Подобие треугольников · урок 7 из 12 · практикум

Практикум: хорды, секущие и квадрат касательной

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9U-029 · единица R02.2

1 мин · теория (орг. момент, тема, план урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие треугольников» (12 ч), урок 7/12, тип П (практикум), единица R02.2 «Теорема о произведении отрезков хорд, теоремы о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной».
Теория (12): титул 1 · цели 1 · сводка трёх теорем и степени точки 4 · демонстрационный пример «отношение хорд» 4 · схема «какую теорему выбрать» 2.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 6 = 15 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Опора — урок 24 (доказательства трёх теорем). Сегодня — новые типы задач: квадратные уравнения, степень точки через радиус, отношение хорд $T A : TB$ , треугольник и окружность, доказательства.
Если не успеваете: третье задание «сам» в образцах 5–6 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R02.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать теорему

по положению точки: хорды, секущие или касательная (ПР-8)

Составлять уравнение

когда неизвестен отрезок внутри суммы или разности (ПР-8)

Связывать с подобием

находить отношение хорд и стороны в треугольнике (ПР-7)

Доказывать и применять

метрические соотношения и задачи с арками (ПР-8, ПР-19)

повторение: урок 24

Разминка · устно

Хорды в точке $E$ , касательная $MT$ , секущие $M A B$ , $MC D$

$A E = 2$ , $EB = 6$ , $CE = 3$ . $E D$ ? $4$
$M A = 3$ , $MB = 12$ . $MT$ ? $6$
$MT = 4$ , $M A = 2$ . $MB$ ? $8$
$M A = 2$ , $MB = 10$ , $MC = 4$ . $M D$ ? $5$

$MT = 6$ , $M A = 4$ . $A B$ ? $5$
$x (x + 3) = 10$ , $x > 0$ $x = 2$
$R = 5$ , $OE = 3$ . Чему равно $A E \cdot EB$ ? $16$

R02.2

Сводка · три теоремы и степень точки

Произведение отрезков от точки до окружности постоянно

Точка внутри: хорды

A E \cdot EB = CE \cdot E D

Касательная и секущая

M T^{2} = M A \cdot MB

Две секущие

M A \cdot MB = MC \cdot M D

Через радиус

R

и расстояние

d

от центра: внутри произведение равно

R^{2} - d^{2}

, снаружи

d^{2} - R^{2}

.

4 мин · теория
Ученики по очереди формулируют каждую теорему словами и называют пару подобных треугольников (урок 24): △AEC ∼ △DEB; △MTA ∼ △MBT; △MAD ∼ △MCB.
Степень точки — вывод на доске: для точки E внутри проведём диаметр PQ через E: PE = R − d, EQ = R + d ⇒ AE · EB = (R − d)(R + d) = R² − d². Для точки M снаружи: MT² = OM² − OT² = d² − R² (касательная ⟂ радиусу, теорема Пифагора).
Отрезки всегда отсчитываются от самой точки E или M до обеих точек пересечения с окружностью.

R02.2

Образец → сам · хорды и уравнение

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$

Образец: $A B = 16$ , $C D = 14$ , $CE : E D = 3 : 4$ . Найдите $A E$ и $EB$ .

$CE = 6$ , $E D = 8$ $14 : 7 = 2$ на часть

$A E = x$ : $x (16 - x) = 6 \cdot 8 = 48$ теорема о хордах

$x^{2} - 16 x + 48 = 0$
$x = 4$ или $x = 12$

$A E = 4, EB = 12$ или наоборот оба корня меньше 16

Сам

$A E = 8$ , $EB = 6$ , $CE : E D = 3 : 4$ . Найдите $C D$ . $14$
$A B = 10$ , $CE = 2$ , $E D = 12$ . Найдите $A E$ . $4$ или $6$
$E$ — середина $C D = 16$ , $A E = 4$ . Найдите $A B$ . $20$

R02.2

Образец → сам · касательная: обратная задача

$MT$ — касательная, секущая $M A B$ ( $A$ между $M$ и $B$ )

Образец: $MT = 12$ , $A B = 7$ . Найдите $M A$ .

$M A = x$ , $MB = x + 7$ вся секущая

$x (x + 7) = 144$ квадрат касательной

$x^{2} + 7 x - 144 = 0$ , $D = 625$ ⇒ $x = 9$ или $x = - 16$

$M A = 9$ длина положительна

Сам

$MT = 6$ , $A B = 5$ . Найдите $M A$ . $4$
$MT = 2 M A$ , $MB = 20$ . Найдите $M A$ . $5$
$MT = M A + 2$ , $A B = 5$ . Найдите $MT$ . $6$

R02.2

Образец → сам · две секущие и уравнение

Из точки $M$ — секущие $M A B$ и $MC D$

Образец: $M A = 4$ , $A B = 11$ , $C D = 7$ . Найдите $MC$ .

$MB = 15$ , $M A \cdot MB = 60$ вся секущая

$MC = x$ : $x (x + 7) = 60$ теорема о секущих

$x^{2} + 7 x - 60 = 0$ , $D = 289$ ⇒ $x = 5$ или $x = - 12$

$MC = 5$ $5 \cdot 12 = 60$ ✓

Сам

$M A = 2$ , $A B = 10$ , $C D = 5$ . Найдите $MC$ . $3$
$M A : A B = 1 : 3$ , $MC = 4$ , $C D = 12$ . Найдите $A B$ . $12$
$M A = 9$ , $MB = 20$ , $MC : C D = 1 : 4$ . Найдите $C D$ . $24$

R02.2 · углублённый

Демонстрационный пример · отношение хорд

Из подобия: $\frac{T A}{TB} = \frac{MT}{MB} = \frac{M A}{MT}$

Дано:

MT

— касательная,

M A = 4

,

A B = 5

.
Найти:

MT

и

T A : TB

.

1

△ MT A

\sim

△ MBT

∠ MT A = ∠ MBT

(половина дуги

T A

),

∠ M

общий

2

M T^{2} = 4 \cdot 9 = 36

,

MT = 6

квадрат касательной,

MB = 9

3

\frac{T A}{TB} = \frac{MT}{MB} = \frac{6}{9}

соответственные стороны:

T A \leftrightarrow BT

,

MT \leftrightarrow MB

4

T A : TB = 2 : 3

;

(\frac{T A}{TB})^{2} = \frac{M A}{MB} = \frac{4}{9}

✓

4 мин · теория (учитель решает сам, класс отвечает на вопросы)
Соответствие вершин: M ↔ M, T ↔ B, A ↔ T. Значит TA (в △MTA) соответствует BT (в △MBT), MT ↔ MB, MA ↔ MT: TA/BT = MT/MB = MA/MT = k.
Перемножив два последних отношения: k² = (MT/MB)(MA/MT) = MA/MB — удобная формула (TA/TB)² = MA/MB. Здесь 4/9 ⇒ k = 2/3 ✓.
Вопрос классу: почему TA короче TB? (TA лежит против меньшего угла M в меньшем треугольнике — k < 1.)
Это результат сверх «голой» формулы, но выводится только из подобия — в рамках R02.2 (доказательство теоремы о касательной).

R02.2

Образец → сам · степень точки через радиус

Известны радиус $R$ и расстояние до центра

Образец: $R = 10$ , $OM = 26$ , секущая $M A B$ , $A B = 14$ . Найдите $MT$ и $M A$ .

$M T^{2} = 2 6^{2} - 1 0^{2} = 576$ , $MT = 24$ $OT ⊥ MT$ , Пифагор

$x (x + 14) = 576$ квадрат касательной

$x^{2} + 14 x - 576 = 0$ , $D = 2500$ ⇒ $M A = 18$

Сам

$R = 9$ , $OE = 7$ , хорда через $E$ , $A E = 4$ . Найдите $A B$ . $12$
$MT = 15$ , $R = 8$ . Найдите расстояние от $M$ до ближайшей точки окружности. $9$
Хорда $A B = 16$ через $E$ , $A E = 4$ , $R = 10$ . Найдите $OE$ . $213$

R02.2

Схема · какую теорему выбрать

Смотрим, где точка и что дано

Что на чертеже	Теорема	Равенство
точка внутри, две хорды	о хордах	$A E \cdot EB = CE \cdot E D$
точка снаружи, касательная	о касательной	$M T^{2} = M A \cdot MB$
точка снаружи, две секущие	о секущих	$M A \cdot MB = MC \cdot M D$
известны $R$ и $d = OM$	степень точки	$R^{2} - d^{2}$ или $d^{2} - R^{2}$
нужно отношение хорд	подобие	$(\frac{T A}{TB})^{2} = \frac{M A}{MB}$

Неизвестный отрезок —

x

; сумма или разность — квадратное уравнение; отрицательный корень отбросить.

R02.2

Образец → сам · треугольник и окружность

Окружность через $B$ и $C$ пересекает $A B$ в $K$ , $A C$ — в $M$

Образец: $A K = 3$ , $K B = 9$ , $A M = 4$ , $BC = 15$ . Найдите $MC$ и $K M$ .

$3 \cdot 12 = 4 \cdot A C$ секущие из $A$ : $A K \cdot A B = A M \cdot A C$

$A C = 9$ , $MC = 5$

$△ A K M \sim △ A CB$ $∠ A$ общий, $A K : A C = A M : A B = 1 : 3$

$K M = BC : 3 = 5$

Сам

$A K = 2$ , $K B = 10$ , $A M = 3$ . Найдите $MC$ . $5$
$A K = 5$ , $A M = 4$ , $A C = 10$ , $BC = 12$ . Найдите $K M$ . $6$
Касательная в точке $C$ к описанной окружности $△ A BC$ пересекает прямую $A B$ в $M$ ; $M A = 4$ , $A B = 5$ . Найдите $MC$ и $A C : BC$ . $6$ ; $2 : 3$

R02.2

Образец → сам · задача на доказательство

Высота к гипотенузе — через теорему о хордах

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота.
Докажите: $C H^{2} = A H \cdot H B$ .

$A B$ — диаметр описанной окружности вписанный угол $9 0^{\circ}$

Продлим $C H$ до хорды $C D$ : $A B ⊥ C D$ ⇒ $C H = HD$ диаметр ⟂ хорде

$A H \cdot H B = C H \cdot HD = C H^{2}$ теорема о хордах

Сам: докажите

$E$ — середина хорд $A B$ и $C D$ . Тогда $A B = C D$ . $A E^{2} = C E^{2}$ ⇒ $A E = CE$
Касательная $MT$ и секущая $M A B$ : $M A < MT < MB$ . $M A^{2} < M A \cdot MB < M B^{2}$
Окружности пересекаются в $A$ , $B$ ; $M$ на прямой $A B$ , секущие $MC D$ и $M K L$ к разным окружностям: $MC \cdot M D = M K \cdot M L$ . оба равны $M A \cdot MB$

R02.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$M T^{2} = M A \cdot A B$	$A B$ — часть секущей внутри круга, нужна вся $MB$	$M T^{2} = M A \cdot MB$
$M A = 9$ или $M A = - 16$	длина не бывает отрицательной	$M A = 9$
внутри: $A E \cdot EB = d^{2} - R^{2}$	при $d < R$ это отрицательное число	$A E \cdot EB = R^{2} - d^{2}$
$\frac{T A}{TB} = \frac{M A}{MB}$	отношение хорд — коэффициент $k$ , а $\frac{M A}{MB} = k^{2}$	$\frac{T A}{TB} = \frac{MT}{MB}$

R02.2

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. $MT$ — касательная, секущая $M A B$ : $M A = 4$ , $A B = 12$ . Найдите $MT$ и $T A : TB$ .

1) $M T^{2} = M A \cdot A B = 48$ , $MT = 43$

2) $△ MT A \sim △ MBT$ ⇒ $\frac{T A}{TB} = \frac{M A}{MB} = \frac{4}{16}$

Ответ: $43$ ; $1 : 4$ .

Шаг 1: нужна

MB = 16

:

M T^{2} = 64

,

MT = 8

.

Шаг 2:

\frac{T A}{TB} = \frac{MT}{MB} = \frac{8}{16}

, ответ

1 : 2

.

R02.2

Задания с самопроверкой · база

Хорды в точке $E$ , касательная $MT$ , секущие $M A B$ , $MC D$

Б $A E = 4$ , $EB = 9$ , $CE = 6$ . $E D$ ? $6$
Б $M A = 4$ , $MB = 25$ . $MT$ ? $10$
Б $M A = 6$ , $MB = 10$ , $MC = 5$ . $M D$ ? $12$

Б $MT = 12$ , $M A = 9$ . $A B$ ? $7$
Б $CE = E D$ , $A E = 2$ , $EB = 18$ . $C D$ ? $12$
Б $M A = 5$ , $A B = 15$ , $MC = 4$ . $C D$ ? $21$

R02.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Степень точки, отношение хорд, арка, треугольник

П $R = 7$ , хорда $A B$ проходит через $E$ : $A E = 5$ , $EB = 8$ . Найдите $OE$ . $3$
П $MT = 6$ — касательная, секущая $M A B$ , $T A : TB = 1 : 3$ . Найдите $M A$ и $MB$ . $2$ и $18$
ПАрка окна: ширина $1, 2$ м, высота $0, 3$ м. Найдите радиус дуги. $0, 75$ м
ПОкружность проходит через вершину $C$ треугольника $A BC$ , касается прямой $A B$ в точке $B$ и пересекает $A C$ в $K$ ; $A B = 6$ , $A C = 9$ . Найдите $C K$ . $5$

R02.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 25

Ответ — число; решение части 2 — с обоснованием

16. Из точки $M$ проведены две секущие: $M A = 6$ , $MB = 14$ , $MC = 7$ . Найдите $M D$ .

$M A \cdot MB = MC \cdot M D$ : $84 = 7 \cdot M D$

$M D = 12$

25. Окружность через вершины $A$ и $C$ треугольника $A BC$ пересекает $B A$ в $K$ , $BC$ в $E$ ; $B K = 4$ , $K A = 8$ , $BE = 3$ , $A C = 18$ . Найдите $EC$ и $K E$ .

$4 \cdot 12 = 3 \cdot BC$

$BC = 16$ , $EC = 13$

$△ B K E \sim △ BC A$ , $k = \frac{1}{4}$

$K E = 4, 5$

R02.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Хорды: $A E = 6$ , $EB = 8$ , $CE = 12$ . Найдите $E D$ . $4$
Касательная $MT = 10$ , секущая $M A B$ , $A B = 15$ . Найдите $M A$ . $5$
$R = 11$ , $OE = 7$ , хорда через $E$ : $A E = 6$ . Найдите $A B$ . $18$
$MT = 12$ , $T A : TB = 2 : 3$ . Найдите $M A$ . $8$

Вариант 2

Хорды: $A E = 10$ , $EB = 3$ , $CE = 5$ . Найдите $E D$ . $6$
Касательная $MT = 14$ , секущая $M A B$ , $A B = 21$ . Найдите $M A$ . $7$
$R = 10$ , $OE = 6$ , хорда через $E$ : $A E = 8$ . Найдите $A B$ . $16$
$MT = 6$ , $T A : TB = 1 : 2$ . Найдите $M A$ . $3$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по чертежу выбрать нужную теорему?
Когда получается квадратное уравнение?
Чему равно $T A : TB$ через $MT$ и $MB$ ?

Домашнее задание

$MT = 20$ , $A B = 30$ : найдите $M A$ . $R = 15$ , $OM = 17$ : найдите $MT$ .
Арка моста: пролёт $30$ м, высота $5$ м — радиус?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_metricheskie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-029 · Практикум: хорды, секущие и квадрат касательной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Подобие треугольников», 12 ч · урок 7/12 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R02.2 «Теорема о произведении отрезков хорд, теоремы о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной» → 2–19 · повторение урока 24 → 3, 4
Результаты	ПР-8 → 3–19 · ПР-7 → 8, 11, 14, 17 · ПР-19 → 16, 19
Вне урока	применение при решении задач — GEOM9U-030; теоремы Чевы и Менелая — GEOM9U-031
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: хорды, секущие и квадрат касательной

Сегодня вы научитесь

Выбирать теорему

Составлять уравнение

Связывать с подобием

Доказывать и применять

Хорды в точке E, касательная MT, секущие MAB, MCD

Произведение отрезков от точки до окружности постоянно

Точка внутри: хорды

Касательная и секущая

Две секущие

Хорды AB и CD пересекаются в точке E

Образец: AB=16, CD=14, CE:ED=3:4. Найдите AE и EB.

Сам

MT — касательная, секущая MAB (A между M и B)

Образец: MT=12, AB=7. Найдите MA.

Сам

Из точки M — секущие MAB и MCD

Образец: MA=4, AB=11, CD=7. Найдите MC.

Сам

Из подобия: TBTA​=MBMT​=MTMA​

Известны радиус R и расстояние до центра

Образец: R=10, OM=26, секущая MAB, AB=14. Найдите MT и MA.

Сам

Смотрим, где точка и что дано

Окружность через B и C пересекает AB в K, AC — в M

Образец: AK=3, KB=9, AM=4, BC=15. Найдите MC и KM.

Сам

Высота к гипотенузе — через теорему о хордах

Образец: ∠C=90∘, CH — высота.Докажите: CH2=AH⋅HB.

Сам: докажите

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки

Хорды в точке E, касательная MT, секущие MAB, MCD

Степень точки, отношение хорд, арка, треугольник

Ответ — число; решение части 2 — с обоснованием

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-029 · Практикум: хорды, секущие и квадрат касательной

Хорды в точке $E$ , касательная $MT$ , секущие $M A B$ , $MC D$

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$

Образец: $A B = 16$ , $C D = 14$ , $CE : E D = 3 : 4$ . Найдите $A E$ и $EB$ .

$MT$ — касательная, секущая $M A B$ ( $A$ между $M$ и $B$ )

Образец: $MT = 12$ , $A B = 7$ . Найдите $M A$ .

Из точки $M$ — секущие $M A B$ и $MC D$

Образец: $M A = 4$ , $A B = 11$ , $C D = 7$ . Найдите $MC$ .

Из подобия: $\frac{T A}{TB} = \frac{MT}{MB} = \frac{M A}{MT}$

Известны радиус $R$ и расстояние до центра

Образец: $R = 10$ , $OM = 26$ , секущая $M A B$ , $A B = 14$ . Найдите $MT$ и $M A$ .

Окружность через $B$ и $C$ пересекает $A B$ в $K$ , $A C$ — в $M$

Образец: $A K = 3$ , $K B = 9$ , $A M = 4$ , $BC = 15$ . Найдите $MC$ и $K M$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота.
Докажите: $C H^{2} = A H \cdot H B$ .

Хорды в точке $E$ , касательная $MT$ , секущие $M A B$ , $MC D$