Метод координат · урок 5 из 10

Формула расстояния от точки до прямой

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9U-039 · единица R03.5

1 мин · теория (орг. момент, тема, план урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Метод координат» (10 ч), урок 5/10, тип Н (новый материал), единица R03.5 «Формула расстояния от точки до прямой».
Теория (13): титул 1 · цели 1 · понятие расстояния 3 · вывод формулы 5 · сводка и частные случаи 3.
Практика (32): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 5 = 12,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · задача из жизни 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: третье задание «сам» в образцах 4 и 5 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R03.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое расстояние

от точки до прямой — длина перпендикуляра (ПР-10)

Выводить формулу

$d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ и применять её (ПР-10)

Считать по координатам

расстояние между параллельными прямыми, высоту и площадь треугольника (ПР-9, ПР-10)

Решать обратные задачи

касание прямой и окружности, прямые на заданном расстоянии (ПР-10)

повторение: уроки 35–38

Разминка · устно

Семь коротких вопросов

$A B$ , если $A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ $5$
От $M (3; - 5)$ до оси $O x$ $5$
От $M (3; - 5)$ до прямой $x = - 1$ $4$
$3^{2} + 4^{2}$ и $5^{2} + 1 2^{2}$ $5$ и $13$

$M (2; 1)$ лежит на $3 x - 4 y - 2 = 0$ ? да
$y = 2 x - 3$ в виде $a x + b y + c = 0$ $2 x - y - 3 = 0$
$∣3 \cdot 1 - 4 \cdot 2 + 1∣$ $4$

R03.5

Новое · расстояние от точки до прямой

Расстояние — длина перпендикуляра

M H ⊥ l

,

H \in l

: расстояние от

M

до

l

равно

M H

. Перпендикуляр короче любой наклонной:

M H < M K

.

Простые случаи, $M (x_{0}; y_{0})$

до оси $O x$ : $∣ y_{0} ∣$ , до оси $O y$ : $∣ x_{0} ∣$

до прямой $x = m$ : $∣ x_{0} - m ∣$

до прямой $y = m$ : $∣ y_{0} - m ∣$

А если прямая наклонная? Нужна формула.

3 мин · теория
Определение из 7 класса: расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую; если точка на прямой — расстояние 0.
Почему перпендикуляр короче наклонной: в △MHK угол H прямой, MK — гипотенуза. На чертеже: M(4; −1), H(2; 3), K(6; 5), прямая x − 2y + 4 = 0: MH = √20 ≈ 4,47, MK = √40 ≈ 6,32.
Вопрос классу: как найти H, не зная формулы? (Прямая через M перпендикулярно l и пересечение — урок 38.) Это долго — сегодня выведем короткую формулу.

R03.5

Вывод формулы · доказательство

Высота прямоугольного треугольника

Дано:

l : a x + b y + c = 0

,

a \neq = 0

,

b \neq = 0

;

M (x_{0}; y_{0}) \in / l

.
Обозначим

δ = a x_{0} + b y_{0} + c \neq = 0

.

1

MP = \frac{∣ δ ∣}{∣ a ∣}

P \in l

на прямой

y = y_{0}

:

x_{P} = x_{0} - δ / a

2

MQ = \frac{∣ δ ∣}{∣ b ∣}

Q \in l

на прямой

x = x_{0}

:

y_{Q} = y_{0} - δ / b

3

PQ = M P^{2} + M Q^{2} = \frac{∣ δ ∣ a ^{2} + b ^{2}}{∣ ab ∣}

теорема Пифагора,

∠ PMQ = 9 0^{\circ}

4

M H = \frac{MP \cdot MQ}{PQ} = \frac{∣ δ ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

2 S_{MPQ} = MP \cdot MQ = PQ \cdot M H

5 мин · теория
Шаг 1: подставляем y = y₀ в уравнение l: ax + by₀ + c = 0 ⇒ x = x₀ − δ/a (проверка: a(x₀ − δ/a) + by₀ + c = δ − δ = 0). Аналогично шаг 2.
Шаг 3: MP² + MQ² = δ²(1/a² + 1/b²) = δ²(a² + b²)/(a²b²).
Шаг 4: MH = (δ²/|ab|) : (|δ|√(a² + b²)/|ab|) = |δ|/√(a² + b²).
Частные случаи: a = 0 (горизонтальная прямая y = −c/b) — формула даёт |by₀ + c|/|b| = |y₀ + c/b|, как на прошлом слайде; b = 0 — аналогично. Если M ∈ l, то δ = 0 и d = 0. Значит, формула верна всегда.
Чертёж точный: l: 3x + 4y − 24 = 0, M(1; 1), δ = −17, P(20/3; 1), Q(1; 21/4), H(3,04; 3,72), MH = 3,4.

R03.5

Правило · формула и её следствия

Расстояние от $M (x_{0}; y_{0})$ до прямой $a x + b y + c = 0$

d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

Прямая $y = k x + m$

сначала $k x - y + m = 0$

d = \frac{∣ k x _{0} - y _{0} + m ∣}{k ^{2} + 1}

Параллельные прямые

$a x + b y + c_{1} = 0$
$a x + b y + c_{2} = 0$

d = \frac{∣ c _{1} - c _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

Прямая и окружность

$R$ — радиус,
$d$ — от центра до прямой

$d < R$ — две точки
$d = R$ — касание
$d > R$ — нет общих точек

3 мин · теория
Алгоритм (записать в тетрадь): 1) привести уравнение к виду ax + by + c = 0; 2) подставить координаты точки; 3) взять модуль; 4) разделить на √(a² + b²).
Параллельные прямые: берём точку (x₀; y₀) на первой, тогда ax₀ + by₀ = −c₁ и d = |−c₁ + c₂|/√(a² + b²). Важно: коэффициенты a и b у двух уравнений должны совпадать — иначе сначала умножить одно уравнение на число.
Прямая и окружность — связь с уроком 38: вместо решения системы достаточно сравнить d и R.

R03.5

Образец → сам · прямое применение формулы

Уравнение прямой дано в общем виде

Образец: от $M (2; - 1)$ до прямой $3 x - 4 y + 5 = 0$

$a = 3$ , $b = - 4$ , $c = 5$

$δ = 6 + 4 + 5 = 15$ подставили $M$

$d = \frac{∣15∣}{9 + 16} = \frac{15}{5}$

$d = 3$

Сам

От $M (1; 3)$ до $5 x + 12 y - 2 = 0$ $3$
От $M (- 2; 4)$ до $4 x + 3 y + 1 = 0$ $1$
От $O (0; 0)$ до $x - y + 4 = 0$ $22$

R03.5

Образец → сам · прямая с угловым коэффициентом

Сначала приводим $y = k x + m$ к общему виду

Образец: от $M (1; 5)$ до прямой $y = 2 x - 2$

$2 x - y - 2 = 0$

$δ = 2 \cdot 1 - 5 - 2 = - 5$

$d = \frac{∣ - 5∣}{4 + 1} = \frac{5}{5}$

$d = 5$ $\approx 2, 24$

Сам

От $M (3; 1)$ до $y = - \frac{3}{4} x + 2$ $1$
От $M (0; 7)$ до $y = x + 1$ $32$
От $M (4; 0)$ до $y = 2$ $2$

R03.5

Образец → сам · расстояние между параллельными прямыми

Точка на одной прямой — расстояние до другой

Образец: между $3 x + 4 y - 7 = 0$ и $3 x + 4 y + 8 = 0$

$M (1; 1)$ — на первой

$d = \frac{∣3 + 4 + 8∣}{5} = 3$

или $\frac{∣ - 7 - 8∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 3$

Сам

$6 x - 8 y + 1 = 0$ и $3 x - 4 y - 2 = 0$ $0, 5$
$y = 2 x + 3$ и $y = 2 x - 2$ $5$
$x - y = 0$ и $x - y + 6 = 0$ $32$

R03.5

Образец → сам · обратная задача

Известно расстояние — найти прямую

Образец: при каких $c$ прямая $3 x + 4 y + c = 0$ удалена от $M (1; 2)$ на $2$ ?

$\frac{∣3 + 8 + c ∣}{5} = 2$

$∣11 + c ∣ = 10$

$c = - 1$ или $c = - 21$

Сам

При каких $c$ прямая $4 x - 3 y + c = 0$ касается окружности $x^{2} + y^{2} = 25$ ? $c = \pm 25$
Точки оси $O x$ , удалённые от $3 x + 4 y - 12 = 0$ на $3$ $(9; 0)$ , $(- 1; 0)$
При каких $k$ прямая $y = k x$ удалена от $(0; 5)$ на $3$ ? $k = \pm \frac{4}{3}$

R03.5

Образец → сам · высота и площадь треугольника

Комбинированная задача: прямая $A B$ + формула

Образец: $A (- 1; 2)$ , $B (3; - 1)$ , $C (4; 5)$ . Найдите высоту $C H$ и $S_{A BC}$ .

$A B : 3 x + 4 y - 5 = 0$

$h = \frac{∣12 + 20 - 5∣}{5} = 5, 4$

$A B = 4^{2} + 3^{2} = 5$

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5, 4 = 13, 5$

Сам

$A (0; 0)$ , $B (4; 3)$ , $C (1; 7)$ . Найдите $S_{A BC}$ . $12, 5$
Радиус окружности с центром $(2; 3)$ , касающейся $5 x + 12 y - 7 = 0$ $3$
Длина хорды, которую $x^{2} + y^{2} = 25$ отсекает на $3 x + 4 y - 15 = 0$ $8$

R03.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$O$ до $3 x + 4 y = 10$ : $d = \frac{∣0∣}{5} = 0$	уравнение не приведено к виду $a x + b y + c = 0$	$3 x + 4 y - 10 = 0$ , $d = 2$
$d = \frac{- 6 - 4 - 5}{5} = - 3$	потерян модуль: расстояние не бывает отрицательным	$d = \frac{∣ - 15∣}{5} = 3$
$d = \frac{15}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 0, 6$	в знаменателе корень из суммы квадратов	$d = \frac{15}{25} = 3$
$3 x - 4 y + 1 = 0$ , $6 x - 8 y - 4 = 0$ : $d = \frac{∣1 + 4∣}{5} = 1$	у прямых разные $a$ , $b$ — сначала выровнять	$3 x - 4 y - 2 = 0$ : $d = \frac{3}{5}$

R03.5

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. Найдите расстояние от точки $M (- 1; 3)$ до прямой $y = \frac{3}{4} x - 2$ .

1) $4 y = 3 x - 8$ ⇒ $3 x - 4 y + 8 = 0$

2) $d = \frac{3 \cdot ( - 1 ) - 4 \cdot 3 + 8}{9 + 16} = \frac{- 7}{5}$

Ответ: $d = - 1, 4$ .

Шаг 1: ошибка в знаке, верно

3 x - 4 y - 8 = 0

.
Шаг 2: потерян модуль.

Верно:

d = \frac{∣ - 3 - 12 - 8∣}{5} = \frac{23}{5} = 4, 6

.

R03.5

Задания с самопроверкой · база

Найдите расстояние

БОт $(3; 4)$ до $3 x + 4 y = 0$ $5$
БОт $(- 1; 2)$ до $12 x - 5 y + 9 = 0$ $1$
БОт $(5; - 2)$ до $y = 3$ $5$

БОт $(2; 1)$ до $x + y - 5 = 0$ $2$
БМежду $4 x - 3 y + 2 = 0$ и $4 x - 3 y - 13 = 0$ $3$
БОт $(0; 0)$ до $y = - 2 x + 5$ $5$

R03.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Обратные задачи, параметр, площадь

ПНайдите точки оси $O y$ , удалённые от прямой $4 x - 3 y + 6 = 0$ на $3$ . $(0; - 3)$ , $(0; 7)$
ПЗапишите уравнения прямых, параллельных $3 x + 4 y - 1 = 0$ и удалённых от неё на $2$ . $3 x + 4 y + 9 = 0$ , $3 x + 4 y - 11 = 0$
ППри каких $b$ прямая $y = x + b$ имеет общие точки с окружностью $x^{2} + y^{2} = 8$ ? $- 4 \leq b \leq 4$
П $A (1; 0)$ , $B (4; 4)$ , $C (- 1; 6)$ . Найдите высоту из $C$ и площадь $△ A BC$ . $5, 2$ ; $13$

R03.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 18

Клетка $1 \times 1$ ; начало координат — левый нижний узел

18 (а). Найдите расстояние от точки $A$ до прямой.

$3 x - 4 y + 4 = 0$ , $A (8; 2)$ $d = \frac{20}{5} = 4$

18 (б). Найдите расстояние от точки $A$ до прямой.

$4 x + 3 y - 12 = 0$ , $A (6; 5)$ $d = \frac{27}{5} = 5, 4$

R03.5 · практика

Задача из жизни · кратчайший путь до дороги

План местности: единица — 100 м

Шоссе: $3 x + 4 y - 12 = 0$ , дом — $M (7; 4)$ . Какой длины нужна дорожка до шоссе и куда её вести?

$d = \frac{∣21 + 16 - 12∣}{5} = 5$ ⇒ 500 м

$H = M - \frac{25}{25} (3; 4) = (4; 0)$ подножие

Сам: вышка в

(0; 0)

«добивает» на 200 м. Ловит ли связь на дороге

x + y - 4 = 0

? нет:

22 \approx 2, 83 > 2

R03.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

От $(1; - 2)$ до $3 x - 4 y + 4 = 0$ $3$
От $(2; 3)$ до $y = - x + 1$ $22$
Между $5 x + 12 y - 3 = 0$ и $5 x + 12 y + 23 = 0$ $2$
Радиус окружности с центром $(1; 1)$ , касающейся $3 x + 4 y + 3 = 0$ $2$

Вариант 2

От $(- 2; 1)$ до $4 x + 3 y - 5 = 0$ $2$
От $(1; 4)$ до $y = x + 1$ $2$
Между $8 x - 6 y + 1 = 0$ и $4 x - 3 y - 7 = 0$ $1, 5$
Радиус окружности с центром $(- 1; 2)$ , касающейся $12 x - 5 y - 4 = 0$ $2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему перпендикуляр короче наклонной?
Что сделать с уравнением прямой до подстановки?
Как по $d$ и $R$ узнать, касается ли прямая окружности?

Домашнее задание

От $(4; - 1)$ до $y = \frac{5}{12} x + 1$ . Между $x + 2 y - 3 = 0$ и $2 x + 4 y + 4 = 0$ .
$A (- 2; 1)$ , $B (2; 4)$ , $C (5; 0)$ : высота из $C$ и площадь.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-039 · Формула расстояния от точки до прямой

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Метод координат», 10 ч · урок 5/10 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R03.5 «Формула расстояния от точки до прямой» → 4–18
Результаты	ПР-10 → 2, 4–18 · ПР-9 → 3, 8, 11, 15 · ПР-11 → 17
Вне урока	площадь параллелограмма в координатах, ориентированная площадь — GEOM9U-040 (R03.6)
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Формула расстояния от точки до прямой

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое расстояние

Выводить формулу

Считать по координатам

Решать обратные задачи

Семь коротких вопросов

Расстояние — длина перпендикуляра

Простые случаи, M(x0​;y0​)

Высота прямоугольного треугольника

Расстояние от M(x0​;y0​) до прямой ax+by+c=0

Прямая y=kx+m

Параллельные прямые

Прямая и окружность

Уравнение прямой дано в общем виде

Образец: от M(2;−1) до прямой 3x−4y+5=0

Сам

Сначала приводим y=kx+m к общему виду

Образец: от M(1;5) до прямой y=2x−2

Сам

Точка на одной прямой — расстояние до другой

Образец: между 3x+4y−7=0 и 3x+4y+8=0

Сам

Известно расстояние — найти прямую

Образец: при каких c прямая 3x+4y+c=0 удалена от M(1;2) на 2?

Сам

Комбинированная задача: прямая AB + формула

Образец: A(−1;2), B(3;−1), C(4;5). Найдите высоту CH и SABC​.

Сам

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки

Найдите расстояние

Обратные задачи, параметр, площадь

Клетка 1×1; начало координат — левый нижний узел

План местности: единица — 100 м

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-039 · Формула расстояния от точки до прямой

Простые случаи, $M (x_{0}; y_{0})$

Расстояние от $M (x_{0}; y_{0})$ до прямой $a x + b y + c = 0$

Прямая $y = k x + m$

Образец: от $M (2; - 1)$ до прямой $3 x - 4 y + 5 = 0$

Сначала приводим $y = k x + m$ к общему виду

Образец: от $M (1; 5)$ до прямой $y = 2 x - 2$

Образец: между $3 x + 4 y - 7 = 0$ и $3 x + 4 y + 8 = 0$

Образец: при каких $c$ прямая $3 x + 4 y + c = 0$ удалена от $M (1; 2)$ на $2$ ?

Комбинированная задача: прямая $A B$ + формула

Образец: $A (- 1; 2)$ , $B (3; - 1)$ , $C (4; 5)$ . Найдите высоту $C H$ и $S_{A BC}$ .

Клетка $1 \times 1$ ; начало координат — левый нижний узел