Подобие треугольников · урок 3 из 12

Применение теорем о хордах, секущих и касательной

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9U-025

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие треугольников» (12 ч), урок 3/12, единица R02.3 «Применение при решении геометрических задач». Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · опора (три теоремы) 2,5 · степень точки 3 · обратная теорема 2,5 · вывод формулы радиуса по хорде и стреле 2 · схема 1,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2 · ОГЭ 2 · самостоятельная 5 · итог 1.
Если не успеваете: задание 4 повышенного уровня и третье «сам» на слайде с доказательством — в ДЗ; теорию (степень точки, обратную теорему) не сокращать — на них опираются уроки о Чеве и Менелае и задачи ОГЭ 25.

R02.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать теорему

по конфигурации: две хорды, две секущие, касательная и секущая

Считать через радиус

степень точки $∣ d^{2} - R^{2} ∣$ связывает отрезки с расстоянием до центра

Доказывать

равенство отрезков и то, что четыре точки лежат на одной окружности

Решать практические задачи

арка, обломок колеса, дальность горизонта; ОГЭ 16 и 25

повторение: GEOM9U-024

Разминка · устно

Вспоминаем три теоремы

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ : $A E = 2$ , $EB = 6$ , $CE = 3$ . $E D$ ? $4$
На рисунке $P A = 4$ , $PB = 9$ . Найдите $PT$ . $6$
$P A = 3$ , $A B = 5$ . Чему равно $P A \cdot PB$ ? $24$
Касательная к окружности перпендикулярна… радиусу в точке касания
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, … равны
$x^{2} = 2 \cdot 18$ . Найдите $x > 0$ . $6$

R02.2 → R02.3

Опора · три теоремы

Хорды, секущие, касательная

Две хорды

A E

\cdot

EB

=

CE

\cdot

E D

$△ A EC \sim △ D EB$ — по двум углам

Две секущие

P A \cdot PB

=

PC \cdot P D

отрезки от точки $P$ до обеих точек пересечения

Касательная и секущая

P T^{2}

=

P A \cdot PB

$△ PT A \sim △ PBT$ — угол между касательной и хордой

2,5 мин · теория
Сводка доказанного на прошлом уроке. Цвет отрезка на чертеже совпадает с цветом в формуле.
Общая идея: во всех трёх случаях из точки (внутри или вне круга) берём отрезки до обеих точек пересечения прямой с окружностью, и произведение не зависит от выбора прямой.
Вопрос классу: почему касательная — «предельный случай» секущей? (Точки A и B сливаются в T: $P A \cdot PB \to PT \cdot PT$ .)
Доказательства — подобие: хорды — $△ A EC \sim △ D EB$ (вписанные углы на одной дуге и вертикальные), секущие — $△ P A D \sim △ PCB$ , касательная — $△ PT A \sim △ PBT$ ( $∠ PT A = ∠ PBT$ — угол между касательной и хордой равен вписанному).

R02.3

Образец → сам · две хорды

Известна длина хорды — уравнение

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ ; $A E = 4$ , $EB = 9$ , $C D = 13$ . Найдите $CE$ и $E D$ ( $CE < E D$ ).

$CE = x$ , $E D = 13 - x$ $E$ лежит на $C D$

$x (13 - x) = 4 \cdot 9 = 36$ теорема о хордах

$x^{2} - 13 x + 36 = 0$ , $x = 4$ или $9$ ⇒ $CE = 4, E D = 9$

Сам

$A E = 5$ , $EB = 4$ , $CE = 2$ . Найдите $C D$ . $12$
$E$ — середина $C D$ , $A E = 4$ , $EB = 16$ . Найдите $C D$ . $16$
Диаметр $A B ⊥ C D$ в точке $E$ , $A E = 2$ , $EB = 8$ . Найдите $C D$ . $8$

R02.3

Образец → сам · касательная и секущая

Обратная задача: найти хорду

Образец: $PT$ — касательная, $PT = 12$ ; секущая $P A B$ , $P A = 8$ . Найдите хорду $A B$ .

$P T^{2} = P A \cdot PB$ теорема о касательной и секущей

$144 = 8 \cdot PB$ ⇒ $PB = 18$

$A B = PB - P A = 18 - 8 = 10$

Сам

$P A = 4$ , $A B = 12$ . Найдите касательную $PT$ . $8$
Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 3$ , $PB = 12$ , $PC = 4$ . Найдите $C D$ . $5$
$PT = 10$ , хорда $A B = 15$ . Найдите $P A$ . $5$

R02.3

Теорема · степень точки

Произведение отрезков через $d$ и $R$

Дано: окружность

(O; R)

, точка

P

вне её,

OP = d

; секущая

P A B

.
Доказать:

P A \cdot PB = d^{2} - R^{2}

.

1Прямая

PO

пересекает окружность в

M

и

N

секущая через центр:

MN

— диаметр

2

PM = d - R

,

PN = d + R

PM = PO - OM

,

PN = PO + ON

3

P A \cdot PB

= PM \cdot PN

теорема о двух секущих

4

P A \cdot PB = (d - R) (d + R) = d^{2} - R^{2}

= P T^{2}

внутри круга так же:

A E \cdot EB = R^{2} - d^{2}

3 мин · теория
Число $d^{2} - R^{2}$ называют степенью точки относительно окружности: оно положительно вне круга, равно 0 на окружности и отрицательно внутри. Произведение отрезков равно его модулю $∣ d^{2} - R^{2} ∣$ .
Проверка для касательной без теоремы: в прямоугольном $△ OTP$ ( $OT ⊥ PT$ ) $P T^{2} = O P^{2} - O T^{2} = d^{2} - R^{2}$ — по теореме Пифагора.
Точка внутри: диаметр через $E$ делится точкой $E$ на $R - d$ и $R + d$ , по теореме о хордах $A E \cdot EB = (R - d) (R + d) = R^{2} - d^{2}$ . Попросить ученика провести это рассуждение устно.
Ошибка: писать $d^{2} - R^{2}$ для точки внутри — получается отрицательное «произведение длин».

R02.3

Образец → сам · степень точки

Найдите расстояние до центра

Образец: $R = 7$ , хорда $A B$ проходит через точку $E$ , $A E = 5$ , $EB = 8$ . Найдите $OE$ .

$A E \cdot EB = R^{2} - O E^{2}$ степень точки, $E$ внутри

$40 = 49 - O E^{2}$ ⇒ $O E^{2} = 9$

$OE = 3$

Сам

$R = 5$ , $OP = 13$ . Найдите касательную $PT$ . $12$
$R = 6$ , $OE = 4$ ; хорда через $E$ делится ею в отношении $4 : 5$ . Найдите хорду. $9$
$R = 7$ , $OP = 11$ ; секущая $P A B$ , $P A = A B$ . Найдите $P A$ . $6$

R02.3

Теорема · обратная · доказательство

Когда четыре точки лежат на одной окружности

Дано: лучи из точки

P

;

A, B

на одном,

C, D

на другом;

P A \cdot PB = PC \cdot P D

.
Доказать:

A, B, D, C

лежат на одной окружности.

1

\frac{P A}{P D} = \frac{PC}{PB}

,

∠ P

— общийиз равенства произведений

2

△ P A C \sim △ P D B

⇒

∠ P A C = ∠ P D B

признак подобия по двум сторонам и углу

3

∠ B A C = 18 0^{\circ} - ∠ P A C

смежные углы

4

∠ B A C + ∠ B D C = 18 0^{\circ}

⇒

A B D C

вписанныйпризнак вписанного четырёхугольника

2,5 мин · теория
Формулировка: если прямые $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $P$ и $P A \cdot PB = PC \cdot P D$ (точка $P$ вне обоих отрезков или внутри обоих), то точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ лежат на одной окружности.
Окружность на чертеже пунктиром — её существование мы и доказываем. Равные углы $∠ P A C$ и $∠ P D B$ отмечены розовым.
Шаг 4 подробно: $∠ B D C = ∠ P D B$ (это один и тот же угол), значит $∠ B A C + ∠ B D C = 18 0^{\circ} - ∠ P A C + ∠ P A C = 18 0^{\circ}$ . Противоположные углы $A$ и $D$ четырёхугольника $A B D C$ в сумме $18 0^{\circ}$ — он вписанный (8 класс).
Случай точки внутри (хорды) доказывается так же: $△ A EC \sim △ D EB$ ⇒ $∠ C A B = ∠ C D B$ — отрезок $BC$ виден из $A$ и $D$ под равными углами.

R02.3

Образец → сам · задача на доказательство

Общая хорда делит касательную пополам

Образец: окружности пересекаются в $A$ и $B$ , $T_{1} T_{2}$ — общая касательная, прямая $A B$ пересекает её в $M$ . Докажите: $M T_{1} = M T_{2}$ .

$M T_{1}^{2} = M A \cdot MB$ касательная и секущая, окружность 1

$M T_{2}^{2} = M A \cdot MB$ то же, окружность 2

$M T_{1}^{2} = M T_{2}^{2}$ ⇒ $M T_{1} = M T_{2}$

Сам: составьте план

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A E = E D$ . Докажите: $CE = EB$ . $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ и $A E = E D$
Высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ $△ A BC$ пересекаются в $H$ . Докажите: $A H \cdot H A_{1} = B H \cdot H B_{1}$ . $A_{1}$ , $B_{1}$ — на окружности с диаметром $A B$
На сторонах угла $P$ : $P A = 2$ , $PB = 6$ , $PC = 3$ , $P D = 4$ . Докажите: $A, B, C, D$ на одной окружности. $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$ — обратная теорема

2,5 мин · практика
Образец: одно и то же произведение $M A \cdot MB$ «обслуживает» обе окружности. Следствие: прямая общей хорды проходит через середину общей касательной.
1) По теореме о хордах $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ ; так как $A E = E D \neq = 0$ , делим: $EB = CE$ .
2) $∠ A A_{1} B = ∠ A B_{1} B = 9 0^{\circ}$ ⇒ $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат на окружности с диаметром $A B$ . $A A_{1}$ и $B B_{1}$ — её хорды, пересекающиеся в $H$ ⇒ $A H \cdot H A_{1} = B H \cdot H B_{1}$ (для остроугольного треугольника; в тупоугольном $H$ вне круга — работает теорема о секущих).
3) $P A \cdot PB = 12 = PC \cdot P D$ , точка $P$ вне обоих отрезков ⇒ по обратной теореме $A$ , $B$ , $C$ , $D$ лежат на одной окружности.
Работа в парах: один пишет план, второй — обоснование каждого шага.

R02.3

Образец → сам · комбинированная задача

Окружность на катете как на диаметре

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , окружность с диаметром $A C$ пересекает $A B$ в $H$ ; $B H = 4$ , $A H = 5$ . Найдите $BC$ и $A C$ .

$BC ⊥ A C$ ⇒ $BC$ — касательная перпендикуляр к диаметру в его конце

$B C^{2} = B H \cdot B A = 4 \cdot 9 = 36$ , $BC = 6$

$A C = 81 - 36 = 35$ теорема Пифагора

Сам

Та же фигура: $BC = 10$ , $B H = 5$ . Найдите $A H$ . $15$
Та же фигура: $BC = 12$ , $A B = 18$ . Найдите $B H$ и $A H$ . $8$ и $10$
Окружность через $A$ и $C$ $△ A BC$ пересекает $B A$ в $K$ , $BC$ в $M$ ; $B K = 4$ , $B A = 9$ , $BM = 3$ . Найдите $BC$ . $12$

R02.3

Вывод · радиус по хорде и стреле

Формула для арок и обломков

Хорда

A B = 2 a

, стрела

h = MC

— высота дуги над серединой хорды.

1

C D

— диаметр,

C D ⊥ A B

,

A M = MB = a

диаметр через середину хорды перпендикулярен ей

2

MC

\cdot

M D

= A M \cdot MB

теорема о хордах

3

h (2 R - h) = a^{2}

M D = C D - MC

4

R = \frac{a ^{2} + h ^{2}}{2 h}

R02.3 · практика

Образец → сам · задача из жизни

Арка, колесо, горизонт

Образец: арка моста — дуга окружности, пролёт $24$ м, высота $4$ м. Найдите радиус дуги.

$a = 12$ , $h = 4$ половина пролёта и стрела

$R = \frac{144 + 16}{8} = 20$ м

Сам ( $R_{Земли} \approx 6400$ км)

Обломок колеса: хорда $30$ см, стрела $5$ см. Найдите диаметр колеса. $50$ см
Глаза наблюдателя на высоте $5$ м над морем. Как далеко горизонт? $\approx 8$ км
Фонарь маяка на высоте $45$ м. С какого расстояния его видно? $\approx 24$ км

R02.3

Схема-конспект · как выбрать теорему

Что дано → чем пользоваться

В задаче	Формула	Ключевое слово
две хорды пересекаются в $E$	$A E \cdot EB = CE \cdot E D$	отрезки одной хорды
две секущие из точки $P$	$P A \cdot PB = PC \cdot P D$	до обеих точек
касательная и секущая из $P$	$P T^{2} = P A \cdot PB$	квадрат касательной
известны $R$ и расстояние $d$ до центра	произведение $= ∣ d^{2} - R^{2} ∣$	степень точки
хорда $2 a$ и стрела $h$	$h (2 R - h) = a^{2}$	диаметр через середину
доказать: 4 точки на окружности	$P A \cdot PB = PC \cdot P D$ ⇒ …	обратная теорема

R02.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$P T^{2} = P A \cdot A B$	берут хорду, а нужна вся секущая от $P$	$P T^{2} = P A \cdot PB$ , $PB = P A + A B$
$A E \cdot CE = EB \cdot E D$	перемножают отрезки разных хорд	$A E \cdot EB = CE \cdot E D$
$PT = P A \cdot PB$	потерян квадрат касательной	$PT = P A \cdot PB$
$E$ внутри: $A E \cdot EB = d^{2} - R^{2}$	при $d < R$ это число отрицательно	$A E \cdot EB = R^{2} - d^{2}$

R02.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Секущая $P A B$ : $P A = 2$ , $PB = 8$ . Найдите касательную $PT$ .

$PT = P A \cdot PB = 16$

$P T^{2} = 16$ , $PT = 4$

б) $R = 5$ , $OE = 3$ , хорда через $E$ , $A E = 2$ . Найдите $EB$ .

$A E \cdot EB = O E^{2} = 9$

$EB = 4, 5$

$A E \cdot EB = R^{2} - O E^{2}$

$2 \cdot EB = 16$ , $EB = 8$

в) Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 4$ , $A B = 5$ , $PC = 3$ . Найдите $C D$ .

$4 \cdot 5 = 3 \cdot C D$

$C D = \frac{20}{3}$

$4 \cdot 9 = 3 \cdot P D$ , $P D = 12$

$C D = 12 - 3 = 9$

R02.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаХорды: $A E = 3$ , $EB = 8$ , $CE = 4$ . Найдите $E D$ . $6$
база $PT = 8$ , $P A = 4$ . Найдите $PB$ . $16$
базаСекущие: $P A = 5$ , $PB = 20$ , $PC = 4$ . Найдите $P D$ . $25$

база $P A = 2$ , $A B = 6$ . Найдите касательную $PT$ . $4$
база $R = 10$ , $OP = 26$ . Найдите касательную $PT$ . $24$
базаХорда $16$ , стрела $4$ . Найдите $R$ . $10$

R02.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A E : EB = 2 : 3$ , $CE = 4$ , $E D = 6$ . Найдите $A B$ . $10$
повыш.Касательная $PT = 12$ , секущая через центр, её внешняя часть $8$ . Найдите $R$ . $5$
повыш. $R = 5$ , $OP = 13$ , секущая $P A B$ с хордой $A B = 7$ . Найдите $P A$ . $9$
из жизниВ трубе диаметром $1$ м вода, ширина её поверхности $0, 8$ м. Какова глубина воды? $0, 2$ м или $0, 8$ м

R02.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 25

От одного числа — к полному решению

ОГЭ 16Через точку $A$ вне окружности проведены две прямые: одна касается окружности в точке $K$ , другая пересекает её в точках $B$ и $C$ ; $A B = 4$ , $A C = 64$ . Найдите $A K$ . $16$
ОГЭ 16Хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $P$ ; $BP = 15$ , $CP = 6$ , $D P = 10$ . Найдите $A P$ . $25$

ОГЭ 25 Окружность с центром на стороне $A C$ треугольника $A BC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $A B$ в точке $B$ . Найдите диаметр окружности, если $A B = 6$ , $A C = 9$ .

Прямая $A C$ проходит через центр: $D$ — вторая точка на $A C$ , $C D$ — диаметр

$A B^{2} = A D \cdot A C$ : $36 = 9 \cdot A D$ , $A D = 4$

$C D = 9 - 4 = 5$

R02.3

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Хорды: $A E = 6$ , $EB = 2$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $4$
$PT = 6$ , $P A = 3$ . Найдите хорду $A B$ . $9$
$R = 5$ , $OP = 13$ . Найдите $PT$ — касательную. $12$
Хорда $12$ , стрела $2$ . Найдите $R$ . $10$

Вариант 2

Хорды: $A E = 5$ , $EB = 6$ , $E D = 3$ . Найдите $CE$ . $10$
$PT = 10$ , $P A = 5$ . Найдите хорду $A B$ . $15$
$R = 8$ , $OP = 17$ . Найдите $PT$ — касательную. $15$
Хорда $24$ , стрела $8$ . Найдите $R$ . $13$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие отрезки перемножают в теореме о секущих?
Что такое степень точки и когда она отрицательна?
Как доказать, что четыре точки лежат на одной окружности?

Домашнее задание

Секущие: $P A = 4$ , $A B = 5$ , $PC = 3$ . Найдите $C D$ .
Окружность с диаметром $A C$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ) пересекает $A B$ в $H$ ; $A H = 9$ , $B H = 16$ . Найдите $BC$ и $A C$ .
* Две окружности пересекаются в $A$ и $B$ ; точка $M$ на прямой $A B$ вне отрезка, $MC D$ и $MEF$ — секущие к ним. Докажите: $C, D, E, F$ на одной окружности.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_metricheskie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-025 · Применение при решении геометрических задач

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Подобие треугольников», 12 ч · урок 3/12 · тип Н
Единицы → слайды	R02.3 «Применение при решении геометрических задач» → 2, 4–21 · повторение R02.2 (GEOM9U-024) → 3, 4
Результаты	«Доказывать и применять теоремы о произведении отрезков хорд, о произведении отрезков секущих, о квадрате касательной» → 4–21
Вне урока	теоремы Чевы и Менелая — GEOM9U-026; гомотетия — GEOM9U-027; термин «радикальная ось» не вводится (сл. 10 — как задача)
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Применение теорем о хордах, секущих и касательной

Сегодня вы научитесь

Выбирать теорему

Считать через радиус

Доказывать

Решать практические задачи

Вспоминаем три теоремы

Хорды, секущие, касательная

Две хорды

Две секущие

Касательная и секущая

Известна длина хорды — уравнение

Образец: хорды AB и CD пересекаются в E; AE=4, EB=9, CD=13. Найдите CE и ED (CE<ED).

Сам

Обратная задача: найти хорду

Образец: PT — касательная, PT=12; секущая PAB, PA=8. Найдите хорду AB.

Сам

Произведение отрезков через d и R

Найдите расстояние до центра

Образец: R=7, хорда AB проходит через точку E, AE=5, EB=8. Найдите OE.

Сам

Когда четыре точки лежат на одной окружности

Общая хорда делит касательную пополам

Образец: окружности пересекаются в A и B, T1​T2​ — общая касательная, прямая AB пересекает её в M. Докажите: MT1​=MT2​.

Сам: составьте план

Окружность на катете как на диаметре

Образец: ∠C=90∘, окружность с диаметром AC пересекает AB в H; BH=4, AH=5. Найдите BC и AC.

Сам

Формула для арок и обломков

Арка, колесо, горизонт

Образец: арка моста — дуга окружности, пролёт 24 м, высота 4 м. Найдите радиус дуги.

Сам (RЗемли​≈6400 км)

Что дано → чем пользоваться

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Секущая PAB: PA=2, PB=8. Найдите касательную PT.

б) R=5, OE=3, хорда через E, AE=2. Найдите EB.

в) Секущие PAB и PCD: PA=4, AB=5, PC=3. Найдите CD.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

От одного числа — к полному решению

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-025 · Применение при решении геометрических задач

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ ; $A E = 4$ , $EB = 9$ , $C D = 13$ . Найдите $CE$ и $E D$ ( $CE < E D$ ).

Образец: $PT$ — касательная, $PT = 12$ ; секущая $P A B$ , $P A = 8$ . Найдите хорду $A B$ .

Произведение отрезков через $d$ и $R$

Образец: $R = 7$ , хорда $A B$ проходит через точку $E$ , $A E = 5$ , $EB = 8$ . Найдите $OE$ .

Образец: окружности пересекаются в $A$ и $B$ , $T_{1} T_{2}$ — общая касательная, прямая $A B$ пересекает её в $M$ . Докажите: $M T_{1} = M T_{2}$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , окружность с диаметром $A C$ пересекает $A B$ в $H$ ; $B H = 4$ , $A H = 5$ . Найдите $BC$ и $A C$ .

Образец: арка моста — дуга окружности, пролёт $24$ м, высота $4$ м. Найдите радиус дуги.

Сам ( $R_{Земли} \approx 6400$ км)

а) Секущая $P A B$ : $P A = 2$ , $PB = 8$ . Найдите касательную $PT$ .

б) $R = 5$ , $OE = 3$ , хорда через $E$ , $A E = 2$ . Найдите $EB$ .

в) Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 4$ , $A B = 5$ , $PC = 3$ . Найдите $C D$ .