образец → сам · доказательство равенства

Докажите, что векторы равны

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $M$ и $N$ — середины $BC$ и $A D$ . Докажите: $A M = NC$ .

$A N = MC$ и $A N ∥ MC$ половины равных сторон $A D$ и $BC$ ; $A D ∥ BC$

$A NCM$ — параллелограмм две стороны параллельны и равны

$A M ∥ NC$ , $A M = NC$ ⇒ $A M = NC$ противоположные стороны, обход в одну сторону

Сам: докажите (план и обоснования)

По тому же чертежу: $BN = M D$ $BM D N$ — параллелограмм
$O$ — точка пересечения диагоналей $A BC D$ : $A O = OC$ $O$ — середина $A C$ , $↑↑$
$M$ , $N$ , $K$ — середины $A B$ , $A C$ , $BC$ в $△ A BC$ : $MN = B K$ средняя линия: $MN = \frac{1}{2} BC = B K$

3 мин · практика
Образец: план «параллелограмм → противоположные стороны». Не писать «на рисунке видно, что $A M ∥ NC$ » — это и надо доказать.
1) $BM = N D$ (половины), $BM ∥ N D$ ⇒ $BM D N$ — параллелограмм ⇒ $BN ∥ M D$ , $BN = M D$ , обход сонаправлен.
2) Диагонали параллелограмма делятся пополам: $A O = OC$ , точки на одной прямой, $O$ между $A$ и $C$ ⇒ векторы сонаправлены и равны.
3) $MN$ — средняя линия: $MN ∥ BC$ , $MN = \frac{1}{2} BC = B K$ ; направления $M \to N$ и $B \to K$ одинаковы ( $MN K B$ — параллелограмм). Можно и по теореме о серединах.

R04.1 · углублённый

Образец → сам · сколько различных векторов

Считаем векторы с учётом равенства

Образец: сколько различных ненулевых векторов задают вершины параллелограмма $A BC D$ ?

упорядоченных пар вершин: $4 \cdot 3 = 12$ начало — любая из 4, конец — любая из 3 оставшихся

совпадают: $A B = D C$ , $B A = C D$ , $A D = BC$ , $D A = CB$ диагонали равных пар не дают

$12 - 4 = 8$ различных векторов

Сам: сколько различных ненулевых векторов задают

вершины треугольника $6$
точки $A$ , $B$ , $C$ на прямой, $B$ — середина $A C$ $4$
вершины параллелограмма и точка $O$ пересечения диагоналей $12$

R04.1

Сводка · понятия урока

Понятие → как проверить

Понятие	Запись	Как проверить
Длина	$∣ A B ∣ = A B$	клетки или $(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
Нулевой вектор	$AA = 0$ , $∣ 0 ∣ = 0$	начало совпадает с концом
Коллинеарные	$a ↑↑ b$ или $a ↑↓ b$	одна прямая или параллельные прямые
Равные	$a = b$	$↑↑$ и равные длины
$A B = C D$	$A B D C$ — параллелограмм	середины $A D$ и $BC$ совпадают

R04.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A B = B A$ , ведь $A B = B A$	длины равны, направления противоположны	$A B ↑↓ B A$ , не равны
$∣ a ∣ = ∣ b ∣ \Rightarrow a = b$	не проверено направление	ещё нужно $a ↑↑ b$
$A B = C D \Rightarrow A BC D$ — параллелограмм	перепутан порядок вершин	$A B D C$ — параллелограмм (или точки на одной прямой)
$0$ не коллинеарен ни одному вектору	у $0$ нет направления — соглашение	$0$ коллинеарен любому вектору

R04.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A BC D$ — трапеция, $A D ∥ BC$ , $A D = 8$ , $BC = 5$ .

$A D ↑↑ BC$ ,

значит, $A D = BC$

сонаправлены, но $∣ A D ∣ = 8 \neq = 5$ — не равны

б) $A (1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $C (0; 0)$ , $D (2; 3)$ . Равны ли $A B$ и $C D$ ?

середины $A C$ и $B D$ : $(0, 5; 1)$ и $(2, 5; 4)$

разные ⇒ не равны

сравнивать надо $A D$ и $BC$ : обе $(1, 5; 2, 5)$ ⇒ равны

в) $A BC D$ — квадрат. Сонаправлены ли $A C$ и $B D$ ?

диагонали квадрата равны,

значит, $A C ↑↑ B D$

диагонали перпендикулярны — векторы не коллинеарны

R04.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаВектор: $9$ клеток вправо, $12$ вверх. Его длина? $15$
база $A (2; - 1)$ , $B (- 4; 7)$ . Найдите $∣ A B ∣$ $10$
база $A BC D$ — ромб. Равны ли $A B$ и $D C$ ? да
базаПрямоугольник $A BC D$ , $A B = 5$ , $BC = 12$ . $∣ A C ∣$ и $∣ D B ∣$ ? $13$ и $13$
базаЕсть ли коллинеарные среди $A B$ , $BC$ , $C A$ в $△ A BC$ ? нет
базаЧему равна длина $KK$ ? $0$

R04.1 · углублённый

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A (- 1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $C (2; - 3)$ . Найдите $D$ : $A B = D C$ $D (- 2; - 6)$
повыш. $A$ , $B$ , $C$ , $D$ на прямой по порядку, $A B = BC = C D$ . Сколько различных ненулевых векторов они задают? $6$
повыш.Докажите: если $A B = C D$ , то $A C = B D$ . оба равенства ⇔ общая середина $A D$ и $BC$
из жизниКатер прошёл $6$ км на восток, затем $8$ км на север. Путь и длина перемещения? $14$ км и $10$ км

R04.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17, 18 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 17Диагонали ромба $A BC D$ равны $16$ и $12$ . Найдите длину вектора $A B$ . $10$

ОГЭ 19Какие утверждения верны?

Равные векторы имеют равные длины.
Коллинеарные векторы всегда равны.
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Векторы на параллельных прямых сонаправлены.

Ответ: 13

ОГЭ 18На клетчатой бумаге с клетками $1 \times 1$ изображён вектор $a$ . Найдите его длину.

Ответ: $10$

R04.1 · практика

Задача из жизни · перемещение дронов

Клетка — $1$ км, ось $x$ — на восток, $y$ — на север

Дрон 1 перелетел из $A$ в $B$ . Длина перемещения? $5$ км
Дрон 2 — из $C$ в $D$ . Равны ли перемещения дронов? да: $3$ км на восток, $4$ на север
Дрон 3 стартовал из $K$ с тем же перемещением. Где финиш? $(1; 5)$
Дрон 1 летел $3$ км на восток, потом $4$ км на север. Путь? $7$ км, а перемещение $5$ км

R04.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вектор: $5$ клеток вправо, $12$ вниз. Длина? $13$
$A (1; - 2)$ , $B (7; 6)$ . Найдите $∣ A B ∣$ $10$
$A (0; 1)$ , $B (3; 5)$ , $C (- 2; - 1)$ , $A B = C D$ . Найдите $D$ $D (1; 3)$
$A BC D$ — ромб. Верно ли, что $A B = BC$ ? нет: не коллинеарны

Вариант 2

Вектор: $8$ клеток влево, $15$ вверх. Длина? $17$
$A (- 3; 2)$ , $B (3; - 6)$ . Найдите $∣ A B ∣$ $10$
$A (2; 0)$ , $B (5; - 4)$ , $C (1; 3)$ , $A B = C D$ . Найдите $D$ $D (4; - 1)$
$A BC D$ — параллелограмм. Верно ли, что $BC = A D$ ? да

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем вектор отличается от отрезка?
Какие векторы называют равными?
Как по координатам точек проверить, что $A B = C D$ ?

Домашнее задание

Сколько различных ненулевых векторов задают вершины правильного шестиугольника?
$A (- 2; 1)$ , $B (1; 5)$ , $C (4; - 1)$ : найдите $D$ , если $A B = C D$ , и $∣ C D ∣$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-045 · Векторы на плоскости

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Векторы», 20 ч · урок 1/20 · тип Н
Единицы → слайды	R04.1 «Векторы на плоскости» → 2, 4–22 · повторение метода координат (R03) → 3
Результаты	ПР-12 (понятие вектора, практические интерпретации) → 4–22
Вне урока	сложение и вычитание — GEOM9U-046 (R04.2); умножение на число — R04.3; координаты вектора — R04.4 (здесь только смещения по клеткам и середины отрезков)
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Векторы на плоскости

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое вектор

Распознавать векторы

Доказывать равенство векторов

Считать длины

Четырёхугольник на координатной плоскости

Вектор — направленный отрезок

Величина + направление

Длина вектора по клеткам и по координатам

Образец: клетка 1×1. Найдите ∣a∣.

Сам: найдите длину вектора

Коллинеарные, сонаправленные, противоположные

Векторы с концами в вершинах фигуры

Образец: ABCD — трапеция, AD∥BC. Какие векторы коллинеарны AD?

Сам: правильный шестиугольник

Равные векторы и откладывание от точки

Признак равенства векторов через середины

Найти точку по равенству векторов

Образец: A(1;2), B(4;3), C(−2;0). Найдите D, если AB=CD.

Сам

Докажите, что векторы равны

Образец: ABCD — параллелограмм, M и N — середины BC и AD. Докажите: AM=NC.

Сам: докажите (план и обоснования)

Считаем векторы с учётом равенства

Образец: сколько различных ненулевых векторов задают вершины параллелограмма ABCD?

Сам: сколько различных ненулевых векторов задают

Понятие → как проверить

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ABCD — трапеция, AD∥BC, AD=8, BC=5.

б) A(1;2), B(3;5), C(0;0), D(2;3). Равны ли AB и CD?

в) ABCD — квадрат. Сонаправлены ли AC и BD?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

Клетка — 1 км, ось x — на восток, y — на север

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-045 · Векторы на плоскости

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите $∣ a ∣$ .

Образец: $A BC D$ — трапеция, $A D ∥ BC$ . Какие векторы коллинеарны $A D$ ?

Образец: $A (1; 2)$ , $B (4; 3)$ , $C (- 2; 0)$ . Найдите $D$ , если $A B = C D$ .

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $M$ и $N$ — середины $BC$ и $A D$ . Докажите: $A M = NC$ .

Образец: сколько различных ненулевых векторов задают вершины параллелограмма $A BC D$ ?

а) $A BC D$ — трапеция, $A D ∥ BC$ , $A D = 8$ , $BC = 5$ .

б) $A (1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $C (0; 0)$ , $D (2; 3)$ . Равны ли $A B$ и $C D$ ?

в) $A BC D$ — квадрат. Сонаправлены ли $A C$ и $B D$ ?

Клетка — $1$ км, ось $x$ — на восток, $y$ — на север