Подобие треугольников · урок 4 из 12

Теоремы Чевы и Менелая

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9U-026

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие треугольников» (12 ч), урок 4/12, единица R02.4 «Теоремы Чевы и Менелая». Тип урока — Н.
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · чевиана и обход 1,5 · теорема Чевы 3 · обратная теорема Чевы 1,5 · теорема Менелая 3 · обратная теорема Менелая 1,5 · схема-конспект 1,5.
Практика (32): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 3 · ОГЭ 3 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец на клетчатой бумаге и задание 3 повышенного уровня — в ДЗ; доказательства обеих теорем не сокращать.

R02.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать теоремы

Чевы — через площади, Менелая — через подобие треугольников

Проверять конфигурации

три чевианы — через одну точку? три точки — на одной прямой?

Находить отношения

отрезков на сторонах и на чевианах (ПР-6)

Решать задачи ОГЭ

на отношения отрезков и площадей — линии 23 и 25

повторение: 8 класс, R02.1–R02.3

Разминка · устно

Отношения отрезков и площадей

$A K : K C = 2 : 3$ , $A C = 20$ . Найдите $A K$ . $8$
$A K : K C = 1 : 2$ . Чему равно $\frac{A K}{A C}$ ? $\frac{1}{3}$
На рисунке $A K : K C = 2 : 5$ . Найдите $S_{A B K} : S_{K BC}$ . $2 : 5$ — общая высота $h$
Вычислите $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{2}$ . $1$
В каком отношении делятся медианы точкой пересечения? $2 : 1$ от вершины
$A L$ — биссектриса, $A B = 6$ , $A C = 9$ . Найдите $B L : L C$ . $2 : 3$
Что известно об отрезках касательных из одной точки? они равны

R02.4

Определение · чевиана и обход контура

Как записывать отношения

Чевиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны (или её продолжения).

Медиана, биссектриса, высота — чевианы.

\frac{A C _{1}}{C _{1} B}

\cdot

\frac{B A _{1}}{A _{1} C}

\cdot

\frac{C B _{1}}{B _{1} A}

Обход: $A \to C_{1} \to B \to A_{1} \to C \to B_{1} \to A$ — конец одной дроби = начало следующей.

1,5 мин · теория
Название — по имени итальянского математика Джованни Чевы (1678). Чевиана может идти и к продолжению стороны — тогда точка лежит вне отрезка (у тупоугольного треугольника так бывает с высотой).
Главное правило записи: идём по контуру треугольника от вершины к вершине через отмеченные точки; цвет дроби совпадает с цветом стороны на чертеже. Вопрос классу: какая дробь следует после BA1/A1C? (CB1/B1A.)
Ошибка: переворачивать дроби «как удобнее» — произведение тогда не обязано быть равно 1.

R02.4

Теорема Чевы · доказательство

Три чевианы через одну точку

Дано:

A A_{1}

,

B B_{1}

,

C C_{1}

пересекаются в точке

O

.
Доказать:

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1

.

1

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} = \frac{S _{A C C_{1}}}{S _{BC C_{1}}} = \frac{S _{A O C_{1}}}{S _{BO C_{1}}}

общая высота из

C

; общая высота из

O

2

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} = \frac{S _{A OC}}{S _{BOC}}

вычитаем:

S_{A C C_{1}} - S_{A O C_{1}} = S_{A OC}

,

S_{BC C_{1}} - S_{BO C_{1}} = S_{BOC}

3

\frac{B A _{1}}{A _{1} C} = \frac{S _{A OB}}{S _{A OC}}

,

\frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{S _{BOC}}{S _{A OB}}

так же для двух других сторон

4Перемножаем: площади сокращаются, произведение

= 1

■

3 мин · теория (учитель ведёт, класс отвечает «почему?»)
Шаг 1: треугольники ACC1 и BCC1 имеют общую высоту из C к прямой AB, поэтому их площади относятся как основания AC1 : C1B; так же AOC1 и BOC1 (высота из O) — задание 3 разминки.
Шаг 2: S(ACC1) − S(AOC1) = S(AOC), S(BCC1) − S(BOC1) = S(BOC). Свойство пропорции: если a = kb и c = kd, то a − c = k(b − d).
Шаг 4: (S_AOC/S_BOC)·(S_AOB/S_AOC)·(S_BOC/S_AOB) = 1. Цвета площадей совпадают с заливкой треугольников на чертеже.
Чертёж точный: AC1 : C1B = 3 : 4, BA1 : A1C = 4 : 3, B1 — середина CA (произведение 1), три чевианы проходят через O.

R02.4

Обратная теорема Чевы · доказательство

Признак: чевианы пересекаются в одной точке

Дано:

A_{1}

,

B_{1}

,

C_{1}

— на сторонах,

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1

.
Доказать:

A A_{1}

,

B B_{1}

,

C C_{1}

проходят через одну точку.

1

O = A A_{1} \cap B B_{1}

;

CO \cap A B = C_{2}

построение

2

\frac{A C _{2}}{C _{2} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1

теорема Чевы для

A A_{1}

,

B B_{1}

,

C C_{2}

3

\frac{A C _{2}}{C _{2} B} = \frac{A C _{1}}{C _{1} B}

сравниваем с условием

4

C_{2} = C_{1}

■

отрезок делится в данном отношении единственной точкой

1,5 мин · теория
На чертеже C1 нарочно поставлена «не там» (пунктир CC1): доказательство показывает, что при выполненном равенстве такого не бывает — C2 совпадает с C1. Шаг 4: если AC2/C2B = AC1/C1B = k, то AC2 = AC1 = k·AB/(k + 1).
Следствия (сразу ученикам вопрос «почему?»): медианы пересекаются в одной точке (1·1·1 = 1), биссектрисы — тоже (свойство биссектрисы, образец 2). Для сильных: высоты остроугольного треугольника (ДЗ*).
Условие «точки на сторонах» существенно: при одной точке на продолжении равенство описывает не чевианы через точку, а три точки на одной прямой (теорема Менелая).

R02.4

Образец → сам · теорема Чевы

Найдите третье отношение

Образец: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ пересекаются в одной точке. Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$ теорема Чевы

$\frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 3$ , $C B_{1} : B_{1} A = 3 : 1$ решаем уравнение

Сам (чевианы — через одну точку)

$A C_{1} = C_{1} B$ , $B A_{1} : A_{1} C = 3 : 2$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ . $2 : 3$
$A C_{1} : C_{1} B = 3 : 4$ , $C B_{1} : B_{1} A = 2 : 1$ . Найдите $B A_{1} : A_{1} C$ . $2 : 3$
$A C_{1} : C_{1} B = 2 : 1$ , $B A_{1} : A_{1} C = 3 : 1$ , $A C = 14$ . Найдите $A B_{1}$ . $12$

R02.4

Образец → сам · задача на доказательство

Докажите, что чевианы пересекаются

Образец: вписанная окружность касается сторон в $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ . Докажите: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ пересекаются в одной точке.

$\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{x}$ касательные равны

$= 1$ ⇒ пересекаются в одной точке $■$ обратная т. Чевы

Сам: докажите

Медианы треугольника пересекаются в одной точке. $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ , обратная т. Чевы
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. $\frac{b}{a} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} = 1$
$A_{1} C_{1} ∥ A C$ , чевианы $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ — через одну точку. Тогда $B B_{1}$ — медиана. $\frac{A C _{1}}{C _{1} B} = \frac{C A _{1}}{A _{1} B}$ ⇒ $\frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$

2,5 мин · практика
Образец: отрезки касательных из одной вершины равны (разминка, 7) — одинаковый цвет на чертеже. Подставляем: (x/y)(y/z)(z/x) = 1; точки касания лежат на сторонах ⇒ по обратной теореме Чевы AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке (её называют точкой Жергонна).
1) Все три отношения равны 1. 2) Свойство биссектрисы: AC1/C1B = AC/BC = b/a, BA1/A1C = c/b, CB1/B1A = a/c — произведение 1.
3) По теореме о пропорциональных отрезках (A1C1 ∥ AC): BC1/C1A = BA1/A1C, т. е. (AC1/C1B)·(BA1/A1C) = 1 ⇒ по теореме Чевы CB1/B1A = 1, B1 — середина AC.
Требовать в записи: какие точки на сторонах, какое равенство проверено, какая теорема (обратная!) применена.

R02.4

Теорема Менелая · доказательство

Три точки на одной прямой

Дано: прямая

l

пересекает

A B

в

C_{1}

,

BC

в

A_{1}

, продолжение

C A

в

B_{1}

.
Доказать:

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1

.

1Опустим перпендикуляры

h_{A}

,

h_{B}

,

h_{C}

на

l

построение

2

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} = \frac{h _{A}}{h _{B}}

,

\frac{B A _{1}}{A _{1} C} = \frac{h _{B}}{h _{C}}

подобие: вертикальные углы при

C_{1}

и

A_{1}

3

\frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{h _{C}}{h _{A}}

подобие: общий острый угол при

B_{1}

4

\frac{h _{A}}{h _{B}} \cdot \frac{h _{B}}{h _{C}} \cdot \frac{h _{C}}{h _{A}} = 1

■

3 мин · теория (учитель ведёт, класс называет признак подобия)
Шаг 2: прямоугольные треугольники с вершинами A, C1 и основанием перпендикуляра h_A и с вершинами B, C1 и основанием h_B подобны (углы при C1 вертикальные) ⇒ AC1 : C1B = h_A : h_B. Так же при A1: BA1 : A1C = h_B : h_C.
Шаг 3: треугольники с вершиной B1 и катетами h_C и h_A подобны (общий угол при B1) ⇒ CB1 : B1A = h_C : h_A.
Обход контура тот же, что у Чевы. Формула та же — отличается конфигурация: здесь точки лежат на одной прямой, одна (или все три) — на продолжениях сторон.
Менелай Александрийский, I–II век — теорема древнее теоремы Чевы на полторы тысячи лет. Чертёж точный: B1 — на продолжении CA за точку C, CB1 = AC/2, поэтому CB1 : B1A = 1 : 3; AC1 : C1B = 11 : 9, BA1 : A1C = 27 : 11 — произведение 1 (проверено вычислением).

R02.4

Обратная теорема Менелая

Признак: три точки лежат на одной прямой

Если

A_{1}

,

B_{1}

,

C_{1}

лежат на прямых

BC

,

C A

,

A B

, одна или все три — на продолжениях сторон, и произведение равно

1

, то

A_{1}

,

B_{1}

,

C_{1}

лежат на одной прямой.

одна точка на продолжении

три точки на продолжениях

Доказательство: $B_{2} = C_{1} A_{1} \cap C A$ , по теореме Менелая $\frac{C B _{2}}{B _{2} A} = \frac{C B _{1}}{B _{1} A}$ ⇒ $B_{2} = B_{1}$ .

1,5 мин · теория
Доказательство — как у обратной теоремы Чевы: проводим прямую C1A1, она пересекает прямую CA в B2 на продолжении; из прямой теоремы и условия CB2/B2A = CB1/B1A, а на продолжении отрезка точка, делящая его внешним образом в данном отношении (≠ 1), тоже единственная ⇒ B2 = B1.
Вопрос классу: может ли прямая пересечь все три стороны треугольника во внутренних точках? (Нет — прямая делит плоскость на две полуплоскости, одна из них содержит две вершины; поэтому на продолжениях одна или три точки.)
Сравнение: у Чевы на продолжениях 0 или 2 точки, у Менелая — 1 или 3. Это и отличает два признака при одинаковой формуле.

R02.4

Схема-конспект

Одна формула — две конфигурации

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1

Чева

чевианы — через одну точку
на продолжениях: $0$ или $2$ точки
ищем отношение на стороне

Менелай

точки — на одной прямой
на продолжениях: $1$ или $3$ точки
ищем, как точка делит чевиану

Как выбрать треугольник для Менелая: на его сторонах лежат два известных отношения и искомое; секущая не проходит через его вершины.

1,5 мин · теория
Попросить учеников продиктовать по схеме: «что дано — какая теорема — где точки». Обратные теоремы — признаки: Чева ⇒ «пересекаются в одной точке», Менелай ⇒ «лежат на одной прямой».
Алгоритм для Менелая (образцы 3 и 4): 1) отметить искомый отрезок — он сторона будущего треугольника; 2) выбрать треугольник, у которого на сторонах (или продолжениях) лежат три точки одной прямой; 3) записать произведение обходом контура.

R02.4

Образец → сам · теорема Менелая

В каком отношении точка делит медиану

Образец: $A M$ — медиана, $A K : K B = 1 : 2$ , $O = A M \cap C K$ . Найдите $A O : OM$ .

$△ A BM$ , секущая $K C$ $C$ — на продолжении $BM$

$\frac{A K}{K B} \cdot \frac{BC}{CM} \cdot \frac{MO}{O A} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{MO}{O A} = 1$ Менелай

$A O : OM = 1 : 1$ $O$ — середина $A M$

Сам

По данным образца найдите $CO : O K$ . $3 : 1$
$A M$ — медиана, $A K : K B = 1 : 3$ . Найдите $A O : OM$ . $2 : 3$
$BM : MC = 1 : 2$ , $K$ — середина $A B$ . Найдите $A O : OM$ . $3 : 2$

R02.4

Образец → сам · комбинированная задача

Сначала Чева, потом Менелай

Образец: $A_{1}$ — середина $BC$ , $O = A A_{1} \cap C C_{1}$ , $BO \cap A C = B_{1}$ . Найдите $A B_{1} : B_{1} C$ и $BO : O B_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$ ⇒ $A B_{1} : B_{1} C = 1 : 2$ Чева

$△ A B B_{1}$ : $\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{BO}{O B _{1}} \cdot \frac{B _{1} C}{C A} = 1$ Менелай, секущая $C C_{1}$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BO}{O B _{1}} \cdot \frac{2}{3} = 1$ ⇒ $BO : O B_{1} = 3 : 1$ решаем

Сам (обозначения образца)

$C_{1}$ и $A_{1}$ — середины сторон. Найдите $BO : O B_{1}$ . $2 : 1$
$A C_{1} : C_{1} B = 2 : 1$ , $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 2$ . Найдите $A B_{1} : B_{1} C$ и $BO : O B_{1}$ . $1 : 1$ и $1 : 1$
В образце $S_{A BC} = 36$ . Найдите $S_{A O B_{1}}$ . $3$

R02.4

Образец → сам · клетчатая бумага

Проверяем по клеткам

Образец: $A (0; 0)$ , $B (0; 6)$ , $C (12; 0)$ ; $C_{1} (0; 4)$ , $A_{1} (4; 4)$ , $B_{1} (6; 0)$ . Пересекаются ли $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ в одной точке?

$\frac{A C _{1}}{C _{1} B} = \frac{4}{2}$ , $\frac{B A _{1}}{A _{1} C} = \frac{1}{2}$ , $\frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{6}{6}$ по клеткам

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = 1$ ⇒ да, в точке $(3; 3)$ обратная т. Чевы

Сам: $A (0; 0)$ , $B (0; 6)$ , $C (6; 0)$

$C_{1} (0; 2)$ , $A_{1} (3; 3)$ , $B_{1} (4; 0)$ . Пересекаются ли чевианы в одной точке? нет: $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \neq = 1$
$C_{1} (0; 3)$ , $A_{1} (2; 4)$ . Найдите $B_{1}$ на $A C$ , чтобы чевианы пересеклись. $B_{1} (2; 0)$
$C_{1} (0; 3)$ , $A_{1} (4; 2)$ . Где прямая $C_{1} A_{1}$ пересечёт прямую $A C$ ? $B_{1} (12; 0)$

2 мин · практика
Образец: отношения на наклонной стороне BC считаем по клеткам по горизонтали: B → A1 — 4 клетки, A1 → C — 8 клеток. Последний щелчок — чевианы на чертеже: все три проходят через узел (3; 3).
1) AC1 : C1B = 2 : 4, A1 — середина BC, CB1 : B1A = 2 : 4 ⇒ произведение 1/4 ≠ 1 — не пересекаются в одной точке.
2) AC1/C1B = 1, BA1/A1C = 2 : 4 = 1/2 ⇒ CB1/B1A = 2 ⇒ B1A = 2, B1(2; 0).
3) Прямая через (0; 3) и (4; 2): y = 3 − x/4, при y = 0 x = 12. Проверка Менелаем: 1 · 2 · (6/12) = 1 ✓. Нарисовать в тетради и проверить линейкой.

R02.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{A _{1} C}{B A _{1}} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$	нарушен обход: после $B$ идёт $B A_{1}$	$A \to C_{1} \to B \to A_{1} \to C \to B_{1} \to A$
$A K : K B = 1 : 2$ ⇒ $\frac{A K}{A B} = \frac{1}{2}$	дано отношение частей, а не части к целому	$\frac{A K}{K B} = \frac{1}{2}$ , $\frac{A K}{A B} = \frac{1}{3}$
Менелай для $△ A BC$ , секущая $C K$	секущая проходит через вершину $C$	$△ A BM$ : $C$ — не его вершина
«Произведение $= 1$ ⇒ чевианы пересекаются», одна точка на продолжении	это конфигурация Менелая	точки на одной прямой

1,5 мин · практика (ученики сами объясняют «почему», учитель открывает строку)
Строка 1: дробь A1C/BA1 «перевёрнута» — проверка: конец одной дроби совпадает с началом следующей. Строка 2: ловушка из разминки. Строка 3: в △ABC прямая CK проходит через вершину C — теорема неприменима; берём △ABM (образец 3).
Строка 4: при одной точке на продолжении равенство означает, что три точки лежат на одной прямой (обратная теорема Менелая), а прямые AA1, BB1, CC1 при этом в одной точке не пересекаются.

R02.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Чевианы — через одну точку, $A C_{1} : C_{1} B = 3 : 1$ , $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 2$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ .

$3 \cdot 2 \cdot x = 1$

$C B_{1} : B_{1} A = 1 : 6$

$\frac{B A _{1}}{A _{1} C} = \frac{1}{2}$ , поэтому $3 \cdot \frac{1}{2} \cdot x = 1$ , $C B_{1} : B_{1} A = 2 : 3$

б) $A M$ — медиана, $A K : K B = 1 : 2$ , $O = A M \cap C K$ . Найдите $A O : OM$ .

$△ A BM$ : $\frac{A K}{K B} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{MO}{O A} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{MO}{O A} = 1$ , $A O : OM = 1 : 2$

точка секущей — $C$ : $\frac{BC}{CM} = 2$ , $A O : OM = 1 : 1$

в) «Докажем, что медианы пересекаются в одной точке».

По теореме Чевы $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ , значит, медианы пересекаются в одной точке.

прямая теорема уже предполагает общую точку; нужна обратная теорема Чевы

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Перевёрнута вторая дробь: BA1/A1C = 1/2, а не 2. Верно: (3/2)·x = 1, x = 2/3, CB1 : B1A = 2 : 3.
б) Треугольник выбран верно, но в обходе после B идёт точка секущей на прямой BM — это C, а не M: BC/CM = 2. Ответ 1 : 1 (образец 3).
в) Логическая ошибка: применена прямая теорема (из «пересекаются» следует «= 1»), а доказать нужно обратное. Верно: середины лежат на сторонах, произведение равно 1 ⇒ по обратной теореме Чевы медианы пересекаются в одной точке.

R02.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаЧевианы — через одну точку, $A C_{1} : C_{1} B = 1 : 3$ , $B A_{1} : A_{1} C = 3 : 2$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ . $2 : 1$
базаЧевианы — через одну точку, $A_{1}$ — середина $BC$ , $A C_{1} : C_{1} B = 2 : 5$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ . $5 : 2$
базаЧевианы — через одну точку, $A B = 12$ , $A C_{1} = 4$ , $A_{1}$ — середина $BC$ , $A C = 9$ . Найдите $A B_{1}$ . $3$

базаПрямая пересекает $A B$ в $C_{1}$ , $BC$ в $A_{1}$ , продолжение $C A$ в $B_{1}$ ; $A C_{1} : C_{1} B = 1 : 2$ , $B A_{1} : A_{1} C = 3 : 1$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ . $2 : 3$
база $A C_{1} : C_{1} B = 2 : 1$ , $B A_{1} : A_{1} C = 3 : 1$ , $C B_{1} : B_{1} A = 1 : 6$ . Пересекаются ли $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ в одной точке? да
базаТот же вопрос: $3 : 4$ , $2 : 1$ , $1 : 2$ . нет

R02.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A M$ — медиана $△ A BC$ , $K \in A M$ , $A K : K M = 1 : 2$ ; прямая $B K$ пересекает $A C$ в точке $P$ . Найдите $A P : PC$ . $1 : 4$
повыш. $K \in A B$ , $A K : K B = 1 : 2$ ; $L \in BC$ , $B L : L C = 2 : 1$ ; $O = A L \cap C K$ . Найдите $S_{A OC} : S_{A BC}$ . $1 : 5$
повыш.Вневписанные окружности касаются сторон $BC$ , $C A$ , $A B$ в точках $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ ; $B A_{1} = p - c$ , $C B_{1} = p - a$ , $A C_{1} = p - b$ . Докажите: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ пересекаются в одной точке. $\frac{p - b}{p - a} \cdot \frac{p - c}{p - b} \cdot \frac{p - a}{p - c} = 1$
из жизниТропинки на треугольном поле $A BC$ ведут от $A$ к середине $M$ края $BC$ и от $C$ к точке $K$ края $A B$ , $A K : K B = 1 : 4$ . Колодец $O$ — на их пересечении, $A O = 150$ м. Найдите длину тропинки $A M$ . $450$ м

R02.4 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 25

Вторая часть: отношения отрезков и площадей

ОГЭ 25 На стороне $BC$ треугольника $A BC$ отмечена точка $K$ , $B K : K C = 3 : 5$ ; $BM$ — медиана, $P = A K \cap BM$ . Найдите отношение площади $△ A BP$ к площади четырёхугольника $K PMC$ .

$△ BCM$ , секущая $A K$ : $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{MP}{PB} = 1$

$BP : PM = 6 : 5$ , $S_{A BP} = \frac{6}{11} \cdot \frac{S}{2} = \frac{3 S}{11}$

$S_{BP K} = \frac{3 S}{8} - \frac{3 S}{11} = \frac{9 S}{88}$

$S_{K PMC} = \frac{S}{2} - \frac{9 S}{88} = \frac{35 S}{88}$ ⇒ $24 : 35$

ОГЭ 23 Медиана $A M$ треугольника $A BC$ и отрезок $C K$ ( $K \in A B$ , $A K : K B = 1 : 3$ ) пересекаются в точке $O$ , $A M = 15$ . Найдите $A O$ .

$△ A BM$ , секущая $K C$ :
$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{MO}{O A} = 1$

$A O : OM = 2 : 3$ , $A O = 6$

3 мин · практика
25) △BCM и секущая AK: K на BC, P на BM, A на продолжении CM за M; CA/AM = 2. (3/5)·2·(MP/PB) = 1 ⇒ MP/PB = 5/6. S(ABM) = S/2, S(ABP) = 6/11 · S/2 = 3S/11. S(ABK) = 3S/8 (BK = 3/8 BC), S(BPK) = 3S/8 − 3S/11 = 9S/88. S(KPMC) = S(BMC) − S(BPK) = 44S/88 − 9S/88 = 35S/88. Ответ: 24 : 35 (проверено координатами).
На ОГЭ теоремы Чевы и Менелая можно применять со ссылкой, но в решении на 2 балла нужно назвать треугольник и секущую и записать равенство обходом контура. Альтернатива без Менелая — прямая через M параллельно AK (теорема о пропорциональных отрезках).
23) (1/3)·2·(MO/OA) = 1 ⇒ MO/OA = 3/2 ⇒ AO = 15 · 2/5 = 6.

R02.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Чевианы — через одну точку; $A C_{1} : C_{1} B = 3 : 2$ , $B A_{1} : A_{1} C = 4 : 3$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ . $1 : 2$
$A M$ — медиана, $A K : K B = 2 : 1$ ( $K \in A B$ ), $O = A M \cap C K$ . Найдите $A O : OM$ . $4 : 1$
Пересекаются ли чевианы в одной точке, если отношения $2 : 3$ , $3 : 4$ , $2 : 1$ ? да
$C_{1}$ — середина $A B$ , $B A_{1} : A_{1} C = 2 : 1$ , $O = A A_{1} \cap C C_{1}$ , $BO \cap A C = B_{1}$ . Найдите $A B_{1} : B_{1} C$ . $2 : 1$

Вариант 2

Чевианы — через одну точку; $A C_{1} : C_{1} B = 5 : 2$ , $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 5$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ . $2 : 1$
$A M$ — медиана, $A K : K B = 3 : 1$ ( $K \in A B$ ), $O = A M \cap C K$ . Найдите $A O : OM$ . $6 : 1$
Пересекаются ли чевианы в одной точке, если отношения $1 : 2$ , $4 : 3$ , $2 : 1$ ? нет
$A C_{1} : C_{1} B = 1 : 2$ , $A_{1}$ — середина $BC$ , $O = A A_{1} \cap C C_{1}$ , $BO \cap A C = B_{1}$ . Найдите $A B_{1} : B_{1} C$ . $1 : 2$

4 мин · практика
Вариант 1: 1) (3/2)(4/3)x = 1 ⇒ x = 1/2: 1 : 2. 2) △ABM: 2·2·(MO/OA) = 1 ⇒ AO : OM = 4 : 1. 3) (2/3)(3/4)·2 = 1 ⇒ да. 4) Чева: 1·2·(CB1/B1A) = 1 ⇒ CB1 : B1A = 1 : 2 ⇒ AB1 : B1C = 2 : 1.
Вариант 2: 1) (5/2)(1/5)x = 1 ⇒ x = 2: 2 : 1. 2) 3·2·(MO/OA) = 1 ⇒ AO : OM = 6 : 1. 3) (1/2)(4/3)·2 = 4/3 ≠ 1 ⇒ нет. 4) (1/2)·1·(CB1/B1A) = 1 ⇒ CB1 : B1A = 2 : 1 ⇒ AB1 : B1C = 1 : 2.
Все ответы проверены вычислением (координаты). Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3». В задании 4 — требовать ответ AB1 : B1C, а не CB1 : B1A (порядок букв!). Взаимопроверка по ответам (по щелчку).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем конфигурация Чевы отличается от конфигурации Менелая?
Как выбрать треугольник для теоремы Менелая?
Когда нужна обратная теорема?

Домашнее задание

Чевианы — через одну точку, $A C_{1} : C_{1} B = 4 : 1$ , $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 2$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ .
$A M$ — медиана, $A K : K B = 2 : 3$ , $O = A M \cap C K$ . Найдите $A O : OM$ .
* Докажите: высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_metricheskie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-026 · Теоремы Чевы и Менелая

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Подобие треугольников», 12 ч · урок 4/12 · тип Н
Единицы → слайды	R02.4 «Теоремы Чевы и Менелая» → 2, 4–21 · повторение (отношения отрезков и площадей, медианы, биссектриса, касательные) → 3
Результаты	ПР-6 (использовать теоремы Чевы и Менелая при решении задач) → 4–21
Вне урока	гомотетия — GEOM9U-027 (R02.5); теоремы о хордах и секущих — GEOM9U-024, GEOM9U-025; точки Жергонна и Нагеля — только как задачи (сл. 8, 18)
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Теоремы Чевы и Менелая

Сегодня вы научитесь

Доказывать теоремы

Проверять конфигурации

Находить отношения

Решать задачи ОГЭ

Отношения отрезков и площадей

Как записывать отношения

Три чевианы через одну точку

Признак: чевианы пересекаются в одной точке

Найдите третье отношение

Образец: AA1​, BB1​, CC1​ пересекаются в одной точке. Найдите CB1​:B1​A.

Сам (чевианы — через одну точку)

Докажите, что чевианы пересекаются

Образец: вписанная окружность касается сторон в A1​, B1​, C1​. Докажите: AA1​, BB1​, CC1​ пересекаются в одной точке.

Сам: докажите

Три точки на одной прямой

Признак: три точки лежат на одной прямой

Одна формула — две конфигурации

Чева

Менелай

В каком отношении точка делит медиану

Образец: AM — медиана, AK:KB=1:2, O=AM∩CK. Найдите AO:OM.

Сам

Сначала Чева, потом Менелай

Образец: A1​ — середина BC, O=AA1​∩CC1​, BO∩AC=B1​. Найдите AB1​:B1​C и BO:OB1​.

Сам (обозначения образца)

Проверяем по клеткам

Образец: A(0;0), B(0;6), C(12;0); C1​(0;4), A1​(4;4), B1​(6;0). Пересекаются ли AA1​, BB1​, CC1​ в одной точке?

Сам: A(0;0), B(0;6), C(6;0)

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Чевианы — через одну точку, AC1​:C1​B=3:1, BA1​:A1​C=1:2. Найдите CB1​:B1​A.

б) AM — медиана, AK:KB=1:2, O=AM∩CK. Найдите AO:OM.

в) «Докажем, что медианы пересекаются в одной точке».

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Вторая часть: отношения отрезков и площадей

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-026 · Теоремы Чевы и Менелая

Образец: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ пересекаются в одной точке. Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ .

Образец: вписанная окружность касается сторон в $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ . Докажите: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ пересекаются в одной точке.

Образец: $A M$ — медиана, $A K : K B = 1 : 2$ , $O = A M \cap C K$ . Найдите $A O : OM$ .

Образец: $A_{1}$ — середина $BC$ , $O = A A_{1} \cap C C_{1}$ , $BO \cap A C = B_{1}$ . Найдите $A B_{1} : B_{1} C$ и $BO : O B_{1}$ .

Образец: $A (0; 0)$ , $B (0; 6)$ , $C (12; 0)$ ; $C_{1} (0; 4)$ , $A_{1} (4; 4)$ , $B_{1} (6; 0)$ . Пересекаются ли $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ в одной точке?

Сам: $A (0; 0)$ , $B (0; 6)$ , $C (6; 0)$

а) Чевианы — через одну точку, $A C_{1} : C_{1} B = 3 : 1$ , $B A_{1} : A_{1} C = 1 : 2$ . Найдите $C B_{1} : B_{1} A$ .

б) $A M$ — медиана, $A K : K B = 1 : 2$ , $O = A M \cap C K$ . Найдите $A O : OM$ .