Метод координат · урок 1 из 10

Уравнение прямой на плоскости

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9U-035

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Метод координат» (10 ч), урок 1/10, единица R03.1 «Уравнение прямой на плоскости». Тип урока — Н.
Теория (13,5): титул 0,5 · цели 0,5 · уравнение фигуры 1,5 · вывод уравнения 3 · обратная теорема 2 · частные случаи 1,5 · прямая через две точки 2 · взаимное расположение 1,5 · схема-конспект 1.
Практика (31,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4,5 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (медианы) и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; вывод уравнения и обратную теорему не сокращать.

R03.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Работать с уравнением фигуры

проверять, лежит ли точка на прямой, находить точки на осях (ПР-9)

Доказывать

что прямая задаётся уравнением $a x + b y + c = 0$ и что такое уравнение — всегда прямая

Составлять уравнение

по двум точкам, по отрезкам на осях, по чертежу

Исследовать две прямые

пересекаются, параллельны или совпадают; находить точку пересечения (ПР-9)

0,5 мин · теория
ПР-9: «Владеть понятием координат на плоскости, работать с уравнением прямой на плоскости… Уметь решать методом координат задачи, связанные с параллельностью и перпендикулярностью прямых, пересечением прямых, нахождением точек пересечения».
Виды деятельности ФРП R03: выводить уравнения прямой в координатах; находить точки пересечения прямых. Угловой коэффициент и его геометрический смысл — следующий урок (GEOM9U-036), здесь — общее уравнение.

повторение: 8 класс, алгебра

Разминка · устно

Координаты, расстояния, линейная функция

Расстояние между $A (- 1; 2)$ и $B (2; 6)$ ? $5$
Середина отрезка $A (- 3; 1)$ , $B (5; 7)$ ? $(1; 4)$
Лежит ли $(3; - 1)$ на $y = - 2 x + 5$ ? да
Где лежат точки, равноудалённые от $A$ и $B$ ? на серединном перпендикуляре

Где $y = 3 x - 6$ пересекает ось $O y$ ? $(0; - 6)$
А ось $O x$ ? $(2; 0)$
Сколько прямых проходит через две различные точки? ровно одна
Упростите $(x - 2)^{2} - (x + 3)^{2}$ . $- 10 x - 5$

R03.1

Определение · уравнение фигуры

Когда точка лежит на линии

Уравнение фигуры — уравнение с переменными

x

и

y

, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

l

:

x + 2 y - 4 = 0

$A (2; 1)$ : $2 + 2 - 4 = 0$ ⇒ $A \in l$

$B (- 2; 2)$ : $- 2 + 4 - 4 \neq = 0$ ⇒ $B \in / l$

$C (4; 0)$ : $4 + 0 - 4 = 0$ ⇒ $C \in l$

R03.1

Теорема · уравнение прямой

Каждая прямая задаётся уравнением $a x + b y + c = 0$

Прямая

l

— серединный перпендикуляр к

A B

, где

A (x_{1}; y_{1})

,

B (x_{2}; y_{2})

,

A \neq = B

.

1

M (x; y) \in l ⟺ M A^{2} = M B^{2}

свойство серединного перпендикуляра

2

(x - x_{1})^{2} + (y - y_{1})^{2} = (x - x_{2})^{2} + (y - y_{2})^{2}

формула расстояния между точками

3

2 (x_{2} - x_{1}) x + 2 (y_{2} - y_{1}) y + (x_{1}^{2} + y_{1}^{2} - x_{2}^{2} - y_{2}^{2}) = 0

раскрыли скобки,

x^{2}

и

y^{2}

сократились

4

a x + b y + c = 0

,

a

и

b

не равны нулю одновременноиначе

x_{1} = x_{2}

и

y_{1} = y_{2}

, то есть

A = B

3 мин · теория
Любую прямую $l$ можно считать серединным перпендикуляром: возьмём на ней точку $K$ , проведём через $K$ перпендикуляр и отложим равные отрезки $K A = K B$ . Поэтому вывод верен для любой прямой.
Пример на чертеже: $A (0; 1)$ , $B (4; 3)$ : $8 x + 4 y + (0 + 1 - 16 - 9) = 0 ⟺ 2 x + y - 6 = 0$ . Проверка: середина $K (2; 2)$ : $4 + 2 - 6 = 0$ ✓; $M (1; 4)$ : $2 + 4 - 6 = 0$ , $M A = MB = 10$ ✓.
Вопрос: почему уравнение первой степени? ( $x^{2}$ и $y^{2}$ входят в обе части с коэффициентом 1 и сокращаются.) Обязательность « $a$ и $b$ не равны нулю одновременно»: при $a = b = 0$ уравнение $c = 0$ — либо пустое множество, либо вся плоскость.

R03.1

Теорема · обратное утверждение

Уравнение $a x + b y + c = 0$ всегда задаёт прямую

1Есть точка

M (x_{0}; y_{0})

фигуры, тогда

c = - a x_{0} - b y_{0}

при

b \neq = 0

:

x_{0} = 0

,

y_{0} = - \frac{c}{b}

; при

b = 0

:

x_{0} = - \frac{c}{a}

,

y_{0} = 0

2Уравнение:

a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0

подставили

c

3

A (x_{0} - a; y_{0} - b)

,

B (x_{0} + a; y_{0} + b)

A \neq = B

,

M

— середина

A B

4Серединный перпендикуляр к

A B

:

4 a (x - x_{0}) + 4 b (y - y_{0}) = 0

формула шага 3 прошлого слайда

5Уравнения равносильны ⇒ фигура — прямая ∎

2 мин · теория
Шаг 4 подробно: коэффициенты $2 \cdot 2 a = 4 a$ , $2 \cdot 2 b = 4 b$ , свободный член $(x_{0} - a)^{2} - (x_{0} + a)^{2} + (y_{0} - b)^{2} - (y_{0} + b)^{2} = - 4 a x_{0} - 4 b y_{0}$ . Итог $4 (a (x - x_{0}) + b (y - y_{0})) = 0$ — то же уравнение, умноженное на 4.
Пример на чертеже: $x + 2 y - 4 = 0$ , $M (0; 2)$ , $A (- 1; 0)$ , $B (1; 4)$ ; прямая — серединный перпендикуляр к $A B$ (прямой угол в $M$ ).
Вывод для решения задач: две теоремы вместе — «прямая ⇔ уравнение первой степени». Попутно: прямые $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ с теми же $a$ , $b$ и разными точками $M$ — параллельные прямые (перпендикулярны одному отрезку $A B$ ).

R03.1

Образец → сам · точка на прямой, точки на осях

Подставляем координаты

Образец: прямая $2 x - 3 y + 6 = 0$ . Лежит ли на ней $A (3; 4)$ ? Найдите точки пересечения с осями.

$2 \cdot 3 - 3 \cdot 4 + 6 = 0$ ⇒ $A$ на прямойверное равенство

$O x$ : $y = 0$ , $2 x = - 6$ ⇒ $(- 3; 0)$ у точек оси $O x$ ордината 0

$O y$ : $x = 0$ , $- 3 y = - 6$ ⇒ $(0; 2)$ у точек оси $O y$ абсцисса 0

Сам

Точки пересечения прямой $3 x - 4 y - 12 = 0$ с осями. $(4; 0)$ и $(0; - 3)$
При каком $c$ прямая $5 x - y + c = 0$ проходит через $(- 1; 2)$ ? $c = 7$
При каком $a$ прямая $a x + 3 y - 6 = 0$ проходит через $(2; - 2)$ ? $a = 6$

R03.1

Свойство · частные случаи уравнения

Как расположена прямая $a x + b y + c = 0$

1) $2 y - 6 = 0$ , т. е. $y = 3$

$a = 0$ : прямая параллельна оси $O x$

2) $x + 2 = 0$ , т. е. $x = - 2$

$b = 0$ : прямая параллельна оси $O y$

3) $x - y = 0$

$c = 0$ : проходит через начало координат

4) $x + 2 y - 4 = 0$

$a, b, c \neq = 0$ : пересекает обе оси, $(- \frac{c}{a}; 0)$ и $(0; - \frac{c}{b})$

R03.1

Теорема · прямая через две точки

Уравнение прямой $A B$

(x - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) = (y - y_{1}) (x_{2} - x_{1})

1Это

a x + b y + c = 0

:

a = y_{2} - y_{1}

,

b = - (x_{2} - x_{1})

не оба нули, так как

A \neq = B

⇒ это прямая

2

A

:

0 = 0

;

B

:

(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) = (y_{2} - y_{1}) (x_{2} - x_{1})

обе точки удовлетворяют уравнению

3Через две точки проходит одна прямая ⇒ это

A B

A (1; 2)

,

B (4; - 4)

:

- 6 (x - 1) = 3 (y - 2) ⟺ 2 x + y - 4 = 0

2 мин · теория
Формула «крест-накрест» работает всегда, в том числе для вертикальных и горизонтальных прямых (деления нет). При $x_{1} \neq = x_{2}$ , $y_{1} \neq = y_{2}$ её пишут пропорцией: $\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}}$ .
Пример: $(x - 1) (- 4 - 2) = (y - 2) (4 - 1)$ ⇒ $- 6 x + 6 = 3 y - 6$ ⇒ $6 x + 3 y - 12 = 0$ ⇒ $2 x + y - 4 = 0$ . Проверка $B$ : $8 - 4 - 4 = 0$ ✓; середина $M (2, 5; - 1)$ : $5 - 1 - 4 = 0$ ✓.
Смысл: точка $M (x; y)$ на прямой $A B$ ⇔ «приращения» $x - x_{1}$ и $y - y_{1}$ пропорциональны $x_{2} - x_{1}$ и $y_{2} - y_{1}$ (подобные прямоугольные треугольники на чертеже).

R03.1

Образец → сам · прямая через две точки

Подставляем в формулу и упрощаем

Образец: напишите уравнение прямой, проходящей через $A (- 2; 3)$ и $B (4; - 1)$ .

$(x + 2) (- 1 - 3) = (y - 3) (4 + 2)$ формула прямой через две точки

$- 4 x - 8 = 6 y - 18$ раскрыли скобки

$2 x + 3 y - 5 = 0$ проверка $B$ : $8 - 3 - 5 = 0$ ✓

Сам

$A (1; 1)$ , $B (3; 7)$ . $3 x - y - 2 = 0$
$C (- 1; 4)$ , $D (5; 4)$ . $y = 4$
$E (2; - 3)$ , $F (2; 5)$ . $x = 2$

R03.1

Образец → сам · уравнение по чертежу и в отрезках

Точки на осях: $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$

Образец: напишите уравнение прямой по чертежу (клетка — единица).

На осях: $(3; 0)$ и $(0; - 2)$ точки в узлах сетки

$\frac{x}{3} + \frac{y}{- 2} = 1$ прямая через $(p; 0)$ и $(0; q)$

$2 x - 3 y - 6 = 0$ умножили на $- 6$

Сам

Уравнение прямой $a$ . $2 x - y + 4 = 0$
Уравнение прямой $b$ . $x - 3 y = 0$
Прямая с $p = 2$ , $q = - 5$ . $5 x - 2 y - 10 = 0$

R03.1

Свойство · взаимное расположение прямых

$a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ и $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$

Коэффициенты	Прямые
$a_{1} b_{2} \neq = a_{2} b_{1}$	пересекаются в одной точке
$\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$	параллельны
$\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}$	совпадают

Общая точка — решение системы:
$p$ и $r$ : $x - y = - 1$ , $x + y = 3$ ⇒ $M (1; 2)$

1,5 мин · теория
На чертеже: $p$ : $x - y + 1 = 0$ , $q$ : $2 x - 2 y - 4 = 0$ (то же, что $x - y - 2 = 0$ ) — коэффициенты при $x$ и $y$ пропорциональны, свободные — нет ⇒ $p ∥ q$ (стрелки). $r$ : $x + y - 3 = 0$ пересекает $p$ в $M (1; 2)$ и $q$ в $N (2, 5; 0, 5)$ .
Почему так: исключаем $y$ — $(a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) x = b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}$ . Если $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq = 0$ , решение единственное. Если $= 0$ , уравнения после умножения отличаются только свободным членом: решений нет (параллельны) или бесконечно много (совпадают). Дроби — когда знаменатели не нули; общая запись — $a_{1} b_{2} = a_{2} b_{1}$ .
Проверка $M$ : $1 - 2 + 1 = 0$ , $1 + 2 - 3 = 0$ ✓.

R03.1

Образец → сам · прямые с параметром

Комбинированная задача

Образец: при каких $m$ прямые $(m - 1) x + 2 y - 4 = 0$ и $3 x + (m + 4) y + 6 = 0$ параллельны? Могут ли они совпасть?

$(m - 1) (m + 4) = 2 \cdot 3$ параллельны или совпадают ⇔ $a_{1} b_{2} = a_{2} b_{1}$

$m^{2} + 3 m - 10 = 0$ ⇒ $m = 2$ или $m = - 5$

$m = 2$ : $x + 2 y - 4 = 0$ и $x + 2 y + 2 = 0$ разделили второе на 3: свободные члены разные

$m = - 5$ : $3 x - y + 2 = 0$ и $3 x - y + 6 = 0$ первое разделили на $- 2$

Ответ: $m = 2$ , $m = - 5$ ; совпасть не могут

Сам

Точка пересечения $3 x - 2 y - 7 = 0$ и $x + 4 y + 7 = 0$ . $(1; - 2)$
При каком $a$ прямые $a x + 3 y - 1 = 0$ и $2 x + 6 y + 5 = 0$ параллельны? $a = 1$
При каком $k$ прямые $x + y - 3 = 0$ , $2 x - y = 0$ , $k x + y - 5 = 0$ проходят через одну точку? $k = 3$

R03.1

Образец → сам · задача на доказательство

Три прямые через одну точку

Образец: $A (0; 0)$ , $B (2; 6)$ , $C (7; 0)$ . Докажите, что медианы $△ A BC$ пересекаются в одной точке.

$A A_{1}$ : $2 x - 3 y = 0$ $A_{1} (4, 5; 3)$ — середина $BC$

$B B_{1}$ : $4 x + y - 14 = 0$ $B_{1} (3, 5; 0)$ — середина $A C$

Система ⇒ $G (3; 2)$

$C C_{1}$ : $x + 2 y - 7 = 0$ , $3 + 4 - 7 = 0$ ∎

Сам: докажите

$A (- 1; - 1)$ , $B (1; 3)$ , $C (3; 7)$ лежат на одной прямой. $A B$ : $2 x - y + 1 = 0$ , $C$ : $6 - 7 + 1 = 0$
Прямые $x - 2 y + 3 = 0$ , $2 x + y - 4 = 0$ , $3 x - y - 1 = 0$ проходят через одну точку. $(1; 2)$ на всех трёх
$A (0; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 4)$ , $D (4; 1)$ : $A BC D$ — параллелограмм. $A B ∥ D C$ , $A D ∥ BC$

3 мин · практика
План: уравнения двух медиан → точка пересечения → проверка, что третья медиана через неё проходит. $A A_{1}$ : $(x - 0) (3 - 0) = (y - 0) (4, 5 - 0)$ ⇒ $3 x = 4, 5 y$ ⇒ $2 x - 3 y = 0$ . $B B_{1}$ : $(x - 2) (- 6) = (y - 6) (1, 5)$ ⇒ $4 x + y - 14 = 0$ . Система: $x = 1, 5 y$ , $6 y + y = 14$ ⇒ $y = 2$ , $x = 3$ . $C C_{1}$ , $C_{1} (1; 3)$ : $(x - 7) \cdot 3 = y \cdot (- 6)$ ⇒ $x + 2 y - 7 = 0$ . $G$ — центр тяжести, $G = (\frac{0 + 2 + 7}{3}; \frac{0 + 6 + 0}{3})$ ✓.
1) $(x + 1) \cdot 4 = (y + 1) \cdot 2$ ⇒ $2 x - y + 1 = 0$ ; $C$ : $6 - 7 + 1 = 0$ ✓.
2) Из первых двух: $x = 2 y - 3$ , $4 y - 6 + y - 4 = 0$ ⇒ $y = 2$ , $x = 1$ ; третья: $3 - 2 - 1 = 0$ ✓.
3) $A B$ : $3 x - y = 0$ , $D C$ : $3 x - y - 11 = 0$ — параллельны (коэффициенты равны, свободные разные); $A D$ : $x - 4 y = 0$ , $BC$ : $x - 4 y + 11 = 0$ — параллельны ⇒ параллелограмм (определение).

R03.1

Схема-конспект

Как составить уравнение прямой

Что дано	Уравнение	Пример
две точки	$(x - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) = (y - y_{1}) (x_{2} - x_{1})$	$(- 2; 3)$ , $(4; - 1)$ → $2 x + 3 y - 5 = 0$
отрезки на осях $p, q \neq = 0$	$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$	$p = 3$ , $q = - 2$ → $2 x - 3 y - 6 = 0$
точка и параллельная прямая	$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ , $a, b$ — как у данной	$∥ 2 x - 3 y + 1 = 0$ , $(2; 1)$ → $2 x - 3 y - 1 = 0$
отрезок $A B$	серединный перпендикуляр: $M A^{2} = M B^{2}$	$(0; 1)$ , $(4; 3)$ → $2 x + y - 6 = 0$
две прямые	$a_{1} b_{2} \neq = a_{2} b_{1}$ — решаем систему; иначе параллельны или совпадают	$x - y + 1 = 0$ , $x + y - 3 = 0$ → $(1; 2)$

R03.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
через $(2; 1)$ и $(2; 5)$ : $y = 2$	одинаковы абсциссы, а не ординаты	$x = 2$
$3 x - 2 y + 6 = 0$ и $O x$ : $x = 0$ , точка $(0; 3)$	на оси $O x$ равна нулю ордината	$y = 0$ : $(- 2; 0)$
$(x - x_{1}) (x_{2} - x_{1}) = (y - y_{1}) (y_{2} - y_{1})$	перепутали «крест-накрест»	$(x - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) = (y - y_{1}) (x_{2} - x_{1})$
$x + 2 y - 4 = 0$ и $2 x + 4 y - 8 = 0$ параллельны	свободные члены тоже пропорциональны	прямые совпадают

R03.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Серединный перпендикуляр к $A B$ : $A (1; - 2)$ , $B (3; 4)$ .

1) $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2}$

2) $4 x + 4 y - 20 = 0$

3) Ответ: $x + y - 5 = 0$

Ошибка в 1: $y - (- 2) = y + 2$

$4 x + 12 y - 20 = 0$ : $x + 3 y - 5 = 0$

б) При каком $a$ прямые $a x + 2 y - 1 = 0$ и $8 x + a y - 2 = 0$ параллельны?

1) $a \cdot a = 2 \cdot 8$ , $a^{2} = 16$

2) Ответ: $a = 4$

$a = \pm 4$ ; при $a = 4$ прямые совпадают

Ответ: $a = - 4$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Знак: $(y - (- 2))^{2} = (y + 2)^{2}$ . Верно: $- 2 x + 4 y + 5 = - 6 x - 8 y + 25$ ⇒ $4 x + 12 y - 20 = 0$ ⇒ $x + 3 y - 5 = 0$ . Проверка серединой $(2; 1)$ : $2 + 3 - 5 = 0$ ✓; ответ ученика её не проходит: $2 + 1 - 5 \neq = 0$ — вот зачем проверка.
б) Две ошибки: потерян корень $- 4$ и не проверены свободные члены. $a = 4$ : $4 x + 2 y - 1 = 0$ и $8 x + 4 y - 2 = 0$ — второе вдвое больше первого, прямые совпадают. $a = - 4$ : $- 4 x + 2 y - 1 = 0$ и $8 x - 4 y - 2 = 0$ (т. е. $- 4 x + 2 y + 1 = 0$ ) — параллельны ✓.

R03.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаЛежит ли $A (- 2; 3)$ на прямой $3 x + 2 y = 0$ ? да
базаТочки пересечения $4 x - 5 y + 20 = 0$ с осями. $(- 5; 0)$ , $(0; 4)$
базаПрямая через $(3; - 2)$ , параллельная $O y$ . $x = 3$

базаПрямая через $A (0; - 1)$ и $B (2; 5)$ . $3 x - y - 1 = 0$
базаТочка пересечения $x + y - 5 = 0$ и $x - y - 1 = 0$ . $(3; 2)$
базаПрямая с отрезками на осях $p = 3$ , $q = 6$ . $2 x + y - 6 = 0$

R03.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Найдите площадь треугольника, который прямая $5 x - 2 y + 20 = 0$ отсекает от координатного угла. $20$
повыш.Прямая проходит через $M (2; - 1)$ параллельно $3 x - 4 y + 7 = 0$ . Её уравнение? $3 x - 4 y - 10 = 0$
повыш.При каких $b$ прямые $x + b y - 2 = 0$ и $b x + 4 y - 4 = 0$ совпадают? параллельны? $b = 2$ — совпадают, $b = - 2$ — параллельны
из жизниДорога на карте проходит через посёлки $A (0; 3)$ и $B (6; 0)$ (км), река — по прямой $y = x$ . Где строить мост? в точке $(2; 2)$

2,5 мин · практика
1) Точки на осях: $(- 4; 0)$ и $(0; 10)$ ; прямоугольный треугольник с катетами 4 и 10: $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 = 20$ (длины — модули координат).
2) Те же $a = 3$ , $b = - 4$ : $3 (x - 2) - 4 (y + 1) = 0$ ⇒ $3 x - 4 y - 10 = 0$ ; проверка $M$ : $6 + 4 - 10 = 0$ ✓.
3) $1 \cdot 4 = b \cdot b$ ⇒ $b = \pm 2$ . $b = 2$ : $x + 2 y - 2 = 0$ и $2 x + 4 y - 4 = 0$ — совпадают. $b = - 2$ : $x - 2 y - 2 = 0$ и $- 2 x + 4 y - 4 = 0$ (т. е. $x - 2 y + 2 = 0$ ) — параллельны. При остальных $b$ — пересекаются.
4) Дорога «в отрезках»: $\frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1$ ⇒ $x + 2 y - 6 = 0$ ; с $y = x$ : $3 x = 6$ , $x = 2$ — мост в точке $(2; 2)$ , т. е. в 2 км к востоку и 2 км к северу от начала координат.

R03.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 23

Метод координат в геометрической задаче

ОГЭ 18 На клетчатой бумаге с клетками $1 \times 1$ изображён $△ A BC$ . Найдите длину медианы $BM$ .

$A (1; 1)$ , $C (7; 5)$ ⇒ $M (4; 3)$ ; $B (0; 6)$

$BM = 4^{2} + 3^{2} = 5$

ОГЭ 23 Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите расстояние от вершины прямого угла до точки пересечения медиан.

$A A_{1}$ : $2 x + 3 y - 12 = 0$

$B B_{1}$ : $8 x + 3 y - 24 = 0$

$G (2; \frac{8}{3})$

$CG = \frac{10}{3}$

2,5 мин · практика
18) Координаты узлов: $A (1; 1)$ , $B (0; 6)$ , $C (7; 5)$ ; середина $A C$ : $M (4; 3)$ ; $BM = (4 - 0)^{2} + (3 - 6)^{2} = 5$ . В бланк — «5».
23) Вводим систему координат: $C (0; 0)$ , $A (6; 0)$ , $B (0; 8)$ . Медиана $A A_{1}$ , $A_{1} (0; 4)$ : $\frac{x}{6} + \frac{y}{4} = 1$ ⇒ $2 x + 3 y - 12 = 0$ . Медиана $B B_{1}$ , $B_{1} (3; 0)$ : $\frac{x}{3} + \frac{y}{8} = 1$ ⇒ $8 x + 3 y - 24 = 0$ . Вычитаем: $6 x = 12$ , $x = 2$ , $y = \frac{8}{3}$ . $CG = 4 + \frac{64}{9} = \frac{100}{9} = \frac{10}{3}$ . Проверка другим способом: $CG = \frac{2}{3}$ медианы $C C_{1} = \frac{2}{3} \cdot 5$ (медиана к гипотенузе равна её половине) ✓.
В части 2 решение оформить полностью: выбор системы координат, координаты точек, уравнения, ответ.

R03.1

Самостоятельная работа · 4,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Лежит ли $(2; - 1)$ на $3 x + 4 y - 2 = 0$ ? да
Точки пересечения $2 x - 3 y - 12 = 0$ с осями. $(6; 0)$ , $(0; - 4)$
Прямая через $(- 1; 2)$ и $(3; 10)$ . $2 x - y + 4 = 0$
Точка пересечения $3 x + y - 7 = 0$ и $x - 2 y = 0$ . $(2; 1)$

Вариант 2

Лежит ли $(- 3; 1)$ на $2 x + 5 y - 4 = 0$ ? нет
Точки пересечения $3 x + 5 y + 15 = 0$ с осями. $(- 5; 0)$ , $(0; - 3)$
Прямая через $(2; - 3)$ и $(4; 1)$ . $2 x - y - 7 = 0$
Точка пересечения $2 x + y - 1 = 0$ и $x - 3 y - 11 = 0$ . $(2; - 3)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое уравнение фигуры?
Почему уравнение прямой — первой степени?
Как написать уравнение прямой через две точки?
Когда две прямые параллельны?

Домашнее задание

Серединный перпендикуляр к $A B$ : $A (- 1; 3)$ , $B (3; 1)$ .
При каком $m$ прямые $m x + 2 y + 3 = 0$ и $2 x + m y - 3 = 0$ параллельны?
* Даны $A (0; 0), B (4; 8), C (8; - 2)$ . Докажите, что медианы $△ A BC$ пересекаются в одной точке.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_vektory-koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-035 · Уравнение прямой на плоскости

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Метод координат», 10 ч · урок 1/10 · тип Н
Единицы → слайды	R03.1 «Уравнение прямой на плоскости» → 2, 4–22 · повторение 8 класса и алгебры (координаты, расстояние, линейная функция) → 3
Результаты	ПР-9 (координаты на плоскости, уравнение прямой, пересечение и параллельность прямых) → 4–22
Вне урока	угловой коэффициент и свободный член, $y = k x + m$ — GEOM9U-036 (R03.2); уравнение окружности — GEOM9U-037 (R03.3); пересечение окружностей и прямых — R03.4; расстояние от точки до прямой — R03.5
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Уравнение прямой на плоскости

Сегодня вы научитесь

Работать с уравнением фигуры

Доказывать

Составлять уравнение

Исследовать две прямые

Координаты, расстояния, линейная функция

Когда точка лежит на линии

Каждая прямая задаётся уравнением ax+by+c=0

Уравнение ax+by+c=0 всегда задаёт прямую

Подставляем координаты

Образец: прямая 2x−3y+6=0. Лежит ли на ней A(3;4)? Найдите точки пересечения с осями.

Сам

Как расположена прямая ax+by+c=0

Уравнение прямой AB

Подставляем в формулу и упрощаем

Образец: напишите уравнение прямой, проходящей через A(−2;3) и B(4;−1).

Сам

Точки на осях: px​+qy​=1

Образец: напишите уравнение прямой по чертежу (клетка — единица).

Сам

a1​x+b1​y+c1​=0 и a2​x+b2​y+c2​=0

Комбинированная задача

Образец: при каких m прямые (m−1)x+2y−4=0 и 3x+(m+4)y+6=0 параллельны? Могут ли они совпасть?

Сам

Три прямые через одну точку

Образец: A(0;0), B(2;6), C(7;0). Докажите, что медианы △ABC пересекаются в одной точке.

Сам: докажите

Как составить уравнение прямой

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Серединный перпендикуляр к AB: A(1;−2), B(3;4).

б) При каком a прямые ax+2y−1=0 и 8x+ay−2=0 параллельны?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Метод координат в геометрической задаче

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-035 · Уравнение прямой на плоскости

Каждая прямая задаётся уравнением $a x + b y + c = 0$

Уравнение $a x + b y + c = 0$ всегда задаёт прямую

Образец: прямая $2 x - 3 y + 6 = 0$ . Лежит ли на ней $A (3; 4)$ ? Найдите точки пересечения с осями.

Как расположена прямая $a x + b y + c = 0$

Уравнение прямой $A B$

Образец: напишите уравнение прямой, проходящей через $A (- 2; 3)$ и $B (4; - 1)$ .

Точки на осях: $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$

$a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ и $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$

Образец: при каких $m$ прямые $(m - 1) x + 2 y - 4 = 0$ и $3 x + (m + 4) y + 6 = 0$ параллельны? Могут ли они совпасть?

Образец: $A (0; 0)$ , $B (2; 6)$ , $C (7; 0)$ . Докажите, что медианы $△ A BC$ пересекаются в одной точке.

а) Серединный перпендикуляр к $A B$ : $A (1; - 2)$ , $B (3; 4)$ .

б) При каком $a$ прямые $a x + 2 y - 1 = 0$ и $8 x + a y - 2 = 0$ параллельны?