Подобие треугольников · урок 10 из 12 · практикум

Практикум: понятие о гомотетии

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9U-032

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие треугольников» (12 ч), урок 10/12, единица R02.5. Тип урока — П (понятие введено на уроке GEOM9U-027).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка определения и свойств 3,5 · сводка «где прячется гомотетия» 3,5 · разбор у доски (вписанный квадрат) 4.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 5 + задача из жизни 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задание «сам» № 3 в образцах с окружностями и медианами — в ДЗ; разбор построения не сокращать — это главный метод углублённого уровня.

R02.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить образ

точки и фигуры при гомотетии, в том числе в координатах (ПР-5)

Находить центр и $k$

в трапеции, у двух окружностей, у медиан треугольника

Решать гомотетией

задачи на длины, площади, доказательство и построение

Применять на практике

тени, проектор, пантограф, масштаб (ПР-5, ПР-19)

повторение: урок 27

Разминка · устно

Гомотетия с центром $O$

$k = 2$ , $O A = 3$ . Найдите $O A^{'}$ . $6$
$k = 2$ , $A B = 5$ . Найдите $A^{'} B^{'}$ . $10$ , и $A^{'} B^{'} ∥ A B$
Гомотетия с $k = - 1$ — это… центральная симметрия
Площадь фигуры $7$ , $k = - 2$ . Площадь образа? $28$
$∠ A = 4 0^{\circ}$ , $k = \frac{1}{2}$ . Найдите $∠ A^{'}$ . $4 0^{\circ}$
При каком $k$ точка $A^{'}$ лежит между $O$ и $A$ ? $0 < k < 1$

R02.5

Сводка · определение и свойства

Гомотетия $H_{O}^{k}$ : центр $O$ , коэффициент $k \neq = 0$

X \mapsto X^{'}

:

O X^{'} = k OX

$k > 0$	$X^{'}$ на луче $OX$
$k < 0$	$X^{'}$ на дополнительном луче
отрезки	$A^{'} B^{'} ∥ A B$ , $A^{'} B^{'} = ∣ k ∣ \cdot A B$
углы	сохраняются
площади	$S^{'} = k^{2} S$
окружность	в окружность, $R^{'} = ∣ k ∣ R$

3,5 мин · теория
Чертёж точный: фиолетовый △ABC, бирюзовый — образ при k = 2, розовый — при k = −1; пунктир — прямые через центр O и соответственные вершины.
Вопрос классу: почему A′B′ ∥ AB? (△OAB ~ △OA′B′ по двум сторонам и углу между ними, значит соответственные углы равны.) Прямая, проходящая через O, переходит в себя.
Гомотетия — частный случай преобразования подобия с коэффициентом |k|. Обратное к H_O^k — гомотетия H_O^{1/k}.
Координатная форма (пригодится в образце 1): если O(x₀; y₀), то x′ = x₀ + k(x − x₀), y′ = y₀ + k(y − y₀).

R02.5

Сводка · где прячется гомотетия

Четыре конфигурации с центром гомотетии

Трапеция, $BC ∥ A D$

центр $O$ : $k = - \frac{A D}{BC}$

центр $P$ : $k = \frac{A D}{BC}$

$MN ∥ A C$

центр $B$ : $k = \frac{BM}{B A}$

$△ A BC \mapsto △ MBN$

Медианы

центр $G$ , $k = - \frac{1}{2}$

$△ A BC \mapsto △ A_{1} B_{1} C_{1}$

Две окружности, $R \neq = r$

центры $S$ и $I$ на $O_{1} O_{2}$

$k = \pm \frac{r}{R}$

3,5 мин · теория
Общий признак: если у двух фигур соответственные отрезки параллельны и отношение одно и то же, прямые через соответственные точки сходятся в центре гомотетии.
Трапеция: гомотетия с центром O (точка пересечения диагоналей) переводит B в D, C в A — k отрицателен; с центром P (пересечение боковых сторон) переводит B в A, C в D — k положителен. Направление: от BC к AD.
Медианы: G переводит A в середину A₁ стороны BC, k = −1/2. Отсюда AG : GA₁ = 2 : 1 (докажем в образце 4).
Окружности: внешний центр S (k = r/R) лежит вне отрезка O₁O₂, через него проходят общие внешние касательные; внутренний I (k = −r/R) — на отрезке, через него — общие внутренние касательные (если они есть).

R02.5

Образец → сам · гомотетия в координатах

Образ точки по формуле $O A^{'} = k O A$

Образец: $H_{O}^{- 2}$ , $O (1; 1)$ , $A (3; 2)$ . Найдите $A^{'}$ .

$O A = (2; 1)$ из координат

$O A^{'} = - 2 \cdot (2; 1) = (- 4; - 2)$ определение

$A^{'} = (1 - 4; 1 - 2) = (- 3; - 1)$ отложили от $O$

Сам

$H_{O}^{3}$ , $O (0; 0)$ , $B (- 1; 2)$ . Найдите $B^{'}$ . $(- 3; 6)$
$H_{O}^{1/2}$ , $O (2; 4)$ , $C (6; 0)$ . Найдите $C^{'}$ . $(4; 2)$
$H_{O}^{2}$ переводит $A (2; 1)$ в $A^{'} (8; 5)$ . Найдите $O$ . $O (- 4; - 3)$

R02.5

Образец → сам · центры гомотетии трапеции

Диагонали делятся в отношении оснований

Образец: $BC ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $B D = 21$ . Найдите $OB$ и $O D$ .

$H_{O}^{k} : B \mapsto D, C \mapsto A$ $BC ∥ A D$ , прямые через $O$

$k = - \frac{A D}{BC} = - \frac{5}{2}$ $O$ между точками

$O D = \frac{5}{2} OB, \frac{7}{2} OB = 21$

$OB = 6, O D = 15$

Сам

Боковые стороны продлены до точки $P$ . $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A B = 9$ . Найдите $PB$ . $6$
$A O = 12$ , $OC = 3$ , $A D = 20$ . Найдите $BC$ . $5$
$BC = 4$ , $A D = 12$ . Через $O$ проведена прямая $∥ A D$ . Найдите её отрезок внутри трапеции. $6$

2,5 мин · практика
Образец: гомотетия с центром O переводит прямую BC в параллельную ей прямую AD, B ↦ D, C ↦ A; |k| = AD/BC = 2,5, k < 0. OB + OD = 21, OB = 6, OD = 15.
1) Гомотетия с центром P, k = AD/BC = 2,5: PA = 2,5 · PB, PA − PB = AB = 9 ⇒ 1,5 · PB = 9, PB = 6.
2) AO/OC = AD/BC ⇒ BC = 20 · 3/12 = 5.
3) AO : OC = 3 : 1, AO : AC = 3 : 4. В △ABC: MO ∥ BC, MO = BC · AO/AC = 4 · 3/4 = 3; в △DBC аналогично ON = 3. MN = 6 (формула 2ab/(a + b) = 96/16 = 6).
Типичная ошибка: брать отношение AD/BC с плюсом для точки пересечения диагоналей и путать, какой отрезок больший.

R02.5

Образец → сам · площади при гомотетии

Площадь умножается на $k^{2}$

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 1$ , $S_{A BC} = 45$ . Найдите $S_{MBN}$ и $S_{A MNC}$ .

$H_{B}^{k} : A \mapsto M, C \mapsto N$ $MN ∥ A C$

$k = \frac{BM}{B A} = \frac{2}{3}$

$S_{MBN} = (\frac{2}{3})^{2} \cdot 45 = 20$ $S^{'} = k^{2} S$

$S_{A MNC} = 45 - 20 = 25$

Сам

Трапеция: $A D = 3 BC$ , $S_{BOC} = 4$ . Найдите $S_{A O D}$ . $36$
Площадь фигуры $8$ , образа $50$ , $k < 0$ . Найдите $k$ . $- \frac{5}{2}$
$MN ∥ A C$ делит $△ A BC$ на две равновеликие части, $A C = 10$ . Найдите $MN$ . $52$

R02.5

Образец → сам · задача на доказательство

Медианы делятся в отношении $2 : 1$

Образец: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ — медианы, $G$ — их общая точка. Докажите: $A G : G A_{1} = 2 : 1$ .

$A_{1} B_{1} ∥ A B$ , $A_{1} B_{1} = \frac{1}{2} A B$ средняя линия

$H_{G}^{k} : A \mapsto A_{1}, B \mapsto B_{1}$ прямые $A A_{1}$ , $B B_{1}$ через $G$

$k = - \frac{A _{1} B _{1}}{A B} = - \frac{1}{2}$ $G$ между $A$ и $A_{1}$

$G A_{1} = \frac{1}{2} A G$

$A G : G A_{1} = 2 : 1$

Сам

$A A_{1} = 15$ . Найдите $G A_{1}$ и $A G$ . $5$ и $10$
$S_{A BC} = 48$ . Найдите площадь треугольника с вершинами в серединах сторон. $12$
Докажите: третья медиана $C C_{1}$ проходит через $G$ . тоже $2 : 1$ ⇒ точка $G$

2,5 мин · практика (учитель ведёт образец, класс называет обоснования)
Образец: 1) A₁B₁ — средняя линия △ABC: A₁B₁ ∥ AB и A₁B₁ = AB/2. 2) △GAB и △GA₁B₁: стороны AB и A₁B₁ параллельны, прямые AA₁ и BB₁ проходят через G — гомотетия с центром G переводит A в A₁, B в B₁. 3) G лежит между A и A₁ ⇒ k < 0, |k| = A₁B₁/AB = ½. 4) GA₁ = ½ AG.
1) GA₁ = 15/3 = 5, AG = 10.
2) Треугольник из средних линий — образ △ABC при H_G^{−1/2}: S = (½)² · 48 = 12.
3) Медианы AA₁ и CC₁ пересекаются в точке G′, по доказанному AG′ : G′A₁ = 2 : 1. Точка, делящая AA₁ в данном отношении, единственна ⇒ G′ = G. Это и есть теорема о пересечении медиан.
Требовать запись обоснования каждого шага — подготовка к ОГЭ 24.

R02.5

Образец → сам · центры гомотетии двух окружностей

Центры делят $O_{1} O_{2}$ в отношении $R : r$

Образец: $R = 6$ , $r = 2$ , $O_{1} O_{2} = 12$ . Найдите $S O_{2}$ и $I O_{2}$ .

$\frac{S O _{1}}{S O _{2}} = \frac{I O _{1}}{I O _{2}} = \frac{R}{r} = 3$ коэффициент $∣ k ∣ = r : R$

$S O_{1} - S O_{2} = 12 \Rightarrow S O_{2} = 6$ $S$ вне отрезка

$I O_{1} + I O_{2} = 12 \Rightarrow I O_{2} = 3$ $I$ на отрезке

Сам

$R = 5$ , $r = 3$ , $O_{1} O_{2} = 16$ . Найдите $S O_{1}$ и $I O_{1}$ . $40$ и $10$
$R = 9$ , $r = 3$ , $O_{1} O_{2} = 10$ . Общая внешняя касательная касается окружностей в $T_{1}$ , $T_{2}$ . Найдите $T_{1} T_{2}$ . $8$
Окружности $R = 4$ и $r = 1$ касаются внешним образом. Где центр $I$ ? в точке касания, $k = - \frac{1}{4}$

2,5 мин · практика
Образец: SO₂ = 12 · 2/(6 − 2) = 6, SO₁ = 18; IO₂ = 12 · 2/(6 + 2) = 3, IO₁ = 9. Касательные ST₁T₂ на чертеже построены точно: sin∠O₁ST₁ = 6/18 = 2/6 = 1/3.
1) SO₁/SO₂ = 5/3, SO₁ − SO₂ = 16 ⇒ SO₂ = 24, SO₁ = 40; IO₁ + IO₂ = 16 ⇒ IO₁ = 10, IO₂ = 6.
2) SO₂ = 10 · 3/6 = 5, SO₁ = 15; ST₂ = √(25 − 9) = 4, ST₁ = √(225 − 81) = 12; T₁T₂ = 8. Проверка: √(d² − (R − r)²) = √(100 − 36) = 8.
3) Внутренний центр делит O₁O₂ = 5 в отношении 4 : 1 ⇒ IO₁ = 4 = R, т. е. I — точка касания; гомотетия H_I^{−1/4} переводит большую окружность в малую.
Почему касательная проходит через S: H_S^{r/R} переводит большую окружность в малую, а касательную к ней — в параллельную касательную, проходящую через S, то есть в саму себя.

R02.5

Образец → сам · задача из жизни

Тень от точечного источника — гомотетия

Образец: фигурка $15$ см стоит в $40$ см от фонарика, стена — в $2$ м. Найдите высоту тени.

центр — фонарик фигурка параллельна стене

$k = \frac{200}{40} = 5$ отношение расстояний

$h^{'} = 5 \cdot 15 = 75$ см $h^{'} = k h$

Сам

Пантограф копирует с $k = 3$ . Отрезок $4, 5$ см, участок $6 см^{2}$ . Размеры копии? $13, 5$ см и $54 см^{2}$
Фото $10 \times 15$ см увеличили, площадь выросла в $4$ раза. Новые размеры? $20 \times 30$ см
Фигурка $12$ см даёт тень $60$ см на стене в $1, 5$ м от фонарика. Где фигурка? в $30$ см от фонарика

2,5 мин · практика
Образец: лучи из фонарика — прямые через центр гомотетии; фигурка параллельна стене ⇒ тень — образ фигурки, k = 200 : 40 = 5, тень 75 см. Чертёж — в масштабе (расстояния 1 : 5).
1) Длины × 3: 13,5 см; площади × 9: 54 см². 2) k² = 4, k = 2: 20 × 30 см. 3) k = 60 : 12 = 5 ⇒ расстояние до фигурки 150 : 5 = 30 см.
Связь с практикой (ПР-5, ПР-19): проектор, фотоувеличитель, пантограф, масштаб карты — всюду гомотетия или подобие.
Ошибка в 2: «площадь в 4 раза ⇒ стороны в 4 раза» (40 × 60).

R02.5

Разбор у доски · построение методом гомотетии

Впишите квадрат в треугольник

Задача: две вершины квадрата — на

A C

, по одной — на

A B

и

BC

;

A C = 12

, высота

B H = 6

.

1Строим вспомогательный квадрат с вершиной

M^{'}

на

A B

и стороной на

A C

три условия из четырёх

2Луч

A N^{'}

пересекает

BC

в точке

N

N

— образ

N^{'}

при

H_{A}^{k}

3

H_{A}^{k}

,

k = \frac{A N}{A N ^{'}}

:

MNPQ

— квадратобраз квадрата — квадрат,

A C

и

A B

— в себя

4

\frac{x}{12} = \frac{6 - x}{6} \Rightarrow x = 4

△ MBN \sim △ A BC

;

x = \frac{ah}{a + h}

4 мин · теория (учитель строит у доски, класс отвечает «почему?»)
Идея метода: отбросить одно условие (N на BC), построить фигуру, подобную искомой, затем гомотетией с подходящим центром «довести» её до нужного положения.
Шаг 1: на AB берём любую точку M′, опускаем перпендикуляр M′Q′ на AC, откладываем Q′P′ = M′Q′ в сторону C, строим квадрат M′N′P′Q′.
Шаг 3: гомотетия с центром A переводит прямые AB и AC в себя, поэтому M ∈ AB, P, Q ∈ AC; N ∈ BC по построению. Углы и равенство сторон сохраняются — квадрат.
Шаг 4 (вычисление): a = AC = 12, h = 6 — высота к AC. MN ∥ AC, △MBN ~ △ABC с отношением высот (6 − x)/6: x/12 = (6 − x)/6 ⇒ 6x = 72 − 12x ⇒ x = 4. Общая формула x = ah/(a + h) = 72/18 = 4. На чертеже координаты точные: M(8/3; 4), N(20/3; 4).
Вопрос сильным: сколько решений, если угол A тупой? (Вспомогательный квадрат строят от вершины острого угла; для основания AC задача всегда имеет решение, если углы A и C острые.)

R02.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$k = - 2$ : $A^{'}$ на луче $O A$ , $O A^{'} = 2 O A$	при $k < 0$ образ — по другую сторону от $O$	$A^{'}$ на продолжении $A O$ за точку $O$
$k = 3$ ⇒ площадь больше в $3$ раза	площадь — квадратичная величина	$S^{'} = k^{2} S$ — в $9$ раз
$k = - \frac{1}{2}$ ⇒ $A^{'} B^{'} = - \frac{1}{2} A B$	длина не бывает отрицательной	$A^{'} B^{'} = ∣ k ∣ \cdot A B = \frac{1}{2} A B$
в координатах: $A^{'} = k A$	так только при $O (0; 0)$	$A^{'} = O + k O A$

R02.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $H_{O}^{- 3}$ , $O (1; 2)$ , $A (2; 4)$ . Найдите $A^{'}$ .

$A^{'} = - 3 \cdot (2; 4)$

$A^{'} = (- 6; - 12)$

$O A^{'} = (- 3; - 6)$

$A^{'} = (- 2; - 4)$

б) Трапеция: $BC = 3$ , $A D = 9$ , $S_{BOC} = 2$ . Найдите $S_{A O D}$ .

$k = - 3$

$S_{A O D} = 3 \cdot 2 = 6$

$S_{A O D} = k^{2} \cdot S_{BOC}$

$S_{A O D} = 9 \cdot 2 = 18$

в) $R = 8$ , $r = 2$ , $O_{1} O_{2} = 15$ . Найдите $I O_{1}$ .

$I$ — середина $O_{1} O_{2}$

$I O_{1} = 7, 5$

$I O_{1} : I O_{2} = R : r = 4 : 1$

$I O_{1} = \frac{4}{5} \cdot 15 = 12$

R02.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $H_{O}^{4}$ , $O A = 2, 5$ . Найдите $A A^{'}$ . $7, 5$
база $H_{O}^{- 3}$ , $A B = 7$ . Найдите $A^{'} B^{'}$ . $21$
база $S = 12$ , $k = - \frac{1}{2}$ . Найдите $S^{'}$ . $3$

база $H_{O}^{2}$ , $O (0; 0)$ , $A (- 3; 1)$ . Найдите $A^{'}$ . $(- 6; 2)$
база $P^{'} = 36$ , $k = - 3$ . Найдите $P$ . $12$
базаПлощадь выросла в $25$ раз. Найдите $∣ k ∣$ . $5$

R02.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Трапеция: $BC = 6$ , $A D = 15$ , $A C = 28$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите $A O$ . $20$
повыш. $MN ∥ A C$ , $S_{MBN} : S_{A MNC} = 1 : 3$ , $A C = 18$ . Найдите $MN$ . $9$
повыш.Гомотетия переводит $A (2; 3)$ в $A^{'} (- 1; 0)$ , $B (3; 1)$ в $B^{'} (- 3; 4)$ . Найдите $k$ и центр. $k = - 2$ , $O (1; 2)$
из жизниМодель самолёта $1 : 72$ , площадь крыла модели $250 см^{2}$ . Площадь крыла самолёта? $129, 6 м^{2}$

R02.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17, 19 и 25

Ответ — одно число

ОГЭ 15Прямая $∥ A C$ пересекает $A B$ и $BC$ в $M$ и $N$ ; $A B = 27$ , $A C = 42$ , $MN = 14$ . Найдите $A M$ . $18$
ОГЭ 17Основания трапеции $7$ и $21$ , одна из диагоналей $24$ . Найдите больший из её отрезков. $18$
ОГЭ 25Основания трапеции $4$ и $9$ , $S_{BOC} = 8$ ( $O$ — точка пересечения диагоналей). Найдите площадь трапеции. $84, 5$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Гомотетия с $k = - 1$ — центральная симметрия.
При $k = 2$ площадь увеличивается в $2$ раза.
Две окружности разных радиусов гомотетичны.

Ответ: 13

R02.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$H_{O}^{- 2}$ , $O (0; 1)$ , $A (2; 3)$ . Найдите $A^{'}$ . $(- 4; - 3)$
$k = 3$ , $S = 5$ . Найдите $S^{'}$ . $45$
Трапеция: $BC = 5$ , $A D = 15$ , $B D = 24$ . Найдите $OB$ . $6$
$R = 6$ , $r = 3$ , $O_{1} O_{2} = 10$ . Найдите $S O_{2}$ . $10$

Вариант 2

$H_{O}^{3}$ , $O (1; 0)$ , $A (2; - 1)$ . Найдите $A^{'}$ . $(4; - 3)$
$k = - \frac{1}{2}$ , $S = 36$ . Найдите $S^{'}$ . $9$
Трапеция: $BC = 4$ , $A D = 12$ , $A C = 20$ . Найдите $O A$ . $15$
$R = 8$ , $r = 2$ , $O_{1} O_{2} = 15$ . Найдите $I O_{1}$ . $12$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что показывает знак $k$ , а что — $∣ k ∣$ ?
Где центры гомотетии у трапеции?
Как вписать квадрат в треугольник?

Домашнее задание

$H_{O}^{- \frac{1}{3}}$ , $O (2; 2)$ , $A (8; - 1)$ . Найдите $A^{'}$ .
Трапеция: $BC = 2$ , $A D = 5$ , $S_{A O D} = 50$ . Найдите $S_{BOC}$ .
* Впишите квадрат в $△ A BC$ : $A C = 15$ , высота к $A C$ равна $10$ . Найдите сторону квадрата.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_metricheskie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-032 · Практикум: понятие о гомотетии

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Подобие треугольников», 12 ч · урок 10/12 · тип П
Единицы → слайды	R02.5 «Понятие о гомотетии» → 2, 4–19 · повторение урока GEOM9U-027 → 3
Результаты	ПР-5 (представление о гомотетии, применение в практических ситуациях) → 4–19 · ПР-19 (модели реальных задач с подобием) → 11, 16
Вне урока	введение понятия — GEOM9U-027; хорды и подобные треугольники — GEOM9U-033; обобщение темы — GEOM9U-034; движения — строка R06
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: понятие о гомотетии

Сегодня вы научитесь

Строить образ

Находить центр и k

Решать гомотетией

Применять на практике

Гомотетия с центром O

Гомотетия HOk​: центр O, коэффициент k=0

Четыре конфигурации с центром гомотетии

Трапеция, BC∥AD

MN∥AC

Медианы

Две окружности, R=r

Образ точки по формуле OA′=kOA

Образец: HO−2​, O(1;1), A(3;2). Найдите A′.

Сам

Диагонали делятся в отношении оснований

Образец: BC∥AD, BC=4, AD=10, BD=21. Найдите OB и OD.

Сам

Площадь умножается на k2

Образец: MN∥AC, BM:MA=2:1, SABC​=45. Найдите SMBN​ и SAMNC​.

Сам

Медианы делятся в отношении 2:1

Образец: AA1​, BB1​ — медианы, G — их общая точка. Докажите: AG:GA1​=2:1.

Сам

Центры делят O1​O2​ в отношении R:r

Образец: R=6, r=2, O1​O2​=12. Найдите SO2​ и IO2​.

Сам

Тень от точечного источника — гомотетия

Образец: фигурка 15 см стоит в 40 см от фонарика, стена — в 2 м. Найдите высоту тени.

Сам

Впишите квадрат в треугольник

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) HO−3​, O(1;2), A(2;4). Найдите A′.

б) Трапеция: BC=3, AD=9, SBOC​=2. Найдите SAOD​.

в) R=8, r=2, O1​O2​=15. Найдите IO1​.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-032 · Практикум: понятие о гомотетии

Находить центр и $k$

Гомотетия с центром $O$

Гомотетия $H_{O}^{k}$ : центр $O$ , коэффициент $k \neq = 0$

Трапеция, $BC ∥ A D$

$MN ∥ A C$

Две окружности, $R \neq = r$

Образ точки по формуле $O A^{'} = k O A$

Образец: $H_{O}^{- 2}$ , $O (1; 1)$ , $A (3; 2)$ . Найдите $A^{'}$ .

Образец: $BC ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $B D = 21$ . Найдите $OB$ и $O D$ .

Площадь умножается на $k^{2}$

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 1$ , $S_{A BC} = 45$ . Найдите $S_{MBN}$ и $S_{A MNC}$ .

Медианы делятся в отношении $2 : 1$

Образец: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ — медианы, $G$ — их общая точка. Докажите: $A G : G A_{1} = 2 : 1$ .

Центры делят $O_{1} O_{2}$ в отношении $R : r$

Образец: $R = 6$ , $r = 2$ , $O_{1} O_{2} = 12$ . Найдите $S O_{2}$ и $I O_{2}$ .

Образец: фигурка $15$ см стоит в $40$ см от фонарика, стена — в $2$ м. Найдите высоту тени.

а) $H_{O}^{- 3}$ , $O (1; 2)$ , $A (2; 4)$ . Найдите $A^{'}$ .

б) Трапеция: $BC = 3$ , $A D = 9$ , $S_{BOC} = 2$ . Найдите $S_{A O D}$ .

в) $R = 8$ , $r = 2$ , $O_{1} O_{2} = 15$ . Найдите $I O_{1}$ .