Метод координат · урок 9 из 10 · практикум

Практикум: угловой коэффициент и свободный член, их геометрический смысл

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9U-043

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Метод координат» (10 ч), урок 9/10, единица R03.2 «Угловой коэффициент и свободный член, их геометрический смысл». Тип урока — П (практикум).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2,5 · отрезки на осях и площадь 2,5 · пучок прямых через точку 2,5 · разбор у доски: ортоцентр 3,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · задача из жизни 1,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
По сравнению с уроком GEOM9U-036 (первое знакомство) новые типы задач: уравнение по двум точкам и по чертежу с нецелым $m$ , площадь отсекаемого треугольника, пучок прямых и параметр, высоты, медианы и серединные перпендикуляры треугольника, коллинеарность.
Если не успеваете: образец 6 (коллинеарность) и задачу из жизни — в ДЗ.

R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Составлять уравнение прямой

по двум точкам, по точке и $k$ , по чертежу на клетках (ПР-9)

Применять смысл $k$ и $m$

отрезки на осях, площадь, пучок прямых через точку (ПР-9)

Решать задачи о треугольнике

высоты, медианы, серединные перпендикуляры в координатах (ПР-10)

Доказывать методом координат

параллельность, перпендикулярность, точки на одной прямой

повторение: GEOM9U-036, GEOM9U-042

Разминка · устно

Что знаем о прямой $y = k x + m$

$k$ и $m$ : $y = 7 - 3 x$ $k = - 3$ , $m = 7$
Угол наклона $y = - x + 2$ $13 5^{\circ}$
$k$ прямой через $(1; 2)$ и $(3; 8)$ $3$
Возрастает или убывает: $3 x + 2 y = 1$ ? убывает, $k = - 1, 5$

Прямая через $(0; 1)$ , параллельная $y = 2 x - 5$ $y = 2 x + 1$
$k$ прямой, перпендикулярной $y = 4 x$ $- \frac{1}{4}$
Где $y = 2 x - 6$ пересекает ось $O x$ ? $(3; 0)$

R03.2

Сводка · угловой коэффициент и свободный член

Пять фактов, на которых держится практикум

$k = tg α = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ — наклон;

k > 0

— возрастает,

k < 0

— убывает

(0; m)

— точка на оси

O y

; с осью

O x

:

(- \frac{m}{k}; 0)

Через

M (x_{0}; y_{0})

с наклоном

k

:

y - y_{0} = k (x - x_{0})

a ∥ b

⇔

k_{1} = k_{2}

,

m_{1} \neq = m_{2}

;

a ⊥ b

⇔

k_{1} k_{2} = - 1

Вертикальная прямая

x = x_{0}

— углового коэффициента нет

R03.2

Образец → сам · уравнение прямой по двум точкам

Сначала $k$ по двум точкам, потом $m$

Образец: составьте уравнение прямой $A B$ , $A (- 1; 4)$ , $B (3; - 2)$ .

$k = \frac{- 2 - 4}{3 - ( - 1 )} = - \frac{3}{2}$ $k = \frac{Δ y}{Δ x}$

$4 = - \frac{3}{2} \cdot (- 1) + m$ ⇒ $m = \frac{5}{2}$ подставили $A$

$y = - 1, 5 x + 2, 5$ проверка $B$ : $- 4, 5 + 2, 5 = - 2$ ✓

Сам: прямая через две точки

$(2; 1)$ и $(6; 3)$ $y = 0, 5 x$
$(- 2; 5)$ и $(1; - 4)$ $y = - 3 x - 1$
$(2; 1)$ и $(2; 5)$ $x = 2$ , $k$ нет

R03.2

Образец → сам · по чертежу: $m$ не в узле сетки

$k$ — по двум узлам, $m$ — вычислить

Образец: прямая проходит через узлы $A$ и $B$ . Найдите её уравнение.

$A (- 2; - 1)$ , $B (4; 3)$ читаем узлы, клетка — единица

6 вправо, 4 вверх: $k = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$- 1 = \frac{2}{3} \cdot (- 2) + m$ подставили $A$

$m = \frac{1}{3}$ , $y = \frac{2}{3} x + \frac{1}{3}$

Сам: прямые $a$ и $b$

Уравнение $a$ $y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$
Уравнение $b$ $y = - \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}$
$a ∥ (x - 2 y = 0)$ ? да

R03.2

Опорная задача · отрезки на осях и площадь

Прямая отсекает от координатного угла треугольник

1С

O y

:

x = 0

⇒

(0; m)

, катет

∣ m ∣

смысл свободного члена

2С

O x

:

y = 0

⇒

x = - \frac{m}{k}

, катет

\frac{m}{k}

k \neq = 0

,

m \neq = 0

3

S = \frac{1}{2} \cdot ∣ m ∣ \cdot \frac{m}{k} = \frac{m ^{2}}{2∣ k ∣}

площадь прямоугольного треугольника

На чертеже $y = - \frac{1}{2} x + 2$ : катеты $2$ и $4$ , $S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$

R03.2

Образец → сам · площадь отсекаемого треугольника

Точки на осях — через $m$ и $- \frac{m}{k}$

Образец: найдите площадь треугольника, который прямая $2 x - 3 y + 12 = 0$ отсекает от координатного угла.

$y = \frac{2}{3} x + 4$ выразили $y$

$(0; 4)$ и $(- 6; 0)$ $y = 0$ : $\frac{2}{3} x = - 4$ , $x = - 6$

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$ катеты $∣4∣$ и $∣ - 6 ∣$

Сам

$S$ для $y = - 0, 5 x + 3$ $9$
$S$ для прямой через $(0; - 2)$ с $k = 4$ $0, 5$
При каких $m$ прямая $y = 2 x + m$ отсекает треугольник площади $9$ ? $m = \pm 6$

R03.2

Опорный приём · пучок прямых через точку

$y = k (x - x_{0}) + y_{0}$ — все прямые через $M (x_{0}; y_{0})$

Меняем

k

— прямая поворачивается вокруг $M$ ; меняем

m

при том же

k

— сдвигается параллельно.

1

y = k x - 2 k + 3 = k (x - 2) + 3

сгруппировали слагаемые с

k

2

x = 2

⇒

y = 3

при любом

k

скобка обращается в нуль

3Все прямые семейства проходят через $M (2; 3)$ кроме

x = 2

: у неё нет

k

R03.2

Образец → сам · пучок прямых и отрезок

При каких $k$ прямая пересекает отрезок?

Образец: при каких $k$ прямая $y = k x + 1$ пересекает отрезок $A B$ , $A (2; 2)$ , $B (4; - 1)$ ?

Все прямые — через $P (0; 1)$ $m = 1$ при любом $k$

$k_{P A} = \frac{2 - 1}{2 - 0} = \frac{1}{2}$ прямая через $A$

$k_{PB} = \frac{- 1 - 1}{4 - 0} = - \frac{1}{2}$ прямая через $B$

$- \frac{1}{2} \leq k \leq \frac{1}{2}$ прямая поворачивается от $PB$ к $P A$

Сам

Через какую точку проходят все прямые $y = k x + 3 k - 1$ ? $(- 3; - 1)$
При каких $k$ прямая $y = k x$ пересекает отрезок $A (1; 3)$ , $B (3; 1)$ ? $\frac{1}{3} \leq k \leq 3$
При каком $k$ прямая $y = k x - 2 k + 3$ проходит через начало координат? $k = \frac{3}{2}$

R03.2

Разбор у доски · высоты треугольника в координатах

$A (- 2; - 1)$ , $B (4; 2)$ , $C (1; 5)$ : найдите точку $H$ пересечения высот

1

k_{A B} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

⇒ высота из

C

:

y = - 2 x + 7

k_{1} k_{2} = - 1

, подставили

C (1; 5)

2

k_{BC} = \frac{3}{- 3} = - 1

⇒ высота из

A

:

y = x + 1

k = 1

, подставили

A (- 2; - 1)

3

x + 1 = - 2 x + 7

⇒

x = 2

,

y = 3

точка пересечения прямых — решение системы

4 $H (2; 3)$ ; проверка:

k_{B H} = - \frac{1}{2}

,

k_{A C} = 2

третья высота тоже проходит через

H

3,5 мин · теория (учитель решает у доски, класс записывает алгоритм)
Алгоритм «высота из вершины»: k стороны → k высоты = −1/k → подставить вершину. Высота из C перпендикулярна противолежащей стороне AB, а не AC или BC.
Основания высот (для чертежа): на AB — (2,8; 1,4), на BC — (2,5; 3,5). k_BH = (3 − 2)/(2 − 4) = −1/2, k_AC = (5 + 1)/(1 + 2) = 2, (−1/2) · 2 = −1 ⇒ BH ⊥ AC ✓.
Вопрос: как так же найти центр описанной окружности? (Пересечение серединных перпендикуляров — следующий образец.)

R03.2

Образец → сам · серединный перпендикуляр и медиана

Середина отрезка + перпендикулярный угловой коэффициент

Образец: составьте уравнение серединного перпендикуляра к отрезку $A B$ , $A (- 1; 2)$ , $B (5; 4)$ .

$M (2; 3)$ середина: полусуммы координат

$k_{A B} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ⇒ $k = - 3$ $k_{1} k_{2} = - 1$

$y = - 3 x + 9$ проверка $M$ : $- 6 + 9 = 3$ ✓

Сам

Серединный перпендикуляр к $A B$ : $A (1; 1)$ , $B (3; 5)$ $y = - 0, 5 x + 4$
Медиана из $C$ : $A (0; 0)$ , $B (4; 2)$ , $C (1; 5)$ $y = - 4 x + 9$
Центр окружности, описанной около $△ O A B$ : $O (0; 0)$ , $A (4; 0)$ , $B (0; 6)$ $(2; 3)$

R03.2

Образец → сам · задача на доказательство

Точки на одной прямой и вид четырёхугольника

Образец: докажите, что точки $A (- 2; - 3)$ , $B (1; 3)$ , $C (3; 7)$ лежат на одной прямой.

$k_{A B} = \frac{6}{3} = 2$ , $k_{BC} = \frac{4}{2} = 2$ $k$ по двум точкам

$A B ∥ BC$ или совпадаютравные угловые коэффициенты

общая точка $B$ ⇒ прямые совпадаютчерез точку — одна прямая с данным $k$

Сам: докажите или найдите

$A (0; 0)$ , $B (4; 1)$ , $C (5; 5)$ , $D (1; 4)$ : $A BC D$ — ромб. $k_{A B} = k_{D C} = \frac{1}{4}$ , $k_{BC} = k_{A D} = 4$ ; $k_{A C} \cdot k_{B D} = 1 \cdot (- 1) = - 1$
При каком $p$ точки $(1; 2)$ , $(3; 6)$ , $(p; 10)$ лежат на одной прямой? $p = 5$

R03.2 · практика

Задача из жизни · тарифы такси

$m$ — плата за посадку, $k$ — цена километра

«Альфа»: посадка $150$ ₽, $30$ ₽/км. «Бета»: посадка $80$ ₽, $40$ ₽/км. Запишите обе зависимости. $y = 30 x + 150$ , $y = 40 x + 80$
Какая прямая круче и почему? «Бета»: $k = 40 > 30$
С какого расстояния «Альфа» дешевле? больше $7$ км

R03.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$y = k x - 2 k + 3$ : все прямые через $(0; 3)$	свободный член $3 - 2 k$ зависит от $k$	$y = k (x - 2) + 3$ : через $(2; 3)$
$⊥ A B$ , $k_{A B} = \frac{1}{3}$ ⇒ $k = - \frac{1}{3}$	нужно $k_{1} k_{2} = - 1$ , а не смена знака	$k = - 3$
Высота из $C$ ⟂ стороне $A C$	высота ⟂ противолежащей стороне	высота из $C$ ⟂ $A B$
$S$ для $y = 2 x - 6$ : $\frac{1}{2} \cdot (- 6) \cdot 3 = - 9$	катеты — длины, берём модули	$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9$

R03.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Прямая через $A (2; - 1)$ с $k = 3$ .

$m = - 1$

$y = 3 x - 1$

$- 1 = 3 \cdot 2 + m$ , $m = - 7$ : $y = 3 x - 7$

б) Серединный перпендикуляр к $A B$ , $A (0; 2)$ , $B (4; 6)$ .

$M (2; 4)$ , $k_{A B} = 1$

$k = 1$ : $y = x + 2$

$k = - 1$ : $y = - x + 6$

в) $k$ прямой через $A (- 1; 2)$ и $B (3; - 6)$ .

$k = \frac{- 6 - 2}{3 - 1} = - 4$

$Δ x = 3 - (- 1) = 4$ : $k = - 2$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Принял ординату точки за свободный член; m = y₀ − kx₀ = −1 − 6 = −7. Проверка: 3 · 2 − 7 = −1 ✓.
б) Середина и k_AB верны, но взят угловой коэффициент самой AB — получилась прямая AB (через A и B!). Перпендикуляр: k = −1, 4 = −2 + m, m = 6.
в) Потерян знак: x₂ − x₁ = 3 − (−1) = 4, а не 2. k = −8/4 = −2; прямая y = −2x, проверка: 2 = −2 · (−1) ✓, −6 = −2 · 3 ✓.

R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаПрямая через $(0; - 3)$ и $(2; 1)$ $y = 2 x - 3$
базаТочка пересечения $y = 4 x - 8$ с осью $O x$ $(2; 0)$
базаОбщая точка всех прямых $y = k x + 5$ $(0; 5)$

базаПрямая через $(1; 4)$ с $k = - 2$ $y = - 2 x + 6$
базаПлощадь треугольника, отсекаемого $y = x + 4$ $8$
базаЛежат ли $(0; 1)$ , $(2; 5)$ , $(5; 11)$ на одной прямой? да

R03.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Прямая проходит через $(2; 3)$ и отсекает в первой четверти треугольник площади $12$ . Найдите её уравнение. $y = - 1, 5 x + 6$
повыш.При каких $k$ прямая $y = k x - 1$ не пересекает отрезок $A (1; 1)$ , $B (3; 2)$ ? $k < 1$ или $k > 2$
повыш.Найдите острый угол между прямыми $y = 3 x$ и $y = - x$ . $7 5^{\circ}$
повыш. $A BC D$ — параллелограмм, $A (0; 0)$ , $B (1; 3)$ , $D (4; 1)$ . Уравнение прямой $C D$ ? $y = 3 x - 11$

2,5 мин · практика
1) y − 3 = k(x − 2), k < 0: на осях (0; 3 − 2k) и (2 − 3/k; 0). S = ½(3 − 2k)(2 − 3/k) = 12 ⇒ 12 − 4k − 9/k = 24 ⇒ 4k² + 12k + 9 = 0 ⇒ (2k + 3)² = 0, k = −3/2. Прямая y = −1,5x + 6: (0; 6), (4; 0), S = ½ · 6 · 4 = 12 ✓ (это наименьшая возможная площадь — единственное решение).
2) Пучок через P(0; −1): k_PA = (1 + 1)/1 = 2, k_PB = (2 + 1)/3 = 1 ⇒ пересекает при 1 ≤ k ≤ 2, не пересекает при k < 1 или k > 2. Граничные k = 1 и k = 2 — прямая проходит через B или A, т. е. пересекает.
3) Углы наклона 60° (tg = √3) и 135° (tg = −1); угол между прямыми 135° − 60° = 75° (острый, ответ 75°).
4) C = B + D − A = (5; 4); CD ∥ AB, k = 3; 1 = 12 + m, m = −11. Проверка C: 15 − 11 = 4 ✓.

R03.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 11 и 22

Знаки коэффициентов по графику и пучок $y = k x$

ОГЭ 11 Графики $y = k x + b$ и знаки: 1) $k < 0$ , $b > 0$ ; 2) $k > 0$ , $b < 0$ ; 3) $k < 0$ , $b < 0$ .

А

Б

В

Ответ: 321

ОГЭ 22 График $y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ . При каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет с ним общих точек?

Ответ: $k = 1$ ; $k = 2$

R03.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Прямая через $A (- 2; 1)$ и $B (2; 9)$ $y = 2 x + 5$
Прямая через $M (3; - 1)$ с $k = - 2$ $y = - 2 x + 5$
Площадь треугольника, отсекаемого $y = 3 x - 6$ $6$
Серединный перпендикуляр к $A B$ из задания 1 $y = - 0, 5 x + 5$

Вариант 2

Прямая через $A (- 1; 5)$ и $B (3; - 3)$ $y = - 2 x + 3$
Прямая через $M (- 2; 4)$ с $k = 3$ $y = 3 x + 10$
Площадь треугольника, отсекаемого $y = - 2 x + 8$ $16$
Серединный перпендикуляр к $A B$ из задания 1 $y = 0, 5 x + 0, 5$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти $m$ , зная точку и $k$ ?
Что задаёт $y = k (x - x_{0}) + y_{0}$ ?
Как составить уравнение высоты?

m = y_{0} - k x_{0}

; пучок через

(x_{0}; y_{0})

высота:

k = - \frac{1}{k _{стороны}}

+ вершина

Домашнее задание

Прямая через $A (- 4; 1)$ и $B (2; - 2)$ .
Через какую точку проходят все прямые $y = k x - k + 4$ ?
* $A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ , $C (2; 4)$ : найдите точку пересечения высот.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-043 · Практикум: угловой коэффициент и свободный член, их геометрический смысл

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Метод координат», 10 ч · урок 9/10 · тип П
Единицы → слайды	R03.2 «Угловой коэффициент и свободный член, их геометрический смысл» → 2, 4–21 · повторение GEOM9U-036, GEOM9U-042 → 3
Результаты	ПР-9 (угловой коэффициент и свободный член, геометрический смысл, параллельность и перпендикулярность, пересечение прямых) → 4–21; ПР-10 (метод координат в геометрических задачах) → 11–13; ПР-11 (практико-ориентированная задача) → 14
Вне урока	уравнение окружности и пересечения — GEOM9U-037, GEOM9U-038; расстояние от точки до прямой — GEOM9U-039; обобщение — GEOM9U-044
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: угловой коэффициент и свободный член, их геометрический смысл

Сегодня вы научитесь

Составлять уравнение прямой

Применять смысл k и m

Решать задачи о треугольнике

Доказывать методом координат

Что знаем о прямой y=kx+m

Пять фактов, на которых держится практикум

Сначала k по двум точкам, потом m

Образец: составьте уравнение прямой AB, A(−1;4), B(3;−2).

Сам: прямая через две точки

k — по двум узлам, m — вычислить

Образец: прямая проходит через узлы A и B. Найдите её уравнение.

Сам: прямые a и b

Прямая отсекает от координатного угла треугольник

Точки на осях — через m и −km​

Образец: найдите площадь треугольника, который прямая 2x−3y+12=0 отсекает от координатного угла.

Сам

y=k(x−x0​)+y0​ — все прямые через M(x0​;y0​)

При каких k прямая пересекает отрезок?

Образец: при каких k прямая y=kx+1 пересекает отрезок AB, A(2;2), B(4;−1)?

Сам

A(−2;−1), B(4;2), C(1;5): найдите точку H пересечения высот

Середина отрезка + перпендикулярный угловой коэффициент

Образец: составьте уравнение серединного перпендикуляра к отрезку AB, A(−1;2), B(5;4).

Сам

Точки на одной прямой и вид четырёхугольника

Образец: докажите, что точки A(−2;−3), B(1;3), C(3;7) лежат на одной прямой.

Сам: докажите или найдите

m — плата за посадку, k — цена километра

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Прямая через A(2;−1) с k=3.

б) Серединный перпендикуляр к AB, A(0;2), B(4;6).

в) k прямой через A(−1;2) и B(3;−6).

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Знаки коэффициентов по графику и пучок y=kx

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-043 · Практикум: угловой коэффициент и свободный член, их геометрический смысл

Применять смысл $k$ и $m$

Что знаем о прямой $y = k x + m$

Сначала $k$ по двум точкам, потом $m$

Образец: составьте уравнение прямой $A B$ , $A (- 1; 4)$ , $B (3; - 2)$ .

$k$ — по двум узлам, $m$ — вычислить

Образец: прямая проходит через узлы $A$ и $B$ . Найдите её уравнение.

Сам: прямые $a$ и $b$

Точки на осях — через $m$ и $- \frac{m}{k}$

Образец: найдите площадь треугольника, который прямая $2 x - 3 y + 12 = 0$ отсекает от координатного угла.

$y = k (x - x_{0}) + y_{0}$ — все прямые через $M (x_{0}; y_{0})$

При каких $k$ прямая пересекает отрезок?

Образец: при каких $k$ прямая $y = k x + 1$ пересекает отрезок $A B$ , $A (2; 2)$ , $B (4; - 1)$ ?

$A (- 2; - 1)$ , $B (4; 2)$ , $C (1; 5)$ : найдите точку $H$ пересечения высот

Образец: составьте уравнение серединного перпендикуляра к отрезку $A B$ , $A (- 1; 2)$ , $B (5; 4)$ .

Образец: докажите, что точки $A (- 2; - 3)$ , $B (1; 3)$ , $C (3; 7)$ лежат на одной прямой.

$m$ — плата за посадку, $k$ — цена километра

а) Прямая через $A (2; - 1)$ с $k = 3$ .

б) Серединный перпендикуляр к $A B$ , $A (0; 2)$ , $B (4; 6)$ .

в) $k$ прямой через $A (- 1; 2)$ и $B (3; - 6)$ .

Знаки коэффициентов по графику и пучок $y = k x$