Метод координат · урок 2 из 10

Угловой коэффициент и свободный член, их геометрический смысл

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9U-036

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Метод координат» (10 ч), урок 2/10, единица R03.2 «Угловой коэффициент и свободный член, их геометрический смысл». Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · уравнение с угловым коэффициентом 2 · смысл свободного члена 1,5 · теорема k = tg α 3 · схема «угол → знак k» 2 · параллельность и перпендикулярность 3.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2,5 · задача из жизни 1,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4,5 · итог 1.
Если не успеваете: задание 3 повышенного уровня (площадь треугольника) и задачу из жизни — в ДЗ; доказательства теорем не сокращать.

R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Читать уравнение прямой

находить угловой коэффициент $k$ и свободный член $m$ (ПР-9)

Объяснять их смысл

$k = tg α$ — наклон, $(0; m)$ — точка на оси $O y$ (ПР-9)

Составлять уравнения

по углу и точке, параллельно или перпендикулярно данной прямой

Доказывать в координатах

параллельность и перпендикулярность через угловые коэффициенты

0,5 мин · теория
ПР-9: «Владеть понятиями углового коэффициента и свободного члена, понимать их геометрический смысл и связь углового коэффициента с возрастанием и убыванием линейной функции. Уметь решать методом координат задачи, связанные с параллельностью и перпендикулярностью прямых…».
Виды деятельности ФРП R03: выводить уравнения прямой в координатах; параллельность и перпендикулярность прямых через угловой коэффициент.

повторение: R01, урок 1 строки R03

Разминка · устно

Тангенсы и уравнение прямой

$tg 4 5^{\circ}$ $1$
$tg 6 0^{\circ}$ $3$
$tg 13 5^{\circ}$ $- 1$
$tg 15 0^{\circ}$ $- \frac{3}{3}$

Лежит ли $A (2; 1)$ на прямой $3 x - 2 y - 4 = 0$ ? да
Выразите $y$ : $2 x + y - 5 = 0$ $y = - 2 x + 5$
Точки пересечения прямой $y = 2 x - 6$ с осями $(0; - 6)$ и $(3; 0)$

R03.2

Определение · уравнение с угловым коэффициентом

Из $a x + b y + c = 0$ — в $y = k x + m$

Если

b \neq = 0

, уравнение прямой

a x + b y + c = 0

приводится к виду

y = k x + m

$k$ — угловой коэффициент, $m$ — свободный член

$3 x + 2 y - 6 = 0$ ⇒ $y = - 1, 5 x + 3$ : $k = - 1, 5$ , $m = 3$

$b = 0$ : прямая $x = x_{0}$ параллельна $O y$ — углового коэффициента нет

R03.2

Свойство · смысл свободного члена

$m$ — где прямая пересекает ось $O y$

x = 0 \Rightarrow y = k \cdot 0 + m = m

Прямая $y = k x + m$ пересекает ось $O y$ в точке $(0; m)$

$m = 0$ ⇔ прямая проходит через начало координат: $y = k x$

На чертеже у всех прямых $k = \frac{1}{2}$ : меняется только $m$ — прямая сдвигается вдоль $O y$ , наклон тот же

С осью $O x$ ( $k \neq = 0$ ): $y = 0$ ⇒ $x = - \frac{m}{k}$

R03.2

Теорема · смысл углового коэффициента

$k = tg α$

Теорема. Для прямой

y = k x + m

:

k = tg α

, где

α

— угол между прямой и положительным направлением оси

O x

.

1

A, B

на прямой,

x_{2} > x_{1}

:

y_{2} - y_{1} = k (x_{2} - x_{1})

вычли

y_{1} = k x_{1} + m

из

y_{2} = k x_{2} + m

2

C (x_{2}; y_{1})

:

A C ∥ O x

,

∠ B A C = α

соответственные углы при

A C ∥ O x

3

α

острый:

tg α = \frac{BC}{A C} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = k

тангенс в прямоугольном

△ A BC

4

α

тупой:

∠ B A C = 18 0^{\circ} - α

,

tg α = - \frac{y _{1} - y _{2}}{x _{2} - x _{1}} = k

формула приведения

tg (18 0^{\circ} - α) = - tg α

3 мин · теория
На чертеже y = 0,5x + 1, A(2; 2), B(6; 4), C(6; 2): Δx = 4, Δy = 2, tg α = 2/4 = 0,5 = k. α ≈ 26,6° (по калькулятору).
Шаг 4 (тупой угол): тогда y₂ < y₁, точка B ниже C; в прямоугольном △ABC угол при A равен 180° − α, tg(180° − α) = (y₁ − y₂)/(x₂ − x₁), а tg α = −tg(180° − α) = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = k. Учащимся нарисовать этот случай на доске.
α = 0° (прямая ∥ Ox): y₂ = y₁, k = 0 = tg 0°. α = 90° — tg не определён, у вертикальной прямой нет k.
Следствие: k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) для любых двух точек прямой — формула углового коэффициента по двум точкам.

R03.2

Схема · угол наклона и знак $k$

Возрастает, убывает, горизонтальна, вертикальна

$α$ острый
$k > 0$ , возрастает

$α$ тупой
$k < 0$ , убывает

$α = 0^{\circ}$
$k = 0$ , $y = m$

$α = 9 0^{\circ}$
$k$ нет, $x = x_{0}$

$α$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$
$k = tg α$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	—	$- 3$	$- 1$	$- \frac{3}{3}$

R03.2

Образец → сам · угол наклона по уравнению

Выразите $y$ , затем $k = tg α$

Образец: найдите угол наклона прямой $3 x - y + 2 = 0$ и точку её пересечения с осью $O y$ .

$y = 3 x + 2$ выразили $y$

$tg α = 3$ ⇒ $α = 6 0^{\circ}$ $k = tg α$ , табличный угол

$(0; 2)$ $m = 2$ — смысл свободного члена

Сам: угол и точка на $O y$

$y = 4 - x$ $13 5^{\circ}$ ; $(0; 4)$
$x + 3 y - 3 = 0$ $15 0^{\circ}$ ; $(0; 3)$
$2 y - 6 = 0$ $0^{\circ}$ ; $(0; 3)$

R03.2

Образец → сам · обратная задача: уравнение по углу и точке

Сначала $k = tg α$ , потом $m$

Образец: прямая проходит через $A (2; - 1)$ и образует с осью $O x$ угол $13 5^{\circ}$ . Составьте её уравнение.

$k = tg 13 5^{\circ} = - 1$ формула приведения

$- 1 = - 1 \cdot 2 + m$ ⇒ $m = 1$ подставили $A$ в $y = - x + m$

$y = - x + 1$ проверка: $- 2 + 1 = - 1$ ✓

Сам: точка и угол наклона

$(1; 5)$ , $α = 4 5^{\circ}$ $y = x + 4$
$(0; - 3)$ , $α = 12 0^{\circ}$ $y = - 3 x - 3$
$(3; 2)$ , $α = 3 0^{\circ}$ $y = \frac{3}{3} x + 1$

R03.2

Теорема · параллельность и перпендикулярность

Прямые $a : y = k_{1} x + m_{1}$ и $b : y = k_{2} x + m_{2}$

$a ∥ b$ ⇔ $k_{1} = k_{2}$ , $m_{1} \neq = m_{2}$
равные углы наклона — соответственные при секущей

O x

1По

a

: вправо на

1

— вверх на

k_{1}

смысл

k

:

Δ y = k_{1} \cdot Δ x

2Поворот на

9 0^{\circ}

вокруг

A

: влево на

k_{1}

, вверх на

1

катеты меняются местами,

a

переходит в

b ⊥ a

3

k_{2} = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{1}{- k _{1}}

угловой коэффициент прямой

b

4 $a ⊥ b$ ⇔ $k_{1} \cdot k_{2} = - 1$ и обратно: при

k_{1} k_{2} = - 1

прямая

b

совпадает с повёрнутой

3 мин · теория
На чертеже a: y = 2x − 1 (k₁ = 2), A(1; 1); после поворота на 90° треугольник с катетами 1 и 2 даёт точку (−1; 2); b: y = −0,5x + 1,5, k₂ = −1/2, k₁k₂ = −1 ✓.
Параллельность: k₁ = k₂ ⇔ tg α₁ = tg α₂ ⇔ α₁ = α₂ (на [0°; 180°) тангенс принимает каждое значение один раз) ⇔ соответственные углы при секущей Ox равны ⇔ a ∥ b. При m₁ = m₂ прямые совпадают.
Обратное утверждение (шаг 4): если k₁k₂ = −1, то k₂ = −1/k₁ — это угловой коэффициент повёрнутой прямой; через A проходит одна прямая с данным k, значит b ⊥ a (для прямой b, не проходящей через A, — параллельный перенос).
Условие k₁k₂ = −1 не работает, если одна из прямых вертикальна (k нет): x = 2 ⊥ y = 3.

R03.2

Образец → сам · комбинированная задача

Перпендикулярная и параллельная прямая через точку

Образец: составьте уравнение прямой, проходящей через $B (3; - 1)$ перпендикулярно прямой $a : y = 2 x + 1$ .

$2 \cdot k = - 1$ ⇒ $k = - \frac{1}{2}$ условие $k_{1} k_{2} = - 1$

$- 1 = - \frac{1}{2} \cdot 3 + m$ ⇒ $m = \frac{1}{2}$ подставили $B$

$y = - 0, 5 x + 0, 5$ проверка: $- 1, 5 + 0, 5 = - 1$ ✓

Сам

Через $(- 2; 5)$ параллельно $y = - 3 x + 7$ $y = - 3 x - 1$
Через $(4; 0)$ перпендикулярно $y = \frac{1}{2} x - 3$ $y = - 2 x + 8$
При каком $p$ прямые $y = (p - 1) x + 2$ и $y = 3 x - 5$ перпендикулярны? $p = \frac{2}{3}$

R03.2

Образец → сам · задача на доказательство

Перпендикулярность — через угловые коэффициенты

Образец: докажите, что треугольник с вершинами $A (1; 1)$ , $B (3; 5)$ , $C (7; 3)$ прямоугольный.

$k_{A B} = \frac{5 - 1}{3 - 1} = 2$ $k$ по двум точкам

$k_{BC} = \frac{3 - 5}{7 - 3} = - \frac{1}{2}$

$2 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1$ ⇒ $A B ⊥ BC$ признак перпендикулярности

$∠ B = 9 0^{\circ}$ — прямоугольный

Сам: докажите

$A (0; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 5)$ , $D (6; 3)$ : $A BC D$ — трапеция. $k_{BC} = k_{A D} = \frac{1}{2}$ ; $k_{A B} = 3 \neq = k_{C D} = - 2$
$A (0; 0)$ , $B (2; 1)$ , $C (1; 3)$ , $D (- 1; 2)$ : $A BC D$ — прямоугольник. $k_{A B} = k_{C D} = \frac{1}{2}$ , $k_{BC} = k_{A D} = - 2$ , $\frac{1}{2} \cdot (- 2) = - 1$

2,5 мин · практика
План доказательства: 1) угловые коэффициенты сторон; 2) сравнить (равны — параллельны, произведение −1 — перпендикулярны); 3) вывод по определению/признаку фигуры.
1) k_BC = (5 − 3)/(5 − 1) = 1/2, k_AD = 3/6 = 1/2 ⇒ BC ∥ AD (прямые разные: B не лежит на y = 0,5x). k_AB = 3, k_CD = (3 − 5)/(6 − 5) = −2 ⇒ AB ∦ CD. Ровно одна пара параллельных сторон ⇒ трапеция.
2) k_AB = 1/2, k_CD = (2 − 3)/(−1 − 1) = 1/2, k_BC = (3 − 1)/(1 − 2) = −2, k_AD = 2/(−1) = −2 ⇒ параллелограмм (две пары параллельных сторон), k_AB · k_BC = −1 ⇒ ∠B = 90° ⇒ прямоугольник.
Требовать вывод словами: «на рисунке видно, что угол прямой» — не доказательство.

R03.2

Образец → сам · по клеткам: клетка — единица

Читаем $m$ на оси $O y$ , $k$ — по клеткам

Образец: найдите $k$ , $m$ и уравнение прямой по чертежу.

точка $(0; - 1)$ ⇒ $m = - 1$

3 вправо, 2 вверх: $k = tg α = \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3} x - 1$ проверка $(3; 1)$ : $2 - 1 = 1$ ✓

Сам: прямые $a$ и $b$

Уравнение $a$ $y = - 2 x + 2$
Уравнение $b$ $y = 0, 5 x + 1$
Угол между $a$ и $b$ ? $9 0^{\circ}$ : $- 2 \cdot 0, 5 = - 1$

R03.2 · практика

Задача из жизни · уклон дороги

Знак «уклон 8 %» — это $tg α = 0, 08$

Профиль дороги (в метрах): $y = 0, 08 x + 120$ . На сколько поднимется дорога за $250$ м по горизонтали? на $20$ м
Что означает $m = 120$ ? высота начала участка, $120$ м
Пандус: уклон не круче $1 : 12$ , высота крыльца $0, 6$ м. Наименьшая длина по горизонтали? $7, 2$ м

R03.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$y = 3 - 2 x$ : $k = 3$	$k$ — коэффициент при $x$ , а не первое число	$k = - 2$ , $m = 3$
$2 x + 3 y = 6$ : $k = 2$	сначала выразить $y$	$y = - \frac{2}{3} x + 2$ , $k = - \frac{2}{3}$
$α = 12 0^{\circ}$ ⇒ $k = 3$	тангенс тупого угла отрицателен	$k = tg 12 0^{\circ} = - 3$
$y = 2 x$ и $y = - 2 x$ перпендикулярны	условие $k_{1} k_{2} = - 1$ , а не $k_{2} = - k_{1}$	$⊥ y = 2 x$ : $k = - \frac{1}{2}$

R03.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Прямая через $A (1; 2)$ параллельно $y = 3 x - 4$ .

$k = - \frac{1}{3}$

$2 = - \frac{1}{3} + m$ , $m = \frac{7}{3}$

параллельны ⇒ $k = 3$ ; $2 = 3 + m$ : $y = 3 x - 1$

б) Угол наклона прямой $x + y - 5 = 0$ .

$y = - x + 5$ , $k = - 1$

$tg α = - 1$ ⇒ $α = 4 5^{\circ}$

$tg α < 0$ ⇒ $α$ тупой: $α = 13 5^{\circ}$

в) $k$ прямой через $A (2; 1)$ и $B (4; 7)$ .

$k = \frac{4 - 2}{7 - 1} = \frac{1}{3}$

$k = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{7 - 1}{4 - 2} = 3$

R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $k$ прямой $y = 5 - 4 x$ $- 4$
базаТочка пересечения $y = 0, 5 x - 7$ с осью $O y$ $(0; - 7)$
базаУгол наклона прямой $y = x + 3$ $4 5^{\circ}$

база $k$ прямой $4 x - 2 y + 1 = 0$ $2$
базаПрямая через $(0; 4)$ , параллельная $y = - 2 x$ $y = - 2 x + 4$
база $k$ прямой через $(- 1; 3)$ и $(2; - 3)$ $- 2$

R03.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Найдите угол между прямыми $y = x$ и $y = 3 x$ . $1 5^{\circ}$
повыш.При каком $a$ прямые $a x + 2 y - 1 = 0$ и $3 x - y + 4 = 0$ перпендикулярны? $a = \frac{2}{3}$
повыш.Прямая $y = k x + 3$ , $k < 0$ , отсекает от координатного угла треугольник площади $6$ . Найдите $k$ . $k = - \frac{3}{4}$
повыш. $A (0; 0)$ , $B (4; 2)$ , $C (1; 5)$ . Составьте уравнение высоты треугольника из вершины $C$ . $y = - 2 x + 7$

R03.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 11 и 18

Знаки $k$ и $m$ по графику, тангенс угла на клетках

ОГЭ 11 Установите соответствие: графики А, Б, В и формулы 1) $y = - 2 x + 3$ ; 2) $y = 0, 5 x + 2$ ; 3) $y = 2 x - 3$ .

А

Б

В

Ответ: 231

ОГЭ 18 Найдите тангенс угла $A OB$ .

Ответ: −2

R03.2

Самостоятельная работа · 4,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$k$ и точка на $O y$ : $3 x + y - 7 = 0$ $k = - 3$ ; $(0; 7)$
Угол наклона $y = - 3 x + 1$ $12 0^{\circ}$
Через $(2; 3)$ параллельно $y = 4 x - 1$ $y = 4 x - 5$
Через $(2; 3)$ перпендикулярно $y = - 2 x + 5$ $y = 0, 5 x + 2$

Вариант 2

$k$ и точка на $O y$ : $2 x - y + 5 = 0$ $k = 2$ ; $(0; 5)$
Угол наклона $y = \frac{3}{3} x - 2$ $3 0^{\circ}$
Через $(- 1; 4)$ параллельно $y = - 3 x + 2$ $y = - 3 x + 1$
Через $(3; 1)$ перпендикулярно $y = 3 x - 2$ $y = - \frac{1}{3} x + 2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что показывает $k$ ? А $m$ ?
Знак $k$ при тупом угле наклона?
Когда прямые параллельны? перпендикулярны?

k = tg α

,

(0; m)

— на

O y

∥

:

k_{1} = k_{2}

,

⊥

:

k_{1} k_{2} = - 1

Домашнее задание

Угол наклона прямой $x - 3 y + 3 = 0$ .
Прямая через $A (- 3; 2)$ , перпендикулярная $x + 2 y = 0$ .
* $A (- 1; 0)$ , $B (1; 4)$ , $C (5; 2)$ , $D (3; - 2)$ : докажите, что $A BC D$ — квадрат.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-036 · Угловой коэффициент и свободный член, их геометрический смысл

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Метод координат», 10 ч · урок 2/10 · тип Н
Единицы → слайды	R03.2 «Угловой коэффициент и свободный член, их геометрический смысл» → 2, 4–21 · повторение R01 и R03.1 → 3
Результаты	ПР-9 (угловой коэффициент и свободный член, геометрический смысл, возрастание/убывание, параллельность и перпендикулярность прямых) → 4–21; ПР-11 (практико-ориентированная задача) → 14
Вне урока	уравнение прямой ax + by + c = 0 — GEOM9U-035; уравнение окружности — GEOM9U-037; пересечения прямых и окружностей — GEOM9U-038; расстояние от точки до прямой — R03.5
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Угловой коэффициент и свободный член, их геометрический смысл

Сегодня вы научитесь

Читать уравнение прямой

Объяснять их смысл

Составлять уравнения

Доказывать в координатах

Тангенсы и уравнение прямой

Из ax+by+c=0 — в y=kx+m

m — где прямая пересекает ось Oy

k=tgα

Возрастает, убывает, горизонтальна, вертикальна

Выразите y, затем k=tgα

Образец: найдите угол наклона прямой 3​x−y+2=0 и точку её пересечения с осью Oy.

Сам: угол и точка на Oy

Сначала k=tgα, потом m

Образец: прямая проходит через A(2;−1) и образует с осью Ox угол 135∘. Составьте её уравнение.

Сам: точка и угол наклона

Прямые a:y=k1​x+m1​ и b:y=k2​x+m2​

Перпендикулярная и параллельная прямая через точку

Образец: составьте уравнение прямой, проходящей через B(3;−1) перпендикулярно прямой a:y=2x+1.

Сам

Перпендикулярность — через угловые коэффициенты

Образец: докажите, что треугольник с вершинами A(1;1), B(3;5), C(7;3) прямоугольный.

Сам: докажите

Читаем m на оси Oy, k — по клеткам

Образец: найдите k, m и уравнение прямой по чертежу.

Сам: прямые a и b

Знак «уклон 8 %» — это tgα=0,08

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Прямая через A(1;2) параллельно y=3x−4.

б) Угол наклона прямой x+y−5=0.

в) k прямой через A(2;1) и B(4;7).

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Знаки k и m по графику, тангенс угла на клетках

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-036 · Угловой коэффициент и свободный член, их геометрический смысл

Из $a x + b y + c = 0$ — в $y = k x + m$

$m$ — где прямая пересекает ось $O y$

$k = tg α$

Выразите $y$ , затем $k = tg α$

Образец: найдите угол наклона прямой $3 x - y + 2 = 0$ и точку её пересечения с осью $O y$ .

Сам: угол и точка на $O y$

Сначала $k = tg α$ , потом $m$

Образец: прямая проходит через $A (2; - 1)$ и образует с осью $O x$ угол $13 5^{\circ}$ . Составьте её уравнение.

Прямые $a : y = k_{1} x + m_{1}$ и $b : y = k_{2} x + m_{2}$

Образец: составьте уравнение прямой, проходящей через $B (3; - 1)$ перпендикулярно прямой $a : y = 2 x + 1$ .

Образец: докажите, что треугольник с вершинами $A (1; 1)$ , $B (3; 5)$ , $C (7; 3)$ прямоугольный.

Читаем $m$ на оси $O y$ , $k$ — по клеткам

Образец: найдите $k$ , $m$ и уравнение прямой по чертежу.

Сам: прямые $a$ и $b$

Знак «уклон 8 %» — это $tg α = 0, 08$

а) Прямая через $A (1; 2)$ параллельно $y = 3 x - 4$ .

б) Угол наклона прямой $x + y - 5 = 0$ .

в) $k$ прямой через $A (2; 1)$ и $B (4; 7)$ .

Знаки $k$ и $m$ по графику, тангенс угла на клетках