Метод координат · урок 10 из 10

Метод координат: обобщение и систематизация

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9U-044 · единицы R03.1–R03.7

1 мин · теория (орг. момент, тема, план урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Метод координат» (10 ч), урок 10/10, тип О (обобщение и систематизация), единицы R03.1–R03.7.
Теория (12): титул 1 · цели 1 · сводка «прямая» 2,5 · сводка «окружность и пересечения» 2,5 · сводка «расстояние и площадь» 2,5 · алгоритм метода координат 2,5.
Практика (33): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 × 4 + 3 = 13 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · задача из жизни 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Сводки — не новый материал: ученики называют формулы сами, учитель открывает карточки по щелчку.
Если не успеваете: третье задание «сам» в образцах 3–5 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать (это контроль по всей теме).

R03.1–R03.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Работать с прямой

составлять уравнение, читать $k$ и $m$ , проверять $∥$ и $⊥$ (ПР-9)

Работать с окружностью

находить центр и радиус, точки пересечения с прямой и окружностью (ПР-10)

Считать в координатах

расстояние от точки до прямой, площадь параллелограмма и треугольника (ПР-10)

Решать методом координат

доказывать теоремы и решать практические задачи (ПР-9, ПР-11)

повторение: уроки 35–43

Разминка · устно

Восемь коротких вопросов

$k$ прямой $y = - 3 x + 2$ $- 3$
$k$ и $m$ прямой $2 x - y + 5 = 0$ $k = 2$ , $m = 5$
$y = 2 x + 1$ и $4 x - 2 y + 7 = 0$ параллельны? да
$k$ прямой, перпендикулярной $y = \frac{1}{2} x$ $- 2$

Центр и радиус $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 16$ $(3; - 1)$ , $4$
$A (3; 4)$ лежит на $x^{2} + y^{2} = 25$ ? да
Середина $A B$ : $A (- 2; 5)$ , $B (4; 1)$ $(1; 3)$
$A B$ : $A (1; 1)$ , $B (4; 5)$ $5$

R03.1 · R03.2

Сводка · уравнение прямой

Прямая: общий вид и угловой коэффициент

Общий вид и вид с $k$

a x + b y + c = 0, y = k x + m

$k = tg α$ , $m$ — точка $(0; m)$ на оси $O y$

Через две точки

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Взаимное расположение

$∥$ : $k_{1} = k_{2}$ , $m_{1} \neq = m_{2}$ ; $⊥$ : $k_{1} k_{2} = - 1$

$k > 0$ — функция возрастает, $k < 0$ — убывает

2,5 мин · теория
Чертёж точный: y = ½x + 1 (navy) и параллельная y = ½x − 1,5 (бирюзовая, пунктир). Ступенька: вправо на 2, вверх на 1 ⇒ k = 1/2 = tg α; α ≈ 26,6° (по калькулятору).
Вопрос классу: какую прямую нельзя записать в виде y = kx + m? (Вертикальную x = c: b = 0 в общем виде.)
Перпендикулярность k₁k₂ = −1 выводили на уроке 36 (поворот прямоугольного треугольника на 90°); для вертикальной и горизонтальной прямых правило не применяется — они перпендикулярны всегда.

R03.3 · R03.4

Сводка · окружность и пересечения

Окружность, прямая и общие точки

Уравнение окружности

(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = R^{2}

$x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ — выделить полные квадраты

Прямая и окружность

система: подстановка, число корней = число общих точек; или сравнить $d$ и $R$

Две окружности

вычесть одно уравнение из другого — получится прямая через общие точки

2,5 мин · теория
Чертёж: окружность с центром O(2; 1), R = 3; три параллельные прямые x + y = c на расстояниях 1,5 (две точки), 3 (касание, радиус ⟂ касательной) и 4,3 (нет общих точек).
Уравнение x² + y² + Dx + Ey + F = 0 задаёт окружность, только если после выделения квадратов справа положительное число; 0 — точка, отрицательное — пустое множество.
Две окружности: x² и y² сокращаются, остаётся линейное уравнение — прямая, на которой лежат общие точки (урок 38).

R03.5 · R03.6

Сводка · расстояние и площадь

Две формулы, которые экономят время

От $M (x_{0}; y_{0})$ до $a x + b y + c = 0$

d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

Параллелограмм на $O A$ и $OB$

S = ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣

треугольник $O A B$ : $S = \frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$

Ориентированная площадь

$x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} > 0$ : от $O A$ к $OB$ — против часовой стрелки; $< 0$ — по часовой

R03.7

Сводка · алгоритм метода координат

Как решать задачу методом координат

Ось симметрии — по оси

O y

, основание — по оси

O x

: координаты получаются короче.

1

Удачно ввести систему координат: вершина — в начало, стороны — по осям

2

Записать координаты точек буквами: $A (- a; 0)$ , $C (0; h)$ …

3

Перевести условие на язык формул: длины, середины, уравнения

4

Вычислить и вернуться к геометрии: сформулировать вывод

R03.1 · R03.2

Образец → сам · уравнение прямой

Прямая через две точки и перпендикуляр к ней

Образец: $A (1; 2)$ , $B (5; 4)$ . Уравнения $A B$ и серединного перпендикуляра к $A B$ .

$k = \frac{4 - 2}{5 - 1} = \frac{1}{2}$ через две точки

$A B : y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ подставили $A$

$M (3; 3)$ , $k_{⊥} = - 2$ $k_{1} k_{2} = - 1$

$y = - 2 x + 9$ через $M$

Сам

Прямая через $(- 1; 4)$ и $(2; - 2)$ $y = - 2 x + 2$
Через $P (2; - 1)$ параллельно $3 x - y + 4 = 0$ $y = 3 x - 7$
Через $P (4; 1)$ перпендикулярно $y = 2 x - 3$ $y = - \frac{1}{2} x + 3$

R03.3

Образец → сам · уравнение окружности

Выделяем полные квадраты

Образец: центр и радиус окружности $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 3 = 0$ .

$(x^{2} - 6 x + 9) + (y^{2} + 4 y + 4) = 3 + 9 + 4$

$(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$ полные квадраты

центр $(3; - 2)$ , $R = 4$

Сам

Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y + 8 = 0$ $(- 1; 4)$ , $R = 3$
Окружность с диаметром $A B$ : $A (- 1; 2)$ , $B (5; - 6)$ $(x - 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$
При каких $F$ уравнение $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + F = 0$ задаёт окружность? $F < 5$

R03.4

Образец → сам · точки пересечения

Окружность и прямая: решаем систему

Образец: общие точки $x^{2} + y^{2} = 25$ и $x - y + 1 = 0$ .

$y = x + 1$ выразили

$x^{2} + (x + 1)^{2} = 25$

$x^{2} + x - 12 = 0$ , $x = 3$ или $x = - 4$

$(3; 4)$ , $(- 4; - 3)$

Сам

Общие точки $x^{2} + y^{2} = 10$ и $y = 3 x$ $(1; 3)$ , $(- 1; - 3)$
Сколько общих точек у $(x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ и $y = x + 3$ ? ни одной
Общие точки $x^{2} + y^{2} = 25$ и $(x - 6)^{2} + y^{2} = 13$ $(4; 3)$ , $(4; - 3)$

R03.5 · R03.6

Образец → сам · площадь и высота в координатах

Параллелограмм по трём вершинам

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A (1; 1)$ , $B (5; 2)$ , $D (2; 4)$ . Найдите $C$ , $S$ и высоту к $A B$ .

смещения: $A B (4; 1)$ , $A D (1; 3)$

$C = (5 + 1; 2 + 3) = (6; 5)$

$S = ∣4 \cdot 3 - 1 \cdot 1∣ = 11$

$h = \frac{S}{A B} = \frac{11}{17}$ $\approx 2, 67$

Сам

Площадь параллелограмма $O A CB$ при $A (5; 2), B (1; 3)$ $13$
$S_{△ A BC}$ : $A (0; 0)$ , $B (6; 2)$ , $C (2; 5)$ $13$
Ориентированная площадь для $A (1; 3)$ , $B (4; 1)$ — знак и обход $- 11$ , по часовой

R03.7

Образец → сам · доказательство методом координат

Диагонали и стороны параллелограмма

Образец: докажите, что $A C^{2} + B D^{2} = 2 (A B^{2} + A D^{2})$ .

$A C^{2} = (a + b)^{2} + c^{2}$ , $B D^{2} = (b - a)^{2} + c^{2}$ расстояние

$A C^{2} + B D^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2}$ раскрыли скобки

$= 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 2 (A B^{2} + A D^{2})$ ∎

Сам

Стороны параллелограмма $5$ и $7$ , одна диагональ $8$ . Найдите другую. $221$
Докажите: середина гипотенузы равноудалена от вершин. $C (0; 0)$ , $A (2 a; 0)$ , $B (0; 2 b)$
$A BC D$ — прямоугольник, $M$ — любая точка. Докажите: $M A^{2} + M C^{2} = M B^{2} + M D^{2}$ . обе части $= x^{2} + y^{2} + (x - a)^{2} + (y - b)^{2}$

3 мин · практика
Образец — по алгоритму: 1) A в начало, AB по оси Ox; 2) B(a; 0), D(b; c), C(a + b; c) — C получена сдвигом B на смещение AD; 3) AB² = a², AD² = b² + c²; 4) вывод — теорема о сумме квадратов диагоналей.
1) d² = 2(25 + 49) − 64 = 84 ⇒ d = √84 = 2√21 ≈ 9,17.
2) M(a; b): MC² = a² + b², MA² = (a − 2a)² + b² = a² + b², MB² = a² + (b − 2b)² = a² + b² ⇒ MA = MB = MC. Координаты 2a и 2b берём, чтобы середина была без дробей.
3) A(0; 0), B(a; 0), C(a; b), D(0; b), M(x; y): MA² + MC² = x² + y² + (x − a)² + (y − b)²; MB² + MD² = (x − a)² + y² + x² + (y − b)² — равны.

R03.1–R03.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$2 x + 3 y - 6 = 0$ : $k = 2$	$k$ читают только в виде $y = k x + m$	$y = - \frac{2}{3} x + 2$ , $k = - \frac{2}{3}$
$⊥ y = 3 x + 1$ : $k = - 3$	условие $k_{1} k_{2} = - 1$ , а не «смена знака»	$k = - \frac{1}{3}$
$(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ : центр $(2; - 1)$ , $R = 9$	знаки координат центра противоположны; справа $R^{2}$	центр $(- 2; 1)$ , $R = 3$
$A (4; 1)$ , $B (2; 3)$ : $S = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 5$	перемножают «крест-накрест»: $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$	$S = ∣4 \cdot 3 - 2 \cdot 1∣ = 10$

R03.3 · R03.5

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. Сколько общих точек у окружности $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 3 = 0$ и прямой $3 x + 4 y + 19 = 0$ ?

1) $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 3 + 4 + 9 = 16$

2)Центр $(2; - 3)$ , радиус $R = 16$ .

3) $d = \frac{∣3 \cdot 2 + 4 \cdot ( - 3 ) + 19∣}{5} = 2, 6$

Ответ: $d < R$ — две общие точки.

Шаг 2: центр

(- 2; 3)

,

R = 4

.

Верно:

d = \frac{25}{5} = 5 > 4

— общих точек нет.

R03.1–R03.6

Задания с самопроверкой · база

По одному заданию на каждую формулу

БПрямая через $(0; 3)$ и $(2; 7)$ $y = 2 x + 3$
Б $k$ и $m$ прямой $3 x + y - 4 = 0$ $k = - 3$ , $m = 4$
БЦентр и радиус $x^{2} + (y - 5)^{2} = 7$ $(0; 5)$ , $7$

БОкружность с центром $(2; - 1)$ через $(5; 3)$ $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$
БОт $(1; 2)$ до $4 x + 3 y + 5 = 0$ $3$
Б $S_{△ O A B}$ : $A (4; 1)$ , $B (2; 5)$ $9$

R03.2–R03.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Параметр, симметрия, общая хорда

ППри каких $b$ прямая $y = 2 x + b$ касается окружности $x^{2} + y^{2} = 5$ ? $b = \pm 5$
ПНайдите точку, симметричную $M (5; 0)$ относительно прямой $y = 2 x$ . $(- 3; 4)$
ПНайдите длину общей хорды окружностей $x^{2} + y^{2} = 25$ и $(x - 7)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$ . $52$
П $A (- 1; 0)$ , $B (3; 2)$ , $C (1; 6)$ . Докажите, что $∠ B = 9 0^{\circ}$ , и найдите $R$ описанной окружности. $k_{A B} k_{BC} = - 1$ ; $R = 10$

2,5 мин · практика
1) 2x − y + b = 0; касание ⇔ d = R: |b|/√5 = √5 ⇒ |b| = 5. Проверка b = 5: x² + (2x + 5)² = 5 ⇒ 5x² + 20x + 20 = 0 ⇒ (x + 2)² = 0 — одна точка (−2; 1) ✓.
2) Перпендикуляр к y = 2x через M: y = −½(x − 5); пересечение: 2x = −½x + 2,5 ⇒ x = 1, H(1; 2); M′ = 2H − M = (−3; 4). Проверка: середина (1; 2) на прямой ✓.
3) Вычитаем: 14x + 2y − 50 = 0 ⇒ y = 25 − 7x; x² − 7x + 12 = 0 ⇒ (3; 4), (4; −3); хорда √(1 + 49) = √50 = 5√2.
4) k_AB = 2/4 = ½, k_BC = 4/(−2) = −2, произведение −1 ⇒ AB ⟂ BC. Гипотенуза AC = √(4 + 36) = 2√10 — диаметр, R = √10 ≈ 3,16.

R03.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 18

Клетка $1 \times 1$ : площадь через координаты вершин

18 (а). Найдите площадь параллелограмма.

Начало — левый нижний узел

$A (1; 1)$ : смещения $(5; 1)$ и $(2; 4)$

$S = 20 - 2 = 18$

18 (б). Найдите площадь треугольника.

$A (1; 1)$ , $B (8; 3)$ , $C (3; 7)$

смещения $(7; 2)$ и $(2; 6)$

$S = \frac{42 - 4}{2} = 19$

2,5 мин · практика
Сначала 1 минута — ученики сами вводят систему координат (начало — левый нижний узел сетки, x вправо, y вверх) и записывают координаты вершин.
(а) Вершины (1; 1), (6; 2), (8; 6), (3; 5): смещения от (1; 1) — (5; 1) и (2; 4); S = |5 · 4 − 1 · 2| = 18. Проверка: описанный прямоугольник 7 × 5 = 35 минус два одинаковых угла по 2,5 + 2 + 4 = 8,5 (треугольник, клетки 1 × 2, треугольник) ⇒ 35 − 17 = 18 ✓.
(б) S = ½ |7 · 6 − 2 · 2| = 38/2 = 19. Проверка: прямоугольник 7 × 6 = 42 минус три треугольника 7 + 10 + 6 = 23 ⇒ 19 ✓. В бланк ОГЭ: 18 и 19.

R03.7 · практика

Задача из жизни · зона покрытия вышки

План местности: единица — 1 км

Вышка связи в $O (0; 0)$ ловит в радиусе $5$ км. Шоссе: $3 x + y - 15 = 0$ . Сколько километров шоссе в зоне связи?

$y = 15 - 3 x$ : $x^{2} + (15 - 3 x)^{2} = 25$

$x^{2} - 9 x + 20 = 0$ ⇒ $(4; 3)$ и $(5; 0)$

$1^{2} + 3^{2} = 10$ ⇒ ≈ 3,16 км

Сам: на каком расстоянии от вышки ближайшая точка шоссе?

1, 510 \approx 4, 74

км

R03.1–R03.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Прямая через $(1; - 1)$ и $(3; 5)$ $y = 3 x - 4$
Центр и радиус $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + 1 = 0$ $(1; - 3)$ , $R = 3$
Общие точки $x^{2} + y^{2} = 20$ и $y = x + 2$ $(2; 4)$ , $(- 4; - 2)$
$S$ параллелограмма $A BC D$ : $A (0; 0), B (5; 1), D (1; 4)$ $19$

Вариант 2

Прямая через $(- 1; 2)$ и $(2; - 4)$ $y = - 2 x$
Центр и радиус $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y - 4 = 0$ $(- 2; 1)$ , $R = 3$
Общие точки $x^{2} + y^{2} = 10$ и $y = x - 2$ $(3; 1)$ , $(- 1; - 3)$
$S$ параллелограмма $A BC D$ : $A (0; 0), B (4; 2), D (1; 5)$ $18$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по уравнениям узнать, что прямые перпендикулярны?
Два способа узнать число общих точек прямой и окружности?
С чего начинается метод координат?

Домашнее задание

Прямая через $(2; 3)$ , перпендикулярная $x - 3 y + 1 = 0$ .
Общие точки $x^{2} + y^{2} = 10$ и $(x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} = 10$ .
Докажите методом координат: диагонали равнобедренной трапеции равны.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-044 · Обобщение и систематизация по теме «Метод координат»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Метод координат», 10 ч · урок 10/10 · тип О (обобщение и систематизация)
Единицы → слайды	R03.1, R03.2 → 3, 4, 8, 13, 15, 16 · R03.3, R03.4 → 5, 9, 10, 14, 16, 18 · R03.5, R03.6 → 6, 11, 14, 15, 17 · R03.7 → 7, 12, 18
Результаты	ПР-9 → 2, 4, 8, 16 · ПР-10 → 2, 5, 6, 9–11, 14, 15, 17, 19 · ПР-11 → 7, 12, 18
Вне урока	векторы на плоскости — GEOM9U-045 (R04.1)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Метод координат: обобщение и систематизация

Сегодня вы научитесь

Работать с прямой

Работать с окружностью

Считать в координатах

Решать методом координат

Восемь коротких вопросов

Прямая: общий вид и угловой коэффициент

Общий вид и вид с k

Через две точки

Взаимное расположение

Окружность, прямая и общие точки

Уравнение окружности

Прямая и окружность

Две окружности

Две формулы, которые экономят время

От M(x0​;y0​) до ax+by+c=0

Параллелограмм на OA и OB

Ориентированная площадь

Как решать задачу методом координат

Прямая через две точки и перпендикуляр к ней

Образец: A(1;2), B(5;4). Уравнения AB и серединного перпендикуляра к AB.

Выделяем полные квадраты

Образец: центр и радиус окружности x2+y2−6x+4y−3=0.

Окружность и прямая: решаем систему

Образец: общие точки x2+y2=25 и x−y+1=0.

Параллелограмм по трём вершинам

Образец: ABCD — параллелограмм, A(1;1), B(5;2), D(2;4). Найдите C, S и высоту к AB.

Диагонали и стороны параллелограмма

Образец: докажите, что AC2+BD2=2(AB2+AD2).

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки

По одному заданию на каждую формулу

Параметр, симметрия, общая хорда

Клетка 1×1: площадь через координаты вершин

План местности: единица — 1 км

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-044 · Обобщение и систематизация по теме «Метод координат»

Общий вид и вид с $k$

От $M (x_{0}; y_{0})$ до $a x + b y + c = 0$

Параллелограмм на $O A$ и $OB$

Образец: $A (1; 2)$ , $B (5; 4)$ . Уравнения $A B$ и серединного перпендикуляра к $A B$ .

Образец: центр и радиус окружности $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 3 = 0$ .

Образец: общие точки $x^{2} + y^{2} = 25$ и $x - y + 1 = 0$ .

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A (1; 1)$ , $B (5; 2)$ , $D (2; 4)$ . Найдите $C$ , $S$ и высоту к $A B$ .

Образец: докажите, что $A C^{2} + B D^{2} = 2 (A B^{2} + A D^{2})$ .

Клетка $1 \times 1$ : площадь через координаты вершин