Подобие треугольников · урок 12 из 12 · обобщение

Обобщение и систематизация: подобие треугольников

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9U-034 · единицы R02.1–R02.5

1 мин · теория (орг. момент, тема, план урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие треугольников» (12 ч), урок 12/12, тип О (обобщение и систематизация), единицы R02.1–R02.5.
Теория (12): титул 1 · цели 1 · сводка «окружность» 4 · сводка «Чева, Менелай, гомотетия» 4 · схема «какой инструмент выбрать» 2.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 6 = 15 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Урок завершает строку: в каждом образце — один из пяти инструментов строки. Сводки не читать заново, а восстанавливать вопросами классу.
Если не успеваете: третье задание «сам» в образцах 3 и 6 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать (её результат — итог по строке).

R02.1–R02.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть подобие в окружности

находить пары подобных треугольников у хорд и секущих (ПР-7)

Применять метрические теоремы

о хордах, секущих и квадрате касательной (ПР-8)

Считать отношения отрезков

по теоремам Чевы и Менелая (ПР-6)

Пользоваться гомотетией

для отрезков и площадей, в трапеции и в жизни (ПР-5)

повторение: уроки 23–33

Разминка · устно

Семь коротких вопросов по всей теме

Вписанный угол опирается на дугу $8 0^{\circ}$ . Угол? $4 0^{\circ}$
$k = 3$ , площадь меньшего треугольника $2$ . Большего? $18$
Хорды: $A E = 2$ , $EB = 6$ , $CE = 3$ . $E D$ ? $4$
Касательная: $M A = 1$ , $MB = 9$ . $MT$ ? $3$

Две чевианы — медианы. Как третья делит сторону? $1 : 1$
Гомотетия $k = - 2$ , отрезок $5$ . Образ? $10$
$x (x + 2) = 8$ , $x > 0$ $x = 2$

R02.1 · R02.2

Сводка · подобие и отрезки в окружности

Равные вписанные углы → подобие → произведения

Две хорды

$△ A EC \sim △ D EB$

A E \cdot EB = CE \cdot E D

Касательная и секущая

$△ MT A \sim △ MBT$

M T^{2} = M A \cdot MB

Две секущие

$△ M A D \sim △ MCB$

M A \cdot MB = MC \cdot M D

Степень точки: внутри круга произведение равно

R^{2} - d^{2}

, снаружи

d^{2} - R^{2}

(

d

— расстояние до центра).

4 мин · теория (восстанавливаем с классом, учитель только направляет)
Вопросы классу по каждой картинке: какие углы равны и почему? ∠CAB = ∠CDB и ∠ACD = ∠ABD — вписанные, опираются на одну дугу; ∠MTA = ∠MBT — угол между касательной и хордой равен половине дуги TA; ∠MDA = ∠MBC — вписанные на дуге AC; ∠M — общий.
Из подобия — пропорции: AE/DE = CE/BE ⇒ AE · EB = CE · ED; MT/MB = MA/MT ⇒ MT² = MA · MB; MA/MC = MD/MB ⇒ MA · MB = MC · MD.
Степень точки: диаметр через точку — (R − d)(R + d); снаружи MT² = OM² − R² (касательная ⟂ радиусу).

R02.1

Образец → сам · подобные треугольники у хорд

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$

Образец: $A E = 4$ , $EB = 9$ , $CE = 6$ , $A C = 5$ . Найдите $E D$ и $B D$ .

$4 \cdot 9 = 6 \cdot E D$ ⇒ $E D = 6$ теорема о хордах

$△ A EC$ $\sim$ $△ D EB$ $∠ A = ∠ D$ , $∠ C = ∠ B$ (дуги $CB$ и $A D$ )

$\frac{B D}{A C} = \frac{D E}{A E} = \frac{6}{4}$ против равных углов

$B D = 5 \cdot \frac{3}{2} = 7, 5$

Сам

$A E = 3$ , $D E = 6$ , $A C = 4$ . Найдите $B D$ . $8$
$A C = 6$ , $B D = 9$ , $A E = 4$ . Найдите $D E$ . $6$
$A E = 2$ , $EB = 12$ , $CE = 3$ . Найдите $A C : B D$ . $1 : 4$

R02.2

Образец → сам · касательная и квадратное уравнение

$MT$ — касательная, секущая $M A B$ ( $A$ между $M$ и $B$ )

Образец: $MT = 12$ , $A B = 10$ . Найдите $M A$ .

$M A = x$ , $MB = x + 10$ вся секущая

$x (x + 10) = 144$ квадрат касательной

$x^{2} + 10 x - 144 = 0$ , $D = 676$ ⇒ $x = 8$ или $x = - 18$

$M A = 8$ длина положительна; $8 \cdot 18 = 144$ ✓

Сам

$M A = 4$ , $A B = 5$ . Найдите $MT$ . $6$
$MT = 8$ , $A B = 12$ . Найдите $M A$ . $4$
$MT = 6$ , $M A : A B = 1 : 3$ . Найдите $A B$ . $9$

R02.3

Образец → сам · степень точки через радиус

Известны радиус $R$ и расстояние до центра

Образец: $R = 5$ , $OM = 13$ , секущая $M A B$ , $A B = 7$ . Найдите $MT$ и $M A$ .

$M T^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 144$ , $MT = 12$ $OT ⊥ MT$ , Пифагор

$x (x + 7) = 144$ квадрат касательной

$x^{2} + 7 x - 144 = 0$ , $D = 625$ ⇒ $M A = 9$

Сам

$R = 10$ , $OE = 8$ , хорда $A B$ через $E$ , $A E = 4$ . Найдите $A B$ . $13$
Арка: пролёт $8$ м, высота $2$ м. Найдите радиус дуги. $5$ м
$MT = 20$ , $R = 15$ . Найдите расстояние от $M$ до ближайшей точки окружности. $10$

R02.4 · R02.5

Сводка · Чева, Менелай, гомотетия

Отношения отрезков и подобие с центром

Чева: через одну точку

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1

Менелай: на одной прямой

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1

Гомотетия: центр $O$ , $k$

A_{1} B_{1} = ∣ k ∣ A B

,

S_{1} = k^{2} S

Обход контура:

A \to C_{1} \to B \to A_{1} \to C \to B_{1} \to A

. Обратные теоремы — признаки «через одну точку» и «на одной прямой».

4 мин · теория (восстанавливаем с классом)
Чева: чевианы AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке ⇔ произведение равно 1 (точек на продолжениях сторон 0 или 2). Менелай: точки A₁, B₁, C₁ на прямых BC, CA, AB лежат на одной прямой ⇔ произведение равно 1 (на продолжениях 1 или 3 точки).
Гомотетия с центром O и коэффициентом k: OX₁ = |k| · OX, X₁ на луче OX при k > 0 и на продолжении за O при k < 0. Отрезки умножаются на |k|, площади — на k². Это преобразование подобия.
На рисунке гомотетии k = 2: вершины образа — на лучах из O вдвое дальше.

R02.4

Образец → сам · теорема Чевы

Чевианы $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ пересекаются в точке $O$

Образец: $A C_{1} : C_{1} B = 2 : 3$ , $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 2$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ .

$\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$ теорема Чевы

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot x = 1$ ⇒ $x = 3$

$C B_{1} : B_{1} A = 3 : 1$

Сам

$A C_{1} : C_{1} B = 1 : 1$ , $B A_{1} : A_{1} C = 3 : 1$ . $C B_{1} : B_{1} A$ ? $1 : 3$
Отношения обходом: $1 : 2$ , $2 : 3$ , $3 : 1$ . Пересекаются ли чевианы? да
Докажите: медианы пересекаются в одной точке. $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

2,5 мин · практика
Образец: чертёж точный — C₁ делит AB в отношении 2 : 3, A₁ делит BC в отношении 1 : 2, B₁ делит CA в отношении 3 : 1, все три чевианы проходят через O (проверено вычислением).
1) 1 · 3 · x = 1 ⇒ x = 1/3, CB₁ : B₁A = 1 : 3.
2) (1/2) · (2/3) · 3 = 1 ⇒ по обратной теореме Чевы чевианы пересекаются в одной точке.
3) Каждая медиана делит сторону пополам: произведение 1 · 1 · 1 = 1, все три точки на сторонах ⇒ по обратной теореме Чевы медианы пересекаются в одной точке.

R02.4

Образец → сам · теорема Менелая

$A M$ — медиана, $K$ на $A C$ , $O = A M \cap B K$

Образец: $A K : K C = 1 : 3$ . Найдите $A O : OM$ .

$△ A MC$ , прямая $B K$ $B$ — на продолжении $CM$

$\frac{A O}{OM} \cdot \frac{MB}{BC} \cdot \frac{C K}{K A} = 1$ Менелай

$\frac{A O}{OM} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = 1$

$A O : OM = 2 : 3$

Сам

$A K : K C = 1 : 1$ . Найдите $A O : OM$ . $2 : 1$
$A K : K C = 1 : 2$ . Найдите $A O : OM$ . $1 : 1$
$A K : K C = 1 : 2$ . Найдите $BO : O K$ . $3 : 1$

R02.5

Образец → сам · гомотетия в трапеции

Трапеция $A BC D$ : $BC ∥ A D$ , $S = A B \cap C D$

Образец: $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A B = 9$ . Найдите $SB$ и $A O : OC$ .

Гомотетия с центром $S$ , $k = \frac{A D}{BC} = \frac{5}{2}$ $B \to A$ , $C \to D$

$SB + 9 = \frac{5}{2} SB$

$SB = 6$ , $S A = 15$

Центр $O$ , $k = - \frac{5}{2}$ $C \to A$ , $B \to D$

$A O : OC = 5 : 2$

Сам

Гомотетия $k = 3$ : $A B = 5$ , $S_{A BC} = 4$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ и $S_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ . $15$ ; $36$
$k = - \frac{1}{2}$ , площадь фигуры $20$ . Площадь образа? $5$
Трапеция: $BC = 3$ , $A D = 7$ , $A C = 20$ . Найдите $A O$ . $14$

R02.3

Схема · какой инструмент выбрать

Смотрим на чертёж и на то, что нужно найти

Что на чертеже	Инструмент	Равенство
две хорды, нужен отрезок хорды	подобие или теорема о хордах	$A E \cdot EB = CE \cdot E D$
касательная, секущие из точки	о касательной, о секущих	$M T^{2} = M A \cdot MB = MC \cdot M D$
три чевианы через одну точку	теорема Чевы	произведение трёх отношений $= 1$
прямая пересекает стороны	теорема Менелая	то же произведение по обходу $= 1$
параллельные отрезки, трапеция	гомотетия	$k = \frac{A D}{BC}$ , $S_{1} = k^{2} S$

Неизвестный отрезок обозначьте

x

; сумма или разность отрезков — квадратное уравнение, отрицательный корень отбросьте.

R02.1–R02.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$△ A EC \sim △ BE D$ $\frac{A E}{BE} = \frac{A C}{B D}$	вершины ставят по равным углам: $∠ A = ∠ D$	$△ A EC \sim △ D EB$ $\frac{A E}{D E} = \frac{A C}{D B}$
$M T^{2} = M A \cdot A B$	нужна вся секущая $MB$ , а не часть внутри круга	$M T^{2} = M A \cdot MB$
$\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{C A _{1}}{A _{1} B} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$	нарушен обход контура во втором отношении	$\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$
$k = 3$ ⇒ $S_{1} = 3 S$	площадь умножается на квадрат коэффициента	$S_{1} = k^{2} S = 9 S$

R02.4

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. $A M$ — медиана $△ A BC$ , $K$ на $A C$ , $A K : K C = 2 : 3$ , $O = A M \cap B K$ . Найдите $A O : OM$ .

1) $△ A MC$ , прямая $B K$ , теорема Менелая:

2) $\frac{A O}{OM} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{A K}{K C} = 1$

3) $\frac{A O}{OM} \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} = 1$

Ответ: $A O : OM = 3 : 2$ .

Шаг 2: обход

A \to O \to M \to B \to C \to K \to A

: нужны

\frac{MB}{BC} = \frac{1}{2}

и

\frac{C K}{K A} = \frac{3}{2}

.

Верно:

\frac{A O}{OM} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = 1

,

A O : OM = 4 : 3

R02.1–R02.5

Задания с самопроверкой · база

По одному заданию на каждый инструмент

БХорды: $A E = 5$ , $EB = 4$ , $CE = 2$ . $E D$ ? $10$
БСекущая: $M A = 3$ , $A B = 9$ . Касательная $MT$ ? $6$
БСекущие: $M A = 4$ , $MB = 15$ , $MC = 5$ . $M D$ ? $12$

БЧева: $\frac{A C _{1}}{C _{1} B} = \frac{1}{2}$ , $\frac{B A _{1}}{A _{1} C} = \frac{2}{3}$ . $\frac{C B _{1}}{B _{1} A}$ ? $3$
Б $k = - 2$ : отрезок $3, 5$ , площадь $6$ . Образы? $7$ ; $24$
Б $△ A EC \sim △ D EB$ : $A E = 2$ , $D E = 5$ , $A C = 3$ . $B D$ ? $7, 5$

R02.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Степень точки, медиана, трапеция, доказательство

П $R = 13$ , $OE = 5$ , хорда $A B$ через $E$ , $A E : EB = 9 : 16$ . Найдите $A B$ . $25$
П $A M$ — медиана, $K$ на $A C$ , $A K : K C = 1 : 4$ , $O = A M \cap B K$ . Найдите $A O : OM$ . $1 : 2$
ПТрапеция: $BC = 6$ , $A D = 15$ , $A B = 12$ ; прямые $A B$ и $C D$ пересекаются в $S$ . Найдите $SB$ . $8$
ПОкружности пересекаются в $A$ и $B$ ; из точки $M$ прямой $A B$ (вне отрезка $A B$ ) проведены касательные $M T_{1}$ и $M T_{2}$ к ним. Докажите: $M T_{1} = M T_{2}$ . $M T_{1}^{2} = M A \cdot MB = M T_{2}^{2}$

R02.2 · R02.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 23

Ответ — число; в задании 23 — решение с обоснованием

16. Через точку $A$ вне окружности проведены касательная $A B$ ( $B$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $C$ и $D$ ( $C$ между $A$ и $D$ ). $A B = 12$ , $A D = 18$ . Найдите $A C$ .

$A B^{2} = A C \cdot A D$ : $144 = A C \cdot 18$

$A C = 8$

23. Основания трапеции $A BC D$ : $BC = 4$ , $A D = 12$ ; диагонали пересекаются в точке $O$ , $S_{BOC} = 3$ . Найдите площадь трапеции.

$△ BOC \sim △ D O A$

$k = 3$ , $S_{A O D} = 27$

$S_{A OB} = S_{CO D} = 9$

$S = 48$

R02.1–R02.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Хорды: $A E = 3$ , $EB = 8$ , $CE = 4$ . Найдите $E D$ . $6$
Секущая $M A B$ : $M A = 2$ , $A B = 6$ . Найдите касательную $MT$ . $4$
Чева: $A C_{1} : C_{1} B = 3 : 1$ , $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 1$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ . $1 : 3$
Трапеция: $BC = 2$ , $A D = 6$ , $S_{BOC} = 1$ . Найдите площадь трапеции. $16$

Вариант 2

Хорды: $A E = 6$ , $EB = 5$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $10$
Секущая $M A B$ : $M A = 3$ , $A B = 9$ . Найдите касательную $MT$ . $6$
Чева: $A C_{1} : C_{1} B = 1 : 3$ , $B A_{1} : A_{1} C = 2 : 1$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ . $3 : 2$
Трапеция: $BC = 3$ , $A D = 6$ , $S_{BOC} = 2$ . Найдите площадь трапеции. $18$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Откуда в окружности берутся подобные треугольники?
Чем Чева отличается от Менелая?
Во сколько раз меняется площадь при гомотетии?

Домашнее задание

$MT = 15$ , $A B = 16$ : найдите $M A$ . Медиана $A M$ , $A K : K C = 3 : 2$ : найдите $A O : OM$ .
Трапеция: $BC = 5$ , $A D = 15$ , $S_{BOC} = 2$ — площадь?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_metricheskie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-034 · Обобщение и систематизация: подобие треугольников

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Подобие треугольников», 12 ч · урок 12/12 · тип О (обобщение и систематизация)
Единицы → слайды	R02.1 «Хорды и подобные треугольники в окружности» → 4, 5, 13, 15 · R02.2 «Теорема о произведении отрезков хорд, теоремы о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной» → 4, 6, 7, 15–18 · R02.3 «Применение при решении геометрических задач» → 7, 12, 16, 17 · R02.4 «Теоремы Чевы и Менелая» → 8–10, 13–16, 18 · R02.5 «Понятие о гомотетии» → 8, 11, 13, 15–18
Результаты	ПР-5 → 8, 11, 17, 18 · ПР-6 → 8–10, 14, 18 · ПР-7 → 4, 5 · ПР-8 → 4, 6, 7, 15–18
Вне урока	уравнение прямой на плоскости — GEOM9U-035 (строка R03)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение и систематизация: подобие треугольников

Сегодня вы научитесь

Видеть подобие в окружности

Применять метрические теоремы

Считать отношения отрезков

Пользоваться гомотетией

Семь коротких вопросов по всей теме

Равные вписанные углы → подобие → произведения

Две хорды

Касательная и секущая

Две секущие

Хорды AB и CD пересекаются в точке E

Образец: AE=4, EB=9, CE=6, AC=5. Найдите ED и BD.

Сам

MT — касательная, секущая MAB (A между M и B)

Образец: MT=12, AB=10. Найдите MA.

Сам

Известны радиус R и расстояние до центра

Образец: R=5, OM=13, секущая MAB, AB=7. Найдите MT и MA.

Сам

Отношения отрезков и подобие с центром

Чева: через одну точку

Менелай: на одной прямой

Гомотетия: центр O, k

Чевианы AA1​, BB1​, CC1​ пересекаются в точке O

Образец: AC1​:C1​B=2:3, BA1​:A1​C=1:2. Найдите CB1​:B1​A.

Сам

AM — медиана, K на AC, O=AM∩BK

Образец: AK:KC=1:3. Найдите AO:OM.

Сам

Трапеция ABCD: BC∥AD, S=AB∩CD

Образец: BC=4, AD=10, AB=9. Найдите SB и AO:OC.

Сам

Смотрим на чертёж и на то, что нужно найти

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки

По одному заданию на каждый инструмент

Степень точки, медиана, трапеция, доказательство

Ответ — число; в задании 23 — решение с обоснованием

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-034 · Обобщение и систематизация: подобие треугольников

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$

Образец: $A E = 4$ , $EB = 9$ , $CE = 6$ , $A C = 5$ . Найдите $E D$ и $B D$ .

$MT$ — касательная, секущая $M A B$ ( $A$ между $M$ и $B$ )

Образец: $MT = 12$ , $A B = 10$ . Найдите $M A$ .

Известны радиус $R$ и расстояние до центра

Образец: $R = 5$ , $OM = 13$ , секущая $M A B$ , $A B = 7$ . Найдите $MT$ и $M A$ .

Гомотетия: центр $O$ , $k$

Чевианы $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ пересекаются в точке $O$

Образец: $A C_{1} : C_{1} B = 2 : 3$ , $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 2$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ .

$A M$ — медиана, $K$ на $A C$ , $O = A M \cap B K$

Образец: $A K : K C = 1 : 3$ . Найдите $A O : OM$ .

Трапеция $A BC D$ : $BC ∥ A D$ , $S = A B \cap C D$

Образец: $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A B = 9$ . Найдите $SB$ и $A O : OC$ .