Метод координат · урок 7 из 10

Применение метода координат в практических задачах

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9U-041

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Метод координат» (10 ч), урок 7/10, единица R03.7. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · алгоритм 2 · выбор системы координат 2 · словарь «условие → формула» 2,5 · доказательство методом координат 3 · метод координат вокруг нас 2.
Практика (32,5): разминка 3 · образцы → сам 2,5 + 3 + 2,5 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 18 и 23 — 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задание 3 повышенного уровня и третьи задания «сам» — в ДЗ; доказательство на слайде 7 не сокращать.

R03.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать систему координат

так, чтобы координаты точек были простыми (ПР-10)

Переводить условие на язык формул

расстояние, середина, прямая, окружность, площадь (ПР-11)

Решать практические задачи

на карте и плане: зоны, кратчайшие пути, участки (ПР-11)

Доказывать методом координат

геометрические утверждения — вычислением (ПР-10)

0,5 мин · теория
ПР-10: «Выводить и владеть уравнением окружности. Использовать метод координат для нахождения пересечений окружностей и прямых. Владеть формулами расстояния от точки до прямой, площади параллелограмма в координатах… Пользоваться методом координат на плоскости, применять его при решении геометрических и практических задач».
ПР-11: «Применять метод координат в практико-ориентированных геометрических задачах».
Виды деятельности ФРП R03: применять метод координат в практически-ориентированных задачах, исследовать приложения метода координат в вычислительной математике и информатике, знакомиться с историей метода координат.

повторение: R03.1–R03.6

Разминка · устно

Инструменты метода координат

Найдите длину $A B$ . $5$
Координаты середины $A B$ ? $(2, 5; 4)$
Угловой коэффициент прямой $A B$ ? $k = \frac{4}{3}$
Уравнение окружности с центром $A$ через $B$ ? $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$
Расстояние от $O$ до прямой $3 x + 4 y - 10 = 0$ ? $2$
Площадь параллелограмма на $O A$ и $OB$ ? $∣1 \cdot 6 - 4 \cdot 2∣ = 2$

R03.7

Новый материал · алгоритм

Метод координат за четыре шага

1

Вводим систему координат

начало — в вершине или центре, оси — по сторонам или оси симметрии

дорога — ось

O x

пример: остановка

2

Записываем координаты

данных и искомых точек; неизвестные — буквами

A (1; 4)

,

B (7; 2)

,

P (x; 0)

3

Переводим условие в формулы

расстояние, середина, прямая, окружность, площадь

P A^{2} = P B^{2}

4

Решаем и возвращаемся

к фигуре: масштаб, единицы, смысл ответа, проверка

x = 3

⇒ 3 км от начала

Геометрия → алгебра → геометрия: чертёж становится уравнениями, ответ уравнений — снова точкой, длиной, площадью.

2 мин · теория
Каждую карточку открывать по щелчку, спросить: какие формулы прошлых уроков работают на шаге 3? (Расстояние между точками, середина, уравнения прямой и окружности, расстояние от точки до прямой, площадь в координатах.)
Шаг 4 часто пропускают: ответ « $x = 3$ » — ещё не ответ задачи; нужно «остановка в 3 км от перекрёстка».
Метод особенно силён там, где «синтетическое» решение требует догадки: вычисление заменяет дополнительное построение.

R03.7

Новый материал · выбор системы координат

Удачные оси — короткие вычисления

Прямоугольник

$A (0; 0)$ , $B (0; b)$ , $C (a; b)$ , $D (a; 0)$

начало в вершине, оси по сторонам

Равнобедренный △

$A (- a; 0)$ , $B (a; 0)$ , $C (0; h)$

ось $O y$ — ось симметрии

Окружность

$x^{2} + y^{2} = R^{2}$

начало — в центре окружности

R03.7

Новый материал · перевод условия

Словарь: слова задачи → формулы

В условии говорят	На языке координат
расстояние между пунктами $A$ и $B$	$A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$
посередине между $A$ и $B$	$M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$
точка $P$ равноудалена от $A$ и $B$	$P A^{2} = P B^{2}$
зона действия радиуса $R$ с центром $(a; b)$	$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} \leq R^{2}$
прямая дорога, трасса, луч	$a x + b y + c = 0$ или $y = k x + m$
кратчайший путь от $M$ до дороги	$d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$
площадь участка (треугольник $O A B$ )	$S = \frac{1}{2} ∣ x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A} ∣$

2,5 мин · теория
Строки открывать по одной; ученики сначала сами называют формулу, потом щелчок.
Строка 3: квадраты удобнее самих расстояний — корни исчезают. Строка 6: прямую сначала привести к виду $a x + b y + c = 0$ . Строка 7: если вершина не в начале координат, берут векторы из одной вершины: $A B (x_{1}; y_{1})$ , $A C (x_{2}; y_{2})$ , $S = \frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ (урок R03.6). Многоугольник режем на треугольники из одной вершины.
Масштаб: если единица — $k$ метров, длины умножаются на $k$ , площади — на $k^{2}$ .

R03.7

Новый материал · доказательство методом координат

Диагонали и стороны параллелограмма

Дано:

A BC D

— параллелограмм.
Доказать:

A C^{2} + B D^{2} = 2 (A B^{2} + A D^{2})

.

1

A (0; 0)

,

D (a; 0)

,

B (b; c)

⇒

C (a + b; c)

ось

O x

по

A D

;

BC = A D

2

A C^{2} = (a + b)^{2} + c^{2}

,

B D^{2} = (a - b)^{2} + c^{2}

формула расстояния между точками

3

A C^{2} + B D^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2}

раскрыли скобки:

+ 2 ab

и

- 2 ab

сократились

4

2 (A B^{2} + A D^{2}) = 2 (b^{2} + c^{2} + a^{2})

A B^{2} = b^{2} + c^{2}

,

A D^{2} = a^{2}

— совпало с п. 3, что и требовалось доказать

R03.7

Новый материал · метод координат вокруг нас

Где работают уравнения окружностей и прямых

Навигация (GPS, ГЛОНАСС)

расстояние до спутника — окружность; приёмник в общей точке окружностей

Станки с ЧПУ и роботы

траектория инструмента — отрезки и дуги, заданные уравнениями

Компьютерная графика

точка внутри круга, если $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} < R^{2}$

История

Р. Декарт («Геометрия», 1637) и П. Ферма соединили алгебру и геометрию

2 мин · теория
Рисунок: три окружности (расстояния до трёх «станций») пересекаются в одной точке — так приёмник находит своё положение. На плоскости двух окружностей мало — общих точек две; третья окружность выбирает одну. Тот же приём — в задаче о двух маяках (повышенный уровень).
Числа рисунка: станции $(0; 0)$ , $(8; 0)$ , $(2; 7)$ , расстояния $5$ , $5$ , $20$ — общая точка $(4; 3)$ .
Связь с информатикой: проверка попадания точки в круг и по одну сторону от прямой (знак $a x + b y + c$ ) — основа алгоритмов компьютерной графики и игр.

R03.7

Образец → сам · равноудалённая точка

Где поставить остановку?

Образец: дорога — ось $O x$ , дома $A (1; 4)$ и $B (7; 2)$ , единица — 1 км. Остановка $P$ на дороге равноудалена от домов.

$P (x; 0)$ , $P A^{2} = P B^{2}$ точка на оси $O x$

$(x - 1)^{2} + 16 = (x - 7)^{2} + 4$ формула расстояния

$12 x = 36$ , $x = 3$ квадраты $x^{2}$ сократились

$P (3; 0)$ , $P A = 20 \approx 4, 5$ км

Сам

На оси $O x$ : дома $A (0; 4)$ и $B (6; 2)$ . Где остановка? $P (2; 0)$
На оси $O y$ : дома $A (2; 1)$ и $B (4; 5)$ . Где колодец? $(0; 4, 5)$
$P (4; 0)$ равноудалена от $A (1; 3)$ и $B (m; 3)$ , $m \neq = 1$ . Найдите $m$ . $m = 7$

R03.7

Образец → сам · зона покрытия

Где на дороге есть связь?

Образец: вышка $C (2; 3)$ действует на 5 км, дорога $y = x - 4$ . Найдите участок дороги со связью.

$(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$ граница зоны — окружность

$(x - 2)^{2} + (x - 7)^{2} = 25$ подставили $y = x - 4$

$x^{2} - 9 x + 14 = 0$ $x = 2$ или $x = 7$ : $M (2; - 2)$ , $N (7; 3)$

$MN = 52 \approx 7, 1$ км $MN = 5^{2} + 5^{2}$

Сам

Есть ли связь в посёлке $K (6; 7)$ (вышка та же)? нет: $C K^{2} = 32 > 25$
Вышка $O (0; 0)$ , $R = 5$ , дорога $y = 3$ . Длина участка со связью? $8$ км
Вышка $O (0; 0)$ , $R = 3$ . Заходит ли в зону дорога $x + y = 6$ ? нет: $d = 32 > 3$

R03.7

Образец → сам · кратчайший путь до дороги

Сколько идти до трассы?

Образец: дом $H (5; 6)$ , трасса $3 x + 4 y - 12 = 0$ , единица — 100 м. Найдите кратчайший путь от дома до трассы.

кратчайший путь — перпендикуляр $H F$ перпендикуляр короче наклонной

$d = \frac{∣3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 - 12∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}}$ формула расстояния до прямой

$d = \frac{27}{5} = 5, 4$ ед. $25 = 5$

$5, 4 \cdot 100 = 540$ мперевели масштаб

Сам

Расстояние от $A (2; - 1)$ до прямой $4 x - 3 y + 9 = 0$ . $4$
Кто ближе к дороге $x - y + 1 = 0$ : $P (3; 1)$ или $Q (- 1; 4)$ ? $P$ : $\frac{3}{2} < \frac{4}{2}$
При каком $c > 0$ прямая $3 x + 4 y + c = 0$ удалена от $O$ на 2? $c = 10$

R03.7

Образец → сам · площадь участка

Площадь участка по координатам углов

Образец: углы участка $A (0; 0)$ , $B (8; 1)$ , $C (9; 7)$ , $D (2; 6)$ , единица — 10 м. Найдите площадь.

диагональ $A C$ — два треугольникаоба с вершиной $A (0; 0)$

$S_{A BC} = \frac{1}{2} ∣8 \cdot 7 - 9 \cdot 1∣ = 23, 5$ $S = \frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$

$S_{A C D} = \frac{1}{2} ∣9 \cdot 6 - 2 \cdot 7∣ = 20$

$S = 43, 5 \cdot 1 0^{2} = 4350$ м²площадь — на квадрат масштаба

Сам

Площадь $△ O A B$ : $O (0; 0)$ , $A (6; 2)$ , $B (2; 5)$ . $13$
Площадь $△ A BC$ : $A (1; 1)$ , $B (7; 3)$ , $C (3; 6)$ . $13$
$O A BC$ — параллелограмм, $O (0; 0)$ , $A (5; 1)$ , $C (1; 4)$ . Найдите $B$ и $S$ . $B (6; 5)$ , $S = 19$

2,5 мин · практика
Образец: $S_{A BC} = \frac{1}{2} ∣56 - 9∣ = 23, 5$ , $S_{A C D} = \frac{1}{2} ∣54 - 14∣ = 20$ , всего $43, 5$ квадратных единиц; одна единица — $10 \times 10 = 100$ м², поэтому $4350$ м² (43,5 сотки). Проверка формулой площади многоугольника по координатам («шнурования»): тот же результат.
1) $\frac{1}{2} ∣6 \cdot 5 - 2 \cdot 2∣ = 13$ . 2) $A B (6; 2)$ , $A C (2; 5)$ : $\frac{1}{2} ∣30 - 4∣ = 13$ — тот же треугольник, сдвинутый на $(1; 1)$ : площадь при сдвиге не меняется. 3) $B = A + C = (6; 5)$ , $S = ∣5 \cdot 4 - 1 \cdot 1∣ = 19$ .
Ошибка: в задании 2 подставлять координаты $B$ и $C$ вместо векторов из вершины $A$ (слайд 15).

R03.7

Образец → сам · комбинированная задача

Ретранслятор для трёх посёлков

Образец: посёлки $A (0; 0)$ , $B (8; 0)$ , $C (2; 6)$ (км). Ретранслятор $O$ равноудалён от всех. Где он и каков радиус?

$O A = OB$ ⇒ $x = 4$ серединный перпендикуляр к $A B$

$x^{2} + y^{2} = (x - 2)^{2} + (y - 6)^{2}$ $O A^{2} = O C^{2}$

$x + 3 y = 10$ ⇒ $y = 2$ , $O (4; 2)$

$R = 25 \approx 4, 5$ км $R = O A = 16 + 4$

Сам

$A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ , $C (0; 8)$ . Центр и радиус? $(3; 4)$ , $R = 5$
$A (- 4; 0)$ , $B (4; 0)$ , $C (0; 8)$ . Центр и радиус? $(0; 3)$ , $R = 5$
Точка на прямой $y = x$ , равноудалённая от $A (1; 1)$ и $B (5; 1)$ ? $(3; 3)$

2,5 мин · практика
Образец: из $O A^{2} = O C^{2}$ : $0 = - 4 x + 4 - 12 y + 36$ ⇒ $4 x + 12 y = 40$ ⇒ $x + 3 y = 10$ ; при $x = 4$ : $y = 2$ . Проверка: $O A^{2} = O B^{2} = O C^{2} = 20$ . $R = 25 \approx 4, 47$ км. Это центр описанной окружности треугольника.
1) Прямоугольный треугольник: центр — середина гипотенузы $BC$ , $(3; 4)$ , $R = 5$ . 2) $x = 0$ (симметрия), $(x + 4)^{2} + y^{2} = x^{2} + (y - 8)^{2}$ ⇒ $16 = - 16 y + 64$ , $y = 3$ ; $R = 16 + 9 = 5$ . 3) $x = 3$ (серединный перпендикуляр к $A B$ ), на $y = x$ : $(3; 3)$ ; $P A = PB = 22$ .
Углублённый уровень: спросить, почему центр лежит внутри треугольника в образце и на стороне в задании 1 (остроугольный / прямоугольный треугольник).

R03.7

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ : центр $(2; 1)$ , $R = 9$	в уравнении $R^{2}$ , а знак в скобке — противоположный координате	центр $(2; - 1)$ , $R = 3$
$y = 2 x + 3$ , $M (1; 1)$ : $d = \frac{∣2 \cdot 1 + 3∣}{5}$	не подставили $y_{0}$ : прямую не привели к $a x + b y + c = 0$	$2 x - y + 3 = 0$ : $d = \frac{∣2 - 1 + 3∣}{5} = \frac{4}{5}$
единица — 10 м, $S = 43, 5$ ⇒ $435$ м²	длины умножают на $k$ , а площади — на $k^{2}$	$43, 5 \cdot 100 = 4350$ м²

R03.7

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Центр и радиус окружности $x^{2} - 6 x + y^{2} + 4 y = 12$ .

$(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 12$

центр $(3; - 2)$ , $R = 12$

добавили $9 + 4$ слева — и справа: $= 25$ , $R = 5$

б) Точка на $O x$ , равноудалённая от $A (2; 3)$ и $B (6; 1)$ .

$(x - 2)^{2} + 9 = (x - 6)^{2} + 1$

$- 4 x + 13 = - 12 x + 37$ ⇒ $- 16 x = 24$ , $x = - 1, 5$

$- 4 x + 12 x = 37 - 13$ ⇒ $8 x = 24$ , $x = 3$ : $P (3; 0)$

в) Площадь $△ A BC$ : $A (1; 2)$ , $B (5; 3)$ , $C (2; 6)$ .

$S = \frac{1}{2} ∣5 \cdot 6 - 2 \cdot 3∣ = 12$

векторы из $A$ : $A B (4; 1)$ , $A C (1; 4)$ , $S = \frac{1}{2} ∣16 - 1∣ = 7, 5$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Выделяя полные квадраты, прибавили $9$ и $4$ только слева: $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 12 + 13 = 25$ , центр $(3; - 2)$ , $R = 5$ .
б) Первая строка верна; ошибка в переносе: $- 4 x + 12 x = 37 - 13$ , $8 x = 24$ , $x = 3$ . Проверка: $P A^{2} = 1 + 9 = 10$ , $P B^{2} = 9 + 1 = 10$ . Отрицательный $x$ должен насторожить: обе точки правее оси $O y$ .
в) Формула $\frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ верна только для треугольника с вершиной в начале координат; иначе — векторы из одной вершины. Ответ $7, 5$ .

R03.7

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаРасстояние между пунктами $A (- 1; 2)$ и $B (5; 10)$ . $10$
базаСередина между $A (- 3; 4)$ и $B (5; - 2)$ . $(1; 1)$
базаЦентр и радиус зоны $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} \leq 36$ . $(- 1; 4)$ , $R = 6$

базаЛежит ли $M (3; - 1)$ в круге $x^{2} + y^{2} \leq 9$ ? нет: $10 > 9$
базаРасстояние от $M (1; 3)$ до прямой $5 x + 12 y - 15 = 0$ . $2$
базаПлощадь $△ O A B$ : $A (4; 1)$ , $B (2; 5)$ . $9$

R03.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Длина хорды, которую прямая $y = x$ высекает на окружности $x^{2} + y^{2} - 8 x = 0$ . $42$
повыш.Докажите методом координат: для прямоугольника $A BC D$ и любой точки $M$ верно $M A^{2} + M C^{2} = M B^{2} + M D^{2}$ . обе части равны $x^{2} + y^{2} + (x - a)^{2} + (y - b)^{2}$
из жизниМаяки $A (0; 0)$ и $B (10; 0)$ (км). Судно севернее линии маяков, в 6 км от $A$ и в 8 км от $B$ . Его координаты? $(3, 6; 4, 8)$
повыш.Ближайшая к $O (0; 0)$ точка прямой $y = x + 1$ . $(- 0, 5; 0, 5)$

R03.7 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 23

Координаты помогают и на экзамене

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь треугольника $A BC$ .

$A B (6; 1)$ , $A C (2; 5)$ : $S = \frac{1}{2} ∣30 - 2∣ = 14$

ОГЭ 23 В прямоугольнике $A BC D$ : $A D = 8$ , $A B = 6$ . Найдите расстояние от $D$ до прямой $A C$ .

$A (0; 0)$ , $C (8; 6)$ ,
$D (8; 0)$

$A C$ : $3 x - 4 y = 0$

$DH = \frac{∣24 - 0∣}{5} = 4, 8$

R03.7

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Расстояние между $A (2; - 3)$ и $B (- 4; 5)$ . $10$
Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y = 6$ . $(- 3; 1)$ , $R = 4$
Расстояние от $(3; 4)$ до прямой $6 x + 8 y - 5 = 0$ . $4, 5$
Площадь $△ A BC$ : $A (1; 0)$ , $B (5; 2)$ , $C (2; 4)$ . $7$

Вариант 2

Расстояние между $A (- 1; 4)$ и $B (11; - 1)$ . $13$
Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} - 4 x + 8 y = 5$ . $(2; - 4)$ , $R = 5$
Расстояние от $(- 2; 1)$ до прямой $8 x - 6 y + 3 = 0$ . $1, 9$
Площадь $△ A BC$ : $A (2; 1)$ , $B (6; 2)$ , $C (3; 5)$ . $7, 5$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Назовите четыре шага метода координат.
Как удобно ввести оси для прямоугольника? для окружности?
Как масштаб меняет площадь?

Домашнее задание

Точка на $O y$ , равноудалённая от $A (3; 1)$ и $B (- 1; 5)$ .
Вышка $O (0; 0)$ , $R = 10$ км, дорога $3 x + 4 y - 40 = 0$ . Длина участка со связью?
* Методом координат: медиана к гипотенузе равна её половине.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-041 · Применение метода координат в практически-ориентированных геометрических задачах

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Метод координат», 10 ч · урок 7/10 · тип Н
Единицы → слайды	R03.7 «Применение метода координат в практически-ориентированных геометрических задачах» → 2, 4–20 · повторение R03.1–R03.6 → 3
Результаты	ПР-10 (метод координат на плоскости в геометрических и практических задачах) → 4–7, 9–19 · ПР-11 (практико-ориентированные задачи) → 8–13, 17, 20
Вне урока	практикум по уравнению прямой — GEOM9U-042; угловой коэффициент — GEOM9U-043; обобщение — GEOM9U-044; векторы — R04
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Применение метода координат в практических задачах

Сегодня вы научитесь

Выбирать систему координат

Переводить условие на язык формул

Решать практические задачи

Доказывать методом координат

Инструменты метода координат

Метод координат за четыре шага

Вводим систему координат

Записываем координаты

Переводим условие в формулы

Решаем и возвращаемся

Удачные оси — короткие вычисления

Прямоугольник

Равнобедренный △

Окружность

Словарь: слова задачи → формулы

Диагонали и стороны параллелограмма

Где работают уравнения окружностей и прямых

Навигация (GPS, ГЛОНАСС)

Станки с ЧПУ и роботы

Компьютерная графика

История

Где поставить остановку?

Образец: дорога — ось Ox, дома A(1;4) и B(7;2), единица — 1 км. Остановка P на дороге равноудалена от домов.

Сам

Где на дороге есть связь?

Образец: вышка C(2;3) действует на 5 км, дорога y=x−4. Найдите участок дороги со связью.

Сам

Сколько идти до трассы?

Образец: дом H(5;6), трасса 3x+4y−12=0, единица — 100 м. Найдите кратчайший путь от дома до трассы.

Сам

Площадь участка по координатам углов

Образец: углы участка A(0;0), B(8;1), C(9;7), D(2;6), единица — 10 м. Найдите площадь.

Сам

Ретранслятор для трёх посёлков

Образец: посёлки A(0;0), B(8;0), C(2;6) (км). Ретранслятор O равноудалён от всех. Где он и каков радиус?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Центр и радиус окружности x2−6x+y2+4y=12.

б) Точка на Ox, равноудалённая от A(2;3) и B(6;1).

в) Площадь △ABC: A(1;2), B(5;3), C(2;6).

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Координаты помогают и на экзамене

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-041 · Применение метода координат в практически-ориентированных геометрических задачах

Образец: дорога — ось $O x$ , дома $A (1; 4)$ и $B (7; 2)$ , единица — 1 км. Остановка $P$ на дороге равноудалена от домов.

Образец: вышка $C (2; 3)$ действует на 5 км, дорога $y = x - 4$ . Найдите участок дороги со связью.

Образец: дом $H (5; 6)$ , трасса $3 x + 4 y - 12 = 0$ , единица — 100 м. Найдите кратчайший путь от дома до трассы.

Образец: углы участка $A (0; 0)$ , $B (8; 1)$ , $C (9; 7)$ , $D (2; 6)$ , единица — 10 м. Найдите площадь.

Образец: посёлки $A (0; 0)$ , $B (8; 0)$ , $C (2; 6)$ (км). Ретранслятор $O$ равноудалён от всех. Где он и каков радиус?

а) Центр и радиус окружности $x^{2} - 6 x + y^{2} + 4 y = 12$ .

б) Точка на $O x$ , равноудалённая от $A (2; 3)$ и $B (6; 1)$ .

в) Площадь $△ A BC$ : $A (1; 2)$ , $B (5; 3)$ , $C (2; 6)$ .