Метод координат · урок 8 из 10 · практикум

Практикум: уравнение прямой на плоскости

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9U-042

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Метод координат» (10 ч), урок 8/10, единица R03.1 «Уравнение прямой на плоскости». Тип урока — П (практикум после урока GEOM9U-035; опирается и на GEOM9U-036 — угловой коэффициент, GEOM9U-039 — расстояние от точки до прямой).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · опорный конспект: виды уравнения 3 · опорный конспект: две прямые 2 · разбор у доски: высоты треугольника 3 · разбор у доски: луч и зеркало 3.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4,5 · итог 1.
Если не успеваете: образец 6 (пучок прямых) и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; разборы у доски не сокращать.

R03.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать вид уравнения

по двум точкам, по чертежу, по отрезкам на осях, по угловому коэффициенту

Строить прямые $∥$ и $⊥$

через данную точку — параллельно или перпендикулярно данной прямой (ПР-9)

Решать задачи о треугольнике

стороны, медианы, высоты, центр описанной окружности, симметричная точка

Доказывать методом координат

и решать задачи с параметром: пучок прямых через одну точку (ПР-9)

повторение: GEOM9U-035 … 041

Разминка · устно

Прямые и точки — без тетради

Лежит ли $(1; - 2)$ на прямой $3 x + y - 1 = 0$ ? да
Где прямая $x - 2 y + 4 = 0$ пересекает ось $O y$ ? $(0; 2)$
Уравнение оси $O y$ ? $x = 0$
Как расположены $2 x - y + 3 = 0$ и $4 x - 2 y + 1 = 0$ ? параллельны

Середина отрезка $A (- 2; 5)$ , $B (4; - 1)$ ? $(1; 2)$
Угловой коэффициент прямой $3 x + y - 2 = 0$ ? $- 3$
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной $y = 2 x$ ? $- \frac{1}{2}$
Расстояние от $(3; 4)$ до начала координат? $5$

R03.1

Опорный конспект · виды уравнения прямой

Общее уравнение $a x + b y + c = 0$ , $a$ и $b$ не равны нулю одновременно

Что известно	Уравнение	Пример
две точки	$(x - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) = (y - y_{1}) (x_{2} - x_{1})$	$(1; 2)$ , $(4; - 4)$ → $2 x + y - 4 = 0$
отрезки на осях $p, q \neq = 0$	$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$	$p = 3$ , $q = - 2$ → $2 x - 3 y - 6 = 0$
угловой коэффициент	$y = k x + m$ , $k = tg α$	$k = 2$ , $(0; - 1)$ → $y = 2 x - 1$
точка $M_{0}$ , $∥$ прямой	$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$	$∥ 2 x - 3 y + 1 = 0$ , $(2; 1)$ → $2 x - 3 y - 1 = 0$
точка $M_{0}$ , $⊥$ прямой	$b (x - x_{0}) - a (y - y_{0}) = 0$	$⊥ 2 x - 3 y + 1 = 0$ , $(2; 1)$ → $3 x + 2 y - 8 = 0$
точка $M_{0}$ , $⊥$ отрезку $PQ$	$(x_{Q} - x_{P}) (x - x_{0}) + (y_{Q} - y_{P}) (y - y_{0}) = 0$	$P (1; 1)$ , $Q (3; 5)$ , $M_{0} = O$ → $x + 2 y = 0$

3 мин · теория
Строки 1–2 — урок GEOM9U-035, строка 3 — GEOM9U-036. Строки 4–6 следуют из обратной теоремы (GEOM9U-035, сл. 6): прямая $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ перпендикулярна отрезку с концами $(x_{0} \mp a; y_{0} \mp b)$ , то есть отрезку «направления» $(a; b)$ .
Строка 5: у прямой $a x + b y + c = 0$ при $b \neq = 0$ угловой коэффициент $k_{1} = - \frac{a}{b}$ , у прямой $b x - a y + \dots = 0$ при $a \neq = 0$ — $k_{2} = \frac{b}{a}$ ; $k_{1} k_{2} = - 1$ . Если $a = 0$ или $b = 0$ — одна прямая параллельна оси, другая — другой оси, тоже перпендикулярны.
Примеры: 1) $(x - 1) (- 6) = (y - 2) \cdot 3$ ⇒ $2 x + y - 4 = 0$ . 4) $2 (x - 2) - 3 (y - 1) = 0$ ⇒ $2 x - 3 y - 1 = 0$ . 5) $- 3 (x - 2) - 2 (y - 1) = 0$ ⇒ $3 x + 2 y - 8 = 0$ , проверка $(2; 1)$ : $6 + 2 - 8 = 0$ ✓, $k$ : $\frac{2}{3} \cdot (- \frac{3}{2}) = - 1$ ✓. 6) $2 x + 4 y = 0$ ⇒ $x + 2 y = 0$ .

R03.1 · R03.2

Опорный конспект · две прямые

$a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ и $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$

Прямые	Общий вид	Через $k$
пересекаются	$a_{1} b_{2} \neq = a_{2} b_{1}$	$k_{1} \neq = k_{2}$
параллельны	$\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$	$k_{1} = k_{2}$ , $m_{1} \neq = m_{2}$
перпендикулярны	$a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$	$k_{1} k_{2} = - 1$

$p$ : $x - 2 y + 2 = 0$ , $q$ : $x - 2 y - 8 = 0$ , $r$ : $2 x + y - 6 = 0$
$p ∥ q$ , $r ⊥ p$ ; $p \cap r = M (2; 2)$

R03.1

Образец → сам · уравнение по чертежу

Узлы сетки — две точки прямой

Образец: напишите уравнение прямой $l$ (клетка — единица).

Узлы: $(- 3; - 1)$ , $(3; 3)$ точки прямой в узлах сетки

$(x + 3) \cdot 4 = (y + 1) \cdot 6$ прямая через две точки

$2 x - 3 y + 3 = 0$ проверка $(0; 1)$ : $- 3 + 3 = 0$ ✓

Сам

Уравнение прямой $a$ . $3 x + 2 y - 2 = 0$
Уравнение прямой $b$ . $x - 2 y - 2 = 0$
Точка пересечения $a$ и $b$ — точно. $(1; - 0, 5)$

2,5 мин · практика
Алгоритм: найти две точки прямой в узлах сетки (подальше друг от друга) → формула через две точки → привести к целым коэффициентам → проверить третьей точкой.
Образец: $4 x + 12 = 6 y + 6$ ⇒ $4 x - 6 y + 6 = 0$ ⇒ $2 x - 3 y + 3 = 0$ ; проверка $(3; 3)$ : $6 - 9 + 3 = 0$ ✓.
1) $a$ : $(- 2; 4)$ и $(2; - 2)$ : $(x + 2) (- 6) = (y - 4) \cdot 4$ ⇒ $6 x + 4 y - 4 = 0$ ⇒ $3 x + 2 y - 2 = 0$ ; проверка $(2; - 2)$ : $6 - 4 - 2 = 0$ ✓. 2) $b$ : $(- 4; - 3)$ и $(4; 1)$ : $(x + 4) \cdot 4 = (y + 3) \cdot 8$ ⇒ $x - 2 y - 2 = 0$ ; проверка $(4; 1)$ : $4 - 2 - 2 = 0$ ✓. 3) Сложим: $4 x = 4$ , $x = 1$ , $y = - \frac{1}{2}$ . По чертежу точку не прочитать — нужна система.
Попутно: $l ⊥ a$ ( $2 \cdot 3 + (- 3) \cdot 2 = 0$ ), они пересекаются в узле $(0; 1)$ .

R03.1 · R03.2

Образец → сам · параллельная и перпендикулярная

Через точку $M_{0}$ — две прямые

Образец: через $M (2; - 1)$ проведите прямые, параллельную и перпендикулярную прямой $l$ : $3 x - 4 y + 5 = 0$ .

$3 (x - 2) - 4 (y + 1) = 0$ те же $a = 3$ , $b = - 4$

$3 x - 4 y - 10 = 0$

$- 4 (x - 2) - 3 (y + 1) = 0$ $b (x - x_{0}) - a (y - y_{0}) = 0$

$4 x + 3 y - 5 = 0$ проверка: $3 \cdot 4 + (- 4) \cdot 3 = 0$ ✓

Сам

Через $(- 1; 3)$ параллельно $2 x + 5 y - 1 = 0$ . $2 x + 5 y - 13 = 0$
Через $(0; 4)$ перпендикулярно $x - 3 y + 6 = 0$ . $3 x + y - 4 = 0$
Через $A (3; 1)$ перпендикулярно $A B$ , $B (5; 5)$ . $x + 2 y - 5 = 0$

R03.1

Образец → сам · сторона, медиана, высота

Линии треугольника в координатах

Образец: $A (- 2; - 2)$ , $B (2; 4)$ , $C (5; - 2)$ . Уравнения $A B$ , медианы $CM$ , высоты $C K$ .

$A B$ : $3 x - 2 y + 2 = 0$ $(x + 2) \cdot 6 = (y + 2) \cdot 4$

$CM$ : $3 x + 5 y - 5 = 0$ $M (0; 1)$ — середина $A B$

$C K$ : $2 x + 3 y - 4 = 0$ $⊥ A B$ через $C$ : $- 2 (x - 5) - 3 (y + 2) = 0$

Сам

Уравнение высоты $A A_{1}$ . $x - 2 y - 2 = 0$
Точка пересечения высот $△ A BC$ . $H (2; 0)$
Средняя линия, параллельная $A C$ . $y = 1$

R03.1

Разбор у доски · доказательство методом координат

Высоты треугольника пересекаются в одной точке

1

A B

на оси

O x

,

C

на оси

O y

:

A (a; 0)

,

B (b; 0)

,

C (0; c)

удобный выбор системы координат,

c \neq = 0

2высота из

C

:

x = 0

ось

O y

перпендикулярна

A B

3высота из

A

:

- b (x - a) + c y = 0

⊥

отрезку

BC

через

A

4высота из

B

:

- a (x - b) + c y = 0

⊥

отрезку

A C

через

B

5

x = 0

⇒ в обоих

y = - \frac{ab}{c}

:

H (0; - \frac{ab}{c})

на всех трёх ∎

3 мин · теория (учитель доказывает у доски, класс называет правило для каждого шага)
Шаг 3: $BC$ от $B (b; 0)$ к $C (0; c)$ — разности $(0 - b; c - 0)$ , правило « $⊥$ отрезку $PQ$ »: $(x_{Q} - x_{P}) (x - x_{0}) + (y_{Q} - y_{P}) (y - y_{0}) = 0$ с $M_{0} = A$ . Шаг 4: $A C$ — разности $(- a; c)$ , $M_{0} = B$ .
Шаг 5: $- b (0 - a) + cy = 0 ⟺ ab + cy = 0$ и $- a (0 - b) + cy = 0 ⟺ ab + cy = 0$ — одно и то же уравнение. На чертеже $a = - 3$ , $b = 5$ , $c = 6$ : $H (0; \frac{15}{6}) = (0; 2, 5)$ .
Вывод для класса: в задачах на доказательство систему координат выбирают так, чтобы как можно больше координат были нулями. Тупоугольный треугольник: тоже верно ( $a$ и $b$ одного знака, $H$ вне треугольника).

R03.1

Образец → сам · серединный перпендикуляр

Точка, равноудалённая от трёх данных

Образец (из жизни): посёлки $A (- 3; 2)$ , $B (3; 4)$ , $C (5; - 2)$ (км). Где поставить вышку связи на равном расстоянии от них?

$3 x + y - 3 = 0$ $⊥ A B$ через середину $(0; 3)$

$x - 3 y - 1 = 0$ $⊥ BC$ через середину $(4; 1)$

$O_{1} (1; 0)$ , $R = 25 \approx 4, 5$ кмрешили систему; $R = O_{1} A$

Сам

Серединный перпендикуляр к $A B$ : $A (1; - 3)$ , $B (5; 1)$ . $x + y - 2 = 0$
Точка оси $O x$ , равноудалённая от $(1; 4)$ и $(5; 2)$ . $(1, 5; 0)$
Центр окружности через $(- 1; 3)$ , $(5; 5)$ , $(1; - 3)$ . $(3; 1)$

R03.1

Образец → сам · симметричная точка

Перпендикуляр, основание, удвоение

Образец: найдите точку, симметричную $A (4; 1)$ относительно прямой $l$ : $2 x - y + 3 = 0$ .

$A H$ : $x + 2 y - 6 = 0$ $⊥ l$ через $A$ : $- (x - 4) - 2 (y - 1) = 0$

$H (0; 3)$ решили систему из $l$ и $A H$

$A^{'} (- 4; 5)$ $H$ — середина $A A^{'}$ : $x_{A^{'}} = 2 x_{H} - x_{A}$

Сам

Основание перпендикуляра из $B (0; - 1)$ на $x + 2 y - 3 = 0$ . $(1; 1)$
Точка, симметричная $C (- 2; 0)$ относительно $x + 2 y - 3 = 0$ . $(0; 4)$
Точка, симметричная $O (0; 0)$ относительно $x + y - 4 = 0$ . $(4; 4)$

R03.1 · R03.7

Разбор у доски · луч и зеркало

Куда направить лазер, чтобы попасть в $B$ ?

Луч из

A (- 3; - 2)

отражается от зеркала

l

:

x - 2 y + 4 = 0

и попадает в

B (5; 2)

. Найдите точку отражения

P

.

1

P

лежит на

A B^{'}

,

B^{'}

симметрична

B

относительно

l

угол падения равен углу отражения

2

B B^{'}

:

2 x + y - 12 = 0

,

H (4; 4)

⇒

B^{'} (3; 6)

как в образце 5

3

A B^{'}

:

4 x - 3 y + 6 = 0

(x + 3) \cdot 8 = (y + 2) \cdot 6

4

P = A B^{'} \cap l = (0; 2)

система:

x = 2 y - 4

⇒

5 y = 10

3 мин · теория (учитель решает у доски, ученики подсказывают шаги)
Почему шаг 1: $PB = P B^{'}$ (симметрия), углы $BP$ и $B^{'} P$ с зеркалом равны; луч $A \to P \to B$ отражается «правильно», когда $A$ , $P$ , $B^{'}$ на одной прямой. Тот же приём — кратчайший путь $A \to$ прямая $\to B$ : $A P + PB = A P + P B^{'} \geq A B^{'}$ .
Шаг 2: $l$ : $a = 1$ , $b = - 2$ ; перпендикуляр через $B$ : $- 2 (x - 5) - (y - 2) = 0$ ⇒ $2 x + y - 12 = 0$ ; с $x = 2 y - 4$ : $5 y - 8 = 12$ , $y = 4$ , $x = 4$ ; $B^{'} = (2 \cdot 4 - 5; 2 \cdot 4 - 2) = (3; 6)$ .
Шаг 3: $8 x + 24 = 6 y + 12$ ⇒ $4 x - 3 y + 6 = 0$ ; проверка $B^{'}$ : $12 - 18 + 6 = 0$ ✓. Шаг 4: $4 (2 y - 4) - 3 y + 6 = 0$ ⇒ $y = 2$ , $x = 0$ ; $P$ на $l$ : $0 - 4 + 4 = 0$ ✓. $A$ и $B$ по одну сторону от $l$ : $- 3 + 4 + 4 = 5 > 0$ , $5 - 4 + 4 = 5 > 0$ ✓.

R03.1

Образец → сам · пучок прямых с параметром

Все прямые семейства — через одну точку

Образец: докажите, что все прямые $(2 m + 1) x + (m - 1) y - m - 5 = 0$ проходят через одну точку. При каком $m$ прямая параллельна $O x$ ?

$m (2 x + y - 1) + (x - y - 5) = 0$ сгруппировали слагаемые с $m$

$2 x + y - 1 = 0$ и $x - y - 5 = 0$ ⇒ $(2; - 3)$ точка подходит при любом $m$ ⇔ обе скобки равны нулю

$∥ O x$ : $2 m + 1 = 0$ , $m = - \frac{1}{2}$ коэффициент при $x$ равен 0, при $y$ — нет: прямая $y = - 3$

Сам: семейство $(m + 1) x + (m - 2) y - 3 m = 0$

Общая точка всех прямых. $(2; 1)$
При каком $m$ прямая проходит через $O$ ? $m = 0$
При каком $m$ прямая параллельна $x + 2 y = 0$ ? $m = - 4$

R03.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$⊥ 3 x - 4 y + 5 = 0$ через $O$ : $3 x - 4 y = 0$	те же $a$ и $b$ — это параллельная	$4 x + 3 y = 0$
$y = 2 x + 1$ и $y = - 2 x + 3$ перпендикулярны	нужно $k_{1} k_{2} = - 1$ , а $2 \cdot (- 2) = - 4$	$⊥ y = 2 x + 1$ : $k = - \frac{1}{2}$
$3 x - 2 y - 6 = 0$ : $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1$	делить надо на $6$ , а не «переставлять»	$\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} = 1$
медиана $CM$ — прямая через $C$ , $⊥ A B$	это высота; медиана идёт в середину $A B$	$CM$ через $C$ и середину $A B$

R03.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Прямая через $M (1; - 2)$ , перпендикулярная $2 x - 5 y + 3 = 0$ .

1) $2 (x - 1) - 5 (y + 2) = 0$

2) Ответ: $2 x - 5 y - 12 = 0$

Ошибка в 1: это параллельная прямая

$5 (x - 1) + 2 (y + 2) = 0$ : $5 x + 2 y - 1 = 0$

Проверка: $2 \cdot 5 + (- 5) \cdot 2 = 0$ ✓

б) Точка, симметричная $A (3; 4)$ относительно $x + y - 1 = 0$ .

1) $A H$ : $x - y + 1 = 0$ ; $H (0; 1)$

2) $A^{'}$ — середина $A H$ : $A^{'} (1, 5; 2, 5)$

Ошибка в 2: середина $A A^{'}$ — это $H$

$A^{'} = (2 \cdot 0 - 3; 2 \cdot 1 - 4) = (- 3; - 2)$

Проверка: середина $A A^{'}$ — $(0; 1) = H$ ✓

R03.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаПрямая через $A (- 1; 2)$ и $B (3; - 6)$ . $2 x + y = 0$
базаЧерез $(2; 7)$ параллельно $y = 3 x - 1$ . $y = 3 x + 1$
базаЧерез $(0; - 2)$ перпендикулярно $y = \frac{1}{2} x + 4$ . $y = - 2 x - 2$

базаКак расположены $2 x - 3 y + 1 = 0$ и $4 x - 6 y + 2 = 0$ ? совпадают
базаТочки пересечения $5 x - 3 y - 15 = 0$ с осями. $(3; 0)$ , $(0; - 5)$
базаПри каком $c$ прямая $2 x + cy - 8 = 0$ проходит через $(- 2; 4)$ ? $c = 3$

R03.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Прямая через $M (2; 3)$ отсекает от первой координатной четверти треугольник площади $12$ . Найдите её уравнение. $3 x + 2 y - 12 = 0$
повыш.Прямая, симметричная прямой $2 x - y + 4 = 0$ относительно оси $O y$ ? $2 x + y - 4 = 0$
повыш. $A BC D$ — параллелограмм, $A (- 2; 1)$ , $B (1; 4)$ , $C (5; 2)$ . Уравнения $C D$ и $A D$ . $x - y - 3 = 0$ ; $x + 2 y = 0$
из жизниСклад в точке $S (6; 8)$ (км), шоссе — прямая $x + y - 4 = 0$ . Где построить съезд, чтобы дорога к складу была кратчайшей? в $(1; 3)$ , дорога $\approx 7, 1$ км

R03.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 23

Метод координат на экзамене

ОГЭ 18 На клетчатой бумаге с клетками $1 \times 1$ изображён $△ A BC$ . Найдите расстояние от $C$ до прямой $A B$ .

$A (0; 0)$ , $B (4; 3)$ , $C (- 2; 6)$

$A B$ : $3 x - 4 y = 0$

$d = \frac{∣ - 6 - 24 ∣}{5} = 6$

ОГЭ 23 В трапеции $A BC D$ $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $A D = 8$ , $BC = 4$ , $A B = 6$ . Найдите расстояние от точки $O$ пересечения диагоналей до $A B$ .

$A C$ : $3 x - 2 y = 0$

$B D$ : $3 x + 4 y - 24 = 0$

$O (\frac{8}{3}; 4)$ , $d = \frac{8}{3}$

R03.1

Самостоятельная работа · 4,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Прямая через $(- 2; 1)$ и $(2; 9)$ . $2 x - y + 5 = 0$
Через $M (1; 3)$ параллельно $4 x - y + 2 = 0$ . $4 x - y - 1 = 0$
Через $M (2; - 1)$ перпендикулярно $x + 3 y - 5 = 0$ . $3 x - y - 7 = 0$
Точка, симметричная $A (3; 0)$ относительно $x - y + 1 = 0$ . $(- 1; 4)$

Вариант 2

Прямая через $(- 1; - 4)$ и $(3; 8)$ . $3 x - y - 1 = 0$
Через $M (- 2; 1)$ параллельно $3 x + y - 4 = 0$ . $3 x + y + 5 = 0$
Через $M (1; 4)$ перпендикулярно $2 x - y + 3 = 0$ . $x + 2 y - 9 = 0$
Точка, симметричная $B (0; 5)$ относительно $x + y - 1 = 0$ . $(- 4; 1)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как написать прямую, параллельную данной?
А перпендикулярную?
Как найти точку, симметричную данной?
Как выбрать систему координат в доказательстве?

Домашнее задание

$A (- 1; - 2)$ , $B (3; 6)$ , $C (7; 0)$ : медиана $A M$ и высота из $B$ .
Точка, симметричная $(3; 1)$ относительно $x - 2 y + 4 = 0$ .
* Докажите: все прямые $(m + 1) x + (1 - 2 m) y + 3 m - 3 = 0$ проходят через одну точку.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-042 · Практикум: уравнение прямой на плоскости

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Метод координат», 10 ч · урок 8/10 · тип П
Единицы → слайды	R03.1 «Уравнение прямой на плоскости» → 2–20 · повторение R03.2 (угловой коэффициент) → 3, 4, 5, 7, 16 · R03.5 (расстояние до прямой) → 11, 18 · R03.7 (практические задачи) → 10, 12, 17
Результаты	ПР-9 (уравнение прямой, параллельность и перпендикулярность, пересечение прямых) → 3–20
Вне урока	практикум по угловому коэффициенту и свободному члену — GEOM9U-043 (R03.2); обобщение «Метод координат» — GEOM9U-044; векторы — строка R04
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: уравнение прямой на плоскости

Сегодня вы научитесь

Выбирать вид уравнения

Строить прямые ∥ и ⊥

Решать задачи о треугольнике

Доказывать методом координат

Прямые и точки — без тетради

Общее уравнение ax+by+c=0, a и b не равны нулю одновременно

a1​x+b1​y+c1​=0 и a2​x+b2​y+c2​=0

Узлы сетки — две точки прямой

Образец: напишите уравнение прямой l (клетка — единица).

Сам

Через точку M0​ — две прямые

Образец: через M(2;−1) проведите прямые, параллельную и перпендикулярную прямой l: 3x−4y+5=0.

Сам

Линии треугольника в координатах

Образец: A(−2;−2), B(2;4), C(5;−2). Уравнения AB, медианы CM, высоты CK.

Сам

Высоты треугольника пересекаются в одной точке

Точка, равноудалённая от трёх данных

Образец (из жизни): посёлки A(−3;2), B(3;4), C(5;−2) (км). Где поставить вышку связи на равном расстоянии от них?

Сам

Перпендикуляр, основание, удвоение

Образец: найдите точку, симметричную A(4;1) относительно прямой l: 2x−y+3=0.

Сам

Куда направить лазер, чтобы попасть в B?

Все прямые семейства — через одну точку

Образец: докажите, что все прямые (2m+1)x+(m−1)y−m−5=0 проходят через одну точку. При каком m прямая параллельна Ox?

Сам: семейство (m+1)x+(m−2)y−3m=0

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Прямая через M(1;−2), перпендикулярная 2x−5y+3=0.

б) Точка, симметричная A(3;4) относительно x+y−1=0.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Метод координат на экзамене

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-042 · Практикум: уравнение прямой на плоскости

Строить прямые $∥$ и $⊥$

Общее уравнение $a x + b y + c = 0$ , $a$ и $b$ не равны нулю одновременно

$a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ и $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$

Образец: напишите уравнение прямой $l$ (клетка — единица).

Через точку $M_{0}$ — две прямые

Образец: через $M (2; - 1)$ проведите прямые, параллельную и перпендикулярную прямой $l$ : $3 x - 4 y + 5 = 0$ .

Образец: $A (- 2; - 2)$ , $B (2; 4)$ , $C (5; - 2)$ . Уравнения $A B$ , медианы $CM$ , высоты $C K$ .

Образец (из жизни): посёлки $A (- 3; 2)$ , $B (3; 4)$ , $C (5; - 2)$ (км). Где поставить вышку связи на равном расстоянии от них?

Образец: найдите точку, симметричную $A (4; 1)$ относительно прямой $l$ : $2 x - y + 3 = 0$ .

Куда направить лазер, чтобы попасть в $B$ ?

Образец: докажите, что все прямые $(2 m + 1) x + (m - 1) y - m - 5 = 0$ проходят через одну точку. При каком $m$ прямая параллельна $O x$ ?

Сам: семейство $(m + 1) x + (m - 2) y - 3 m = 0$

а) Прямая через $M (1; - 2)$ , перпендикулярная $2 x - 5 y + 3 = 0$ .

б) Точка, симметричная $A (3; 4)$ относительно $x + y - 1 = 0$ .