Метод координат · урок 6 из 10

Площадь параллелограмма в координатах

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
Понятие об ориентированной площади
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9U-040

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Метод координат» (10 ч), урок 6/10, единица R03.6. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · теорема 1,5 · доказательство 1 — 2 · доказательство 2 — 1,5 · любая вершина 1,5 · ориентированная площадь 2 · дополнительно (многоугольник) 1,5 · схема 1,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 5 × 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 18 — 2 · задача из жизни 1 · самостоятельная 5 · итог 1.
Картинка на титуле — идея второго доказательства: из «рамки» вырезают три пары фигур, остаётся параллелограмм.
Если не успеваете: слайд «Дополнительно» (многоугольник) — коротко, задачу из жизни — в ДЗ; доказательства не сокращать.

R03.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить формулу

площади параллелограмма в координатах — двумя способами (ПР-10)

Находить площади

параллелограмма, треугольника и многоугольника по координатам вершин

Понимать знак

ориентированной площади: обход вершин, точки на одной прямой (ПР-10)

Применять

в задачах с параметром, ОГЭ 18 и на плане участка (ПР-11)

0,5 мин · теория
ПР-10: «…Владеть формулами расстояния от точки до прямой, площади параллелограмма в координатах, иметь понятие об ориентированной площади. Пользоваться методом координат на плоскости, применять его при решении геометрических и практических задач».
ПР-11: «Применять метод координат в практико-ориентированных геометрических задачах».
Виды деятельности ФРП R03: выводить формулу площади параллелограмма в координатах, знакомиться с понятием ориентированной площади.

повторение: R03.5, 8 класс

Разминка · устно

Расстояния, прямые и площади

Расстояние от $O (0; 0)$ до $A (3; 4)$ ? $5$
Расстояние от $M (2; 1)$ до прямой $3 x + 4 y - 5 = 0$ ? $1$
Уравнение прямой через $O$ и $A (3; 4)$ ? $4 x - 3 y = 0$
Перенесли начало координат в точку $(1; 1)$ . Новые координаты точки $(5; 2)$ ? $(4; 1)$

Сторона параллелограмма $8$ , высота к ней $3$ . Площадь? $24$
Стороны параллелограмма $6$ и $5$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Площадь? $15$
Площадь прямоугольного треугольника с катетами $4$ и $7$ ? $14$

R03.6

Новый материал · теорема

Площадь по координатам вершин

O A CB

— параллелограмм,

O

— начало координат,

A (x_{1}; y_{1})

,

B (x_{2}; y_{2})

. Тогда

S = ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣

Четвёртая вершина: $C (x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2})$ — диагонали делятся пополам.

На рисунке $A (5; 1)$ , $B (2; 4)$ : $S = ∣5 \cdot 4 - 2 \cdot 1∣ = 18$ .

1,5 мин · теория
Формулировка: площадь параллелограмма, построенного на отрезках OA и OB, равна модулю разности произведений «крест-накрест»: x первой точки на y второй минус x второй на y первой.
Почему C(x₁ + x₂; y₁ + y₂): середина OC должна совпасть с серединой AB — ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2).
Проверка на клетках: рамка 7 × 5 = 35, это мы увидим во втором доказательстве (35 − 5 − 8 − 4 = 18).
Вопрос классу: чему равна площадь треугольника OAB? (половина — 9.)

R03.6

Доказательство 1 · через расстояние до прямой

Основание $O A$ , высота $h$ — по формуле урока 39

1

S = O A \cdot h

h

— расстояние от

B

до прямой

O A

2прямая

O A

:

y_{1} x - x_{1} y = 0

проходит через

O (0; 0)

и

A (x_{1}; y_{1})

3

h = \frac{∣ y _{1} x _{2} - x _{1} y _{2} ∣}{y _{1}^{2} + x _{1}^{2}}

расстояние от точки

B (x_{2}; y_{2})

до прямой

4

O A = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}

расстояние между точками

5

S = ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣

корни сокращаются;

∣ y_{1} x_{2} - x_{1} y_{2} ∣ = ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣

R03.6

Доказательство 2 · «рамка» на клетках

Из прямоугольника вырезаем три пары фигур

1рамка

(x_{1} + x_{2}) (y_{1} + y_{2})

прямоугольник со сторонами по линиям сетки

2две «1»:

2 \cdot \frac{1}{2} x_{1} y_{1} = x_{1} y_{1}

прямоугольные треугольники с катетами

x_{1}

,

y_{1}

3две «2»:

2 \cdot \frac{1}{2} x_{2} y_{2} = x_{2} y_{2}

катеты

x_{2}

,

y_{2}

4две «3»:

2 x_{2} y_{1}

прямоугольники

x_{2} \times y_{1}

5

S = x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}

раскройте скобки; здесь:

35 - 5 - 8 - 4 = 18

1,5 мин · теория
Вычисление шага 5: (x₁ + x₂)(y₁ + y₂) − x₁y₁ − x₂y₂ − 2x₂y₁ = x₁y₁ + x₁y₂ + x₂y₁ + x₂y₂ − x₁y₁ − x₂y₂ − 2x₂y₁ = x₁y₂ − x₂y₁.
На рисунке: рамка 7 × 5 = 35; «1»: 2 · ½ · 5 · 1 = 5; «2»: 2 · ½ · 2 · 4 = 8; «3»: 2 · 2 · 1 = 4; 35 − 17 = 18 ✓.
Важно (углублённый уровень): это доказательство — только для такого расположения (все координаты положительны, B «левее и выше» A). Знак модуля здесь не нужен, потому что x₁y₂ − x₂y₁ > 0. Общий случай даёт доказательство 1. Этот способ — основа решения задач ОГЭ 18 на клетчатой бумаге.

R03.6

Образец → сам · вершина в начале координат

Найдите площадь и четвёртую вершину

Образец: $O A CB$ — параллелограмм, $A (6; 2)$ , $B (1; 3)$ . Найдите $C$ и $S$ .

$C (6 + 1; 2 + 3) = C (7; 5)$ $x_{C} = x_{1} + x_{2}$ , $y_{C} = y_{1} + y_{2}$

$S = ∣6 \cdot 3 - 1 \cdot 2∣ = ∣18 - 2∣ = 16$ теорема

$S_{△ O A B} = 16 : 2 = 8$ диагональ делит пополам

Сам: $S_{O A CB}$ , если

$A (3; 0)$ , $B (1; 4)$ $12$
$A (4; - 1)$ , $B (2; 3)$ $14$
$A (- 2; 3)$ , $B (4; 1)$ $14$

R03.6

Новый материал · вершина не в начале координат

Переносим начало координат в вершину $A$

Для

A BC D

берём разности от общей вершины

A

:

a_{1} = x_{B} - x_{A}, a_{2} = y_{B} - y_{A}

b_{1} = x_{D} - x_{A}, b_{2} = y_{D} - y_{A}

S_{A BC D} = ∣ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} ∣

S_{△ A B D} = \frac{1}{2} ∣ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} ∣

Здесь $(5; 1)$ и $(1; 3)$ : $S = ∣15 - 1∣ = 14$ .

R03.6

Образец → сам · треугольник по трём вершинам

Сначала разности, потом формула

Образец: $A (1; 2)$ , $B (6; 3)$ , $C (3; 7)$ . Найдите $S_{△ A BC}$ .

от $A$ : $(5; 1)$ и $(2; 5)$ разности координат

$5 \cdot 5 - 1 \cdot 2 = 23$ «крест-накрест»

$S = \frac{1}{2} \cdot 23 = 11, 5$ половина параллелограмма

Сам

$S_{△ A BC}$ : $A (- 1; 0)$ , $B (3; 2)$ , $C (1; 5)$ . $8$
$S_{A BC D}$ параллелограмма: $A (2; 1)$ , $B (7; 2)$ , $D (3; 5)$ . $19$
$S_{△ K L M}$ : $K (1; 1)$ , $L (4; - 2)$ , $M (5; 3)$ . $9$

R03.6

Понятие · ориентированная площадь

Знак $D = x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$ — направление поворота

$D = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 11 > 0$
от $O A$ к $OB$ — против часовой

$D = 1 \cdot 1 - 4 \cdot 3 = - 11 < 0$
от $O A$ к $OB$ — по часовой

Ориентированная площадь пары

(A, B)

— число

D

со знаком,

∣ D ∣ = S

$D = 0$ $\Leftrightarrow$ $O$ , $A$ , $B$ на одной прямой

поменяли $A$ и $B$ — знак сменился: $D (B, A) = - D (A, B)$

2 мин · теория
Определение: ориентированная площадь упорядоченной пары точек (A, B) — число D = x₁y₂ − x₂y₁. Модуль — площадь параллелограмма OACB, знак — направление кратчайшего поворота от луча OA к лучу OB: «+» против часовой стрелки, «−» по часовой.
Обоснование знака: при фиксированной A выражение D = x₁·y − y₁·x обращается в 0 только на прямой OA (это её уравнение). В каждой из двух полуплоскостей знак постоянен. Проверка: A(1; 0), B(0; 1) — поворот против часовой, D = 1 > 0.
Для треугольника ABC: знак D от вершины A показывает порядок обхода A → B → C (против часовой — «+»). Это используют в компьютерной графике и навигации: «точка слева или справа от направления движения».

R03.6

Образец → сам · знак ориентированной площади

Обход, «слева — справа», одна прямая

Образец: $A (1; 1)$ , $B (5; 2)$ , $C (2; 4)$ . Как идёт обход $A \to B \to C$ ? Найдите $S_{△ A BC}$ .

от $A$ : $(4; 1)$ , $(1; 3)$ ; $D = 12 - 1 = 11$

$D > 0$ — против часовой знак

$S = \frac{1}{2} \cdot 11 = 5, 5$ модуль

Сам

Обход $A \to B \to C$ : $A (0; 0)$ , $B (2; 5)$ , $C (4; 1)$ ? $D = - 18$ : по часовой
На одной ли прямой $(- 1; - 1)$ , $(1; 3)$ , $(2; 5)$ ? $D = 0$ : да
Идём по лучу из $O$ к $B (4; 2)$ . Точка $M (3; 3)$ слева или справа? $D = 6 > 0$ : слева

R03.6

Образец → сам · обратная задача с параметром

Модуль даёт два ответа

Образец: $A (4; 1)$ , $B (t; 3)$ . При каких $t$ площадь $△ O A B$ равна $5$ ?

$D = 4 \cdot 3 - t \cdot 1 = 12 - t$ теорема

$\frac{1}{2} ∣12 - t ∣ = 5$ , $∣12 - t ∣ = 10$ площадь — модуль

$t = 2$ или $t = 22$ две точки на прямой $y = 3$

Сам: найдите $t$

$A (3; 2)$ , $B (t; 4)$ , $S_{O A CB} = 8$ . $t = 2$ или $t = 10$
$P (1; 1)$ , $Q (3; 5)$ , $R (t; 9)$ на одной прямой. $t = 5$
$A (2; 1)$ , $B (t; t)$ , $S_{△ O A B} = 3$ . $t = 6$ или $t = - 6$

2,5 мин · практика
Образец, проверка: t = 2 — D = 10, S = 5 ✓; t = 22 — D = −10, S = 5 ✓. Геометрически: B движется по прямой y = 3; подходят две её точки — по разные стороны от прямой OA на одинаковом расстоянии от неё (высота 10/√17).
1) D = 3·4 − 2t = 12 − 2t; |12 − 2t| = 8 ⇒ t = 2 или t = 10. Проверка: 12 − 4 = 8 ✓; 12 − 20 = −8 ✓.
2) от P: (2; 4), (t − 1; 8): 2·8 − 4(t − 1) = 0 ⇒ 16 = 4t − 4 ⇒ t = 5. Проверка: точки лежат на y = 2x − 1: 2·5 − 1 = 9 ✓.
3) D = 2t − 1·t = t; |t| / 2 = 3 ⇒ t = ±6. При t = 0 точка B совпадает с O — треугольника нет; это значение не подходит и не возникает.

R03.6 · сверх ФРП

Дополнительно · площадь многоугольника

Сумма ориентированных площадей по контуру

S = \frac{1}{2} ∣ D_{1} + D_{2} + \dots + D_{n} ∣

$D_{i} = x_{i} y_{i + 1} - x_{i + 1} y_{i}$ для соседних вершин по обходу (последняя — с первой)

пара	$D_{i}$
$A, B$	$1 \cdot 1 - 5 \cdot 0 = 1$
$B, C$	$5 \cdot 4 - 4 \cdot 1 = 16$
$C, D$	$4 \cdot 3 - 0 \cdot 4 = 12$
$D, A$	$0 \cdot 0 - 1 \cdot 3 = - 3$

$S = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13$

1,5 мин · теория
Идея: D_i / 2 — ориентированная площадь треугольника O P_i P_(i+1). Сумма по контуру: треугольники «туда» и «обратно» взаимно уничтожаются вне многоугольника, остаётся его площадь (на рисунке цветные треугольники с вершиной O; у DOA ориентированная площадь отрицательна — он «вычитается»).
Проверка «рамкой»: 5 × 4 = 20; угловые треугольники 2 + 1,5 + 2 + 1,5 = 7; 20 − 7 = 13 ✓.
Формула верна для многоугольника без самопересечений при обходе вершин по порядку. Её называют формулой Гаусса («формула шнурования»); так считают площадь участка по кадастровым координатам (сл. 21). Слайд сверх ФРП — можно дать как сведение.

R03.6

Образец → сам · комбинированная задача

Высота через площадь

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 5)$ , $C (6; 0)$ . Найдите высоту треугольника, проведённую из $C$ .

$(3; 4)$ , $(5; - 1)$ : $D = - 3 - 20 = - 23$ , $S = 11, 5$

$A B = 3^{2} + 4^{2} = 5$ расстояние

$h = \frac{2 S}{A B} = \frac{23}{5} = 4, 6$ $S = \frac{1}{2} A B \cdot h$

Сам

$A (0; 0)$ , $B (5; 1)$ , $C (6; 5)$ , $D (1; 4)$ . Докажите, что $A BC D$ — параллелограмм, найдите $S$ . $A B ∥ D C$ , $A B = D C$ ; $S = 19$
$O A CB$ : $A (4; 3)$ , $B (1; 5)$ . Найдите высоту к стороне $O A$ . $3, 4$
$S$ четырёхугольника $A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ , $C (5; 4)$ , $D (1; 3)$ . $12 + 5, 5 = 17, 5$

R03.6

Схема-конспект

Площади в координатах — одна формула

Что дано	Формула	Запомнить
$O$ , $A (x_{1}; y_{1})$ , $B (x_{2}; y_{2})$	$S_{O A CB} = ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$	«крест-накрест», модуль
вершина $A$ не в $O$	разности от $A$ : $(a_{1}; a_{2})$ , $(b_{1}; b_{2})$ , $S = ∣ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} ∣$	сначала вычесть $x_{A}$ , $y_{A}$
треугольник	$S_{△} = \frac{1}{2} ∣ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} ∣$	половина параллелограмма
знак $D$ без модуля	$D > 0$ — против часовой, $D < 0$ — по часовой	$D = 0$ — одна прямая
многоугольник	$S = \frac{1}{2} ∣ D_{1} + \dots + D_{n} ∣$	вершины по порядку обхода

R03.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = - 7$ , «площадь $- 7$ »	$- 7$ — ориентированная площадь, а площадь неотрицательна	$S = ∣ - 7∣ = 7$
$A (1; 2)$ , $B (4; 3)$ , $D (2; 5)$ : $S = ∣4 \cdot 5 - 2 \cdot 3∣ = 14$	взяты координаты вершин, а не разности от $A$	$(3; 1)$ , $(1; 3)$ : $S = ∣9 - 1∣ = 8$
$S = ∣ x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2} ∣$	перемножают координаты одной точки	$∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ — «крест-накрест»
треугольник: $S = ∣ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} ∣$	это площадь параллелограмма	$S_{△} = \frac{1}{2} ∣ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} ∣$

R03.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A (2; 1)$ , $B (5; 3)$ , $C (1; 6)$ . Найдите $S_{△ A BC}$ .

от $A$ : $(3; 2)$ , $(- 1; 5)$

$3 \cdot 5 - 2 \cdot (- 1) = 17$

$S_{△ A BC} = 17$

$S = \frac{1}{2} \cdot 17 = 8, 5$ — треугольник

б) $A (3; 1)$ , $B (1; 2)$ . Куда поворот от $O A$ к $OB$ ?

$D = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 5$

$D > 0$ , значит по часовой стрелке

$D > 0$ — против часовой

в) $A (2; 1)$ , $B (t; 3)$ , $S_{△ O A B} = 4$ . Найдите $t$ .

$D = 6 - t$

$\frac{1}{2} (6 - t) = 4$ , $t = - 2$

$∣6 - t ∣ = 8$ :
$t = - 2$ или $t = 14$

R03.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $S_{O A CB}$ : $A (4; 1)$ , $B (1; 3)$ $11$
база $S_{O A CB}$ : $A (5; 0)$ , $B (2; 3)$ $15$
база $S_{△ O A B}$ : $A (6; 2)$ , $B (2; 4)$ $10$
база $S_{△ A BC}$ : $A (1; 1)$ , $B (5; 1)$ , $C (3; 6)$ $10$
база $S_{A BC D}$ параллелограмма: $A (- 1; 1)$ , $B (4; 2)$ , $D (0; 4)$ $14$
базаЛежат ли на одной прямой $(0; 1)$ , $(2; 5)$ , $(3; 7)$ ? да, $D = 0$

R03.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.При каких $t$ площадь $△ O A B$ , $A (t; 2)$ , $B (3; 4)$ , равна $7$ ? $t = 5$ или $t = - 2$
повыш.Найдите площадь четырёхугольника $A (- 2; 0)$ , $B (3; - 1)$ , $C (4; 3)$ , $D (0; 5)$ . $22, 5$
повыш.Через площадь найдите расстояние от $C (5; 6)$ до прямой $A B$ , $A (1; 2)$ , $B (4; - 2)$ . $5, 6$
повыш. $A (0; 0)$ , $B (4; 1)$ , $C (t; 3)$ . При каких $t$ обход $A \to B \to C$ идёт по часовой стрелке? $t > 12$

R03.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 18

Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь фигуры

ОГЭ 18 Параллелограмм

Ответ: 13

ОГЭ 18 Треугольник

Ответ: 12

ОГЭ 18 Четырёхугольник

Ответ: 17,5

2 мин · практика
Совет: отметить одну вершину как начало, считать клетки до соседних вершин — получаются разности; формула — проверка «рамки».
Параллелограмм: от нижней левой вершины стороны (5; 1) и (2; 3): 15 − 2 = 13 (рамка 7 × 4 = 28 − 2,5·2 − 3·2 − 2·2 = 28 − 5 − 6 − 4 = 13 ✓).
Треугольник: от левой нижней вершины (6; 3) и (2; 5): 30 − 6 = 24 → 12 (рамка 6 × 5 = 30 − 9 − 4 − 5 = 12 ✓).
Четырёхугольник: вершины (0; 1), (6; 0), (5; 4), (1; 4) от левого нижнего угла сетки фигуры: по формуле Гаусса (−6 + 24 + 16 + 1)/2 = 35/2 = 17,5 (рамка 6 × 4 = 24 − 3 − 2 − 0 − 1,5 = 17,5 ✓). В бланк — «17,5».

R03.6 · ПР-11

Задача из жизни · план участка

Площадь участка по координатам углов

На кадастровом плане углы участка заданы в метрах. Сколько в нём соток? (

1

сотка

= 100

м²)

Площадь участка в м²? $1137, 5$
Сколько соток (до десятых)? $\approx 11, 4$
Сосед говорит: «Участок — параллелограмм». Прав ли он? нет: $A B$ и $D C$ дают $(40; 10) \neq = (30; 15)$

R03.6

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$S_{O A CB}$ : $A (5; 2)$ , $B (1; 3)$ . $13$
$S_{△ A BC}$ : $A (1; 0)$ , $B (5; 2)$ , $C (2; 4)$ . $7$
Обход $A \to B \to C$ : $A (0; 0)$ , $B (3; 1)$ , $C (1; 4)$ ? против часовой
$A (2; 1)$ , $B (t; 4)$ , $S_{△ O A B} = 3$ . Найдите $t$ . $2$ или $14$

Вариант 2

$S_{O A CB}$ : $A (4; 3)$ , $B (1; 2)$ . $5$
$S_{△ A BC}$ : $A (2; 1)$ , $B (6; 2)$ , $C (3; 5)$ . $7, 5$
Обход $A \to B \to C$ : $A (0; 0)$ , $B (1; 4)$ , $C (3; 1)$ ? по часовой
$A (3; 1)$ , $B (t; 5)$ , $S_{△ O A B} = 4$ . Найдите $t$ . $7$ или $23$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти площадь, если вершина не в начале координат?
Что означает знак ориентированной площади?
Когда $D = 0$ ?

Домашнее задание

$S_{O A CB}$ : $A (7; 2)$ , $B (3; 5)$ .
$S_{△ A BC}$ : $A (- 2; 1)$ , $B (4; 3)$ , $C (1; 7)$ .
* $S$ пятиугольника $(0; 0)$ , $(4; 0)$ , $(6; 3)$ , $(3; 6)$ , $(0; 4)$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-040 · Площадь параллелограмма в координатах, понятие об ориентированной площади

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Метод координат», 10 ч · урок 6/10 · тип Н
Единицы → слайды	R03.6 «Площадь параллелограмма в координатах, понятие об ориентированной площади» → 2, 4–23 · повторение R03.5 (расстояние от точки до прямой) → 3, 5, 14
Результаты	ПР-10 (формулы расстояния от точки до прямой, площади параллелограмма в координатах, ориентированная площадь) → 4–20, 22 · ПР-11 (практико-ориентированные задачи) → 21
Вне урока	применение метода координат в практических задачах — GEOM9U-041; векторы и их координаты — строка R04; формула площади многоугольника — сверх ФРП (сл. 13, «Дополнительно»)
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Площадь параллелограмма в координатах

Сегодня вы научитесь

Выводить формулу

Находить площади

Понимать знак

Применять

Расстояния, прямые и площади

Площадь по координатам вершин

Основание OA, высота h — по формуле урока 39

Из прямоугольника вырезаем три пары фигур

Найдите площадь и четвёртую вершину

Образец: OACB — параллелограмм, A(6;2), B(1;3). Найдите C и S.

Сам: SOACB​, если

Переносим начало координат в вершину A

Сначала разности, потом формула

Образец: A(1;2), B(6;3), C(3;7). Найдите S△ABC​.

Сам

Знак D=x1​y2​−x2​y1​ — направление поворота

Обход, «слева — справа», одна прямая

Образец: A(1;1), B(5;2), C(2;4). Как идёт обход A→B→C? Найдите S△ABC​.

Сам

Модуль даёт два ответа

Образец: A(4;1), B(t;3). При каких t площадь △OAB равна 5?

Сам: найдите t

Сумма ориентированных площадей по контуру

Высота через площадь

Образец: A(1;1), B(4;5), C(6;0). Найдите высоту треугольника, проведённую из C.

Сам

Площади в координатах — одна формула

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) A(2;1), B(5;3), C(1;6). Найдите S△ABC​.

б) A(3;1), B(1;2). Куда поворот от OA к OB?

в) A(2;1), B(t;3), S△OAB​=4. Найдите t.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Клетка 1×1. Найдите площадь фигуры

Площадь участка по координатам углов

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-040 · Площадь параллелограмма в координатах, понятие об ориентированной площади

Основание $O A$ , высота $h$ — по формуле урока 39

Образец: $O A CB$ — параллелограмм, $A (6; 2)$ , $B (1; 3)$ . Найдите $C$ и $S$ .

Сам: $S_{O A CB}$ , если

Переносим начало координат в вершину $A$

Образец: $A (1; 2)$ , $B (6; 3)$ , $C (3; 7)$ . Найдите $S_{△ A BC}$ .

Знак $D = x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$ — направление поворота

Образец: $A (1; 1)$ , $B (5; 2)$ , $C (2; 4)$ . Как идёт обход $A \to B \to C$ ? Найдите $S_{△ A BC}$ .

Образец: $A (4; 1)$ , $B (t; 3)$ . При каких $t$ площадь $△ O A B$ равна $5$ ?

Сам: найдите $t$

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 5)$ , $C (6; 0)$ . Найдите высоту треугольника, проведённую из $C$ .

а) $A (2; 1)$ , $B (5; 3)$ , $C (1; 6)$ . Найдите $S_{△ A BC}$ .

б) $A (3; 1)$ , $B (1; 2)$ . Куда поворот от $O A$ к $OB$ ?

в) $A (2; 1)$ , $B (t; 3)$ , $S_{△ O A B} = 4$ . Найдите $t$ .

Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь фигуры