Метод координат · урок 3 из 10

Уравнение окружности

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9U-037

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Метод координат» (10 ч), урок 3/10, единица R03.3. Тип урока — Н.
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · вывод 3 · читаем уравнение 2 · общее уравнение 3 · положение точки и касание осей 2 · схема-конспект 2.
Практика (32): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · из жизни 1,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 3,5 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (множество точек) и задачу из жизни — в ДЗ; вывод уравнения и общее уравнение не сокращать.

R03.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить уравнение

окружности по определению и формуле расстояния (ПР-10)

Читать и составлять

уравнение по центру, точке, диаметру (ПР-10)

Выделять полный квадрат

и исследовать уравнение $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ , в том числе с параметром

Решать задачи

касание осей, положение точки, множество точек, ОГЭ 18, 19, 23 (ПР-9, ПР-10)

повторение: R03.1–R03.2, 8 класс

Разминка · устно

Расстояние, середина, полный квадрат

$A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ . Найдите $A B$ . $5$
Расстояние от $O (0; 0)$ до $M (- 5; 12)$ ? $13$
Середина отрезка $A (- 2; 5)$ , $B (4; - 1)$ ? $(1; 2)$
Раскройте скобки: $(x - 3)^{2}$ $x^{2} - 6 x + 9$
$x^{2} + 8 x = (x + 4)^{2} - ?$ $16$
Лежит ли $(2; 3)$ на прямой $y = 2 x - 1$ ? да: $3 = 4 - 1$
Что такое окружность? точки на расстоянии $R$ от центра

R03.3

Вывод уравнения окружности

Точка на окружности ⇔ расстояние до центра равно $R$

Центр $C (a; b)$ , радиус $R$ , точка $M (x; y)$ .

1

M

на окружности

⟺

CM = R

определение окружности

2

CM = (x - a)^{2} + (y - b)^{2}

теорема Пифагора в

△ C K M

3

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

обе части

CM = R

неотрицательны — возводим в квадрат

4Верно и обратноекоординаты удовлетворяют уравнению

\Rightarrow CM = R \Rightarrow M

на окружности

3 мин · теория
Вопрос «почему?» на каждом шаге — ответ под строкой. Цвет катетов на чертеже совпадает с цветом в формуле.
Шаг 4 — то, что делает равенство уравнением фигуры: ему удовлетворяют координаты всех точек окружности и только они (как у уравнения прямой на уроке GEOM9U-035).
Чертёж — для точки правее и выше центра, но формула верна при любом расположении: квадрат разности не зависит от знака. Частный случай $a = b = 0$ : $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ .
Числа на чертеже: $C (3; 2)$ , $M (6; 6)$ , катеты 3 и 4, $R = 5$ .

R03.3

Свойство · читаем уравнение

Центр и радиус видны сразу

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

Уравнение	Центр	$R$
$x^{2} + y^{2} = 16$	$O (0; 0)$	$4$
$(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 9$	$Q (4; - 3)$	$3$
$(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 7$	$(- 1; 2)$	$7$
$(2 x - 4)^{2} + 4 y^{2} = 36$	$(2; 0)$	$3$

y + 3 = y - (- 3)

: знак в скобке противоположен координате центра; справа стоит

R^{2}

.

R03.3

Образец → сам · уравнение по диаметру и точке

Центр и радиус — из координат точек

Образец: $A B$ — диаметр, $A (- 1; 4)$ , $B (5; - 4)$ . Составьте уравнение окружности.

$C (\frac{- 1 + 5}{2}; \frac{4 - 4}{2}) = C (2; 0)$ центр — середина диаметра

$R^{2} = C A^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$ формула расстояния

$(x - 2)^{2} + y^{2} = 25$ проверка $B$ : $3^{2} + 4^{2} = 25$ ✓

Сам

Центр $C (- 2; 3)$ , проходит через $M (1; - 1)$ . $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$
Диаметр $A B$ : $A (0; - 3)$ , $B (4; 5)$ . $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 20$
Центр $(3; - 4)$ , проходит через $O$ . $(x - 3)^{2} + (y + 4)^{2} = 25$

R03.3

Правило · общее уравнение и полный квадрат

$x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ — окружность ли это?

Демонстрация: $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0$

1

(x^{2} - 6 x + 9) - 9 + (y^{2} + 4 y + 4) - 4 - 12 = 0

дополняем до полных квадратов и вычитаем добавленное

2

(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25

центр

C (3; - 2)

,

R = 5

3В общем виде:

(x + \frac{D}{2})^{2} + (y + \frac{E}{2})^{2} = \frac{D ^{2} + E ^{2}}{4} - F

правая часть $> 0$ окружность

$= 0$ одна точка

$< 0$ пустое множество

R03.3

Образец → сам · выделяем полный квадрат

Найдите центр и радиус

Образец: $2 x^{2} + 2 y^{2} + 8 x - 12 y + 8 = 0$ .

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 4 = 0$ делим на 2

$(x + 2)^{2} - 4 + (y - 3)^{2} - 9 + 4 = 0$ полные квадраты

$(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 9$ правая часть $9 > 0$

$C (- 2; 3)$ , $R = 3$

Сам

$x^{2} + y^{2} + 10 x - 2 y + 1 = 0$ $C (- 5; 1)$ , $R = 5$
$x^{2} + y^{2} - 8 y = 0$ $C (0; 4)$ , $R = 4$
$x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 13 = 0$ точка $(2; - 3)$ , не окружность

R03.3

Образец → сам · уравнение с параметром

При каких значениях параметра это окружность?

Образец: при каких $p$ уравнение $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + p = 0$ задаёт окружность? При каком $p$ её радиус равен 3?

$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 5 - p$ полные квадраты: $1 + 4 - p$

окружность $⟺ 5 - p > 0 ⟺$ $p < 5$ $p = 5$ — точка $(1; - 2)$ ; $p > 5$ — нет точек

$R = 3$ : $5 - p = 9$ , $p = - 4$ $- 4 < 5$ ✓

Сам

При каких $p$ уравнение $x^{2} + y^{2} + 6 x + p = 0$ задаёт окружность? $p < 9$
$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 a y + 8 = 0$ : при каких $a$ — окружность? При каком $a > 0$ её $R = 5$ ? $∣ a ∣ > 2$ ; $a = 3$
Докажите: $x^{2} + y^{2} - 2 a x + 2 y + a^{2} = 0$ при любом $a$ — окружность одного радиуса. Где центры? $R = 1$ ; на прямой $y = - 1$

R03.3

Свойство · положение точки и касание осей

Сравнить с $R^{2}$ · касание: радиус = расстояние до оси

d^{2} = (x_{0} - a)^{2} + (y_{0} - b)^{2}

$d^{2}$ и $R^{2}$	точка $(x_{0}; y_{0})$
$d^{2} < R^{2}$	внутри круга
$d^{2} = R^{2}$	на окружности
$d^{2} > R^{2}$	вне круга

Касается

O x

⟺

$R = ∣ b ∣$ ; касается

O y

⟺

$R = ∣ a ∣$

R03.3

Образец → сам · касание осей и условие на центр

Неизвестный центр — одна переменная

Образец: окружность касается обеих осей и проходит через $A (1; 2)$ . Составьте уравнение.

центр $(r; r)$ , $R = r > 0$ $A$ в I четверти, касание: $R = ∣ a ∣ = ∣ b ∣$

$(1 - r)^{2} + (2 - r)^{2} = r^{2}$ $A$ на окружности

$r^{2} - 6 r + 5 = 0$ , $r = 1$ или $r = 5$

$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ ,
$(x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} = 25$

Сам

Центр $(- 3; 4)$ , касается $O x$ . $(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 16$
Центр на прямой $y = x$ , проходит через $A (2; 0)$ и $B (4; 2)$ . $(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$
Где точка $M (4; - 1)$ относительно $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 6 = 0$ ? внутри: $1 < 16$

R03.3

Образец → сам · множество точек

Условие на расстояния → уравнение → фигура

Образец: $A (- 3; 0)$ , $B (3; 0)$ . Найдите множество точек $M$ , для которых $M A$ $= 2$ $MB$ .

$(x + 3)^{2} + y^{2} =$
$= 4 ((x - 3)^{2} + y^{2})$ $M A^{2} = 4 M B^{2}$

$x^{2} + y^{2} - 10 x + 9 = 0$ раскрыли, разделили на 3

$(x - 5)^{2} + y^{2} = 16$ окружность: центр $(5; 0)$ , $R = 4$

Сам

$A (0; 0)$ , $B (4; 0)$ , $M A = 3 MB$ . $(x - 4, 5)^{2} + y^{2} = 2, 25$
$A (- 2; 0)$ , $B (2; 0)$ , $M A^{2} + M B^{2} = 26$ . $x^{2} + y^{2} = 9$
$A (0; 0)$ , $B (4; 2)$ , $M A = MB$ . прямая $2 x + y = 5$

R03.3

Схема-конспект

Что дано → как составить или прочитать уравнение

Дано	Что делать
центр $(a; b)$ и $R$	$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$
центр и точка $M$	$R^{2} = C M^{2}$ по формуле расстояния
диаметр $A B$	центр — середина $A B$ , $R = \frac{A B}{2}$
$x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$	полные квадраты; правая часть $> 0$ — окружность, $= 0$ — точка, $< 0$ — пусто
касание $O x$ / $O y$	$R = ∣ b ∣$ / $R = ∣ a ∣$
положение точки	сравнить $(x_{0} - a)^{2} + (y_{0} - b)^{2}$ с $R^{2}$

R03.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 16$ : центр $(2; - 3)$	$x + 2 = x - (- 2)$	центр $(- 2; 3)$ , $R = 4$
$(x - 1)^{2} + y^{2} = 8$ : $R = 8$	справа стоит $R^{2}$	$R = 8 = 22$
$x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 15 = 0$ — окружность с центром $(3; - 1)$	не проверили знак правой части	$(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = - 5$ — точек нет
центр $(4; - 5)$ , касается $O x$ : $R = 4$	до оси $O x$ — расстояние $∣ b ∣$	$R = 5$

R03.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} + 4 x - 10 y + 20 = 0$

$(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} + 20 = 0$

$(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = - 20$ — точек нет

забыл вычесть $4$ и $25$ : $(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 9$ , $C (- 2; 5)$ , $R = 3$

б) Центр $(3; - 5)$ , окружность касается оси $O y$ .

$R = ∣ b ∣ = 5$

$(x - 3)^{2} + (y + 5)^{2} = 25$

до $O y$ — расстояние $∣ a ∣ = 3$ : $(x - 3)^{2} + (y + 5)^{2} = 9$

в) Где точка $(1; 7)$ относительно $(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$ ?

$(1 - 4) + (7 - 3) = 1$

$1 < 5$ — внутри

квадраты: $9 + 16 = 25$ — на окружности

R03.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаЦентр и радиус: $(x - 7)^{2} + (y + 1)^{2} = 36$ $(7; - 1)$ , $R = 6$
базаУравнение: центр $(0; - 2)$ , $R = 3$ $x^{2} + (y + 2)^{2} = 3$
базаЦентр $(1; 1)$ , проходит через $(4; 5)$ $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$

базаЛежит ли $A (3; - 4)$ на $x^{2} + y^{2} = 25$ ? да: $9 + 16 = 25$
базаЦентр и радиус: $x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 = 0$ $(1; 0)$ , $R = 3$
базаДиаметр $A B$ : $A (- 4; 1)$ , $B (2; 9)$ $(x + 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 25$

R03.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Окружность проходит через $O (0; 0)$ , $A (6; 0)$ , $B (0; 8)$ . Составьте её уравнение. $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 25$
повыш.Окружность, симметричная $(x - 2)^{2} + (y + 5)^{2} = 9$ относительно прямой $y = x$ . $(x + 5)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$
повыш.При каких $m$ точка $(m; 2)$ лежит внутри окружности $x^{2} + y^{2} - 4 x - 5 = 0$ ? $2 - 5 < m < 2 + 5$
повыш.Наибольшее и наименьшее расстояние от $P (9; 6)$ до точек окружности $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ . $15$ и $5$

R03.3 · практика

Задача из жизни · арка моста

Пролёт 20 м, высота 4 м — найдите радиус арки

Арка — дуга окружности. Оси: $O x$ — по пролёту, $O y$ — через вершину.

центр $(0; b)$ : $1 0^{2} + b^{2} = (4 - b)^{2}$ концы и вершина на окружности

$100 = 16 - 8 b$ , $b = - 10, 5$

$R = 4 + 10, 5 = 14, 5$ м

Сам: высота арки в 6 м от середины? $h \approx 2, 7$ м

R03.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18, 19 и 23

Ответ — число или номера верных утверждений

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Окружность с центром $O$ проходит через узел $A$ . Найдите её радиус.

$R = 4^{2} + 3^{2} =$ $5$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ — окружность с центром $(1; - 2)$ и радиусом $2$ .
Окружность $x^{2} + y^{2} = 9$ проходит через точку $(3; 3)$ .
Уравнение $x^{2} + y^{2} + 2 x + 5 = 0$ задаёт окружность.

Ответ: 1

ОГЭ 23 Окружность с центром на стороне $A C$ проходит через $C$ и касается прямой $A B$ в точке $B$ . $A B = 6$ , $A C = 9$ . Найдите диаметр. $5$

R03.3

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Центр и радиус: $(x + 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 49$ $(- 4; 1)$ , $R = 7$
Уравнение: центр $(2; - 3)$ , через $(5; 1)$ $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$
Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y - 3 = 0$ $(- 3; 2)$ , $R = 4$
При каких $p$ уравнение $x^{2} + y^{2} - 8 x + p = 0$ задаёт окружность? $p < 16$

Вариант 2

Центр и радиус: $(x - 6)^{2} + (y + 2)^{2} = 81$ $(6; - 2)$ , $R = 9$
Уравнение: центр $(- 1; 4)$ , через $(5; - 4)$ $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 100$
Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} - 10 x + 2 y + 10 = 0$ $(5; - 1)$ , $R = 4$
При каких $p$ уравнение $x^{2} + y^{2} + 2 y + p = 0$ задаёт окружность? $p < 1$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Откуда берётся уравнение окружности?
Как узнать, задаёт ли $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ окружность?
Когда окружность касается оси $O x$ ?

Домашнее задание

Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 3 = 0$ .
Окружность касается обеих осей и проходит через $(- 2; - 9)$ . Уравнение?
* $A (0; 0)$ , $B (3; 0)$ . Множество точек $M$ : $M A = 2 MB$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-037 · Уравнение окружности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Метод координат», 10 ч · урок 3/10 · тип Н
Единицы → слайды	R03.3 «Уравнение окружности» → 2, 4–21 · повторение R03.1–R03.2 и 8 класса → 3
Результаты	ПР-10 (выводить и владеть уравнением окружности) → 4–17, 19–21 · ПР-9 (координаты на плоскости) → 3, 6, 11 · ПР-11 (практико-ориентированные задачи) → 18
Вне урока	пересечения окружностей и прямых — GEOM9U-038; расстояние от точки до прямой — GEOM9U-039; площадь в координатах — GEOM9U-040
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Уравнение окружности

Сегодня вы научитесь

Выводить уравнение

Читать и составлять

Выделять полный квадрат

Решать задачи

Расстояние, середина, полный квадрат

Точка на окружности ⇔ расстояние до центра равно R

Центр и радиус видны сразу

Центр и радиус — из координат точек

Образец: AB — диаметр, A(−1;4), B(5;−4). Составьте уравнение окружности.

Сам

x2+y2+Dx+Ey+F=0 — окружность ли это?

Найдите центр и радиус

Образец: 2x2+2y2+8x−12y+8=0.

Сам

При каких значениях параметра это окружность?

Образец: при каких p уравнение x2+y2−2x+4y+p=0 задаёт окружность? При каком p её радиус равен 3?

Сам

Сравнить с R2 · касание: радиус = расстояние до оси

Неизвестный центр — одна переменная

Образец: окружность касается обеих осей и проходит через A(1;2). Составьте уравнение.

Сам

Условие на расстояния → уравнение → фигура

Образец: A(−3;0), B(3;0). Найдите множество точек M, для которых MA =2MB.

Сам

Что дано → как составить или прочитать уравнение

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Центр и радиус: x2+y2+4x−10y+20=0

б) Центр (3;−5), окружность касается оси Oy.

в) Где точка (1;7) относительно (x−4)2+(y−3)2=25?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Пролёт 20 м, высота 4 м — найдите радиус арки

Ответ — число или номера верных утверждений

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-037 · Уравнение окружности

Точка на окружности ⇔ расстояние до центра равно $R$

Образец: $A B$ — диаметр, $A (- 1; 4)$ , $B (5; - 4)$ . Составьте уравнение окружности.

$x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ — окружность ли это?

Образец: $2 x^{2} + 2 y^{2} + 8 x - 12 y + 8 = 0$ .

Образец: при каких $p$ уравнение $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + p = 0$ задаёт окружность? При каком $p$ её радиус равен 3?

Сравнить с $R^{2}$ · касание: радиус = расстояние до оси

Образец: окружность касается обеих осей и проходит через $A (1; 2)$ . Составьте уравнение.

Образец: $A (- 3; 0)$ , $B (3; 0)$ . Найдите множество точек $M$ , для которых $M A$ $= 2$ $MB$ .

а) Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} + 4 x - 10 y + 20 = 0$

б) Центр $(3; - 5)$ , окружность касается оси $O y$ .

в) Где точка $(1; 7)$ относительно $(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$ ?