Подобие треугольников · урок 9 из 12

Практикум: теоремы Чевы и Менелая

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9U-031

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие треугольников» (12 ч), урок 9/12, единица R02.4 «Теоремы Чевы и Менелая». Тип урока — П (практикум); теоремы доказаны на уроке GEOM9U-026.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · опора Чева 2,5 · опора Менелай 2,5 · правило обхода 2 · дополнительно: как делится чевиана 2,5 · схема 1,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 + 2 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 3 · самостоятельная 5 · итог 1.
Если не успеваете: слайд «Дополнительно» (теорема Ван-Обеля) показать за 1 мин без вывода, задания 3–4 повышенного уровня — в ДЗ. Образцы с обратными теоремами не сокращать — на них задачи на доказательство ОГЭ 24–25.

R02.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Записывать отношения

обходом по контуру треугольника — без «перевёрнутых» дробей

Находить отношения

на сторонах — теоремой Чевы, на чевиане — теоремой Менелая

Доказывать

что три прямые проходят через одну точку, а три точки лежат на одной прямой

Решать задачи ОГЭ

на отношения отрезков и площадей — линии 23 и 25

повторение: GEOM9U-026, 8 класс

Разминка · устно

Отношения отрезков

$A K : K B = 2 : 3$ , $A B = 15$ . Найдите $A K$ . $6$
$A K = 4$ , $K B = 6$ . Найдите $A K : A B$ . $2 : 5$
$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot x = 1$ . Найдите $x$ . $2$
На рисунке $A G : GM = ?$ $2 : 1$
Биссектриса $A L$ в $△ A BC$ : $B L : L C = ?$ $A B : A C$
У треугольников общая высота. Их площади относятся как… основания

R02.4

Опора · теорема Чевы

Три чевианы через одну точку

A_{1} \in BC

,

B_{1} \in C A

,

C_{1} \in A B

. Прямые

A A_{1}

,

B B_{1}

,

C C_{1}

пересекаются в одной точке

⟺

\frac{A C _{1}}{C _{1} B}

\cdot

\frac{B A _{1}}{A _{1} C}

\cdot

\frac{C B _{1}}{B _{1} A}

= 1

1

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} = \frac{S _{A OC}}{S _{BOC}}

у пар

△ A C C_{1}, △ BC C_{1}

и

△ A O C_{1}, △ BO C_{1}

общие высоты; вычитаем

2

\frac{B A _{1}}{A _{1} C} = \frac{S _{A OB}}{S _{A OC}}

,

\frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{S _{BOC}}{S _{A OB}}

так же

3Перемножаем — площади сокращаются:

1

обратная теорема — от противного через

C_{2} \neq = C_{1}

2,5 мин · теория
Сводка доказанного на уроке GEOM9U-026. Розовым — числители, бирюзовым — знаменатели: цвета на сторонах чередуются, когда идём по контуру $A \to C_{1} \to B \to A_{1} \to C \to B_{1} \to A$ .
Шаг 1 подробно: $\frac{A C _{1}}{C _{1} B} = \frac{S _{A C C_{1}}}{S _{BC C_{1}}} = \frac{S _{A O C_{1}}}{S _{BO C_{1}}}$ , поэтому и разности площадей относятся так же: $\frac{S _{A OC}}{S _{BOC}}$ (закрашенные треугольники).
Обратная: пусть $C C_{1}$ не проходит через $O = A A_{1} \cap B B_{1}$ ; проведём $CO$ до $C_{2}$ на $A B$ . По прямой теореме $\frac{A C _{2}}{C _{2} B} = \frac{A C _{1}}{C _{1} B}$ , а на отрезке такая точка единственна, $C_{2} = C_{1}$ .
Вопрос классу: какие три прямые в треугольнике пересекаются в одной точке? (медианы, биссектрисы, высоты, отрезки к точкам касания вписанной окружности) — докажем это сегодня обратной теоремой.

R02.4

Опора · теорема Менелая

Три точки на одной прямой

Прямая пересекает

A B

в

C_{1}

,

BC

в

A_{1}

, продолжение

A C

в

B_{1}

⟺

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1

1

C D ∥ A B

,

D \in A_{1} C_{1}

дополнительное построение

2

\frac{B A _{1}}{A _{1} C} = \frac{C _{1} B}{C D}

,

\frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{C D}{A C _{1}}

△ A_{1} C D \sim △ A_{1} B C_{1}

,

△ B_{1} C D \sim △ B_{1} A C_{1}

— по двум углам

3

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{C _{1} B}{C D} \cdot \frac{C D}{A C _{1}} = 1

обратная: точек на продолжениях — одна или три

2,5 мин · теория
Формула та же, что у Чевы, — тот же обход контура. Разница в конфигурации: у Чевы три прямые через вершины, у Менелая одна прямая (секущая) через три стороны или их продолжения.
Важно: в $\frac{C B _{1}}{B _{1} A}$ отрезок $B_{1} A$ — весь, от $B_{1}$ до $A$ (бирюзовая скобка на чертеже), а не $B_{1} C$ .
Обратная теорема: если две точки лежат на сторонах, а третья — на продолжении стороны (или все три на продолжениях), и произведение равно 1, то точки лежат на одной прямой. Если все три на сторонах и произведение 1 — это уже теорема Чевы.
Шаг 2: накрест лежащие углы при $C D ∥ A B$ и вертикальные (у $A_{1}$ ) или общий угол (у $B_{1}$ ).

R02.4

Правило · обход контура и выбор треугольника

Как составить равенство без ошибок

1. Обход

A \to C_{1} \to B \to A_{1} \to C \to B_{1} \to A

вершина → точка → вершина…: каждый отрезок начинается там, где кончился предыдущий

2. Чева или Менелай?

Три прямые из вершин → Чева: точки на сторонах.

Одна прямая через три стороны → Менелай: одна точка на продолжении.

3. Какой треугольник?

Ищем $A O : O A_{1}$ — берём треугольник со стороной $A A_{1}$ : $△ A A_{1} C$ .

Секущая — прямая $B B_{1}$ через $O$ .

2 мин · теория (учитель показывает на чертеже предыдущего слайда)
Проверка обхода: каждая буква-вершина встречается дважды — в конце одной дроби и в начале следующей ( $A C_{1} / C_{1} B$ , $B A_{1} / A_{1} C$ , …). Если вершина «потерялась» — дробь перевёрнута.
Выбор треугольника для Менелая: в нём должны быть искомый отрезок (как сторона) и известные отношения; секущая проходит через третью вершину исходного треугольника. Для $A O : O A_{1}$ подходят $△ A A_{1} C$ (секущая $B B_{1}$ ) и $△ A A_{1} B$ (секущая $C C_{1}$ ).

R02.4

Образец → сам · теорема Чевы

Найти третье отношение на стороне

Образец: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ пересекаются в $O$ ; $A C_{1} : C_{1} B = 2 : 3$ , $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 2$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$ теорема Чевы

$\frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 3$ ⇒ $C B_{1} : B_{1} A = 3 : 1$

Сам (чевианы пересекаются)

$A C_{1} : C_{1} B = 1 : 1$ , $B A_{1} : A_{1} C = 3 : 2$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ . $2 : 3$
$A C_{1} : C_{1} B = 3 : 2$ , $C B_{1} : B_{1} A = 1 : 3$ . Найдите $B A_{1} : A_{1} C$ . $2 : 1$
$A C_{1} = 2$ , $C_{1} B = 4$ , $B A_{1} = A_{1} C$ , $A C = 9$ . Найдите $C B_{1}$ . $6$

R02.4

Образец → сам · теорема Менелая

Точка на медиане

Образец: $A M$ — медиана, $K \in A M$ , $A K : K M = 3 : 1$ , прямая $B K$ пересекает $A C$ в $P$ . Найдите $A P : PC$ .

$△ A MC$ , секущая $B K P$ : $\frac{A K}{K M} \cdot \frac{MB}{BC} \cdot \frac{CP}{P A} = 1$

$3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{CP}{P A} = 1$ ⇒ $\frac{CP}{P A} = \frac{2}{3}$ $MB : BC = 1 : 2$

$A P : PC = 3 : 2$

Сам (та же фигура)

$A K : K M = 1 : 1$ . Найдите $A P : PC$ . $1 : 2$
$A K : K M = 4 : 1$ . Найдите $A P : PC$ . $2 : 1$
$A K : K M = 2 : 1$ . Докажите, что $BP$ — медиана. $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{CP}{P A} = 1$ ⇒ $CP = P A$

R02.4

Образец → сам · отношение на чевиане

Обратная задача: точки на сторонах известны

Образец: $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 2$ , $B_{1}$ — середина $A C$ , $A A_{1} \cap B B_{1} = O$ . Найдите $A O : O A_{1}$ .

$△ A A_{1} C$ , секущая $BO B_{1}$ : $\frac{A O}{O A _{1}} \cdot \frac{A _{1} B}{BC} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$

$\frac{A O}{O A _{1}} \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 = 1$ $A_{1} B : BC = 1 : 3$

$A O : O A_{1} = 3 : 1$

Сам

$A_{1}$ и $B_{1}$ — середины $BC$ и $A C$ . Найдите $A O : O A_{1}$ . $2 : 1$
$B A_{1} : A_{1} C = 2 : 1$ , $B_{1}$ — середина $A C$ . Найдите $A O : O A_{1}$ . $3 : 2$
В образце найдите $BO : O B_{1}$ . $1 : 1$

R02.4 · сверх ФРП

Дополнительно · вывод из теоремы Менелая

Как делится чевиана: теорема Ван-Обеля

\frac{A O}{O A _{1}}

= \frac{A C _{1}}{C _{1} B} + \frac{A B _{1}}{B _{1} C}

1

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} = \frac{A O}{O A _{1}} \cdot \frac{C A _{1}}{BC}

Менелай:

△ A B A_{1}

, секущая

C_{1} OC

2

\frac{A B _{1}}{B _{1} C} = \frac{A O}{O A _{1}} \cdot \frac{B A _{1}}{BC}

Менелай:

△ A C A_{1}

, секущая

B_{1} OB

3Сумма:

\frac{A O}{O A _{1}} \cdot \frac{C A _{1} + B A _{1}}{BC} = \frac{A O}{O A _{1}}

C A_{1} + A_{1} B = BC

R02.4

Образец → сам · обратная теорема Чевы

Доказать: три прямые через одну точку

Образец: $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ — точки касания вписанной окружности. Докажите: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ пересекаются в одной точке.

$A C_{1} = A B_{1} = x$ , $B C_{1} = B A_{1} = y$ , $C A_{1} = C B_{1} = z$ отрезки касательных

$\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{x} = 1$ ⇒ пересекаются обратная теорема Чевы

Сам: докажите обратной теоремой

Медианы пересекаются в одной точке. $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
Биссектрисы пересекаются в одной точке. $\frac{b}{a} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} = 1$
Высоты остроугольного треугольника — тоже. $A C_{1} = b cos A$ , $C_{1} B = a cos B$ , …

2 мин · практика
Образец: равенство отрезков касательных, проведённых из одной точки (8 класс). Точку пересечения называют точкой Жергонна — термин необязателен.
1) Все три отношения равны 1.
2) Свойство биссектрисы ( $a = BC$ , $b = C A$ , $c = A B$ ): $\frac{A C _{1}}{C _{1} B} = \frac{b}{a}$ , $\frac{B A _{1}}{A _{1} C} = \frac{c}{b}$ , $\frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{a}{c}$ ; произведение 1.
3) Из прямоугольных треугольников: $A C_{1} = b cos A$ , $C_{1} B = a cos B$ , $B A_{1} = c cos B$ , $A_{1} C = b cos C$ , $C B_{1} = a cos C$ , $B_{1} A = c cos A$ . Произведение $\frac{b c o s A \cdot c c o s B \cdot a c o s C}{a c o s B \cdot b c o s C \cdot c c o s A} = 1$ . Остроугольный — чтобы основания высот лежали на сторонах.

R02.4

Образец → сам · обратная теорема Менелая

Доказать: три точки на одной прямой

Образец: $A C_{1} : C_{1} B = 2 : 1$ , $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 3$ , $B_{1}$ на продолжении $C A$ за $A$ , $A B_{1} = 2 A C$ . Докажите: $C_{1}$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ на одной прямой.

$\frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{3 A C}{2 A C} = \frac{3}{2}$ $C B_{1} = C A + A B_{1}$

$2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$ , одна точка на продолжении ⇒ на одной прямой

Сам

$C_{1}$ — середина $A B$ , $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 2$ . Где прямая $C_{1} A_{1}$ пересекает прямую $A C$ ? за $A$ , $A B_{1} = A C$
$A C_{1} : C_{1} B = 2 : 1$ , $B A_{1} = A_{1} C$ , $C B_{1} : B_{1} A = 1 : 2$ ( $B_{1}$ на продолжении). На одной прямой? да
$A C_{1} = C_{1} B$ , $B A_{1} : A_{1} C = 2 : 1$ , $C B_{1} : B_{1} A = 1 : 3$ . А здесь? нет: $\frac{2}{3} \neq = 1$

R02.4

Образец → сам · отношение площадей

От отношения отрезков — к площади

Образец: $A A_{1}$ — медиана, $A B_{1} : B_{1} C = 1 : 2$ , $A A_{1} \cap B B_{1} = O$ , $S_{A BC} = 60$ . Найдите $S_{A OB}$ .

$△ A A_{1} C$ , секущая $BO B_{1}$ : $\frac{A O}{O A _{1}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

$A O = O A_{1}$ , $S_{A B A_{1}} = 30$ медиана делит площадь пополам

$S_{A OB} = \frac{1}{2} S_{A B A_{1}} = 15$ общая высота из $B$

Сам (та же фигура)

Найдите $S_{BO A_{1}}$ . $15$
Найдите $BO : O B_{1}$ и $S_{A O B_{1}}$ . $3 : 1$ ; $5$
Найдите площадь четырёхугольника $O A_{1} C B_{1}$ . $25$

R02.4

Схема-конспект · что дано → чем пользоваться

Выбор теоремы

В задаче	Теорема	Ключ
три чевианы, два отношения на сторонах	Чевы	третье отношение
отношение на чевиане $A O : O A_{1}$	Менелая для $△ A A_{1} C$	секущая $B B_{1}$
прямая через две стороны и продолжение	Менелая	$B_{1} A$ — до $A$ целиком
доказать: три прямые через точку	обратная Чевы	произведение $= 1$
доказать: три точки на прямой	обратная Менелая	одна точка вне стороны
площади частей треугольника	отрезки → площади	общая высота

R02.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{A _{1} C}{B A _{1}} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$	дробь перевёрнута — обход нарушен	$\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$
$A O : O A_{1}$ — по теореме Чевы	Чева связывает только отрезки сторон	Менелай: $△ A A_{1} C$ , секущая $B B_{1}$
медиана $A M$ : $\frac{MB}{BC} = \frac{MB}{MC} = 1$	секущая через $B$ : отрезки $MB$ и $BC$	$\frac{MB}{BC} = \frac{1}{2}$
все три точки на сторонах, произведение 1 ⇒ на одной прямой	это условие теоремы Чевы	чевианы пересекаются в одной точке

R02.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Чевианы пересекаются, $A C_{1} : C_{1} B = 1 : 2$ , $B A_{1} = A_{1} C$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ .

$\frac{C _{1} B}{A C _{1}} \cdot 1 \cdot x = 1$

$2 x = 1$ , $x = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot x = 1$ , $x = 2$

$C B_{1} : B_{1} A = 2 : 1$

б) Медиана $A M$ , $A K = K M$ , $B K \cap A C = P$ . Найдите $A P : PC$ .

$1 \cdot \frac{MB}{MC} \cdot \frac{CP}{P A} = 1$

$A P : PC = 1 : 1$

$1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{CP}{P A} = 1$

$A P : PC = 1 : 2$

в) $A C_{1} : C_{1} B = 1 : 2$ , $B A_{1} : A_{1} C = 2 : 1$ , $B_{1}$ — середина $A C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$ ⇒ $C_{1}, A_{1}, B_{1}$ на одной прямой

Все точки на сторонах: по обратной теореме Чевы $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ пересекаются

R02.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаЧевианы пересекаются: $A C_{1} = C_{1} B$ , $B A_{1} : A_{1} C = 2 : 1$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ . $1 : 2$
базаЧевианы пересекаются: $A C_{1} : C_{1} B = 3 : 2$ , $C B_{1} : B_{1} A = 1 : 3$ . Найдите $B A_{1} : A_{1} C$ . $2 : 1$
базаМедиана $A M$ , $A K : K M = 1 : 2$ , $B K \cap A C = P$ . Найдите $A P : PC$ . $1 : 4$

база $A C_{1} = 2$ , $C_{1} B = 3$ , $B A_{1} = 3$ , $A_{1} C = 4$ , $C B_{1} = 4$ , $B_{1} A = 2$ . Пересекаются ли $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ ? да
базаПрямая: $A C_{1} : C_{1} B = 3 : 1$ , $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 2$ , пересекает прямую $A C$ в $B_{1}$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ . $2 : 3$
база $A_{1}$ — середина $BC$ , $A B_{1} : B_{1} C = 1 : 3$ . Найдите $A O : O A_{1}$ . $2 : 3$

R02.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $B A_{1} : A_{1} C = 2 : 1$ , $A B_{1} : B_{1} C = 2 : 3$ , $A A_{1} \cap B B_{1} = O$ . Найдите $A O : O A_{1}$ и $BO : O B_{1}$ . $1 : 1$ и $5 : 1$
повыш. $A C_{1} : C_{1} B = 1 : 2$ , $B A_{1} : A_{1} C = 3 : 2$ , прямая $C_{1} A_{1}$ пересекает прямую $A C$ в $B_{1}$ , $A C = 5$ . Найдите $A B_{1}$ . $15$
повыш.Точка $O$ внутри $△ A BC$ , $S_{A OB} : S_{BOC} : S_{CO A} = 2 : 3 : 4$ , $CO \cap A B = C_{1}$ . Найдите $A C_{1} : C_{1} B$ . $4 : 3$
повыш. $S_{A BC} = 1$ , $A C_{1} : C_{1} B = B A_{1} : A_{1} C = C B_{1} : B_{1} A = 1 : 2$ . Найдите площадь треугольника, образованного прямыми $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ . $\frac{1}{7}$

R02.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 23 и 25

Отношения отрезков и площадей

ОГЭ 23В треугольнике $A BC$ стороны $A B = 6$ , $A C = 8$ . Биссектриса $A P$ и медиана $BM$ пересекаются в точке $K$ . Найдите $A K : K P$ . $7 : 3$
ОГЭ 23Точка $D$ на стороне $BC$ , $B D : D C = 3 : 2$ ; медиана $BM$ пересекает $A D$ в точке $O$ . Найдите $A O : O D$ . $5 : 3$

ОГЭ 25 Медиана $A M$ и отрезок $B K$ ( $K \in A C$ , $A K : K C = 1 : 3$ ) пересекаются в $O$ ; $S_{A BC} = 40$ . Найдите $S_{OMC K}$ .

$△ A MC$ , секущая $BO K$ : $\frac{A O}{OM} \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 = 1$

$A O : OM = 2 : 3$ , $S_{BOM} = \frac{3}{5} S_{A BM} = 12$

$S_{B K C} = \frac{3}{4} S_{A BC} = 30$ общая высота из $B$

$S_{OMC K} = 30 - 12 = 18$

R02.4

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Чевианы пересекаются: $A C_{1} : C_{1} B = 2 : 1$ , $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 4$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ . $2 : 1$
Медиана $A M$ , $A K : K M = 2 : 3$ , $B K \cap A C = P$ . Найдите $A P : PC$ . $1 : 3$
$B A_{1} : A_{1} C = 1 : 3$ , $B_{1}$ — середина $A C$ . Найдите $A O : O A_{1}$ . $4 : 1$
$A C_{1} : C_{1} B = 1 : 2$ , $B A_{1} : A_{1} C = 4 : 1$ , $C B_{1} : B_{1} A = 1 : 2$ ( $B_{1}$ на продолжении $A C$ ). Лежат ли $C_{1}$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ на одной прямой? да

Вариант 2

Чевианы пересекаются: $A C_{1} : C_{1} B = 1 : 3$ , $B A_{1} : A_{1} C = 3 : 2$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ . $2 : 1$
Медиана $A M$ , $A K : K M = 3 : 2$ , $B K \cap A C = P$ . Найдите $A P : PC$ . $3 : 4$
$B A_{1} : A_{1} C = 2 : 3$ , $B_{1}$ — середина $A C$ . Найдите $A O : O A_{1}$ . $5 : 2$
$A C_{1} : C_{1} B = 2 : 1$ , $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 3$ , $C B_{1} : B_{1} A = 2 : 3$ ( $B_{1}$ на продолжении $A C$ ). Лежат ли $C_{1}$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ на одной прямой? нет

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем отличаются конфигурации Чевы и Менелая?
Как проверить, что дробь не перевёрнута?
Какой треугольник взять, чтобы найти $A O : O A_{1}$ ?

Домашнее задание

Чевианы пересекаются: $A C_{1} : C_{1} B = 3 : 1$ , $C B_{1} : B_{1} A = 1 : 2$ . Найдите $B A_{1} : A_{1} C$ .
$B A_{1} : A_{1} C = 3 : 1$ , $B_{1}$ — середина $A C$ . Найдите $A O : O A_{1}$ и $BO : O B_{1}$ .
* $A C_{1} : C_{1} B = A B_{1} : B_{1} C = 1 : 2$ , $B B_{1} \cap C C_{1} = O$ . Какую долю $S_{A BC}$ составляет $S_{A C_{1} O B_{1}}$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_metricheskie.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) $3 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = 1$ , $B A_{1} : A_{1} C = 2 : 3$ . 2) $△ A A_{1} C$ : $x \cdot \frac{3}{4} \cdot 1 = 1$ , $A O : O A_{1} = 4 : 3$ ; $△ B B_{1} C$ : $y \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 1$ , $BO : O B_{1} = 6 : 1$ . 3) $\frac{1}{6}$ : по симметрии $O$ на медиане из $A$ ; Менелай для $△ A B B_{1}$ и прямой $C C_{1}$ : $\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{BO}{O B _{1}} \cdot \frac{B _{1} C}{C A} = \frac{1}{2} \cdot \frac{BO}{O B _{1}} \cdot \frac{2}{3} = 1$ , $BO : O B_{1} = 3 : 1$ ; $S_{A B B_{1}} = \frac{1}{3}$ , $S_{A O B_{1}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$ , четырёхугольник — две такие части: $\frac{1}{6}$ . Все ответы проверены в координатах.
Следующий урок — практикум «Понятие о гомотетии» (GEOM9U-032): отношения отрезков снова понадобятся.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-031 · Практикум: Теоремы Чевы и Менелая

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Подобие треугольников», 12 ч · урок 9/12 · тип П
Единицы → слайды	R02.4 «Теоремы Чевы и Менелая» → 2, 4–21 · повторение 8 класса (медианы, биссектриса, площади) → 3
Результаты	«Использовать теоремы Чевы и Менелая при решении задач» → 4–21
Вне урока	доказательства теорем — GEOM9U-026; гомотетия — GEOM9U-032; теорема Ван-Обеля — сверх ФРП (сл. 10 «Дополнительно»); тригонометрическая форма теоремы Чевы и ориентированные отношения не вводятся
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: теоремы Чевы и Менелая

Сегодня вы научитесь

Записывать отношения

Находить отношения

Доказывать

Решать задачи ОГЭ

Отношения отрезков

Три чевианы через одну точку

Три точки на одной прямой

Как составить равенство без ошибок

1. Обход

2. Чева или Менелай?

3. Какой треугольник?

Найти третье отношение на стороне

Образец: AA1​, BB1​, CC1​ пересекаются в O; AC1​:C1​B=2:3, BA1​:A1​C=1:2. Найдите CB1​:B1​A.

Сам (чевианы пересекаются)

Точка на медиане

Образец: AM — медиана, K∈AM, AK:KM=3:1, прямая BK пересекает AC в P. Найдите AP:PC.

Сам (та же фигура)

Обратная задача: точки на сторонах известны

Образец: BA1​:A1​C=1:2, B1​ — середина AC, AA1​∩BB1​=O. Найдите AO:OA1​.

Сам

Как делится чевиана: теорема Ван-Обеля

Доказать: три прямые через одну точку

Образец: A1​,B1​,C1​ — точки касания вписанной окружности. Докажите: AA1​, BB1​, CC1​ пересекаются в одной точке.

Сам: докажите обратной теоремой

Доказать: три точки на одной прямой

Образец: AC1​:C1​B=2:1, BA1​:A1​C=1:3, B1​ на продолжении CA за A, AB1​=2AC. Докажите: C1​, A1​, B1​ на одной прямой.

Сам

От отношения отрезков — к площади

Образец: AA1​ — медиана, AB1​:B1​C=1:2, AA1​∩BB1​=O, SABC​=60. Найдите SAOB​.

Сам (та же фигура)

Выбор теоремы

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Чевианы пересекаются, AC1​:C1​B=1:2, BA1​=A1​C. Найдите CB1​:B1​A.

б) Медиана AM, AK=KM, BK∩AC=P. Найдите AP:PC.

в) AC1​:C1​B=1:2, BA1​:A1​C=2:1, B1​ — середина AC.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Отношения отрезков и площадей

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-031 · Практикум: Теоремы Чевы и Менелая

Образец: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ пересекаются в $O$ ; $A C_{1} : C_{1} B = 2 : 3$ , $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 2$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ .

Образец: $A M$ — медиана, $K \in A M$ , $A K : K M = 3 : 1$ , прямая $B K$ пересекает $A C$ в $P$ . Найдите $A P : PC$ .

Образец: $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 2$ , $B_{1}$ — середина $A C$ , $A A_{1} \cap B B_{1} = O$ . Найдите $A O : O A_{1}$ .

Образец: $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ — точки касания вписанной окружности. Докажите: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ пересекаются в одной точке.

Образец: $A C_{1} : C_{1} B = 2 : 1$ , $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 3$ , $B_{1}$ на продолжении $C A$ за $A$ , $A B_{1} = 2 A C$ . Докажите: $C_{1}$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ на одной прямой.

Образец: $A A_{1}$ — медиана, $A B_{1} : B_{1} C = 1 : 2$ , $A A_{1} \cap B B_{1} = O$ , $S_{A BC} = 60$ . Найдите $S_{A OB}$ .

а) Чевианы пересекаются, $A C_{1} : C_{1} B = 1 : 2$ , $B A_{1} = A_{1} C$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ .

б) Медиана $A M$ , $A K = K M$ , $B K \cap A C = P$ . Найдите $A P : PC$ .

в) $A C_{1} : C_{1} B = 1 : 2$ , $B A_{1} : A_{1} C = 2 : 1$ , $B_{1}$ — середина $A C$ .