Подобие треугольников · урок 6 из 12 · практикум

Практикум: хорды и подобные треугольники в окружности

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9U-028 · практикум по R02.1

1 мин · теория (орг. момент, тема, план практикума)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие треугольников» (12 ч), урок 6/12, единица R02.1. Тип урока — П, практикум к уроку GEOM9U-023 (новый материал по R02.1).
Теория (12,5): титул 1 · цели 1 · опора «углы в окружности» 3,5 · опора «три подобия» 4 · схема-конспект 3.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 6 = 15 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 3,5 · итог 1.
Чем отличается от урока 23: готовые конфигурации переходят в задачи «найди подобные сам» — вписанный четырёхугольник, высоты треугольника, биссектриса и описанная окружность, радиус по осколку, отношение площадей.
Если не успеваете: третье задание «сам» в образцах 4–6 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R02.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть

подобные треугольники в окружности по равным вписанным углам (ПР-7)

Записывать

пропорцию по верному соответствию вершин (ПР-8)

Применять

подобие к хордам, секущим, касательной и площадям (ПР-8)

Доказывать и измерять

подобие при высотах треугольника; радиус по осколку тарелки

1 мин · теория
ПР-7: «Использовать теоремы о вписанных углах, углах между хордами (секущими) и угле между касательной и хордой при решении геометрических задач». ПР-8: «Доказывать и применять теоремы о произведении отрезков хорд, о произведении отрезков секущих, о квадрате касательной» — сегодня как следствия подобия.
Вид деятельности ФРП R02: «Исследовать… изучаемые конфигурации. Применять данные теоремы при решении геометрических задач».

повторение: уроки 23, 27

Разминка · устно

Вписанные углы и коэффициент подобия

Дуга $A B = 12 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ $12 0^{\circ}$
Найдите $∠ A CB$ и $∠ A D B$ $6 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$
Вписанный угол опирается на диаметр. Он равен… $9 0^{\circ}$
Хорда стягивает дугу $8 0^{\circ}$ . Угол между ней и касательной в её конце? $4 0^{\circ}$
$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $k = 1, 5$ , $A B = 6$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ $9$
Гомотетия с $k = - 2$ , площадь фигуры $3$ . Площадь образа? $12$

2 мин · практика
1) Центральный угол равен дуге: 120°. 2) Вписанные углы на одну дугу (вершины по одну сторону от хорды AB) равны половине дуги: 60°. Это главный инструмент урока — по нему находим равные углы в подобных треугольниках.
3) Половина полуокружности 180° — 90°. 4) Угол между касательной и хордой равен половине дуги: 40°.
5) A₁B₁ = k · AB = 9 (k = A₁B₁ : AB). 6) Урок 27: при гомотетии площади умножаются на k² = 4 (знак k не важен): 12.
Вопрос: чему равен ∠ACB, если C взять на нижней дуге? (180° − 60° = 120°.)

R02.1

Опора · углы, связанные с окружностью

Каждый угол — половина дуги (суммы или разности дуг)

Вписанный угол

$∠ A CB = \frac{1}{2} A B ⌢$

на одну дугу — равны

Между хордами

$∠ A MC = \frac{A C ⌢ + B D ⌢}{2}$

дуги внутри угла и вертикального

Между секущими

$∠ P = \frac{B D ⌢ - A C ⌢}{2}$

дальняя дуга минус ближняя

Касательная и хорда

$∠ A T K = \frac{1}{2} A T ⌢$

как вписанный угол на ту же дугу

3,5 мин · теория
Сводка урока 23. Все четыре формулы выводятся из вписанного угла: угол между хордами — внешний угол треугольника AMD: ∠AMC = ∠MAD + ∠MDA = ½ дуги BD + ½ дуги AC; угол между секущими — из треугольника PAD: внешний угол ∠BAD = ∠P + ∠ADC ⇒ ∠P = ½ дуги BD − ½ дуги AC.
Для подобия нужна первая строка: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны; угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу с другой стороны.
На мини-чертежах: дуга AC = 90°, BD = 110° ⇒ ∠AMC = 100°; дуга AT = 120° ⇒ ∠ATK = 60°.

R02.1

Опора · три конфигурации подобия

Два равных угла — и треугольники подобны

Хорды пересекаются

$△ A MC \sim △ D MB$

$\frac{A M}{D M} = \frac{CM}{BM} = \frac{A C}{D B}$

$∠ A = ∠ D$ — на дугу $BC$

Две секущие

$△ P A D \sim △ PCB$

$\frac{P A}{PC} = \frac{P D}{PB} = \frac{A D}{CB}$

$∠ D = ∠ B$ — на дугу $A C$

Касательная и секущая

$△ PT A \sim △ PBT$

$\frac{PT}{PB} = \frac{P A}{PT} = \frac{T A}{BT}$

$∠ PT A = ∠ B$ — на дугу $T A$

4 мин · теория
Хорды: ∠MAC = ∠BAC и ∠MDB = ∠CDB опираются на дугу BC; ∠AMC = ∠DMB — вертикальные. Соответствие A ↔ D, M ↔ M, C ↔ B. Следствие: AM · BM = CM · DM.
Секущие: ∠P общий; ∠PDA = ∠CDA и ∠PBC = ∠ABC опираются на дугу AC. Соответствие P ↔ P, A ↔ C, D ↔ B. Следствие: PA · PB = PC · PD.
Касательная: ∠P общий; ∠PTA (касательная и хорда) = ½ дуги TA = ∠TBA. Соответствие P ↔ P, T ↔ B, A ↔ T. Следствие: PT² = PA · PB.
Правило записи: в одну дробь — стороны против равных углов; дробь читаем «по соответствию» вершин. Произведения — тема урока 29, сегодня — пропорции и подобие.

R02.1

Образец → сам · пересекающиеся хорды

Задача на готовом чертеже

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $M$ ; $A M = 4$ , $MB = 6$ , $CM = 3$ , $A C = 6$ . Найдите $M D$ и $B D$ .

$△ A MC \sim △ D MB$ $∠ A = ∠ D$ (дуга $BC$ ), вертикальные углы

$k = \frac{BM}{CM} = \frac{6}{3} = 2$ против равных углов $A$ и $D$

$M D = k \cdot A M = 8$

$B D = k \cdot A C = 12$

Сам

$A M = 6$ , $MB = 4$ , $CM = 8$ . Найдите $M D$ . $3$
$A M = 3$ , $D M = 9$ , $A C = 4$ . Найдите $B D$ . $12$
$A C = 6$ , $B D = 9$ , $CM = 4$ . Найдите $BM$ . $6$

R02.1

Образец → сам · две секущие

Чертёж строим сами: найдите подобные треугольники

Образец: из $P$ проведены секущие $P A B$ и $PC D$ ; $P A = 4$ , $A B = 6$ , $PC = 5$ , $A D = 6$ . Найдите $C D$ и $BC$ .

$△ P A D \sim △ PCB$ $∠ P$ общий, $∠ D = ∠ B$ (дуга $A C$ )

$\frac{P D}{PB} = \frac{P A}{PC}$ : $P D = \frac{4 \cdot 10}{5} = 8$

$C D = 8 - 5 = 3$

$BC = A D \cdot \frac{PC}{P A} = 7, 5$

Сам: секущие $P A B$ , $PC D$

$P A = 3$ , $PB = 12$ , $PC = 4$ . Найдите $P D$ . $9$
$P A = 2$ , $PC = 3$ , $A D = 5$ . Найдите $BC$ . $7, 5$
$PC = C D = 4$ , $P A = 2$ . Найдите $A B$ . $14$

R02.1

Образец → сам · касательная и секущая

Угол между касательной и хордой даёт второй равный угол

Образец: $PT$ — касательная, $P A B$ — секущая; $P A = 4$ , $A B = 5$ , $T A = 5$ . Найдите $PT$ и $TB$ .

$△ PT A \sim △ PBT$ $∠ P$ общий, $∠ PT A = ∠ B$ (дуга $T A$ )

$\frac{PT}{PB} = \frac{P A}{PT}$ ⇒ $P T^{2} = 4 \cdot 9$

$PT = 6$ , $k = \frac{PB}{PT} = \frac{3}{2}$

$TB = k \cdot T A = 7, 5$

Сам: касательная $PT$ , секущая $P A B$

$P A = 2$ , $PB = 8$ . Найдите $PT$ . $4$
$PT = 6$ , $P A = 3$ . Найдите $A B$ . $9$
$PT = 8$ , $P A = 4$ , $T A = 5$ . Найдите $TB$ . $10$

R02.1

Образец → сам · вписанный четырёхугольник

Диагонали делят его на две пары подобных треугольников

Образец: $A BC D$ вписан, диагонали пересекаются в $E$ ; $A B = 6$ , $C D = 9$ , $BE = 4$ , $A E = 5$ . Найдите $CE$ , $D E$ и $S_{A BE} : S_{D CE}$ .

$△ A BE \sim △ D CE$ $∠ A = ∠ D$ (дуга $BC$ ), вертикальные

$k = \frac{D C}{A B} = \frac{9}{6} = 1, 5$

$CE = k \cdot BE = 6$

$D E = k \cdot A E = 7, 5$

$S_{A BE} : S_{D CE} = 1 : k^{2} = 4 : 9$

Сам: $A BC D$ вписан, $E$ — точка пересечения диагоналей

$A B = 4$ , $C D = 10$ , $A E = 2$ . Найдите $D E$ . $5$
$S_{A BE} = 8$ , $S_{D CE} = 18$ , $A B = 6$ . Найдите $C D$ . $9$
$BC = 6$ , $A D = 8$ , $BE = 3$ . Найдите $A E$ . $4$

R02.1

Образец → сам · задача на доказательство

Окружность, которой нет на чертеже

Образец: $A A_{1}$ и $B B_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ . Докажите, что $△ A_{1} B_{1} C \sim △ A BC$ .

$A_{1}$ и $B_{1}$ — на окружности с диаметром $A B$ $∠ A A_{1} B = ∠ A B_{1} B = 9 0^{\circ}$

$∠ C A_{1} B_{1} = ∠ A$ $A B A_{1} B_{1}$ вписан: $∠ A + ∠ B A_{1} B_{1} = 18 0^{\circ}$

$∠ C$ общий ⇒ $△ A_{1} B_{1} C \sim △ A BC$ по двум углам; $k = cos C$

Сам: докажите

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $M$ : $A C \cdot BM = B D \cdot CM$ $△ A MC \sim △ D MB$
Высоты $A A_{1}$ , $B B_{1}$ пересекаются в $H$ : $A H \cdot H A_{1} = B H \cdot H B_{1}$ $△ A H B_{1} \sim △ B H A_{1}$
Биссектриса $A L$ пересекает описанную окружность в $W$ : $A B \cdot A C = A L \cdot A W$ $△ A B W \sim △ A L C$

2,5 мин · практика
План образца: 1) прямые углы ⇒ окружность с диаметром AB (вписанный угол на диаметр); 2) сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника 180° ⇒ ∠CA₁B₁ = ∠BAC; 3) ∠C общий ⇒ подобие, A₁ ↔ A, B₁ ↔ B. Коэффициент: CA₁ = AC · cos C ⇒ k = CA₁/CA = cos C, значит A₁B₁ = AB · cos C.
1) ∠A = ∠D (дуга BC), вертикальные ⇒ подобие ⇒ AC/DB = CM/BM ⇒ AC · BM = BD · CM.
2) Прямые углы при B₁ и A₁, вертикальные углы при H ⇒ △AHB₁ ~ △BHA₁ ⇒ AH/BH = HB₁/HA₁.
3) ∠BAW = ∠LAC (биссектриса), ∠AWB = ∠ACB (дуга AB) ⇒ AB/AL = AW/AC.

R02.1

Образец → сам · задача из жизни

Радиус по осколку тарелки

Образец: у осколка хорда $A B = 24$ см, высота сегмента $M K = 4$ см. Найдите радиус тарелки.

$A M = MB = 12$ диаметр $K L ⊥ A B$ делит хорду пополам

$△ A M K \sim △ L MB$ $∠ K = ∠ B$ (дуга $A L$ ), вертикальные

$L M = \frac{A M \cdot MB}{M K} = \frac{144}{4} = 36$

$2 R = 40$ , $R = 20$ см

Сам

Арка моста: пролёт $12$ м, высота $2$ м. Радиус арки? $10$ м
Окно-арка: ширина $2$ м, радиус $1, 25$ м. Высота арки (меньше радиуса)? $0, 5$ м
Хорда $16$ см, радиус $10$ см. Высота меньшего сегмента? $4$ см

R02.1

Схема-конспект · алгоритм практикума

Как найти и использовать подобие в окружности

1. Равные углы

вписанные на одну дугу;
вертикальные или общий угол;
касательная–хорда = вписанный;
прямой — на диаметр.

2. Соответствие

вершины равных углов — в одном порядке;
в одну дробь — стороны против равных углов;
$k$ — по известной паре сторон.

$△ A MC \sim △ D MB$ :
$\frac{A C}{D B} = \frac{A M}{D M}$

3. Следствия

$A M \cdot MB = CM \cdot M D$ ;
$P A \cdot PB = PC \cdot P D$ ;
$P T^{2} = P A \cdot PB$ ;
$S_{1} : S_{2} = k^{2}$ .

R02.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$△ A MC \sim △ D MB$ ⇒ $\frac{A M}{BM} = \frac{CM}{D M}$	соответствие по буквам, а не по равным углам	$\frac{A M}{D M} = \frac{CM}{BM}$
$P A \cdot A B = PC \cdot C D$	стороны треугольников — отрезки от точки $P$	$P A \cdot PB = PC \cdot P D$
$P T^{2} = P A \cdot A B$	в $△ PBT$ сторона — вся секущая $PB$	$P T^{2} = P A \cdot PB$
$k = 1, 5$ ⇒ $S_{1} : S_{2} = 1 : 1, 5$	площади — как квадрат коэффициента	$S_{1} : S_{2} = 1 : 2, 25$

R02.1

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 3$ , $A B = 5$ , $PC = 4$ , $A D = 6$ . Найдите $C D$ , $BC$ и $S_{P A D} : S_{PCB}$ .

1) $△ P A D \sim △ PCB$ : $∠ P$ общий, $∠ D = ∠ B$ .

2) $\frac{P A}{PC} = \frac{A B}{C D}$ , $\frac{3}{4} = \frac{5}{C D}$ , $C D = \frac{20}{3}$ .

3) $\frac{A D}{CB} = \frac{P A}{PC}$ , $BC = \frac{6 \cdot 4}{3} = 8$ .

4) $S_{P A D} : S_{PCB} = 3 : 4$ .

Шаг 2:

A B

и

C D

— не стороны треугольников. Надо

\frac{P A}{PC} = \frac{P D}{PB}

:

P D = 6

,

C D = 2

.

Шаг 4: площади — как

k^{2}

:

9 : 16

.

Верно:

C D = 2

,

BC = 8

,

9 : 16

.

R02.1

Задания с самопроверкой · база

Хорды, секущие, касательная, вписанный четырёхугольник

БХорды $A B$ , $C D$ пересекаются в $M$ ; $A M = 5$ , $MB = 4$ , $CM = 2$ . Найдите $M D$ . $10$
Б $△ A MC \sim △ D MB$ , $A C = 3$ , $B D = 6$ , $A M = 2, 5$ . Найдите $D M$ . $5$
БСекущие $P A B$ , $PC D$ : $P A = 3$ , $A B = 9$ , $PC = 4$ . Найдите $C D$ . $5$

БКасательная $PT$ , секущая $P A B$ : $P A = 4$ , $A B = 12$ . Найдите $PT$ . $8$
Б $A BC D$ вписан, диагонали — в $E$ ; $A B = 4$ , $C D = 6$ , $BE = 2$ . Найдите $CE$ . $3$
БХорда $A B$ стягивает дугу $12 0^{\circ}$ . Угол между $A B$ и касательной в точке $A$ ? $6 0^{\circ}$

R02.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Углы, уравнение, высоты и биссектриса

ПХорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $M$ ; $A C ⌢ = 8 0^{\circ}$ , $B D ⌢ = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A MC$ . $6 0^{\circ}$
ПСекущие $P A B$ , $PC D$ ; дальняя дуга $B D = 14 0^{\circ}$ , ближняя $A C = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $5 0^{\circ}$
ПКасательная $PT = 12$ , секущая $P A B$ , $A B = 18$ . Найдите $P A$ . $6$
ПВ остроугольном $△ A BC$ высоты $A A_{1}$ , $B B_{1}$ ; $A B = 10$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $5$
ПБиссектриса $A L$ $△ A BC$ пересекает описанную окружность в $W$ ; $A B = 6$ , $A C = 8$ , $A L = 4$ . Найдите $L W$ . $8$

R02.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16, 19 и 24

Ответ — число, номера утверждений, доказательство

ОГЭ 16Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A BC = 10 4^{\circ}$ , $∠ C A D = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A B D$ .

Ответ: $6 9^{\circ}$

ОГЭ 19Какие утверждения верны?

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
Угол между касательной и хордой равен дуге, которую стягивает хорда.
Площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия.

Ответ: 1

ОГЭ 24В выпуклом четырёхугольнике $A BC D$ $∠ A B D = ∠ A C D$ . Докажите, что $∠ D A C = ∠ D BC$ .

$△ A BE \sim △ D CE$ ⇒ $\frac{A E}{BE} = \frac{D E}{CE}$

⇒ $△ A E D \sim △ BEC$ ⇒ $∠ D A E = ∠ CBE$

2,5 мин · практика
16) ∠DBC = ∠DAC = 35° (на дугу DC) ⇒ ∠ABD = 104° − 35° = 69°. Чертёж точный: дуги AB = 80°, BC = 72°, CD = 70°, DA = 138°.
19) 1 — верно; 2 — неверно (половине дуги); 3 — неверно (как k²). Ответ: 1.
24) E — точка пересечения диагоналей. △ABE ~ △DCE: ∠ABE = ∠DCE по условию, ∠AEB = ∠DEC — вертикальные ⇒ AE/DE = BE/CE ⇒ AE/BE = DE/CE. △AED и △BEC: ∠AED = ∠BEC (вертикальные), стороны пропорциональны ⇒ подобны (по двум сторонам и углу между ними) ⇒ ∠DAE = ∠CBE, т. е. ∠DAC = ∠DBC. Окружность здесь не нужна — но из задачи следует, что ABCD можно вписать в окружность.

R02.1

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Хорды $A B$ , $C D$ пересекаются в $M$ : $A M = 6$ , $MB = 2$ , $CM = 3$ . Найдите $M D$ . $4$
Секущие $P A B$ , $PC D$ : $P A = 2$ , $PB = 10$ , $PC = 4$ . Найдите $C D$ . $1$
Касательная $PT$ , секущая $P A B$ : $P A = 3$ , $PB = 12$ . Найдите $PT$ . $6$
$A BC D$ вписан, диагонали — в $E$ ; $A B = 5$ , $C D = 10$ , $S_{A BE} = 6$ . Найдите $S_{D CE}$ . $24$

Вариант 2

Хорды $A B$ , $C D$ пересекаются в $M$ : $A M = 4$ , $MB = 9$ , $CM = 6$ . Найдите $M D$ . $6$
Секущие $P A B$ , $PC D$ : $P A = 3$ , $PB = 8$ , $PC = 4$ . Найдите $C D$ . $2$
Касательная $PT = 10$ , секущая $P A B$ : $P A = 5$ . Найдите $A B$ . $15$
$A BC D$ вписан, диагонали — в $E$ ; $A B = 6$ , $C D = 9$ , $S_{D CE} = 27$ . Найдите $S_{A BE}$ . $12$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие два угла равны у треугольников при двух секущих?
Как не ошибиться в соответствии вершин?
Почему $A$ , $B$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ лежат на одной окружности?

Домашнее задание

Хорды $A B$ , $C D$ пересекаются в $M$ : $A C = 4$ , $B D = 10$ , $A M = 3$ , $CM = 2$ . Найдите $D M$ и $BM$ .
$PT = 6$ , $P A = 4$ : найдите $A B$ .
Докажите: при высотах $B B_{1}$ , $C C_{1}$ $△ A B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_metricheskie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-028 · Практикум: хорды и подобные треугольники в окружности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Подобие треугольников», 12 ч · урок 6/12 · тип П (практикум по R02.1)
Единицы → слайды	R02.1 «Хорды и подобные треугольники в окружности» → 2, 4–19 · опора на R02.2 (произведения как следствия) → 5, 11, 12 · повторение урока 27 (гомотетия) → 3
Результаты	ПР-7 → 3, 4, 10, 15, 16, 17 · ПР-8 → 5–9, 11–15, 18 · ПР-5 → 3
Вне урока	теоремы о произведениях отрезков — практикум GEOM9U-029; применение — GEOM9U-030; Чева и Менелай — GEOM9U-031
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: хорды и подобные треугольники в окружности

Сегодня вы научитесь

Видеть

Записывать

Применять

Доказывать и измерять

Вписанные углы и коэффициент подобия

Каждый угол — половина дуги (суммы или разности дуг)

Вписанный угол

Между хордами

Между секущими

Касательная и хорда

Два равных угла — и треугольники подобны

Хорды пересекаются

Две секущие

Касательная и секущая

Задача на готовом чертеже

Образец: хорды AB и CD пересекаются в M; AM=4, MB=6, CM=3, AC=6. Найдите MD и BD.

Сам

Чертёж строим сами: найдите подобные треугольники

Образец: из P проведены секущие PAB и PCD; PA=4, AB=6, PC=5, AD=6. Найдите CD и BC.

Сам: секущие PAB, PCD

Угол между касательной и хордой даёт второй равный угол

Образец: PT — касательная, PAB — секущая; PA=4, AB=5, TA=5. Найдите PT и TB.

Сам: касательная PT, секущая PAB

Диагонали делят его на две пары подобных треугольников

Образец: ABCD вписан, диагонали пересекаются в E; AB=6, CD=9, BE=4, AE=5. Найдите CE, DE и SABE​:SDCE​.

Сам: ABCD вписан, E — точка пересечения диагоналей

Окружность, которой нет на чертеже

Образец: AA1​ и BB1​ — высоты остроугольного △ABC. Докажите, что △A1​B1​C∼△ABC.

Сам: докажите

Радиус по осколку тарелки

Образец: у осколка хорда AB=24 см, высота сегмента MK=4 см. Найдите радиус тарелки.

Сам

Как найти и использовать подобие в окружности

1. Равные углы

2. Соответствие

3. Следствия

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки

Хорды, секущие, касательная, вписанный четырёхугольник

Углы, уравнение, высоты и биссектриса

Ответ — число, номера утверждений, доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-028 · Практикум: хорды и подобные треугольники в окружности

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $M$ ; $A M = 4$ , $MB = 6$ , $CM = 3$ , $A C = 6$ . Найдите $M D$ и $B D$ .

Образец: из $P$ проведены секущие $P A B$ и $PC D$ ; $P A = 4$ , $A B = 6$ , $PC = 5$ , $A D = 6$ . Найдите $C D$ и $BC$ .

Сам: секущие $P A B$ , $PC D$

Образец: $PT$ — касательная, $P A B$ — секущая; $P A = 4$ , $A B = 5$ , $T A = 5$ . Найдите $PT$ и $TB$ .

Сам: касательная $PT$ , секущая $P A B$

Образец: $A BC D$ вписан, диагонали пересекаются в $E$ ; $A B = 6$ , $C D = 9$ , $BE = 4$ , $A E = 5$ . Найдите $CE$ , $D E$ и $S_{A BE} : S_{D CE}$ .

Сам: $A BC D$ вписан, $E$ — точка пересечения диагоналей

Образец: $A A_{1}$ и $B B_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ . Докажите, что $△ A_{1} B_{1} C \sim △ A BC$ .

Образец: у осколка хорда $A B = 24$ см, высота сегмента $M K = 4$ см. Найдите радиус тарелки.