Подобие треугольников · урок 2 из 12

Отрезки хорд и секущих, квадрат касательной

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9U-024 · единица R02.2

1 мин · теория (орг. момент, тема, план урока)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие треугольников» (12 ч), урок 2/12, тип Н, единица R02.2 «Теорема о произведении отрезков хорд, теоремы о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной».
Теория (12,5): титул 1 · цели 1 · теорема о хордах 3 · теорема о касательной 3 · теорема о секущих 2 · схема-конспект 2,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 6 = 15 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Опора — урок 23 (хорды и подобные треугольники в окружности): вписанные углы, угол между касательной и хордой, признак подобия по двум углам.
Если не успеваете: третье задание «сам» в образцах 5–6 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R02.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать

теоремы о хордах, о секущих и о квадрате касательной (ПР-8)

Видеть подобие

находить пару подобных треугольников по вписанным углам (ПР-7)

Вычислять

отрезки хорд, секущих и касательных, составляя уравнение (ПР-8)

Применять

радиус арки и дальность горизонта — по тем же теоремам (ПР-19)

1 мин · теория
ПР-8: «Доказывать и применять теоремы о произведении отрезков хорд, о произведении отрезков секущих, о квадрате касательной». ПР-7: вписанные углы и угол между касательной и хордой — инструмент доказательств. ПР-19: практические модели с подобием.
Вид деятельности ФРП R02: «Доказывать теоремы о произведении отрезков хорд, теоремы о произведении отрезков секущих, теорему о квадрате касательной… Применять данные теоремы при решении геометрических задач».

повторение: урок 23

Разминка · устно

Углы в окружности и подобие

Дуга $BC$ без точки $A$ — $10 0^{\circ}$ . Найдите $∠1$ $5 0^{\circ}$
$∠2$ — между касательной и хордой $CB$ $5 0^{\circ}$
Найдите $∠3 = ∠ BOC$ $10 0^{\circ}$
$△ A BC \sim △ K L M$ , $A B = 6$ , $K L = 4$ , $BC = 9$ . $L M$ ? $6$
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ⇒ какое равенство произведений? $a d = b c$
$x (x + 5) = 36$ , $x > 0$ $x = 4$

2 мин · практика
1) Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается: 100° : 2 = 50°.
2) Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними (дуга CB) — тоже 50°. Это ключ к теореме о касательной.
3) Центральный угол равен дуге: 100°.
4) k = AB : KL = 3/2 ⇒ LM = BC : k = 9 · 2/3 = 6.
5) Основное свойство пропорции: ad = bc — именно так из подобия получаются «произведения отрезков».
6) x² + 5x − 36 = 0 ⇔ (x + 9)(x − 4) = 0 ⇒ x = 4 (x = −9 — не длина). Такие уравнения появятся в задачах на секущие.

R02.2

Теорема 1 · доказательство

Теорема о хордах: $A E \cdot EB = CE \cdot E D$

Дано: хорды

A B

и

C D

,

A B \cap C D = E

.
Доказать:

A E \cdot EB = CE \cdot E D

.

1

∠ C A B = ∠ C D B

вписанные, опираются на одну дугу

CB

2

∠ A EC = ∠ D EB

вертикальные

3

△ A EC

\sim

△ D EB

по двум углам (п. 1–2)

4

\frac{A E}{D E} = \frac{CE}{BE}

⇒

A E \cdot EB = CE \cdot E D

соответственные стороны пропорциональны

3 мин · теория
Вопрос классу перед доказательством: какие треугольники на чертеже могут быть подобными? (Соединяем A с C и D с B.) Почему углы при A и D равны?
Соответствие вершин: A ↔ D, E ↔ E, C ↔ B. Ошибка — записать △AEC ∼ △BED: тогда пропорция «не та» и произведения перепутаются.
Словами: произведения отрезков, на которые точка пересечения делит каждую из хорд, равны.
Вторая пара треугольников (△AED ∼ △CEB) даёт то же равенство — можно предложить сильным ученикам.

R02.2

Образец → сам · отрезки хорд

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$

Образец: $A E = 3$ , $EB = 8$ , $C D = 10$ . Найдите $CE$ и $E D$ .

$CE = x$ : $x (10 - x) = 3 \cdot 8$ теорема о хордах

$x^{2} - 10 x + 24 = 0$ ⇒ $x = 4$ или $x = 6$

$CE = 4, E D = 6$ или наоборот оба подходят

Сам

$A E = 5$ , $EB = 4$ , $CE = 2$ . Найдите $E D$ . $10$
$CE : E D = 1 : 3$ , $A E = 6$ , $EB = 8$ . Найдите $C D$ . $16$
$E$ — середина $A B = 12$ , $CE = 4$ . Найдите $C D$ . $13$

R02.2

Теорема 2 · доказательство

Квадрат касательной: $M T^{2} = M A \cdot MB$

Дано:

MT

— касательная,

T

— точка касания; секущая пересекает окружность в

A

и

B

.
Доказать:

M T^{2} = M A \cdot MB

.

1

∠ MT A = \frac{1}{2} ⌣ T A

угол между касательной и хордой

2

∠ MBT = \frac{1}{2} ⌣ T A

⇒ углы равнывписанный угол

TB A

опирается на ту же дугу

3

△ MT A

\sim

△ MBT

по двум углам: п. 2 и общий

∠ M

4

\frac{MT}{MB} = \frac{M A}{MT}

⇒

M T^{2} = M A \cdot MB

соответственные стороны пропорциональны

3 мин · теория
Дуга TA — та, что лежит внутри угла MTA (не содержит B). Вписанный угол TBA опирается на неё же — отсюда равенство углов при T и при B.
Соответствие: M ↔ M, T ↔ B, A ↔ T. Треугольники вложены: меньший (фиолетовый) — внутри большого (розовый); это и путает учеников, поэтому выписываем вершины по порядку.
Словами: квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть.
Следствие (сильным): если секущая проходит через центр и OM = d, то MA = d − R, MB = d + R и MT² = d² − R² — это теорема Пифагора для △OTM.

R02.2

Образец → сам · касательная и секущая

$MT$ — касательная, секущая $M A B$ ( $A$ между $M$ и $B$ )

Образец: $M A = 4$ , $A B = 5$ . Найдите $MT$ .

$MB = M A + A B = 9$ вся секущая, а не $A B$

$M T^{2} = M A \cdot MB = 4 \cdot 9 = 36$ теорема 2

$MT = 6$

Сам

$MT = 8$ , $M A = 4$ . Найдите $A B$ . $12$
$MT = 6$ , $A B = 9$ . Найдите $M A$ . $3$
Секущая проходит через центр $O$ , $MT = 12$ , $M A = 8$ . Найдите радиус. $5$

R02.2

Теорема 3 · доказательство

Две секущие из точки $M$ : $M A \cdot MB = MC \cdot M D$

Дано: секущие

M A B

и

MC D

(

A

,

C

— ближние точки).
Доказать:

M A \cdot MB = MC \cdot M D

.

1

∠ M D A = ∠ MBC

вписанные

∠ C D A

и

∠ A BC

опираются на дугу

A C

2

△ M A D

\sim

△ MCB

по двум углам: п. 1 и общий

∠ M

3

\frac{M A}{MC} = \frac{M D}{MB}

⇒

M A \cdot MB = MC \cdot M D

соответственные стороны пропорциональны

Второй способ: оба произведения равны

M T^{2}

по теореме 2.

R02.2

Образец → сам · две секущие

Из точки $M$ — секущие $M A B$ и $MC D$

Образец: $M A = 3$ , $A B = 5$ , $MC = 4$ . Найдите $C D$ .

$MB = 3 + 5 = 8$ вся секущая

$3 \cdot 8 = 4 \cdot M D$ ⇒ $M D = 6$ теорема 3

$C D = M D - MC = 2$

Сам

$M A = 2$ , $MB = 12$ , $MC = 3$ . Найдите $C D$ . $5$
$M A = A B$ , $MC = 4$ , $C D = 14$ . Найдите $M A$ . $6$
$M A = 5$ , $A B = 7$ , $MC = C D$ . Найдите $MC$ . $30$

R02.2

Схема-конспект · три теоремы

Одна идея: произведение отрезков от точки до окружности

Точка внутри: хорды

A E \cdot EB = CE \cdot E D

Касательная и секущая

M T^{2} = M A \cdot MB

Две секущие

M A \cdot MB = MC \cdot M D

Отрезки берём от точки до обеих точек пересечения; у касательной они совпадают:

MT \cdot MT

. Доказательство — подобие по вписанным углам.

R02.2

Образец → сам · комбинированная задача

Хорда через точку внутри круга и диаметр

Образец: $R = 13$ , $OE = 5$ , хорда $A B$ через $E$ , $A E = 9$ . Найдите $EB$ .

Диаметр $PQ$ через $E$ : $PE = 13 - 5 = 8$ , $EQ = 18$

$A E \cdot EB = PE \cdot EQ = 144$ теорема 1

$EB = 144 : 9 = 16$ $A B = 25 \leq 26$ ✓

Сам

$R = 7$ , $OE = 5$ , $A E = 3$ . Найдите $EB$ . $8$
$A B$ — диаметр, $A E = 2$ , $EB = 8$ , хорда $C D ⊥ A B$ через $E$ . Найдите $C D$ . $8$
$OM = 13$ , $R = 5$ , секущая $M A B$ , $M A = 9$ . Найдите $A B$ . $7$

R02.2

Образец → сам · задача на доказательство

Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$

Образец: $M$ на прямой $A B$ вне отрезка $A B$ ; $M T_{1}$ , $M T_{2}$ — касательные. Докажите: $M T_{1} = M T_{2}$ .

$M T_{1}^{2} = M A \cdot MB$ теорема 2, первая окружность

$M T_{2}^{2} = M A \cdot MB$ теорема 2, вторая окружность

$M T_{1}^{2} = M T_{2}^{2}$ ⇒ $M T_{1} = M T_{2}$ длины положительны

Сам: докажите

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A E = E D$ . Тогда $CE = EB$ . $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ , делим на $A E = E D$
Прямая $A B$ делит общую касательную $T_{1} T_{2}$ пополам. образец для $M = A B \cap T_{1} T_{2}$
Лучи $M A B$ и $MC D$ , $M A \cdot MB = MC \cdot M D$ . Тогда $A, B, C, D$ на одной окружности. $△ M A C \sim △ M D B$ ⇒ $∠ M A C = ∠ M D B$

2,5 мин · практика
Образец: одна и та же секущая MAB — для обеих окружностей; это и связывает две касательные. План: выписать теорему 2 дважды, сравнить.
1) AE · EB = CE · ED и AE = ED ⇒ EB = CE.
2) Пусть M — точка пересечения прямой AB с общей касательной T₁T₂. По образцу MT₁ = MT₂, значит M — середина T₁T₂.
3) (обратная теорема, повышенный) A, B на одном луче из M, C, D — на другом. MA/MC = MD/MB и общий угол M ⇒ △MAC ∼ △MDB (по двум сторонам и углу) ⇒ ∠MAC = ∠MDB. Тогда ∠BAC = 180° − ∠MAC = 180° − ∠BDC, т. е. в четырёхугольнике ABDC сумма противоположных углов A и D равна 180° ⇒ он вписанный.

R02.2 · практика

Образец → сам · задача из жизни

Как далеко видно с высоты

Образец: башня $h = 100$ м, $R \approx 6400$ км. Найдите дальность горизонта $d$ .

$HK$ — касательная: $d^{2} = h (h + 2 R)$ теорема 2

$d^{2} = 0, 1 \cdot 12800, 1 \approx 1280$ в км

$d \approx 35, 8$ км

Сам

Глаза на высоте $2$ м. Дальность горизонта? $\approx 5, 1$ км
Маяк виден с воды за $20$ км. Высота маяка? $\approx 31$ м
Арка моста: пролёт $24$ м, высота $6$ м. Радиус дуги? $15$ м

R02.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$M A \cdot A B = MC \cdot C D$	берут внутренние части, а нужна вся секущая	$M A \cdot MB = MC \cdot M D$
$A E \cdot E D = CE \cdot EB$	перемножают отрезки разных хорд	$A E \cdot EB = CE \cdot E D$
$MT = M A \cdot MB$	потерян квадрат: $MT$ — оба отрезка сразу	$M T^{2} = M A \cdot MB$
«углы равны — видно на рисунке»	нужна причина: вписанные углы на одну дугу	указать дугу и теорему

R02.2

Найди ошибку

Решение ученика: где ошибка?

Задача. Из точки $M$ проведены секущие $M A B$ и $MC D$ ; $M A = 4$ , $A B = 8$ , $MC = 6$ . Найдите $C D$ .

1)По теореме о секущих: $M A \cdot A B = MC \cdot C D$

2) $4 \cdot 8 = 6 \cdot C D$

3) $C D = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$

Ответ: $\frac{16}{3}$ .

Шаг 1: нужна вся секущая:

M A \cdot MB = MC \cdot M D

.

Верно:

4 \cdot 12 = 6 \cdot M D

,

M D = 8

,

C D = 2

.

R02.2

Задания с самопроверкой · база

Хорды пересекаются в $E$ , $MT$ — касательная

Б $A E = 6$ , $EB = 2$ , $CE = 3$ . $E D$ ? $4$
Б $M A = 2$ , $MB = 18$ . $MT$ ? $6$
Б $M A = 4$ , $MB = 9$ , $MC = 3$ . $M D$ ? $12$

Б $MT = 10$ , $M A = 5$ . $A B$ ? $15$
Б $A E = EB$ , $CE = 1$ , $E D = 16$ . $A B$ ? $8$
Б $M A = 3$ , $A B = 9$ , $MC = 4$ . $C D$ ? $5$

R02.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Отношения, уравнения, треугольник

ПХорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ : $A E : EB = 2 : 3$ , $CE = 4$ , $E D = 6$ . Найдите $A B$ . $10$
П $MT$ — касательная, секущая $M A B$ : $MT = 2 M A$ , $A B = 9$ . Найдите $MT$ . $6$
П $R = 6$ , $OM = 10$ , секущая $M A B$ , $A B = M A$ . Найдите $A B$ . $42$
ПОкружность через $B$ и $C$ пересекает стороны $A B$ и $A C$ треугольника $A BC$ в точках $K$ и $M$ : $A K = 4$ , $K B = 5$ , $A M = 3$ . Найдите $MC$ . $9$
ПТочка $E$ делит хорду $A B$ на отрезки $4$ и $9$ . Найдите наименьший возможный радиус окружности. $6, 5$

R02.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 23

Ответ — число, решение части 2 — с обоснованием

16. Через точку $M$ вне окружности проведены касательная $MT$ и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ ; $M A = 4$ , $MB = 16$ . Найдите $MT$ .

$MT = 8$

23. Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ ; $A B = 13$ , $A E = 4$ , $CE : E D = 1 : 4$ . Найдите $C D$ .

$EB = 9$ , $A E \cdot EB = 36$

$CE = x$ , $E D = 4 x$ : $4 x^{2} = 36$ , $x = 3$

$C D = 5 x = 15$

R02.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Хорды: $A E = 8$ , $EB = 3$ , $CE = 4$ . Найдите $E D$ . $6$
Касательная $MT$ , секущая $M A B$ : $M A = 3$ , $A B = 9$ . Найдите $MT$ . $6$
Секущие $M A B$ , $MC D$ : $M A = 4$ , $A B = 6$ , $MC = 5$ . Найдите $C D$ . $3$
$R = 7$ , $OE = 5$ , хорда через $E$ : $A E = 3$ . Найдите $A B$ . $11$

Вариант 2

Хорды: $A E = 9$ , $EB = 4$ , $CE = 6$ . Найдите $E D$ . $6$
Касательная $MT$ , секущая $M A B$ : $M A = 2$ , $A B = 6$ . Найдите $MT$ . $4$
Секущие $M A B$ , $MC D$ : $M A = 6$ , $A B = 4$ , $MC = 5$ . Найдите $C D$ . $7$
$R = 9$ , $OE = 6$ , хорда через $E$ : $A E = 5$ . Найдите $A B$ . $14$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие треугольники подобны в теореме о хордах?
Почему в теореме о секущих берут всю секущую?
Как касательная получается из секущей?

Домашнее задание

$MT = 12$ , $M A = 8$ : найдите $A B$ . Хорды: $A E = 6$ , $EB = 4$ , $C D = 11$ : найдите $CE$ .
Арка: пролёт $16$ м, высота $4$ м — радиус?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_metricheskie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-024 · Отрезки хорд и секущих, квадрат касательной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Подобие треугольников», 12 ч · урок 2/12 · тип Н
Единицы → слайды	R02.2 «Теорема о произведении отрезков хорд, теоремы о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной» → 2, 4–20 · повторение R02.1 (урок 23: вписанные углы, подобие) → 3, 4, 6, 8
Результаты	ПР-8 → 4–20 · ПР-7 → 3, 4, 6, 8, 12 · ПР-19 → 13, 20
Вне урока	применение при решении задач — GEOM9U-025; теоремы Чевы и Менелая — GEOM9U-026; гомотетия — R02.5
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Отрезки хорд и секущих, квадрат касательной

Сегодня вы научитесь

Доказывать

Видеть подобие

Вычислять

Применять

Углы в окружности и подобие

Теорема о хордах: AE⋅EB=CE⋅ED

Хорды AB и CD пересекаются в точке E

Образец: AE=3, EB=8, CD=10. Найдите CE и ED.

Сам

Квадрат касательной: MT2=MA⋅MB

MT — касательная, секущая MAB (A между M и B)

Образец: MA=4, AB=5. Найдите MT.

Сам

Две секущие из точки M: MA⋅MB=MC⋅MD

Из точки M — секущие MAB и MCD

Образец: MA=3, AB=5, MC=4. Найдите CD.

Сам

Одна идея: произведение отрезков от точки до окружности

Точка внутри: хорды

Касательная и секущая

Две секущие

Хорда через точку внутри круга и диаметр

Образец: R=13, OE=5, хорда AB через E, AE=9. Найдите EB.

Сам

Две окружности пересекаются в точках A и B

Образец: M на прямой AB вне отрезка AB; MT1​, MT2​ — касательные. Докажите: MT1​=MT2​.

Сам: докажите

Как далеко видно с высоты

Образец: башня h=100 м, R≈6400 км. Найдите дальность горизонта d.

Сам

Неверно → почему → верно

Решение ученика: где ошибка?

Хорды пересекаются в E, MT — касательная

Отношения, уравнения, треугольник

Ответ — число, решение части 2 — с обоснованием

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-024 · Отрезки хорд и секущих, квадрат касательной

Теорема о хордах: $A E \cdot EB = CE \cdot E D$

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$

Образец: $A E = 3$ , $EB = 8$ , $C D = 10$ . Найдите $CE$ и $E D$ .

Квадрат касательной: $M T^{2} = M A \cdot MB$

$MT$ — касательная, секущая $M A B$ ( $A$ между $M$ и $B$ )

Образец: $M A = 4$ , $A B = 5$ . Найдите $MT$ .

Две секущие из точки $M$ : $M A \cdot MB = MC \cdot M D$

Из точки $M$ — секущие $M A B$ и $MC D$

Образец: $M A = 3$ , $A B = 5$ , $MC = 4$ . Найдите $C D$ .

Образец: $R = 13$ , $OE = 5$ , хорда $A B$ через $E$ , $A E = 9$ . Найдите $EB$ .

Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$

Образец: $M$ на прямой $A B$ вне отрезка $A B$ ; $M T_{1}$ , $M T_{2}$ — касательные. Докажите: $M T_{1} = M T_{2}$ .

Образец: башня $h = 100$ м, $R \approx 6400$ км. Найдите дальность горизонта $d$ .

Хорды пересекаются в $E$ , $MT$ — касательная