Подобие треугольников · урок 1 из 12

Хорды и подобные треугольники в окружности

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9U-023

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие треугольников» (12 ч), урок 1/12, единица R02.1 «Хорды и подобные треугольники в окружности». Тип урока — Н.
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · повторение углов 2 · хорды 3 · секущие 3 · касательная 2,5 · сводка 1,5.
Практика (32): разминка 2,5 · образцы → сам 3,5 + 3 + 3 + 3 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 5 · итог 1.
На титуле: две пересекающиеся хорды и два подобных треугольника (бирюзовый и розовый) — главная картинка урока.
Граница урока: сегодня — подобие и пропорции. Теоремы о произведении отрезков хорд и секущих, о квадрате касательной формулируются и доказываются на следующем уроке (GEOM9U-024); сегодня они появляются только как следствия пропорций в задачах.

R02.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить равные углы

вписанные, вертикальные, угол между касательной и хордой

Доказывать подобие

треугольников при хордах, секущих и касательной

Составлять пропорции

сходственные стороны лежат против равных углов

Решать задачи

длины отрезков, отношение площадей; ОГЭ 16 и 24

повторение: 8 класс, урок 22

Разминка · устно

Углы в окружности и подобие

Вписанный угол опирается на дугу $10 0^{\circ}$ . Чему он равен? $5 0^{\circ}$
Два вписанных угла опираются на одну дугу, один равен $3 5^{\circ}$ . Второй? $3 5^{\circ}$
Вписанный угол опирается на диаметр. Чему он равен? $9 0^{\circ}$
Угол между касательной и хордой стягивает дугу $8 0^{\circ}$ . Угол? $4 0^{\circ}$

В четырёхугольнике, вписанном в окружность, $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $11 0^{\circ}$
$△ A BC \sim △ K L M$ , $k = 3$ , $A B = 4$ . Найдите $K L$ . $12$
Коэффициент подобия $3$ . Во сколько раз отличаются площади? в $9$ раз

R02.1 · 8 класс

Повторение · углы, связанные с окружностью

Откуда берутся равные углы

Вписанный угол

равен половине дуги, на которую опирается

На одну дугу

вписанные углы равны

Касательная и хорда

угол равен половине дуги внутри него

Вписанный четырёхугольник

$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$

Признак подобия

по двум углам

Подобные фигуры

$\frac{a _{1}}{a _{2}} = k$ , $\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}$

R02.1

Новый материал · пересекающиеся хорды

Две хорды дают два подобных треугольника

Хорды

A B

и

C D

пересекаются в точке

M

.

1

∠ C A B = ∠ C D B

вписанные, опираются на одну дугу

CB

2

∠ A MC = ∠ D MB

вертикальные углы

3

△ A MC

\sim

△ D MB

по двум углам

4

\frac{A M}{D M} = \frac{CM}{BM} = \frac{A C}{D B}

сходственные:

A \leftrightarrow D

,

C \leftrightarrow B

,

M \leftrightarrow M

3 мин · теория
Чертёж точный: единичная окружность, A(148°), C(215°), B(335°), D(32°) — точки идут по кругу A, C, B, D, поэтому хорды AB и CD пересекаются. Жёлтые дуги — равные вписанные углы при A и D; синие — вертикальные углы при M; двойные фиолетовые — третья пара: ∠ACD = ∠ABD (опираются на дугу AD).
Вопрос классу перед шагом 4: какие вершины соответствуют? Сходственные стороны лежат против равных углов: AM (против ∠C) ↔ DM (против ∠B), CM (против ∠A) ↔ BM (против ∠D).
Тизер следующего урока: из AM/DM = CM/BM получаем AM·MB = CM·MD — теорема о произведении отрезков хорд (GEOM9U-024).

R02.1

Образец → сам · хорды

Коэффициент подобия по двум отрезкам

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $M$ ; $A M = 6$ , $CM = 8$ , $A C = 7$ , $D M = 9$ . Найдите $MB$ и $B D$ .

$△ A MC \sim △ D MB$ по двум углам

$k = \frac{D M}{A M} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

$MB = k \cdot CM = 12$

$B D = k \cdot A C = \frac{3}{2} \cdot 7 = 10, 5$ $B D$ против $∠ M$ , как и $A C$

Проверка: $\frac{A M}{D M} = \frac{6}{9} = \frac{CM}{BM} = \frac{8}{12}$ ✓

Сам: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $M$

$A M = 3$ , $CM = 5$ , $A C = 4$ , $D M = 6$ . Найдите $MB$ и $B D$ . $10$ и $8$
$A C = 6$ , $B D = 9$ , $BM = 12$ . Найдите $CM$ . $8$
$A M = 2$ , $MB = 9$ , $CM = 3$ . Найдите $M D$ . $6$

3,5 мин · практика
Образец: △AMC ∼ △DMB (∠A = ∠D — вписанные на дугу CB, ∠M — вертикальные). k = DM : AM = 9 : 6 = 3/2; MB = 1,5·8 = 12, BD = 1,5·7 = 10,5. Проверка: 6·12 = 8·9 = 72.
Чертёж точный: M(0; 0), A на расстоянии 6, B — 12, C — 8, D — 9; угол AMC ≈ 57,9° (cos = 51/96 из треугольника 6, 8, 7); окружность проходит через все четыре точки (6·12 = 8·9).
1) k = DM/AM = 2: MB = 2·5 = 10, BD = 2·4 = 8 (треугольники 3, 5, 4 и 6, 10, 8 — прямоугольные).
2) k = BD/AC = 9/6 = 3/2; BM — сходственная с CM: CM = 12 : 1,5 = 8.
3) AM/DM = CM/BM: 2/MD = 3/9 ⇒ MD = 6. Проверка: 2·9 = 3·6 = 18.

R02.1

Новый материал · две секущие из одной точки

Секущие $P A B$ и $PC D$ : снова подобие

1

∠ P

— общий для

△ P A D

и

△ PCB

2

∠ P D A = ∠ PBC

вписанные

∠ A D C

и

∠ A BC

опираются на дугу

A C

3

△ P A D

\sim

△ PCB

по двум углам

4

\frac{P A}{PC} = \frac{P D}{PB} = \frac{A D}{CB}

A \leftrightarrow C

,

D \leftrightarrow B

3 мин · теория
Чертёж точный: P(0; 0), лучи под углом 44°, PA = 3, PB = 8, PC = 4, PD = 6 (3·8 = 4·6 — четыре точки на одной окружности). Треугольники PAD (бирюзовый) и PCB (розовый) перекрываются: отрезки AD и CB пересекаются.
Ловушка: пары «ближняя — ближняя» нет! Ближняя точка A одной секущей соответствует ближней C другой, но пропорция PA/PC = PD/PB «перекрёстная»: дальняя D ↔ дальняя B.
Вопрос классу: почему не годится пропорция PA/PC = PB/PD? (Она означала бы AC ∥ BD — теорема о пропорциональных отрезках, а здесь хорды AC и BD не параллельны.)
Ещё одна пара подобных: △PAC ∼ △PDB (∠PAC = 180° − ∠BAC = ∠BDC — вписанный четырёхугольник ABDC). Её разбираем на повышенном уровне.

R02.1

Образец → сам · две секущие

Перекрёстная пропорция

Образец: секущие $P A B$ и $PC D$ ; $P A = 5$ , $A B = 7$ , $PC = 4$ , $BC = 10$ . Найдите $P D$ и $A D$ .

$△ P A D \sim △ PCB$ $PB = 12$

$k = \frac{P A}{PC} = \frac{5}{4}$

$P D = \frac{5}{4} \cdot PB = 15$

$A D = k \cdot CB = \frac{5}{4} \cdot 10 = 12, 5$ $A D$ и $CB$ — против $∠ P$

$S_{P A D} : S_{PCB} = k^{2} = 25 : 16$

Сам: секущие $P A B$ и $PC D$

$P A = 2$ , $PB = 9$ , $PC = 3$ . Найдите $P D$ . $6$
$P A = 5$ , $PC = 4$ , $A D = 10$ . Найдите $CB$ . $8$
$P A = 4$ , $A B = 8$ , $PC = 6$ . Найдите $C D$ . $2$

3 мин · практика
Образец: PB = 5 + 7 = 12; k = PA/PC = 5/4; PD — сходственная с PB: PD = 12·5/4 = 15 (CD = 11); AD — сходственная с CB: AD = 10·5/4 = 12,5. Проверка: 5·12 = 4·15 = 60; площади — как k² = 25/16.
Чертёж точный: угол между секущими ≈ 51,3° (cos P = 0,625 — из треугольника PCB: 100 = 144 + 16 − 96 cos P); AD = 12,5 при этом получается автоматически (156,25 = 25 + 225 − 150·0,625).
1) k = PA/PC = 2/3; PD = (2/3)·9 = 6 (2·9 = 3·6). 2) k = 5/4; CB = AD : k = 10·4/5 = 8.
3) PB = 12; PD = (4/6)·12 = 8 ⇒ CD = PD − PC = 2. Ошибка-ловушка: ответ 8 — это PD, а спрашивают CD.

R02.1

Новый материал · касательная и секущая

Касательная $PT$ и секущая $P A B$

1

∠ P

— общий для

△ PT A

и

△ PBT

2

∠ PT A = ∠ PBT

угол между касательной и хордой

T A

и вписанный угол — половина дуги

T A

3

△ PT A

\sim

△ PBT

по двум углам

4

\frac{PT}{PB} = \frac{P A}{PT} = \frac{T A}{BT}

T \leftrightarrow B

,

A \leftrightarrow T

R02.1

Образец → сам · касательная и секущая

Отрезок касательной и хорда

Образец: $PT$ — касательная, $P A B$ — секущая; $P A = 4$ , $A B = 5$ , $TB = 7, 5$ . Найдите $PT$ и $T A$ .

$△ PT A \sim △ PBT$ по двум углам

$\frac{PT}{PB} = \frac{P A}{PT}$ , $P T^{2} = 4 \cdot 9$

$PT = 6$

$k = \frac{PT}{PB} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ от $△ PBT$ к $△ PT A$

$T A = k \cdot BT = \frac{2}{3} \cdot 7, 5 = 5$

Сам: $PT$ — касательная, $P A B$ — секущая

$P A = 2$ , $PB = 8$ . Найдите $PT$ . $4$
$PT = 6$ , $PB = 12$ , $TB = 10$ . Найдите $T A$ . $5$
$T A : TB = 2 : 3$ , $PT = 6$ . Найдите $PB$ и $P A$ . $9$ и $4$

R02.1

Образец → сам · доказательство

Биссектриса до окружности

$C L$ — биссектриса $△ A BC$ , $W$ — вторая точка её прямой на описанной окружности. Докажите: $C A \cdot CB = C L \cdot C W$ .

$∠ A C W = ∠ L CB$
$C L$ — биссектриса

$∠ C W A = ∠ CB A$
вписанные, на дугу $C A$

$△ C A W \sim △ C L B$
по двум углам

$\frac{C A}{C L} = \frac{C W}{CB}$ $\Rightarrow$ $C A \cdot CB = C L \cdot C W$ ∎ $A \leftrightarrow L$ , $W \leftrightarrow B$

Сам

$C A = 8$ , $CB = 6$ , $C L = 4$ . Найдите $C W$ . $12$
$∠ C = 12 0^{\circ}$ , $C A = 6$ , $CB = 3$ . Найдите $C L$ и $C W$ . $2$ и $9$
Докажите: $W A^{2} = W L \cdot W C$ . $△ W A L \sim △ W C A$

3 мин · практика
План доказательства: найти два треугольника, в которые входят CA, CB, CL, CW (по одной стороне каждого типа), — это △CAW и △CLB. Жёлтые дуги — половины угла C, двойные фиолетовые — вписанные углы на дугу CA.
Чертёж точный: единичная окружность, A(205°), B(335°), C(110°); W — середина дуги AB, не содержащей C (270°); L — пересечение CW и AB; численно CA·CB = CL·CW ≈ 2,725.
1) CW = 8·6 : 4 = 12 (треугольник существует: cos(C/2) = 7/12).
2) Площадями: ½·6·3·sin 120° = ½·6·CL·sin 60° + ½·3·CL·sin 60° ⇒ 18 = 9·CL ⇒ CL = 2; CW = 18 : 2 = 9 (= CA + CB — красивый факт для угла 120°).
3) ∠WAL = ∠WAB = ∠WCB (вписанные на дугу WB) = ∠ACW (биссектриса); ∠W — общий ⇒ △WAL ∼ △WCA ⇒ WA/WC = WL/WA ⇒ WA² = WL·WC.

R02.1

Сводка · подобные треугольники в окружности

Конфигурация → пара → пропорция

Конфигурация	Подобны	Равные углы	Пропорция
хорды $A B$ , $C D$ — точка $M$	$△ A MC \sim △ D MB$	$∠ A = ∠ D$ , вертикальные	$\frac{A M}{D M} = \frac{CM}{BM}$
секущие $P A B$ , $PC D$	$△ P A D \sim △ PCB$	$∠ P$ общий, $∠ D = ∠ B$	$\frac{P A}{PC} = \frac{P D}{PB}$
касательная $PT$ , секущая $P A B$	$△ PT A \sim △ PBT$	$∠ P$ общий, $∠ PT A = ∠ B$	$\frac{PT}{PB} = \frac{P A}{PT}$
биссектриса $C L$ до точки $W$	$△ C A W \sim △ C L B$	половины $∠ C$ , $∠ W = ∠ B$	$\frac{C A}{C L} = \frac{C W}{CB}$

R02.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
хорды: $\frac{A M}{BM} = \frac{CM}{D M}$	равны $∠ A$ и $∠ D$ , значит $A \leftrightarrow D$	$\frac{A M}{D M} = \frac{CM}{BM}$
секущие: $\frac{P A}{PC} = \frac{PB}{P D}$	так было бы при $A C ∥ B D$	$\frac{P A}{PC} = \frac{P D}{PB}$
касательная: $\frac{T A}{TB} = \frac{P A}{PB}$	$T A$ сходственна $BT$ , а $P A$ — стороне $PT$	$\frac{T A}{TB} = \frac{PT}{PB}$
$S_{1} : S_{2} = k$	площади — в квадрате	$S_{1} : S_{2} = k^{2}$

R02.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $M$ ; $A M = 3$ , $MB = 8$ , $CM = 4$ . Найдите $M D$ .

$△ A MC \sim △ BM D$

$\frac{3}{8} = \frac{4}{M D}$ , $M D = \frac{32}{3}$

$△ A MC \sim △ D MB$ : $\frac{3}{M D} = \frac{4}{8}$ , $M D = 6$

б) Секущие $P A B$ и $PC D$ ; $P A = 2$ , $PB = 12$ , $PC = 3$ . Найдите $P D$ .

$\frac{P A}{PC} = \frac{PB}{P D}$

$\frac{2}{3} = \frac{12}{P D}$ , $P D = 18$

$\frac{P A}{PC} = \frac{P D}{PB}$ : $P D = 8$

в) $PT$ — касательная, $P A = 4$ , $PB = 16$ , $TB = 12$ . Найдите $T A$ .

$P T^{2} = 4 \cdot 16$ , $PT = 8$

$\frac{T A}{TB} = \frac{P A}{PB} = \frac{1}{4}$ , $T A = 3$

$\frac{T A}{TB} = \frac{PT}{PB} = \frac{1}{2}$ , $T A = 6$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Перепутано соответствие вершин (ошибка строки 1). Верно: 3/MD = 4/8 ⇒ MD = 6. Проверка: 3·8 = 4·6 = 24.
б) «Пропорция Фалеса» (строка 2). Верно: 2/3 = PD/12 ⇒ PD = 8; проверка 2·12 = 3·8 = 24. Ответ 18 к тому же невозможен: тогда PA·PB = 24 ≠ PC·PD = 54.
в) Первая строка верна, ошибка во второй (строка 3 таблицы). Верно: TA = 12·8/16 = 6. Проверка: cos P = (64 + 256 − 144)/256 = 0,6875; TA² = 64 + 16 − 64·0,6875 = 36 ✓.

R02.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаХорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $M$ ; $A M = 5$ , $CM = 10$ , $A C = 6$ , $D M = 4$ . Найдите $B D$ . $4, 8$
базаХорды пересекаются в $M$ ; $A C = 3$ , $B D = 6$ , $CM = 2$ . Найдите $BM$ . $4$
базаСекущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 3$ , $PB = 8$ , $PC = 4$ . Найдите $P D$ . $6$

базаСекущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 2$ , $PC = 3$ , $BC = 9$ . Найдите $A D$ . $6$
база $PT$ — касательная, $P A B$ — секущая, $P A = 1$ , $PB = 9$ . Найдите $PT$ . $3$
базаХорды пересекаются в $M$ ; $A C = 4$ , $B D = 6$ . Найдите $S_{A MC} : S_{D MB}$ . $4 : 9$

R02.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $M$ ; $A M = 4$ , $MB = 9$ , $C D = 12$ . Найдите $CM$ и $M D$ . $6$ и $6$
повыш. $PT = 6$ — касательная, $P A B$ — секущая, $A B = 5$ . Найдите $P A$ . $4$
повыш. $A BC D$ вписан в окружность, диагонали пересекаются в $M$ ; $A B = 6$ , $C D = 9$ , $A M = 4$ . Найдите $D M$ и $S_{A BM} : S_{D CM}$ . $6$ ; $4 : 9$
повыш.Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $M$ . Докажите: $A C \cdot BM = B D \cdot CM$ . $△ A MC \sim △ D MB$ : $\frac{A C}{D B} = \frac{CM}{BM}$

R02.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 24

Короткий ответ и доказательство

ОГЭ 16Хорды $A C$ и $B D$ окружности пересекаются в точке $P$ , $BP = 15$ , $CP = 6$ , $D P = 10$ . Найдите $A P$ . $25$
ОГЭ 16Через точку $A$ вне окружности проведены касательная $A B$ ( $B$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $C$ и $D$ , $A C = 4$ , $A D = 16$ . Найдите $A B$ . $8$

ОГЭ 24 Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ . Докажите, что $△ A CE \sim △ D BE$ .

$∠ C A B = ∠ C D B$ — вписанные, на дугу $CB$

$∠ A EC = ∠ D EB$ — вертикальные

$△ A CE \sim △ D BE$ по двум углам ∎

2,5 мин · практика
16-1) △APB ∼ △DPC (∠BAC = ∠BDC — на дугу BC, вертикальные углы при P): AP/DP = BP/CP ⇒ AP = 10·15 : 6 = 25. Проверка: 25·6 = 15·10 = 150.
16-2) △ABC ∼ △ADB (∠A общий, ∠ABC = ∠ADB — касательная и хорда BC): AB/AD = AC/AB ⇒ AB² = 4·16 = 64, AB = 8.
24) Критерии ОГЭ: 2 балла — доказательство верное, все шаги обоснованы (названо, на какую дугу опираются углы, и признак подобия); 1 балл — верная идея, но пропущено обоснование одного шага. «На рисунке видно» — 0 баллов.
Чертёж точный: точки на единичной окружности A(150°), C(205°), B(335°), D(25°).

R02.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $M$ ; $A M = 6$ , $MB = 4$ , $CM = 3$ . Найдите $M D$ . $8$
Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 4$ , $PB = 10$ , $PC = 5$ . Найдите $P D$ . $8$
$PT$ — касательная, $P A B$ — секущая, $P A = 2$ , $PB = 8$ . Найдите $PT$ . $4$
Хорды пересекаются в $M$ ; $A C = 5$ , $B D = 15$ . Найдите $S_{A MC} : S_{D MB}$ . $1 : 9$

Вариант 2

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $M$ ; $A M = 8$ , $MB = 3$ , $CM = 4$ . Найдите $M D$ . $6$
Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 3$ , $PB = 12$ , $PC = 4$ . Найдите $P D$ . $9$
$PT$ — касательная, $P A B$ — секущая, $P A = 3$ , $PB = 27$ . Найдите $PT$ . $9$
Хорды пересекаются в $M$ ; $A C = 6$ , $B D = 8$ . Найдите $S_{A MC} : S_{D MB}$ . $9 : 16$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие углы равны у треугольников при пересекающихся хордах?
Как найти сходственные стороны?
Почему $△ PT A \sim △ PBT$ ?

Домашнее задание

Хорды пересекаются в $M$ : $A M = 6$ , $MB = 10$ , $CM = 5$ , $A C = 7$ . Найдите $M D$ и $B D$ .
Секущие $P A B$ , $PC D$ : $P A = 6$ , $A B = 2$ , $PC = 4$ , $A D = 9$ . Найдите $P D$ и $BC$ .
* $PT$ — касательная, $P A B$ — секущая. Докажите: $T A \cdot PB = TB \cdot PT$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_metricheskie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-023 · Хорды и подобные треугольники в окружности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Подобие треугольников», 12 ч · урок 1/12 · тип Н
Единицы → слайды	R02.1 «Хорды и подобные треугольники в окружности» → 2–19 · повторение (8 класс: вписанные углы, подобие) → 3, 4
Результаты	ПР-7 (вписанные углы, угол между касательной и хордой в задачах) → 4–19 · подготовка ПР-8 → 5, 7, 9, 16
Вне урока	теоремы о произведении отрезков хорд и секущих, о квадрате касательной — GEOM9U-024
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Хорды и подобные треугольники в окружности

Сегодня вы научитесь

Находить равные углы

Доказывать подобие

Составлять пропорции

Решать задачи

Углы в окружности и подобие

Откуда берутся равные углы

Вписанный угол

На одну дугу

Касательная и хорда

Вписанный четырёхугольник

Признак подобия

Подобные фигуры

Две хорды дают два подобных треугольника

Коэффициент подобия по двум отрезкам

Образец: хорды AB и CD пересекаются в M; AM=6, CM=8, AC=7, DM=9. Найдите MB и BD.

Сам: хорды AB и CD пересекаются в M

Секущие PAB и PCD: снова подобие

Перекрёстная пропорция

Образец: секущие PAB и PCD; PA=5, AB=7, PC=4, BC=10. Найдите PD и AD.

Сам: секущие PAB и PCD

Касательная PT и секущая PAB

Отрезок касательной и хорда

Образец: PT — касательная, PAB — секущая; PA=4, AB=5, TB=7,5. Найдите PT и TA.

Сам: PT — касательная, PAB — секущая

Биссектриса до окружности

CL — биссектриса △ABC, W — вторая точка её прямой на описанной окружности. Докажите: CA⋅CB=CL⋅CW.

Сам

Конфигурация → пара → пропорция

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Хорды AB и CD пересекаются в M; AM=3, MB=8, CM=4. Найдите MD.

б) Секущие PAB и PCD; PA=2, PB=12, PC=3. Найдите PD.

в) PT — касательная, PA=4, PB=16, TB=12. Найдите TA.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Короткий ответ и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-023 · Хорды и подобные треугольники в окружности

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $M$ ; $A M = 6$ , $CM = 8$ , $A C = 7$ , $D M = 9$ . Найдите $MB$ и $B D$ .

Сам: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $M$

Секущие $P A B$ и $PC D$ : снова подобие

Образец: секущие $P A B$ и $PC D$ ; $P A = 5$ , $A B = 7$ , $PC = 4$ , $BC = 10$ . Найдите $P D$ и $A D$ .

Сам: секущие $P A B$ и $PC D$

Касательная $PT$ и секущая $P A B$

Образец: $PT$ — касательная, $P A B$ — секущая; $P A = 4$ , $A B = 5$ , $TB = 7, 5$ . Найдите $PT$ и $T A$ .

Сам: $PT$ — касательная, $P A B$ — секущая

$C L$ — биссектриса $△ A BC$ , $W$ — вторая точка её прямой на описанной окружности. Докажите: $C A \cdot CB = C L \cdot C W$ .

а) Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $M$ ; $A M = 3$ , $MB = 8$ , $CM = 4$ . Найдите $M D$ .

б) Секущие $P A B$ и $PC D$ ; $P A = 2$ , $PB = 12$ , $PC = 3$ . Найдите $P D$ .

в) $PT$ — касательная, $P A = 4$ , $PB = 16$ , $TB = 12$ . Найдите $T A$ .