Решение треугольников · урок 22 из 22 · обобщение и систематизация

Обобщение: решение треугольников

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9U-022

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Решение треугольников» (22 ч), урок 22/22, единицы R01.1–R01.9. Тип урока — О (обобщение и систематизация всей строки).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · карта темы 2 · полуокружность и приведение 2,5 · теоремы косинусов и синусов 2,5 · схема «что дано → как решать» 2 · сводка площадей 2.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 5 · итог 1.
На титуле: треугольник, вписанный в окружность, — главный чертёж темы (теорема синусов с 2R, площадь через синус).
Сквозной треугольник урока — 5, 7, 8 с углом 60°: в образце 2 находим сторону 7, в образце 5 — площадь и радиусы, в ОГЭ 23 — диагонали параллелограмма 5 и 8.

R01.1–R01.9

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Тригонометрия углов до $18 0^{\circ}$

значения, знаки, тождество и формулы приведения

Решать любой треугольник

выбирать теорему косинусов или синусов; видеть 0, 1 или 2 решения

Находить площади

$\frac{1}{2} ab sin γ$ , параллелограмм, Герон, четырёхугольник по диагоналям

Применять на практике

расстояние до недоступной точки; ОГЭ 15, 16, 23

повторение: уроки 1–9

Разминка · устно

Значения, знаки, связи

$sin 15 0^{\circ} = ?$ $\frac{1}{2}$
$cos 12 0^{\circ} = ?$ $- \frac{1}{2}$
$tg 13 5^{\circ} = ?$ $- 1$
$sin^{2} 3 7^{\circ} + cos^{2} 3 7^{\circ} = ?$ $1$

$cos α = 0, 3$ . Чему равен $cos (18 0^{\circ} - α)$ ? $- 0, 3$
Против большей стороны треугольника лежит … угол. больший
Стороны $6$ и $8$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . $S = ?$ $12$

R01.1–R01.9

Карта темы · обобщение

22 урока — шесть опор

R01.1

Тригонометрия $0^{\circ}$ – $18 0^{\circ}$

$M (cos α; sin α)$ на единичной полуокружности

R01.2 · R01.3

Тождество и приведение

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$
$cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$

R01.4 · R01.5

Теорема косинусов

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$

R01.5

Теорема синусов

$\frac{a}{sin A} = 2 R$
для каждой пары «сторона — угол»

R01.7 · R01.8 · R01.9

Площади

$\frac{1}{2} ab sin γ$ , Герон, $\frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$

R01.6

Практические задачи

недоступные расстояния, участки, курсы

R01.1 · R01.2 · R01.3

Сводка · единичная полуокружность и формулы приведения

Тупой угол сводим к острому

1

cos α = x_{M}

,

sin α = y_{M}

определение для

0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}

2

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

OM = 1

, теорема Пифагора

3

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α

cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α

M^{'}

симметрична

M

относительно оси

O y

4тупой угол:

sin α > 0

,

cos α < 0

,

tg α < 0

2,5 мин · теория
Чертёж точный: единичная полуокружность, α = 40°, M(cos 40°; sin 40°), M′(−cos 40°; sin 40°) — точки на одной горизонтали (общий синус), абсциссы противоположны.
Ещё формулы приведения (урок 3): sin(90° − α) = cos α, cos(90° − α) = sin α; tg(180° − α) = −tg α (частное двух предыдущих).
Вопрос классу: почему синус угла треугольника всегда положителен, а косинус — нет? (y_M > 0 на полуокружности при 0° < α < 180°.)
Следствие для задач: по синусу угол находится неоднозначно (α или 180° − α), по косинусу — однозначно.

R01.2 · R01.3

Образец → сам · по одной функции — остальные

Тождество + знак

Образец: $cos α = - \frac{5}{13}$ , $0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ . Найдите $sin α$ , $tg α$ .

$cos α < 0$ $\Rightarrow$ $α$ тупой

$sin α > 0$ угол треугольника

$sin α = 1 - \frac{25}{169} = \frac{12}{13}$

$tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{12}{13} : (- \frac{5}{13}) = - \frac{12}{5}$

Сам

$sin α = 0, 6$ , $α$ тупой. Найдите $cos α$ , $tg α$ . $- 0, 8$ ; $- 0, 75$
$tg α = - 2$ . Найдите $cos α$ и $sin α$ . $- \frac{5}{5}$ ; $\frac{2 5}{5}$
$sin 12 0^{\circ} \cdot cos 15 0^{\circ} + tg 13 5^{\circ}$ $- \frac{7}{4}$

R01.4 · R01.5

Сводка · теоремы косинусов и синусов

Две теоремы — любой треугольник

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

1

A = 9 0^{\circ}

: теорема Пифагора

cos 9 0^{\circ} = 0

2

a^{2} > b^{2} + c^{2}

\Leftrightarrow

A

тупой знак

cos A

— вид треугольника

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

3

S = \frac{ab c}{4 R}

из

S = \frac{1}{2} b c sin A

и

sin A = \frac{a}{2 R}

R01.4

Схема · что дано → как решать

Четыре случая решения треугольника

Дано	Ход решения	Сколько решений
три стороны	углы — по теореме косинусов	одно (если $a < b + c$ )
две стороны и угол между	третья сторона — по теореме косинусов	одно
сторона и два угла	$C = 18 0^{\circ} - A - B$ , стороны — по теореме синусов	одно
две стороны и угол не между ними	квадратное уравнение по теореме косинусов	0, 1 или 2

R01.4 · R01.5

Образец → сам · теорема косинусов

Сторона и вид треугольника

Образец: $A B = 8$ , $A C = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ и определите вид треугольника.

$a^{2} = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}$

$a^{2} = 49$ , $a = 7$

наибольшая сторона $8$ против неё $∠ C$

$64 < 25 + 49 = 74$ $\Rightarrow$ $∠ C$ острый

наибольший угол острый $\Rightarrow$ треугольник остроугольный

Сам

$a = 3$ , $b = 5$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $c$ . $7$
Стороны $5$ , $7$ , $8$ . Найдите угол против стороны $7$ . $6 0^{\circ}$
Стороны $4$ , $5$ , $6$ . Определите вид треугольника. остроугольный

R01.4 · R01.5

Образец → сам · угол не между сторонами

Сколько треугольников?

Образец: $BC = 7$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

$A B = x$ : $49 = 64 + x^{2} - 8 x$ т. косинусов для $∠ A$

$x^{2} - 8 x + 15 = 0$

$x = 3$ или $x = 5$

оба корня положительны $\Rightarrow$ два треугольника: $A B_{1} C$ и $A B_{2} C$

Ответ: $3$ или $5$ окружность $(C; 7)$ пересекает луч дважды

Сам: найдите $A B$

$BC = 7$ , $A C = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . $8$ (одно решение)
$BC = 7$ , $A C = 3$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . $1$ или $2$
$BC = 6$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . нет решений

2,5 мин · практика
Образец: 49 = 64 + x² − 2·8·x·½ ⇒ x² − 8x + 15 = 0 ⇒ x = 3 или 5. Проверка: для x = 3: 64 + 9 − 24 = 49 ✓; для x = 5: 64 + 25 − 40 = 49 ✓. Чертёж точный: A(0; 0), C(4; 4√3), B₁(3; 0), B₂(5; 0), CB₁ = CB₂ = 7.
1) 49 = 25 + x² − 5x ⇒ x² − 5x − 24 = 0 ⇒ x = 8 или −3; длина положительна ⇒ одно решение: 8.
2) 7 = 9 + x² − 3x ⇒ x² − 3x + 2 = 0 ⇒ 1 или 2 (два треугольника).
3) 36 = 64 + x² − 8x ⇒ x² − 8x + 28 = 0, D = 64 − 112 < 0 ⇒ треугольника нет: расстояние от C до луча 8·sin 60° = 4√3 ≈ 6,93 > 6.
Через теорему синусов — то же: sin B = 8·sin 60°/7 = 4√3/7 ≈ 0,99 ⇒ B ≈ 81,8° или 98,2° — оба подходят (сумма с 60° меньше 180°).

R01.5

Образец → сам · теорема синусов и радиус

Сторона и два угла

Образец: $BC = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ . Найдите $R$ и $A C$ .

$2 R = \frac{BC}{sin A} = \frac{10}{1/2} = 20$

$R = 10$

$∠ C = 10 5^{\circ}$ тупой

$A C = 2 R sin B = 20 \cdot \frac{2}{2} = 102$

Сам

$BC = 6$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $23$
$R = 5$ , $∠ C = 15 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $5$
$A B = 8$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ . Найдите $R$ . $42$

R01.7 · R01.8 · R01.9

Сводка · формулы площади

Четыре формулы — одна идея: синус угла

Треугольник

$S = \frac{1}{2} a b sin γ$

Параллелограмм

$S = a b sin α$

Формула Герона

$S = p (p - a) (p - b) (p - c)$

Выпуклый четырёхугольник

$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$

2 мин · теория
Откуда формулы: параллелограмм = два равных треугольника; четырёхугольник — диагонали делят его на четыре треугольника с углами φ и 180° − φ при точке пересечения, sin(180° − φ) = sin φ; Герон — из ½ab sin γ, теоремы косинусов и тождества (урок 8).
Ещё две формулы для треугольника: S = abc/(4R) (слайд 7) и S = pr. Ромб: S = a² sin α = ½d₁d₂.
Вопрос классу: какой из параллелограммов со сторонами a и b имеет наибольшую площадь? (прямоугольник: sin 90° = 1.)

R01.7 · R01.8

Образец → сам · площадь и радиусы

Три стороны → $S$ , $R$ , $r$

Образец: стороны треугольника $5$ , $7$ , $8$ . Найдите $S$ , $R$ и $r$ .

$p = 10$ ; $5, 3, 2$

$S = 10 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 = 103$

$r = \frac{S}{p} = 3$

$R = \frac{ab c}{4 S} = \frac{280}{40 3} = \frac{7}{3} = \frac{7 3}{3}$

Сам

Параллелограмм: стороны $6$ и $10$ , угол $15 0^{\circ}$ . $S = ?$ $30$
Диагонали четырёхугольника $8$ и $10$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . $S = ?$ $20$
Стороны $6$ и $8$ , $S = 123$ . Найдите третью сторону. $213$ или $237$

R01.6

Образец → сам · задача из жизни

Расстояние до недоступной точки

Образец: на берегу отмерили $A B = 100$ м; дерево $C$ на другом берегу видно под углами $6 0^{\circ}$ и $7 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

$∠ C = 4 5^{\circ}$ сумма углов

$\frac{BC}{sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{A B}{sin 4 5 ^{\circ}}$

$BC = 100 \cdot \frac{3}{2} : \frac{2}{2}$

$BC = 506 \approx 122, 5$ м

Сам

Из посёлка две дороги под углом $12 0^{\circ}$ : $3$ км и $5$ км. Расстояние между их концами? $7$ км
Участок — треугольник $130$ м, $140$ м, $150$ м. Площадь в гектарах? $0, 84$ га
Парус: две стороны $3$ м и $5$ м, угол между ними $15 0^{\circ}$ . Площадь? $3, 75 м^{2}$

R01.1–R01.9

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$cos 12 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$	для тупого угла косинус отрицателен	$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$
$sin C = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow$ $C = 3 0^{\circ}$	синус не различает $C$ и $18 0^{\circ} - C$	$3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$ — проверить сумму углов
$\frac{a}{sin A} = R$	в теореме синусов — диаметр	$\frac{a}{sin A} = 2 R$
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos B$	нужен угол между $b$ и $c$ , против $a$	$\dots - 2 b c cos A$

R01.4 · R01.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $a = 3$ , $b = 8$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $c$ .

$c^{2} = 9 + 64 - 24 = 49$

$c = 7$

$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ :
$c^{2} = 73 + 24 = 97$

$c = 97$

б) $BC = 9$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

$R = \frac{9}{sin 6 0 ^{\circ}} = 63$

$\frac{9}{sin 6 0 ^{\circ}} = 2 R = 63$

$R = 33$

в) $BC = 13$ , $A C = 15$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

$x^{2} - 15 x + 56 = 0$

$x = 8$ . Ответ: $8$

корни $7$ и $8$ — оба $> 0$

Ответ: $7$ или $8$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Знак: −2·3·8·cos 120° = +24. Ловушка: «красивый» ответ 7 не гарантирует верность. Верно: c² = 9 + 64 + 24 = 97, c = √97 ≈ 9,85. Проверка вида: против тупого угла — наибольшая сторона, √97 > 8 ✓ (у ученика 7 < 8 — противоречие).
б) Отношение стороны к синусу противолежащего угла — диаметр: 9 : (√3/2) = 18/√3 = 6√3 = 2R ⇒ R = 3√3 ≈ 5,2.
в) 169 = 225 + x² − 15x ⇒ x² − 15x + 56 = 0 ⇒ x = 7 или 8; потерян второй треугольник (случай «угол не между сторонами», слайд 10).

R01.1–R01.9

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $cos 13 5^{\circ} \cdot sin 15 0^{\circ} = ?$ $- \frac{2}{4}$
база $sin α = \frac{5}{13}$ , $α$ тупой. $cos α = ?$ $- \frac{12}{13}$
база $a = 6$ , $b = 10$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $c$ . $14$

база $A B = 12$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $12$
базаСтороны $7$ , $15$ , $20$ . Найдите $S$ . $42$
базаПараллелограмм: $4$ и $9$ , угол $13 5^{\circ}$ . $S = ?$ $182$

R01.4 · R01.5 · R01.9

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны параллелограмма $5$ и $7$ , одна диагональ $8$ . Найдите другую. $221$
повыш.Стороны треугольника $7$ , $8$ , $9$ . Найдите медиану к стороне $8$ . $7$
повыш. $sin A : sin B : sin C = 3 : 5 : 7$ . Найдите наибольший угол. $12 0^{\circ}$
повыш.Докажите: площадь выпуклого четырёхугольника равна $\frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$ . четыре треугольника, $sin (18 0^{\circ} - φ) = sin φ$

2,5 мин · практика
1) Теорема косинусов для двух соседних углов (cos(180° − A) = −cos A) ⇒ d₁² + d₂² = 2(a² + b²) = 148 ⇒ d₂² = 148 − 64 = 84, d₂ = 2√21 ≈ 9,17.
2) Достроить до параллелограмма: (2m)² + 8² = 2(7² + 9²) ⇒ 4m² = 260 − 64 = 196 ⇒ m = 7.
3) По теореме синусов a : b : c = 3 : 5 : 7; наибольший угол против 7k: cos = (9 + 25 − 49)/(2·3·5) = −15/30 = −½ ⇒ 120°.
4) Диагонали пересекаются в точке O, отрезки x, y (на d₁) и z, t (на d₂). S = ½ sin φ·(xz + zy + yt + tx) = ½ sin φ·(x + y)(z + t) = ½d₁d₂ sin φ; у двух треугольников угол 180° − φ, но синус тот же.

R01.4–R01.7 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 16 и 23

Короткий ответ и развёрнутое решение

ОГЭ 15Две стороны треугольника $12$ и $8$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь. $24$
ОГЭ 16В треугольнике $A BC$ $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $BC = 82$ . Найдите радиус описанной окружности. $8$

ОГЭ 23 Стороны параллелограмма $5$ и $8$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите его диагонали.

$△ A B D$ : $B D^{2} = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 49$

$∠ B = 12 0^{\circ}$ : $A C^{2} = 25 + 64 + 40 = 129$

$B D = 7$ , $A C = 129$

R01.2–R01.8

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$sin α = \frac{8}{17}$ , $α$ тупой. Найдите $cos α$ . $- \frac{15}{17}$
$a = 5$ , $b = 8$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $c$ . $7$
$BC = 10$ , $∠ A = 15 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $10$
Стороны $13$ , $14$ , $15$ . Найдите $S$ и $R$ . $84$ ; $8, 125$

Вариант 2

$cos α = - 0, 6$ . Найдите $sin α$ и $tg α$ . $0, 8$ ; $- \frac{4}{3}$
$a = 7$ , $b = 8$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $c$ . $13$
$A B = 63$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $6$
Стороны $5$ , $5$ , $6$ . Найдите $S$ и $R$ . $12$ ; $3, 125$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Тема закрыта — что взять с собой

Ответьте одной фразой

Как по синусу и знаку найти косинус?
Когда треугольник по двум сторонам и углу не единственный?
Какая формула площади нужна, если даны диагонали?

Домашнее задание

Стороны $7$ , $8$ , $13$ : наибольший угол, $S$ и $R$ .
Параллелограмм $3$ и $5$ , угол $6 0^{\circ}$ : диагонали и площадь.
* $a = 7$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $S = 103$ . Найдите $b$ и $c$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_reshenie-treugolnikov.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-022 · Обобщение и систематизация: решение треугольников

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Решение треугольников», 22 ч · урок 22/22 · тип О
Единицы → слайды	R01.1–R01.3 → 3, 5, 6, 17 · R01.4–R01.5 → 7–11, 15, 16, 18 · R01.6 → 14 · R01.7–R01.9 → 12, 13, 17–20
Результаты	ПР-1 → 8, 14 · ПР-2 → 3, 5, 6, 17, 20 · ПР-3 → 7–11, 14–16, 18–20 · ПР-4 → 12, 13, 18, 19
Вне урока	подобие и метрические соотношения в окружности — GEOM9U-023
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение: решение треугольников

Сегодня вы повторите и научитесь

Тригонометрия углов до 180∘

Решать любой треугольник

Находить площади

Применять на практике

Значения, знаки, связи

22 урока — шесть опор

Тригонометрия 0∘–180∘

Тождество и приведение

Теорема косинусов

Теорема синусов

Площади

Практические задачи

Тупой угол сводим к острому

Тождество + знак

Образец: cosα=−135​, 0∘<α<180∘. Найдите sinα, tgα.

Сам

Две теоремы — любой треугольник

Четыре случая решения треугольника

Сторона и вид треугольника

Образец: AB=8, AC=5, ∠A=60∘. Найдите BC и определите вид треугольника.

Сам

Сколько треугольников?

Образец: BC=7, AC=8, ∠A=60∘. Найдите AB.

Сам: найдите AB

Сторона и два угла

Образец: BC=10, ∠A=30∘, ∠B=45∘. Найдите R и AC.

Сам

Четыре формулы — одна идея: синус угла

Треугольник

Параллелограмм

Формула Герона

Выпуклый четырёхугольник

Три стороны → S, R, r

Образец: стороны треугольника 5, 7, 8. Найдите S, R и r.

Сам

Расстояние до недоступной точки

Образец: на берегу отмерили AB=100 м; дерево C на другом берегу видно под углами 60∘ и 75∘. Найдите BC.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) a=3, b=8, ∠C=120∘. Найдите c.

б) BC=9, ∠A=60∘. Найдите R.

в) BC=13, AC=15, ∠A=60∘. Найдите AB.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Короткий ответ и развёрнутое решение

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Тема закрыта — что взять с собой

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-022 · Обобщение и систематизация: решение треугольников

Тригонометрия углов до $18 0^{\circ}$

Тригонометрия $0^{\circ}$ – $18 0^{\circ}$

Образец: $cos α = - \frac{5}{13}$ , $0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ . Найдите $sin α$ , $tg α$ .

Образец: $A B = 8$ , $A C = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ и определите вид треугольника.

Образец: $BC = 7$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

Сам: найдите $A B$

Образец: $BC = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ . Найдите $R$ и $A C$ .

Три стороны → $S$ , $R$ , $r$

Образец: стороны треугольника $5$ , $7$ , $8$ . Найдите $S$ , $R$ и $r$ .

Образец: на берегу отмерили $A B = 100$ м; дерево $C$ на другом берегу видно под углами $6 0^{\circ}$ и $7 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

а) $a = 3$ , $b = 8$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $c$ .

б) $BC = 9$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

в) $BC = 13$ , $A C = 15$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .