Метод координат · урок 4 из 10 · новый материал

Нахождение пересечений окружностей и прямых в координатах

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9U-038 · единица R03.4

1 мин · теория (орг. момент, тема, план урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Метод координат» (10 ч), урок 4/10, тип Н (новый материал), единица R03.4 «Нахождение пересечений окружностей и прямых в координатах».
Теория (13): титул 1 · цели 1 · идея метода 3 · три случая «прямая и окружность» 3 · две окружности 3 · сводка 2.
Практика (32): разминка 3 · образцы → сам 2,5 × 5 = 12,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 3 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Опора урока — два предыдущих: уравнение прямой (GEOM9U-035, 036) и уравнение окружности с выделением полного квадрата (GEOM9U-037).
Если не успеваете: третьи задания «сам» в образцах 4 и 5 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R03.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Прямая и окружность

находить общие точки, решая систему подстановкой (ПР-10)

Касание и число точек

определять по дискриминанту, сколько общих точек (ПР-10)

Две окружности

находить общие точки, вычитая уравнения (ПР-10)

Параметр и практика

решать задачи на касание и на поиск по двум расстояниям (ПР-11)

повторение: уроки 35–37

Разминка · устно

Семь коротких вопросов к сегодняшней теме

$(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ : центр и радиус? $(2; - 3)$ , $R = 4$
Лежит ли $A (3; 4)$ на окружности $x^{2} + y^{2} = 25$ ? да
$x^{2} + y^{2} - 6 x = 0$ : центр и радиус? $(3; 0)$ , $R = 3$
Выразите $y$ из $x + y = 5$ . $y = 5 - x$

Сколько корней у $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ ? один: $x = 2$
Решите $x^{2} + x - 12 = 0$ . $3$ ; $- 4$
Общая точка прямых $y = 2 x$ и $y = x + 3$ ? $(3; 6)$

R03.4

Новый материал · идея метода

Общая точка фигур — решение системы их уравнений

{x^{2} + y^{2} = 25 x + y = 7

Из уравнения прямой: $y = 7 - x$ .
Подставляем: $x^{2} + (7 - x)^{2} = 25$ ⇒ $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ .
Корни $x = 3$ , $x = 4$ ; $y$ — из уравнения прямой: $4$ и $3$ .
Ответ: $(3; 4)$ и $(4; 3)$ ; проверка: $9 + 16 = 25$ ✓

Точка лежит на обеих фигурах ⇔ её координаты удовлетворяют обоим уравнениям.

3 мин · теория (учитель решает сам у доски)
Почему это верно: точка лежит на фигуре тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению фигуры (определение уравнения фигуры, урок 35). Значит, общие точки — это в точности решения системы.
Вычисление: x² + 49 − 14x + x² = 25 ⇒ 2x² − 14x + 24 = 0 ⇒ x² − 7x + 12 = 0 ⇒ x = 3 или 4; y = 7 − x = 4 или 3. Обе точки: 3² + 4² = 25 ✓.
Вопрос классу: почему y ищем из уравнения прямой, а не окружности? (Из окружности y = ±4 при x = 3 — одна из точек лишняя, (3; −4) не лежит на прямой.)

R03.4

Образец → сам · прямая и окружность

Найдите точки пересечения окружности и прямой

Образец: $x^{2} + y^{2} = 25$ и $y = x + 1$ .

$x^{2} + (x + 1)^{2} = 25$ подставили $y$ из прямой

$2 x^{2} + 2 x - 24 = 0$ раскрыли квадрат, перенесли

$x^{2} + x - 12 = 0$ разделили на $2$

$x = 3$ , $x = - 4$ теорема Виета

$(3; 4)$ , $(- 4; - 3)$ $y = x + 1$ ; проверка: $16 + 9 = 25$ ✓

Сам

$x^{2} + y^{2} = 10$ и $y = x + 2$ $(1; 3)$ , $(- 3; - 1)$
$x^{2} + y^{2} = 13$ и $x + y = 5$ $(2; 3)$ , $(3; 2)$
$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 13$ и ось $O x$ $(4; 0)$ , $(- 2; 0)$

R03.4

Новый материал · сколько общих точек

Прямая и окружность: число точек = число корней

$D > 0$ — две точки

секущая: $d < R$

$D = 0$ — одна точка

касательная: $d = R$

$D < 0$ — нет точек

не пересекаются: $d > R$

После подстановки — квадратное уравнение; его дискриминант

D

сразу говорит, как расположены прямая и окружность (

d

— расстояние от центра до прямой).

3 мин · теория
Подстановка y = kx + m в (x − a)² + (y − b)² = R² даёт (1 + k²)x² + … = 0 — старший коэффициент 1 + k² ≠ 0, уравнение всегда квадратное (для вертикальной прямой x = c — квадратное относительно y). Значит, общих точек 2, 1 или 0.
Связь с геометрией 8 класса: прямая — секущая при d < R, касательная при d = R, не имеет общих точек при d > R. Случай D = 0 и есть касание; радиус в точку касания перпендикулярен прямой (квадратик на среднем рисунке).
Формулу для d выведем на следующем уроке (GEOM9U-039); сегодня число точек определяем по D.
Рисунки точные: окружность x² + y² = 9, прямые y = x/2 + m при m = 1, m = 3√1,25 ≈ 3,35 (касание) и m = 4,6.

R03.4

Образец → сам · сколько общих точек

Выясните взаимное расположение окружности и прямой

Образец: $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 5 = 0$ и $y = 2 x$ .

$(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ центр $C (3; 1)$ , $R = 5$

$x^{2} + 4 x^{2} - 10 x + 5 = 0$ подставили $y = 2 x$

$5 x^{2} - 10 x + 5 = 0$ привели подобные

$(x - 1)^{2} = 0$ $D = 0$ — один корень

Касание в точке $(1; 2)$ одна общая точка

Сам: сколько общих точек? Найдите их

$x^{2} + y^{2} = 8$ и $x + y = 4$ одна: $(2; 2)$
$x^{2} + y^{2} = 4$ и $y = x + 3$ нет: $D < 0$
$x^{2} + y^{2} + 4 y = 0$ и $y = x$ две: $(0; 0)$ , $(- 2; - 2)$

2,5 мин · практика
Образец: (x² − 6x + 9) + (y² − 2y + 1) = −5 + 10 = 5. Подстановка: x² + 4x² − 6x − 4x + 5 = 0 ⇒ 5x² − 10x + 5 = 0 ⇒ x = 1, y = 2. Проверка касания: вектор C → (1; 2) = (−2; 1), направление прямой (1; 2), скалярное произведение −2 + 2 = 0 — радиус ⟂ прямой ✓.
1) y = 4 − x: 2x² − 8x + 8 = 0 ⇒ (x − 2)² = 0 ⇒ касание в (2; 2).
2) x² + (x + 3)² = 4 ⇒ 2x² + 6x + 5 = 0, D = 36 − 40 = −4 < 0 — общих точек нет.
3) 2x² + 4x = 0 ⇒ x = 0 или −2; точки (0; 0) и (−2; −2). Окружность x² + (y + 2)² = 4 проходит через начало координат.

R03.4

Образец → сам · касание и параметр

При каких $b$ прямая касается окружности?

Образец: $y = x + b$ и $x^{2} + y^{2} = 8$ .

$2 x^{2} + 2 b x + b^{2} - 8 = 0$ квадратное: старший коэффициент $2 \neq = 0$

$\frac{D}{4} = b^{2} - 2 (b^{2} - 8) = 16 - b^{2}$

Касание: $D = 0$ ⇒ $b = \pm 4$ точки $(- 2; 2)$ и $(2; - 2)$

$∣ b ∣ < 4$ — две точки $∣ b ∣ > 4$ — ни одной

Сам

Найдите $b$ : прямая $y = b$ касается окружности $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ . $b = 4$ или $b = - 2$
Найдите $c$ : прямая $x + y = c$ касается окружности $x^{2} + y^{2} = 2$ . $c = \pm 2$
При каких $b$ прямая $y = 2 x + b$ пересекает $x^{2} + y^{2} = 5$ в двух точках? $- 5 < b < 5$

2,5 мин · практика
Образец: x² + (x + b)² = 8 ⇒ 2x² + 2bx + b² − 8 = 0 — при любом b квадратное (старший коэффициент 2). D/4 = b² − 2b² + 16 = 16 − b². Граничные значения: b = 4 ⇒ 2x² + 8x + 8 = 0 ⇒ x = −2, y = 2 ✓ (4 + 4 = 8); b = −4 ⇒ x = 2, y = −2 ✓. Пунктиром на чертеже — секущие при |b| < 4.
1) Горизонтальная прямая касается, если находится на расстоянии R = 3 от центра (2; 1): b = 1 ± 3. Алгебраически: (x − 2)² = 9 − (b − 1)², одна точка при (b − 1)² = 9.
2) y = c − x: 2x² − 2cx + c² − 2 = 0, D/4 = c² − 2c² + 4 = 4 − c² = 0 ⇒ c = ±2 (точки (1; 1) и (−1; −1)).
3) x² + (2x + b)² = 5 ⇒ 5x² + 4bx + b² − 5 = 0, D/4 = 4b² − 5b² + 25 = 25 − b² > 0 ⇒ |b| < 5. При b = ±5 — касание (не две точки), границы не входят.

R03.4

Новый материал · две окружности

Вычтем уравнения — получим прямую через общие точки

{x^{2} + y^{2} = 25 (x - 6)^{2} + y^{2} = 25

Вычитаем: $x^{2} - (x - 6)^{2} = 0$ ⇒ $12 x - 36 = 0$ ⇒ $x = 3$ ( $x^{2}$ и $y^{2}$ сократились)
Общая точка удовлетворяет обоим уравнениям ⇒ и их разности: все общие точки — на прямой $x = 3$ .
Прямая ∩ окружность: $9 + y^{2} = 25$ ⇒ $y = \pm 4$ .

Ответ:

(3; 4)

и

(3; - 4)

. Прямая из разности перпендикулярна линии центров.

3 мин · теория (вывод — учитель, с вопросами классу)
Общий случай: (x − a₁)² + (y − b₁)² = R₁² и (x − a₂)² + (y − b₂)² = R₂². В разности x² и y² сокращаются: 2(a₂ − a₁)x + 2(b₂ − b₁)y = R₁² − R₂² − a₁² − b₁² + a₂² + b₂² — уравнение прямой, если центры различны. Её нормаль (a₂ − a₁; b₂ − b₁) — вектор линии центров, поэтому прямая ⟂ O₁O₂.
Важно: система «окружность + разность» равносильна исходной (из двух уравнений получили их разность и оставили одно из исходных). Поэтому найденные точки — ровно общие точки окружностей; лишних корней нет.
Предупредить: прямая получается всегда, даже если окружности не пересекаются, — тогда при подстановке D < 0. Концентрические окружности: разность даёт 0 = R₁² − R₂² — нет общих точек (или совпадение).

R03.4

Образец → сам · две окружности

Найдите общие точки двух окружностей

Образец: $x^{2} + y^{2} = 25$ и $(x - 7)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$ .

$14 x + 2 y - 50 = 0$ вычли второе уравнение из первого

$y = 25 - 7 x$ прямая через общие точки

$x^{2} + (25 - 7 x)^{2} = 25$ подставили в первое

$x^{2} - 7 x + 12 = 0$ $x = 3$ или $x = 4$

$(3; 4)$ и $(4; - 3)$ $y = 25 - 7 x$

Сам

$x^{2} + y^{2} = 10$ и $(x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} = 10$ $(1; 3)$ , $(3; - 1)$
$x^{2} + y^{2} = 4$ и $(x - 3)^{2} + y^{2} = 1$ касаются в $(2; 0)$
Уравнение прямой через общие точки $x^{2} + y^{2} = 9$ и $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 1 = 0$ $2 x + y = 4$

2,5 мин · практика
Образец: x² + y² − (x² − 14x + 49 + y² − 2y + 1) = 0 ⇒ 14x + 2y − 50 = 0 ⇒ y = 25 − 7x. Подстановка: x² + 625 − 350x + 49x² = 25 ⇒ 50x² − 350x + 600 = 0 ⇒ x² − 7x + 12 = 0 ⇒ x = 3 или 4; y = 4 или −3. Проверка во второй: 16 + 9 = 25 и 9 + 16 = 25 ✓.
1) Разность: 8x + 4y − 20 = 0 ⇒ y = 5 − 2x; x² + (5 − 2x)² = 10 ⇒ 5x² − 20x + 15 = 0 ⇒ x = 1 или 3; точки (1; 3), (3; −1).
2) Разность: 6x − 9 = 3 ⇒ x = 2; y² = 4 − 4 = 0 ⇒ одна точка (2; 0) — внешнее касание (3 = 2 + 1).
3) Разность: (x² + y²) − (x² + y² − 4x − 2y − 1) = 9 − 0 ⇒ 4x + 2y + 1 = 9 ⇒ 2x + y = 4. Окружности действительно пересекаются: (x − 2)² + (y − 1)² = 6, расстояние между центрами √5 ≈ 2,24 лежит между 3 − √6 ≈ 0,55 и 3 + √6 ≈ 5,45.

R03.4 · практика

Образец → сам · задача из жизни

Где телефон? Поиск точки по расстояниям до вышек

Образец: телефон в $5$ км от вышки $A (0; 0)$ и в $5$ км от вышки $B (8; 4)$ . Где он? До вышки $C (6; 4)$ — $3$ км.

$x^{2} + y^{2} = 25$ и $(x - 8)^{2} + (y - 4)^{2} = 25$

$y = 10 - 2 x$ разность: $16 x + 8 y = 80$

$x^{2} - 8 x + 15 = 0$ точки $(3; 4)$ и $(5; 0)$

Телефон в $(3; 4)$ до $C$ : $3$ км и $17$ км

Сам

Роутер в $(0; 0)$ «добивает» на $10$ м. Дорожка — прямая $y = x + 2$ . Между какими точками есть сигнал? $(6; 8)$ и $(- 8; - 6)$
Длина этого участка дорожки? $142 \approx 19, 8$ м
Длина хорды, которую $y = x + 1$ высекает на $x^{2} + y^{2} = 25$ ? $72$

R03.4

Сводка · алгоритм

Что пересекаем — как решаем — сколько точек

Фигуры	Как решаем систему	Сколько точек
прямая и прямая	сложение или подстановка — линейное уравнение	$1$ ; $0$ (параллельны); бесконечно много (совпадают)
прямая и окружность	подстановка $y$ (или $x$ ) из прямой — квадратное уравнение	$D > 0$ : $2$ ; $D = 0$ : $1$ ; $D < 0$ : $0$
две окружности	вычесть уравнения — прямая; дальше — строка выше	$2$ , $1$ (касание) или $0$

Вторую координату находим из уравнения прямой; каждую точку проверяем подстановкой в оба исходных уравнения.

R03.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$x^{2} + y^{2} = 25$ , $y = x + 1$ : $x^{2} + x + 1 = 25$	при подстановке потерян квадрат: $y^{2} = (x + 1)^{2}$	$x^{2} + (x + 1)^{2} = 25$ ⇒ $x^{2} + x - 12 = 0$
$x = 3$ : из окружности $y = \pm 4$ — точки $(3; 4)$ и $(3; - 4)$	$y$ из окружности даёт лишнюю точку, не лежащую на прямой	$y = x + 1 = 4$ : только $(3; 4)$
Разность уравнений $2 x + y = 4$ — «окружности пересекаются по прямой»	прямая только содержит общие точки; их может и не быть	подставить в окружность и решить; $D < 0$ — общих точек нет

R03.4

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. Найдите точки пересечения окружности $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 10$ и прямой $y = x - 1$ .

1) $(x - 1)^{2} + (x - 1 + 2)^{2} = 10$

2) $x^{2} - 2 x + 1 + x^{2} + 2 x + 1 = 10$ , $2 x^{2} = 8$

3) $x^{2} = 4$ , $x = 2$

4) $y = 2 + 1 = 3$

Ответ: $(2; 3)$ .

Шаг 3: потерян корень:

x = \pm 2

. Шаг 4:

y = x - 1

, а не

x + 1

.

Верно:

(2; 1)

и

(- 2; - 3)

.

R03.4

Задания с самопроверкой · база

Найдите общие точки (или докажите, что их нет)

Б $x^{2} + y^{2} = 20$ и $y = 2 x$ $(2; 4)$ , $(- 2; - 4)$
Б $x^{2} + y^{2} = 25$ и $y = - 3$ $(4; - 3)$ , $(- 4; - 3)$
Б $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 25$ и ось $O y$ $(0; 0)$ , $(0; 8)$

Б $x^{2} + y^{2} = 9$ и $x + y = 6$ нет: $D < 0$
Б $x^{2} + y^{2} = 2$ и $y = x$ $(1; 1)$ , $(- 1; - 1)$
Б $x^{2} + y^{2} = 5$ и $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 5$ $(1; 2)$ , $(2; 1)$

R03.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Параметр, общая хорда, касание окружностей

ППри каких $b$ прямая $y = - x + b$ имеет с окружностью $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 8$ ровно одну общую точку? $b = 6$ или $b = - 2$
ПНайдите длину общей хорды окружностей $x^{2} + y^{2} = 25$ и $(x - 7)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$ . $52$
ПНайдите точки пересечения окружности $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = 20$ и прямой $x + y = 6$ . $(2; 4)$ , $(7; - 1)$
ПДокажите, что окружности $x^{2} + y^{2} = 1$ и $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 16$ касаются, и найдите точку касания. $(0, 6; 0, 8)$

3 мин · практика
1) (x − 1)² + (−x + b − 1)² = 8 ⇒ 2x² − 2bx + (b − 1)² − 7 = 0 (квадратное при любом b), D/4 = b² − 2(b − 1)² + 14 = −b² + 4b + 12 = 0 ⇒ b = 6 или b = −2. Проверка b = 6: 2x² − 12x + 18 = 0 ⇒ x = 3, точка (3; 3) ✓; b = −2: x = −1, точка (−1; −1) ✓.
2) Из образца 4 общие точки (3; 4) и (4; −3): √(1 + 49) = √50 = 5√2.
3) (x − 2)² + (y + 1)² = 25; y = 6 − x ⇒ (x − 2)² + (7 − x)² = 25 ⇒ x² − 9x + 14 = 0 ⇒ x = 2 или 7; точки (2; 4), (7; −1).
4) Разность: 6x + 8y − 25 = −15 ⇒ 3x + 4y = 5; подстановка в x² + y² = 1: 25x² − 30x + 9 = 0 ⇒ (5x − 3)² = 0, D = 0 — одна общая точка, значит, касание; x = 0,6, y = 0,8. Геометрически: O₁O₂ = 5 = 1 + 4 — внешнее касание.

R03.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 23

Метод координат в задаче без координат

16. Две окружности радиуса $5$ пересекаются; расстояние между их центрами равно $6$ . Найдите длину общей хорды.

$x^{2} + y^{2} = 25$ ,
$(x - 6)^{2} + y^{2} = 25$

$12 x = 36$ ⇒ $x = 3$ , $y = \pm 4$

$8$

23. Окружности радиусов $13$ и $15$ пересекаются, расстояние между центрами $14$ . Найдите длину общей хорды.

$O_{1} (0; 0)$ , $O_{2} (14; 0)$

$x^{2} + y^{2} = 169$ ,
$(x - 14)^{2} + y^{2} = 225$

$28 x - 196 = - 56$

$A (5; 12)$ , $B (5; - 12)$

$A B = 24$

2,5 мин · практика
Идея: систему координат вводим сами — начало в центре одной окружности, ось Ox через второй центр.
16) Разность: x² − (x − 6)² = 0 ⇒ 12x = 36 ⇒ x = 3; y² = 16 ⇒ y = ±4; хорда 8. Классическое решение: половина хорды — катет при гипотенузе 5 и катете 3.
23) x² + y² − (x² − 28x + 196 + y²) = 169 − 225 ⇒ 28x − 196 = −56 ⇒ x = 5; y² = 169 − 25 = 144 ⇒ y = ±12; хорда 24. Проверка во второй: 81 + 144 = 225 ✓.
Критерии (2 балла): введена система координат и обоснован переход к уравнениям, верно найдены точки, верный ответ; 1 балл — верный ход, вычислительная ошибка.

R03.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Общие точки $x^{2} + y^{2} = 10$ и $y = 3 x$ . $(1; 3)$ , $(- 1; - 3)$
Сколько общих точек у $x^{2} + y^{2} = 4$ и $y = x + 4$ ? ни одной
Общие точки $x^{2} + y^{2} = 25$ и $(x - 8)^{2} + y^{2} = 25$ . $(4; 3)$ , $(4; - 3)$
При каких $b$ прямая $y = b$ касается $x^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ ? $b = 5$ или $b = - 1$

Вариант 2

Общие точки $x^{2} + y^{2} = 20$ и $y = - 2 x$ . $(2; - 4)$ , $(- 2; 4)$
Сколько общих точек у $x^{2} + y^{2} = 18$ и $x + y = 6$ ? одна: $(3; 3)$
Общие точки $x^{2} + y^{2} = 25$ и $x^{2} + (y - 6)^{2} = 25$ . $(4; 3)$ , $(- 4; 3)$
При каких $b$ прямая $x = b$ касается $(x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ ? $b = 3$ или $b = - 1$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти общие точки прямой и окружности?
Как по дискриминанту узнать касание?
Зачем вычитать уравнения двух окружностей?

Домашнее задание

$x^{2} + y^{2} = 17$ и $y = x + 3$ ; $x^{2} + y^{2} = 10$ и $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 10$ .
При каких $b$ прямая $y = x + b$ касается $x^{2} + y^{2} = 18$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-038 · Нахождение пересечений окружностей и прямых в координатах

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Метод координат», 10 ч · урок 4/10 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R03.4 «Нахождение пересечений окружностей и прямых в координатах» → 4–18
Результаты	ПР-10 → 4–10, 12–18 · ПР-11 → 11, 17
Вне урока	формула расстояния от точки до прямой — GEOM9U-039 (R03.5); упомянута только как $d$ на слайде 6
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Нахождение пересечений окружностей и прямых в координатах

Сегодня вы научитесь

Прямая и окружность

Касание и число точек

Две окружности

Параметр и практика

Семь коротких вопросов к сегодняшней теме

Общая точка фигур — решение системы их уравнений

Найдите точки пересечения окружности и прямой

Образец: x2+y2=25 и y=x+1.

Сам

Прямая и окружность: число точек = число корней

D>0 — две точки

D=0 — одна точка

D<0 — нет точек

Выясните взаимное расположение окружности и прямой

Образец: x2+y2−6x−2y+5=0 и y=2x.

Сам: сколько общих точек? Найдите их

При каких b прямая касается окружности?

Образец: y=x+b и x2+y2=8.

Сам

Вычтем уравнения — получим прямую через общие точки

Найдите общие точки двух окружностей

Образец: x2+y2=25 и (x−7)2+(y−1)2=25.

Сам

Где телефон? Поиск точки по расстояниям до вышек

Образец: телефон в 5 км от вышки A(0;0) и в 5 км от вышки B(8;4). Где он? До вышки C(6;4) — 3 км.

Сам

Что пересекаем — как решаем — сколько точек

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки

Найдите общие точки (или докажите, что их нет)

Параметр, общая хорда, касание окружностей

Метод координат в задаче без координат

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-038 · Нахождение пересечений окружностей и прямых в координатах

Образец: $x^{2} + y^{2} = 25$ и $y = x + 1$ .

$D > 0$ — две точки

$D = 0$ — одна точка

$D < 0$ — нет точек

Образец: $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 5 = 0$ и $y = 2 x$ .

При каких $b$ прямая касается окружности?

Образец: $y = x + b$ и $x^{2} + y^{2} = 8$ .

Образец: $x^{2} + y^{2} = 25$ и $(x - 7)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$ .

Образец: телефон в $5$ км от вышки $A (0; 0)$ и в $5$ км от вышки $B (8; 4)$ . Где он? До вышки $C (6; 4)$ — $3$ км.