Подобие треугольников · урок 8 из 12 · практикум

Практикум: хорды, секущие и касательная в задачах

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9U-030

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие треугольников» (12 ч), урок 8/12, единица R02.3 «Применение при решении геометрических задач». Тип урока — П (практикум, продолжение урока GEOM9U-025).
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2 · вывод «окружность через две вершины» 2 · вывод «отношение хорд» 2 · план решения 1,5 · учитель решает 4.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2 · ОГЭ 2 · самостоятельная 5 · итог 1.
Отличие от урока 025: там — сами теоремы и степень точки; здесь — их связка с подобием (△BKM ∼ △BCA, △PTA ∼ △PBT), с тригонометрией и теоремой косинусов, задачи с двумя ответами.
Если не успеваете: третьи задания «сам» на слайдах 9 и 12 и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; разбор учителя (слайд 11) не сокращать — это образец оформления ОГЭ 25.

R02.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Достраивать подобие

находить отрезки, которые не лежат на секущих: $K M$ , $T A$ , $TB$

Соединять теоремы

произведение отрезков + теорема Пифагора, косинусов, синус угла

Оформлять решение

задачи ОГЭ 25: каждое равенство — со ссылкой на теорему

Считать на практике

высота арки и свода, круг на воде, задачи с двумя ответами

повторение: GEOM9U-029

Разминка · устно

Шесть вопросов за две минуты

Хорды: $A E = 3$ , $EB = 4$ , $CE = 2$ . Найдите $E D$ . $6$
$P A = 2$ , $PB = 18$ . Найдите касательную $PT$ . $6$
Секущие: $P A = 4$ , $A B = 5$ , $PC = 3$ . Найдите $P D$ . $12$

$R = 5$ , $OP = 13$ . Найдите касательную $PT$ . $12$
$△_{1} \sim △_{2}$ , $k = \frac{2}{3}$ ; сторона $9$ — соответственная? $6$
Угол между касательной и хордой равен … вписанному углу на ту же дугу

R02.2 → R02.3

Сводка · что уже знаем

Произведения отрезков и подобные треугольники

Конфигурация	Равенство	Подобие, на котором оно стоит
хорды $A B$ , $C D$ пересекаются в $E$	$A E \cdot EB = CE \cdot E D$	$△ A EC \sim △ D EB$
секущие $P A B$ и $PC D$	$P A \cdot PB = PC \cdot P D$	$△ P A D \sim △ PCB$
касательная $PT$ , секущая $P A B$	$P T^{2} = P A \cdot PB$	$△ PT A \sim △ PBT$
известны $R$ и $d = OP$	произведение $= ∣ d^{2} - R^{2} ∣$	степень точки
секущая через центр, внешняя часть $x$	$P T^{2} = x (x + 2 R)$	$PB = P A + 2 R$

R02.3

Вывод · окружность через две вершины

Отсекаемый треугольник подобен данному

Дано: окружность проходит через

A

и

C

△ A BC

, пересекает

B A

в

K

,

BC

в

M

.
Доказать:

△ B K M \sim △ BC A

.

1

B K \cdot B A = BM \cdot BC

теорема о двух секущих из точки

B

2

\frac{B K}{BC} = \frac{BM}{B A}

,

∠ B

— общийделим обе части на

B A \cdot BC

3

△ B K M \sim △ BC A

,

K \leftrightarrow C

,

M \leftrightarrow A

по двум сторонам и углу между ними

4

K M

:

C A

= BM : B A = B K : BC

;

∠ B K M = ∠ BC A

2 мин · теория (учитель выводит у доски)
Ключевое: соответствие «наоборот» — вершина $K$ (на стороне $B A$ ) соответствует вершине $C$ , а не $A$ . Поэтому $K M$ относится к $A C$ как $BM$ к $B A$ (сторона на «чужой» прямой). Равные углы $∠ B K M$ и $∠ BC A$ отмечены розовыми двойными дугами.
Другой путь к тому же: $A K MC$ — вписанный четырёхугольник, $∠ B K M = 18 0^{\circ} - ∠ A K M = ∠ A CM$ . Такую прямую $K M$ называют антипараллельной $A C$ — термин можно не вводить.
Коэффициент подобия $k = \frac{BM}{B A}$ , отношение площадей $S_{B K M} : S_{BC A} = k^{2}$ .

R02.3

Образец → сам · отрезок вне секущих

Найдите $MC$ и $K M$

Образец: окружность через $A$ и $C$ пересекает $A B$ в $K$ , $BC$ в $M$ ; $B K = 4$ , $K A = 5$ , $BM = 3$ , $A C = 15$ .

$B A = 9$ ; $4 \cdot 9 = 3 \cdot BC$ ⇒ $BC = 12$ , $MC = 9$ секущие из $B$

$△ B K M \sim △ BC A$ , $k = \frac{BM}{B A} = \frac{1}{3}$ вывод со слайда 5

$K M = 15 \cdot \frac{1}{3} = 5$

Сам (та же конфигурация)

$B K = 2$ , $B A = 10$ , $BM = 4$ . Найдите $BC$ и $MC$ . $5$ и $1$
$B K = 3$ , $BC = 9$ , $BM = 4$ , $A C = 18$ . Найдите $K M$ . $6$
$K M = 4$ , $A C = 10$ , $BM = 6$ . Найдите $B A$ . $15$

R02.3

Вывод · касательная и отношение хорд

Чему равно $T A : TB$

Дано:

PT

— касательная,

P A B

— секущая.
Доказать:

\frac{T A}{TB} = \frac{PT}{PB}

и

(\frac{T A}{TB})^{2} = \frac{P A}{PB}

.

1

∠ PT A = ∠ PBT

угол между касательной и хордой

T A

= вписанному на дугу

T A

2

∠ P

— общий ⇒

△ PT A \sim △ PBT

по двум углам

3

\frac{T A}{BT} = \frac{PT}{PB} = \frac{P A}{PT}

отношения соответственных сторон

4

(\frac{T A}{TB})^{2} = \frac{PT}{PB} \cdot \frac{P A}{PT} = \frac{P A}{PB}

R02.3

Образец → сам · отношение хорд

Хорды из точки касания

Образец: $PT$ — касательная, $P A B$ — секущая, $P A = 4$ , $A B = 5$ , $T A = 6$ . Найдите $PT$ и $TB$ .

$PB = 9$ , $P T^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ , $PT = 6$ касательная и секущая

$\frac{T A}{TB} = \frac{PT}{PB} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ $△ PT A \sim △ PBT$

$TB = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$

Сам

$P A = 1$ , $PB = 4$ , $T A = 2$ . Найдите $TB$ . $4$
$PT = 8$ , $T A = 6$ , $TB = 12$ . Найдите $PB$ и $P A$ . $16$ и $4$
$T A : TB = 1 : 3$ , $P A = 2$ . Найдите $PB$ и $PT$ . $18$ и $6$

R02.3

Схема · план решения задачи

Пять шагов к уравнению

1

Точка

где пересекаются прямые: внутри круга, вне его, на касательной?

2

Теорема

хорды, секущие или касательная — по сводке

отрезки — до обеих точек

3

Неизвестное

обозначить $x$ и составить уравнение

часто квадратное

4

Подобие

нужен отрезок не на прямых — $K M$ , $T A$ : подобные треугольники

5

Проверка

длины положительны, точка лежит между, оба корня?

R02.3

Образец → сам · строим чертёж сами

Окружность через две вершины квадрата

Образец: окружность проходит через $A$ и $B$ квадрата $A BC D$ со стороной $8$ и касается $C D$ . Найдите $R$ .

$M$ — середина $C D$ , $MN ⊥ A B$ , $MN = 8$ , $A N = NB = 4$ центр на серединном перпендикуляре

$A N \cdot NB = MN \cdot N L$ : $16 = 8 \cdot N L$ , $N L = 2$ хорды

$M L = 10$ — диаметр ⇒ $R = 5$

Сам

То же для квадрата со стороной $16$ . Найдите $R$ . $10$
Прямоугольник: $A B = 12$ , $BC = 4$ ; окружность через $A$ , $B$ касается $C D$ . Найдите $R$ . $6, 5$
Квадрат, $R = 15$ . Найдите сторону квадрата. $24$

2,5 мин · практика
Образец, шаг 1 подробно: центр $O$ равноудалён от $A$ и $B$ — лежит на серединном перпендикуляре к $A B$ ; радиус в точку касания перпендикулярен $C D$ , а $C D ∥ A B$ — значит, точка касания $M$ лежит на том же перпендикуляре, это середина $C D$ . Прямая $MN$ проходит через центр, $M L$ — диаметр.
Проверка по теореме Пифагора: $ON = 8 - 5 = 3$ , $O N^{2} + N B^{2} = 9 + 16 = 25 = R^{2}$ ✓. Общая формула для квадрата: $R = \frac{5 a}{8}$ .
1) $64 = 16 \cdot N L$ , $N L = 4$ , диаметр $20$ , $R = 10$ .
2) $A N = NB = 6$ , $MN = 4$ : $36 = 4 \cdot N L$ , $N L = 9$ , диаметр $13$ , $R = 6, 5$ .
3) $R = \frac{5 a}{8} = 15$ ⇒ $a = 24$ . Проверка: $N L = \frac{144}{24} = 6$ , $24 + 6 = 30 = 2 R$ ✓.

R02.3 · ОГЭ 25

Метод · учитель решает

Секущие, теорема косинусов и диаметр

Окружность через

A

и

C

△ A BC

пересекает

A B

в

K

,

BC

в

M

;

B K = 3

,

K A = 5

,

BM = 4

,

∠ B = 6 0^{\circ}

. Найдите

MC

,

K M

и

R

.

1

3 \cdot 8 = 4 \cdot BC

⇒

BC = 6

,

MC = 2

секущие из

B

2

K M^{2}

= 9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 13

,

K M = 13

теорема косинусов в

△ B K M

3

K C^{2}

= 9 + 36 - 18 = 27

;

9 + 27 = 36 = B C^{2}

теорема косинусов, обратная теорема Пифагора

4

∠ A K C = 9 0^{\circ}

⇒

A C

— диаметрвписанный прямой угол опирается на диаметр

5

A C^{2} = 64 + 36 - 48 = 52

,

R = \frac{A C}{2} = 13

R02.3

Образец → сам · касательная и угол

Секущая через центр и синус угла

Образец: секущая $P A B$ проходит через центр $O$ , $P A = 2$ , касательная $PT = 4$ . Найдите $R$ и $sin ∠ TPO$ .

$16 = 2 (2 + 2 R)$ ⇒ $R = 3$ $PB = P A + 2 R$

$OP = 2 + 3 = 5$ , $OT ⊥ PT$ радиус в точку касания

$sin ∠ TPO = \frac{OT}{OP} = \frac{3}{5}$

Сам

$P A = 8$ , $PT = 12$ . Найдите $R$ и $sin ∠ TPO$ . $5$ и $\frac{5}{13}$
$R = 7$ , $∠ TPO = 3 0^{\circ}$ . Найдите $P A$ и $PT$ . $7$ и $73$
$∠ TPO = 3 0^{\circ}$ , $P A = 5$ . Найдите $R$ . $5$

R02.3

Образец → сам · задача на доказательство

Касание в середине стороны

Образец: окружность проходит через $B$ , касается $A C$ в середине $M$ , пересекает $A B$ в $K$ , $BC$ в $L$ . Докажите: $A K \cdot A B = C L \cdot CB$ .

$A M^{2} = A K \cdot A B$ касательная $A M$ и секущая $A K B$

$C M^{2} = C L \cdot CB$ касательная $CM$ и секущая $C L B$

$A M = CM$ ⇒ $A K \cdot A B = C L \cdot CB$

Сам: составьте план

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A E = CE$ . Докажите: $A B = C D$ . $EB = E D$ из $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ ; сложить
$PT$ , $PS$ — касательные, $P A B$ — секущая. Докажите: $T A \cdot SB = TB \cdot S A$ . $\frac{T A}{TB} = \frac{PT}{PB} = \frac{PS}{PB} = \frac{S A}{SB}$
Окружность через $A$ , $C$ пересекает $A B$ в $K$ , $BC$ в $M$ , $K M ∥ A C$ . Докажите: $A B = BC$ . $B K \cdot B A = BM \cdot BC$ и $B K : B A = BM : BC$

2,5 мин · практика (работа в парах: один пишет план, второй — обоснования)
Образец: одна точка касания $M$ «обслуживает» две касательные — из $A$ и из $C$ ; равенство $A M = CM$ дано условием.
1) $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ , $A E = CE \neq = 0$ ⇒ $EB = E D$ ; $A B = A E + EB = CE + E D = C D$ .
2) По выводу слайда 7 для касательной $PT$ : $\frac{T A}{TB} = \frac{PT}{PB}$ ; для $PS$ : $\frac{S A}{SB} = \frac{PS}{PB}$ ; отрезки касательных $PT = PS$ ⇒ $\frac{T A}{TB} = \frac{S A}{SB}$ , перемножаем крест-накрест.
3) Из $K M ∥ A C$ : $\frac{B K}{B A} = \frac{BM}{BC}$ , то есть $B K \cdot BC = BM \cdot B A$ . Делим на это равенство $B K \cdot B A = BM \cdot BC$ : $\frac{B A}{BC} = \frac{BC}{B A}$ ⇒ $B A^{2} = B C^{2}$ , $A B = BC$ . (Иначе: $∠ B K M = ∠ BC A$ по выводу и $∠ B K M = ∠ B A C$ как соответственные ⇒ $∠ A = ∠ C$ .)

R02.3 · практика

Образец → сам · задача из жизни

Высота арки над точкой пролёта

Образец: арка — дуга окружности, пролёт $A B = 24$ м, высота $8$ м. Какова высота арки в $7$ м от опоры?

$R = \frac{1 2 ^{2} + 8 ^{2}}{2 \cdot 8} = 13$ , центр на $13 - 8 = 5$ м ниже $A B$ формула стрелы

$E U \cdot E V = A E \cdot EB = 7 \cdot 17$ , $E V = E U + 10$ хорды

$x (x + 10) = 119$ ⇒ $x = 7$ м

Сам

Тоннель — полукруг радиусом $5$ м. Высота свода в $1$ м от стены? $3$ м
Мяч диаметром $26$ см выступает над водой на $8$ см. Диаметр круга на воде? $24$ см
Полукруглое окно шириной $2$ м. Наибольшая высота рамы шириной $1, 2$ м? $0, 8$ м

2 мин · практика
Образец: $V$ — вторая точка вертикальной прямой через $E$ на окружности (ниже $A B$ , на чертеже не показана). Середина хорды $U V$ — на уровне центра, то есть на $5$ м ниже $A B$ , поэтому $E V - E U = 2 \cdot 5 = 10$ . $x^{2} + 10 x - 119 = 0$ , $x = 7$ (второй корень $- 17$ ). Проверка: точка $U = (- 5; 7)$ от середины пролёта, $5^{2} + (7 + 5)^{2} = 169 = 1 3^{2}$ ✓.
1) Диаметр на полу: $A E = 1$ , $EB = 9$ , $h^{2} = 9$ , $h = 3$ м (для полукруга $E V = E U$ ).
2) Половина круга на воде $a$ : $a^{2} = 8 \cdot (26 - 8) = 144$ , $a = 12$ , диаметр $24$ см.
3) Край рамы в $0, 6$ м от центра: $A E = 0, 4$ , $EB = 1, 6$ , $h^{2} = 0, 64$ , $h = 0, 8$ м.

R02.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$\frac{K M}{A C} = \frac{B K}{B A}$	$K$ соответствует $C$ , а не $A$	$\frac{K M}{A C} = \frac{BM}{B A} = \frac{B K}{BC}$
$\frac{T A}{TB} = \frac{P A}{PB}$	потерян квадрат: это отношение квадратов	$\frac{T A}{TB} = \frac{PT}{PB}$ , $(\frac{T A}{TB})^{2} = \frac{P A}{PB}$
секущая через центр: $PB = P A + R$	секущая проходит весь диаметр	$PB = P A + 2 R$
центр окружности — центр квадрата	«на рисунке видно»; тогда она не касается $C D$	центр на $MN$ , $R$ — из теоремы о хордах

R02.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Окружность через $A$ и $C$ ; $B K = 2$ , $B A = 6$ , $BM = 3$ , $A C = 8$ . Найдите $K M$ .

$\frac{K M}{A C} = \frac{B K}{B A} = \frac{1}{3}$

$K M = \frac{8}{3}$

$\frac{K M}{A C} = \frac{BM}{B A} = \frac{1}{2}$

$K M = 4$

б) $PT = 6$ , секущая через центр, $P A = 3$ . Найдите $R$ .

$36 = 3 (3 + R)$

$R = 9$

$36 = 3 (3 + 2 R)$

$R = 4, 5$

в) Касательная $PT$ , $P A = 2$ , $PB = 8$ , $T A = 3$ . Найдите $TB$ .

$\frac{T A}{TB} = \frac{P A}{PB} = \frac{1}{4}$

$TB = 12$

$PT = 4$ , $\frac{T A}{TB} = \frac{PT}{PB} = \frac{1}{2}$

$TB = 6$

R02.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаОкружность через $A$ , $C$ : $B K = 3$ , $B A = 10$ , $BM = 5$ . Найдите $BC$ . $6$
базаТа же: $B K = 4$ , $BC = 8$ , $BM = 5$ , $A C = 12$ . Найдите $K M$ . $6$
база $PT = 10$ , секущая через центр, $P A = 5$ . Найдите $R$ . $7, 5$

база $P A = 3$ , $A B = 9$ , $T A = 4$ . Найдите $TB$ . $8$
базаОкружность через $A$ , $B$ квадрата со стороной $24$ касается $C D$ . $R$ ? $15$
базаПолукруглый свод радиусом $13$ м. Высота в $1$ м от края? $5$ м

R02.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Окружность через $A$ , $C$ $△ A BC$ пересекает $A B$ в $K$ , $BC$ в $M$ ; $S_{B K M} = \frac{1}{4} S_{A BC}$ , $A C = 10$ . Найдите $K M$ . $5$
повыш.Касательная $PT$ , секущая $P A B$ , $T A : TB = 2 : 5$ , $A B = 21$ . Найдите $P A$ и $PT$ . $4$ и $10$
повыш.Окружность $R = 10$ проходит через $A$ , $B$ прямоугольника $A BC D$ , $A B = 16$ , и касается $C D$ . Найдите $BC$ . $4$ или $16$
из жизниКолесо радиусом $50$ см упёрлось в бордюр высотой $10$ см. Как далеко от бордюра оно касается дороги? $30$ см

2 мин · практика
1) $k^{2} = \frac{1}{4}$ , $k = \frac{1}{2}$ , $K M = 5$ .
2) $\frac{P A}{PB} = \frac{4}{25}$ : $P A = 4 x$ , $PB = 25 x$ , $A B = 21 x = 21$ , $x = 1$ ; $P A = 4$ , $PB = 25$ , $PT = 100 = 10$ .
3) $M$ — середина $C D$ , $N$ — середина $A B$ , $MN = h$ , $N L = 2 R - h$ : $8 \cdot 8 = h (20 - h)$ , $h^{2} - 20 h + 64 = 0$ , $h = 4$ или $h = 16$ . Оба подходят: при $h = 16$ центр внутри прямоугольника, при $h = 4$ — под $A B$ (на шаге 5 плана — «оба корня?»).
4) Через угол бордюра $E$ проведём хорду колеса параллельно дороге. Диаметр из точки касания $T$ с дорогой перпендикулярен ей и делит её пополам на высоте $10$ см; расстояние $d$ от $T$ до бордюра — половина хорды: $d^{2} = 10 \cdot (100 - 10) = 900$ , $d = 30$ см.

R02.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 25

Краткий ответ и полное решение

ОГЭ 16Через точку $A$ вне окружности проведены касательная $A K$ и прямая, пересекающая окружность в $B$ и $C$ ; $A B = 3$ , $BC = 9$ . Найдите $A K$ . $6$
ОГЭ 16Хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $P$ ; $BP = 6$ , $CP = 8$ , $D P = 12$ . Найдите $A P$ . $9$

ОГЭ 25 Окружность проходит через $B$ и $C$ $△ A BC$ и пересекает $A B$ в $K$ , $A C$ в $P$ . Найдите $K P$ , если $A K = 18$ , а $A C$ в $1, 2$ раза больше $BC$ .

$A K \cdot A B = A P \cdot A C$ секущие из $A$

$\frac{A K}{A C} = \frac{A P}{A B}$ , $∠ A$ общий

$△ A K P \sim △ A CB$ , $\frac{K P}{CB} = \frac{A K}{A C}$

$K P = \frac{18 \cdot BC}{1 , 2 BC} = 15$

R02.3

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Окружность через $A$ , $C$ $△ A BC$ пересекает $A B$ в $K$ , $BC$ в $M$ ; $B K = 2$ , $B A = 9$ , $BM = 3$ . Найдите $BC$ . $6$
В задаче 1 $A C = 12$ . Найдите $K M$ . $4$
$PT = 6$ , секущая через центр, $P A = 4$ . Найдите $R$ . $2, 5$
$P A = 4$ , $PB = 9$ , $T A = 4$ . Найдите $TB$ . $6$

Вариант 2

Окружность через $A$ , $C$ $△ A BC$ пересекает $A B$ в $K$ , $BC$ в $M$ ; $B K = 3$ , $B A = 8$ , $BM = 4$ . Найдите $BC$ . $6$
В задаче 1 $A C = 10$ . Найдите $K M$ . $5$
$PT = 12$ , секущая через центр, $P A = 8$ . Найдите $R$ . $5$
$P A = 2$ , $PB = 8$ , $T A = 5$ . Найдите $TB$ . $10$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какой вершине $△ BC A$ соответствует $K$ и почему?
Как связаны $T A : TB$ и $P A : PB$ ?
Когда в задаче два ответа и оба верны?

Домашнее задание

Окружность через $A$ , $C$ : $B K = 5$ , $K A = 3$ , $BM = 4$ , $A C = 9$ . Найдите $MC$ и $K M$ .
Окружность через $A$ , $B$ квадрата со стороной $10$ касается $C D$ . Найдите $R$ .
* Полукруг на диаметре $A B = 10$ ; $E \in A B$ , $A E = 2$ ; перпендикуляр в $E$ пересекает дугу в $F$ . Найдите $EF$ и $A F$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_metricheskie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-030 · Практикум: Применение при решении геометрических задач

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Подобие треугольников», 12 ч · урок 8/12 · тип П
Единицы → слайды	R02.3 «Применение при решении геометрических задач» → 2, 4–21 · повторение R02.2 (GEOM9U-029) → 3, 4
Результаты	«Доказывать и применять теоремы о произведении отрезков хорд, о произведении отрезков секущих, о квадрате касательной» → 4–21; «Доказывать теорему синусов и теорему косинусов, применять их … при решении геометрических задач» → 11, 12
Вне урока	теоремы Чевы и Менелая — GEOM9U-031; гомотетия — GEOM9U-032; термин «антипараллель» не вводится (сл. 5 — как следствие)
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: хорды, секущие и касательная в задачах

Сегодня вы научитесь

Достраивать подобие

Соединять теоремы

Оформлять решение

Считать на практике

Шесть вопросов за две минуты

Произведения отрезков и подобные треугольники

Отсекаемый треугольник подобен данному

Найдите MC и KM

Образец: окружность через A и C пересекает AB в K, BC в M; BK=4, KA=5, BM=3, AC=15.

Сам (та же конфигурация)

Чему равно TA:TB

Хорды из точки касания

Образец: PT — касательная, PAB — секущая, PA=4, AB=5, TA=6. Найдите PT и TB.

Сам

Пять шагов к уравнению

Точка

Теорема

Неизвестное

Подобие

Проверка

Окружность через две вершины квадрата

Образец: окружность проходит через A и B квадрата ABCD со стороной 8 и касается CD. Найдите R.

Сам

Секущие, теорема косинусов и диаметр

Секущая через центр и синус угла

Образец: секущая PAB проходит через центр O, PA=2, касательная PT=4. Найдите R и sin∠TPO.

Сам

Касание в середине стороны

Образец: окружность проходит через B, касается AC в середине M, пересекает AB в K, BC в L. Докажите: AK⋅AB=CL⋅CB.

Сам: составьте план

Высота арки над точкой пролёта

Образец: арка — дуга окружности, пролёт AB=24 м, высота 8 м. Какова высота арки в 7 м от опоры?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Окружность через A и C; BK=2, BA=6, BM=3, AC=8. Найдите KM.

б) PT=6, секущая через центр, PA=3. Найдите R.

в) Касательная PT, PA=2, PB=8, TA=3. Найдите TB.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Краткий ответ и полное решение

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-030 · Практикум: Применение при решении геометрических задач

Найдите $MC$ и $K M$

Образец: окружность через $A$ и $C$ пересекает $A B$ в $K$ , $BC$ в $M$ ; $B K = 4$ , $K A = 5$ , $BM = 3$ , $A C = 15$ .

Чему равно $T A : TB$

Образец: $PT$ — касательная, $P A B$ — секущая, $P A = 4$ , $A B = 5$ , $T A = 6$ . Найдите $PT$ и $TB$ .

Образец: окружность проходит через $A$ и $B$ квадрата $A BC D$ со стороной $8$ и касается $C D$ . Найдите $R$ .

Образец: секущая $P A B$ проходит через центр $O$ , $P A = 2$ , касательная $PT = 4$ . Найдите $R$ и $sin ∠ TPO$ .

Образец: окружность проходит через $B$ , касается $A C$ в середине $M$ , пересекает $A B$ в $K$ , $BC$ в $L$ . Докажите: $A K \cdot A B = C L \cdot CB$ .

Образец: арка — дуга окружности, пролёт $A B = 24$ м, высота $8$ м. Какова высота арки в $7$ м от опоры?

а) Окружность через $A$ и $C$ ; $B K = 2$ , $B A = 6$ , $BM = 3$ , $A C = 8$ . Найдите $K M$ .

б) $PT = 6$ , секущая через центр, $P A = 3$ . Найдите $R$ .

в) Касательная $PT$ , $P A = 2$ , $PB = 8$ , $T A = 3$ . Найдите $TB$ .