Решение треугольников · урок 21 из 22 · практикум

Практикум: формулы приведения в задачах

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9U-021

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Решение треугольников» (22 ч), урок 21/22, единица R01.3. Тип урока — П (третий урок по формулам приведения: GEOM9U-003 — вывод, GEOM9U-012 — первый практикум).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка конфигураций 3,5 · вывод двух углов 3,5 · разбор у доски (задача на доказательство) 4.
Практика (33): разминка 1,5 · образцы → сам 2,5 + 3 + 2,5 + 3 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Отличие от урока 12: там — нетабличные углы, суммы, функции по тангенсу и тупой угол в одной формуле; здесь — формулы приведения как инструмент в задачах всей темы: половинные углы, угол между биссектрисами и высотами, радиус описанной окружности, сравнение площадей, диагонали параллелограмма, курс движения, доказательство с окружностью.
Если не успеваете: задания «сам» № 3 в образцах 4 и 5 — в ДЗ; разбор у доски не сокращать — это подготовка к ОГЭ 24.

R01.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть $9 0^{\circ} \pm α$ и $18 0^{\circ} - α$

в половинных углах, у точек пересечения биссектрис и высот (ПР-2)

Считать через тупой угол

стороны, радиус описанной окружности, площади — без потери знака (ПР-3, ПР-4)

Доказывать

свойства фигур формулами приведения и теоремой косинусов

Решать практические задачи

угол поворота на маршруте и угол треугольника — разные углы (ПР-3)

повторение: уроки 3, 5, 12

Разминка · устно

Шесть быстрых вопросов

В $△ A BC$ $sin (A + B) = 0, 6$ . $sin C$ ? $0, 6$
В $△ A BC$ $cos (A + B) = 0, 6$ . $cos C$ ? $- 0, 6$
$cos 15 0^{\circ}$ $- \frac{3}{2}$
$sin 12 0^{\circ} \cdot cos 15 0^{\circ}$ $- \frac{3}{4}$
$∠ C = 7 0^{\circ}$ . Чему равно $\frac{A + B}{2}$ ? $5 5^{\circ}$
Стороны $3$ и $5$ , угол между ними $12 0^{\circ}$ . Третья сторона? $7$

R01.3

Сводка · где прячутся формулы приведения

Четыре конфигурации урока

Половина суммы углов

$\frac{A + B}{2} = 9 0^{\circ} - \frac{C}{2}$

$sin \frac{A + B}{2} = cos \frac{C}{2}$

Биссектрисы, точка $I$

$∠ A I B = 9 0^{\circ} + \frac{C}{2}$

$cos ∠ A I B = - sin \frac{C}{2}$

Высоты, точка $H$

$∠ A H B = 18 0^{\circ} - C$

$sin ∠ A H B = sin C$

Хорда $A B$

$∠ C = 18 0^{\circ} - ∠ D$

$A B = 2 R sin C$

$A B = 2 R sin D$

3,5 мин · теория
Бирюзовые дуги — исходные углы, розовые — «приведённые» к ним. Третья карточка — для остроугольного треугольника (H внутри).
Карточка 1: сумма углов треугольника, затем деление на 2; функция меняется (90°). Карточки 2 и 3 доказываем на следующем слайде.
Карточка 4: C и D лежат по разные стороны от хорды AB — вписанный четырёхугольник ACBD, ∠C + ∠D = 180°. Синусы равны, поэтому формула AB = 2R sin φ (теорема синусов) верна для любой из двух точек.

R01.3

Вывод · два угла с вершиной внутри треугольника

Откуда $9 0^{\circ} + \frac{C}{2}$ и $18 0^{\circ} - C$

1

∠ I A B = \frac{α}{2}

,

∠ I B A = \frac{β}{2}

A I

,

B I

— биссектрисы

2

∠ A I B = 18 0^{\circ} - \frac{α + β}{2}

сумма углов

△ A I B

3

∠ A I B = 18 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - \frac{γ}{2}) = 9 0^{\circ} + \frac{γ}{2}

α + β = 18 0^{\circ} - γ

4Высоты

A A_{1}

,

B B_{1}

:

∠ A H B = 18 0^{\circ} - γ

в четырёхугольнике

C A_{1} H B_{1}

два прямых угла;

∠ A H B = ∠ A_{1} H B_{1}

— вертикальные

R01.3

Образец → сам · половинные углы треугольника

Половина суммы — дополнение до $9 0^{\circ}$

Образец: в $△ A BC$ $cos \frac{C}{2} = 0, 8$ . Найдите $sin \frac{A + B}{2}$ , $cos \frac{A + B}{2}$ , $tg \frac{A + B}{2}$ .

$\frac{A + B}{2} = \frac{18 0 ^{\circ} - C}{2} = 9 0^{\circ} - \frac{C}{2}$ сумма углов

$sin \frac{A + B}{2} = cos \frac{C}{2} = 0, 8$ угол $9 0^{\circ} - α$

$cos \frac{A + B}{2} = sin \frac{C}{2} = 1 - 0, 64 = 0, 6$ $\frac{C}{2}$ — острый

$tg \frac{A + B}{2} = \frac{0 , 8}{0 , 6} = \frac{4}{3}$ определение

Сам

$sin \frac{C}{2} = 0, 28$ . Найдите $cos \frac{A + B}{2}$ . $0, 28$
Докажите: $tg \frac{A + B}{2} \cdot tg \frac{C}{2} = 1$ . $\frac{1}{tg \frac{C}{2}} \cdot tg \frac{C}{2} = 1$
$∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $sin \frac{A + B}{2} + cos (A + B)$ . $\frac{3 - 1}{2}$

R01.3 · R01.5

Образец → сам · угол между биссектрисами и высотами

Тупой угол при точке пересечения

Образец: в $△ A BC$ $∠ C = 6 0^{\circ}$ , биссектрисы $A A_{1}$ и $B B_{1}$ пересекаются в точке $I$ , $A I = 3$ , $B I = 5$ . Найдите $A B$ .

$∠ A I B = 9 0^{\circ} + 3 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ , $cos 12 0^{\circ} = - 0, 5$ сводка

$A B^{2} = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (- 0, 5) = 49$ т. косинусов

$A B = 7$

Сам

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $I$ — точка пересечения биссектрис, $A I = 22$ , $B I = 3$ . Найдите $A B$ . $29$
$△ A BC$ остроугольный, $H$ — точка пересечения высот, $∠ C = 4 5^{\circ}$ , $A H = 2$ , $B H = 3$ . Найдите $A B$ . $17$
$∠ A I B = 2∠ C$ . Найдите $∠ C$ . $6 0^{\circ}$

R01.3 · R01.5

Образец → сам · радиус описанной окружности

Вписанный угол тупой — синус тот же

Образец: точки $A$ , $B$ , $C$ лежат на окружности, $A B = 6$ , $∠ A CB = 15 0^{\circ}$ . Найдите радиус $R$ .

$A B = 2 R sin ∠ A CB$ т. синусов

$sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ угол $18 0^{\circ} - α$

$R = \frac{6}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 6$

проверка: $∠ A D B = 3 0^{\circ}$ тот же $R$

Сам

$∠ A CB = 12 0^{\circ}$ , $A B = 9$ . Найдите $R$ . $33$
В $△ A BC$ $∠ B = 13 5^{\circ}$ , $A C = 8$ . Найдите радиус описанной окружности. $42$
$R = 5$ , наибольшая сторона тупоугольного треугольника равна $8$ . Найдите косинус тупого угла. $- 0, 6$

R01.3 · R01.7

Образец → сам · сравнение площадей

Углы разные — синусы равны

Образец: $A BC D$ вписан, $A B = 6$ , $BC = 2$ , $C D = 3$ , $D A = 4$ ; диагонали пересекаются в точке $O$ . Найдите $S_{A B D} : S_{CB D}$ и $A O : OC$ .

$sin C = sin A$ $∠ C = 18 0^{\circ} - ∠ A$

$S_{A B D} = 12 sin A$ $S = \frac{1}{2} ab sin φ$

$S_{CB D} = 3 sin A$ ⇒ $4$

$A O : OC = 4$ общее основание $B D$

Сам

$∠ A + ∠ K = 18 0^{\circ}$ , $A B = 4$ , $A C = 5$ , $K L = 2$ , $K M = 6$ . Найдите $S_{A BC} : S_{K L M}$ . $5 : 3$
$A BC D$ вписан, $A B = 5$ , $BC = 3$ , $C D = 4$ , $D A = 6$ . Найдите $A O : OC$ . $5 : 2$
Трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$ , $A B = 6$ , $A D = 9$ , $BC = 4$ . Найдите $S_{A B D} : S_{A BC}$ . $9 : 4$

R01.3 · R01.5

Образец → сам · задача на доказательство

Диагонали параллелограмма

Образец: докажите, что в параллелограмме $A C^{2} + B D^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ .

$∠ B = 18 0^{\circ} - ∠ A$ ⇒ $cos B = - cos A$ односторонние

$B D^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos A$ $△ A B D$

$A C^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab cos A$ $△ A BC$ , $BC = a$

сложим: $A C^{2} + B D^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ $■$

Сам

Докажите: $A C^{2} - B D^{2} = 4 ab cos A$ . вычтите строки 3 и 2
Стороны параллелограмма $5$ и $7$ , одна диагональ $8$ . Найдите другую. $221$
Докажите: большая диагональ лежит против тупого угла параллелограмма. $cos B < 0$ ⇒ $A C > B D$

R01.3 · R01.6

Образец → сам · задача из жизни · курс катера

Угол поворота ≠ угол треугольника

Образец: катер прошёл $8$ км на восток, повернул на $6 0^{\circ}$ влево и прошёл ещё $7$ км. На каком расстоянии он от старта?

$∠ A BC = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ смежные углы

$A C^{2} = 64 + 49 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot (- 0, 5) = 169$ т. косинусов

$A C = 13$ км

Сам

Самолёт пролетел $300$ км, повернул на $6 0^{\circ}$ и пролетел $500$ км. Расстояние до старта? $700$ км
Турист прошёл $3$ км, повернул и прошёл $5$ км; до старта $7$ км. На какой угол он повернул? $6 0^{\circ}$

R01.3 · ОГЭ 24

Разбор у доски · доказательство с окружностью

При $∠ C = 6 0^{\circ}$ отрезки $I A_{1}$ и $I B_{1}$ равны

Дано:

△ A BC

,

∠ C = 6 0^{\circ}

,

A A_{1}

и

B B_{1}

— биссектрисы,

I

— их точка пересечения.
Доказать:

I A_{1} = I B_{1}

.

1

∠ A_{1} I B_{1} = ∠ A I B = 12 0^{\circ}

вертикальные углы;

9 0^{\circ} + 3 0^{\circ}

2

∠ A_{1} I B_{1} + ∠ C = 18 0^{\circ}

⇒

C A_{1} I B_{1}

вписанныйпризнак вписанного четырёхугольника

3

∠ B_{1} C I = ∠ I C A_{1} = 3 0^{\circ}

C I

— биссектриса: биссектрисы пересекаются в одной точке

4

I B_{1} = I A_{1}

■

равные вписанные углы опираются на равные хорды

4 мин · теория (учитель ведёт доказательство, класс отвечает «почему?»)
Ключ — шаг 1: угол 90° + C/2 из сводки. Без него непонятно, откуда сумма 180°.
Шаг 3: третья биссектриса проходит через I (8 класс). Шаг 4: в окружности, проходящей через C, A1, I, B1, хорды IB1 и IA1 видны из точки C под равными углами 30°.
Чертёж точный (∠A = 70°, ∠B = 50°): окружность через C, A1, B1 проходит через I, IA1 = IB1 — проверено вычислением. Для сильных: верно и обратное — если IA1 = IB1 и треугольник не равнобедренный, то ∠C = 60°.

R01.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$\frac{A + B}{2} = 18 0^{\circ} - \frac{C}{2}$	делят пополам всю сумму: $(18 0^{\circ} - C) : 2$	$9 0^{\circ} - \frac{C}{2}$
$∠ A I B = 9 0^{\circ} - \frac{C}{2}$	в $△ A I B$ два угла острые и в сумме меньше $9 0^{\circ}$ ⇒ $∠ A I B$ тупой	$9 0^{\circ} + \frac{C}{2}$
$∠ C \neq = ∠ A$ ⇒ площади не сравнить	$∠ C = 18 0^{\circ} - ∠ A$ , синусы равны	$sin C = sin A$
поворот на $6 0^{\circ}$ ⇒ угол треугольника $6 0^{\circ}$	поворот — внешний угол, угол треугольника — смежный	$12 0^{\circ}$

R01.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $△ A BC$ , $cos \frac{C}{2} = 0, 6$ .Найдите $cos \frac{A + B}{2}$ .

$\frac{A + B}{2} = 18 0^{\circ} - \frac{C}{2}$

$cos \frac{A + B}{2} = - 0, 6$

$\frac{A + B}{2} = 9 0^{\circ} - \frac{C}{2}$

$cos \frac{A + B}{2} = sin \frac{C}{2} = 0, 8$

б) $∠ C = 6 0^{\circ}$ , $I$ — точка пересечения биссектрис, $A I = 7$ , $B I = 8$ . Найдите $A B$ .

$∠ A I B = 9 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 15 0^{\circ}$

$A B^{2} = 113 + 563$

$∠ A I B = 9 0^{\circ} + 3 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$

$A B^{2} = 169$ , $A B = 13$

в) Хорда $A B = 10$ , вписанный $∠ A CB = 15 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

$sin 15 0^{\circ} = - sin 3 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$

$R < 0$ — окружности нет

$sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

$R = \frac{10}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 10$

R01.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаВ $△ A BC$ $sin (A + B) = 0, 4$ . Найдите $sin C$ . $0, 4$
база $cos \frac{C}{2} = 0, 3$ . Найдите $sin \frac{A + B}{2}$ . $0, 3$
база $∠ C = 5 0^{\circ}$ , $I$ — точка пересечения биссектрис. Найдите $∠ A I B$ . $11 5^{\circ}$
базаОстроугольный $△ A BC$ , $∠ C = 7 0^{\circ}$ , $H$ — точка пересечения высот. $∠ A H B$ ? $11 0^{\circ}$
база $A B = 5$ , $∠ A CB = 15 0^{\circ}$ , $C$ на окружности. Найдите $R$ . $5$
базаСтороны параллелограмма $3$ и $4$ , одна диагональ $5$ . Найдите другую. $5$

R01.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.В $△ A BC$ $tg \frac{A + B}{2} = 3$ . Найдите $sin \frac{C}{2}$ . $\frac{10}{10}$
повыш. $∠ C = 12 0^{\circ}$ , $I$ — точка пересечения биссектрис, $A I = 3$ , $B I = 2$ . Найдите $A B$ . $13$
повыш.Остроугольный $△ A BC$ , $H$ — точка пересечения высот, $A B = 6$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите радиус окружности, описанной около $△ A H B$ . $23$
повыш. $A BC D$ вписан, $A B = 3$ , $BC = 4$ , $C D = 5$ , $D A = 6$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите $A O : OC$ . $9 : 10$

R01.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16, 17 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 16Треугольник $A BC$ вписан в окружность радиуса $4$ , $∠ C = 15 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $4$
ОГЭ 17Диагонали параллелограмма равны $8$ и $14$ , одна из сторон равна $7$ . Найдите другую сторону. $9$
ОГЭ 19Какие утверждения верны?1) В любом треугольнике $sin (A + B) = sin C$ .2) Хорда, на которую опирается вписанный угол $15 0^{\circ}$ , равна радиусу.3) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов двух его соседних сторон.4) $cos 12 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ}$ . $12$

R01.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$cos \frac{C}{2} = 0, 6$ . Найдите $sin \frac{A + B}{2}$ . $0, 6$
$∠ C = 8 0^{\circ}$ , $I$ — точка пересечения биссектрис. Найдите $∠ A I B$ . $13 0^{\circ}$
$A B = 12$ , вписанный угол $∠ A CB = 12 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $43$
Стороны параллелограмма $4$ и $5$ , одна диагональ $7$ . Найдите другую. $33$

Вариант 2

$sin \frac{C}{2} = 0, 8$ . Найдите $cos \frac{A + B}{2}$ . $0, 8$
Остроугольный $△ A BC$ , $∠ C = 4 0^{\circ}$ , $H$ — точка пересечения высот. Найдите $∠ A H B$ . $14 0^{\circ}$
$A B = 7$ , вписанный угол $∠ A CB = 13 5^{\circ}$ . Найдите $R$ . $\frac{7 2}{2}$
Стороны параллелограмма $3$ и $6$ , одна диагональ $5$ . Найдите другую. $65$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему угол между биссектрисами $∠ A I B$ всегда тупой?
Почему радиус описанной окружности не зависит от того, с какой стороны хорды взят вписанный угол?
Чем угол поворота отличается от угла треугольника?

Домашнее задание

$tg \frac{C}{2} = 0, 5$ . Найдите $tg \frac{A + B}{2}$ .
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A I = 4$ , $B I = 32$ . Найдите $A B$ .
Стороны параллелограмма $6$ и $8$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите диагонали.
* Докажите: у остроугольного $△ A BC$ и $△ A H B$ радиусы описанных окружностей равны.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_reshenie-treugolnikov.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-021 · Практикум: формулы приведения в задачах

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Решение треугольников», 22 ч · урок 21/22 · тип П
Единицы → слайды	R01.3 «Формулы приведения» → 2–19 · применение R01.5 → 7, 8, 10, 12 · R01.6 → 11 · R01.7 → 9
Результаты	ПР-2 (формулы приведения и основное тождество) → 3–19 · ПР-3 (решение треугольников, практические задачи) → 7, 8, 10–12 · ПР-4 (площади) → 9
Вне урока	обобщение темы — GEOM9U-022; вывод формул приведения — GEOM9U-003; первый практикум — GEOM9U-012
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: формулы приведения в задачах

Сегодня вы научитесь

Видеть 90∘±α и 180∘−α

Считать через тупой угол

Доказывать

Решать практические задачи

Шесть быстрых вопросов

Четыре конфигурации урока

Половина суммы углов

Биссектрисы, точка I

Высоты, точка H

Хорда AB

Откуда 90∘+2C​ и 180∘−C

Половина суммы — дополнение до 90∘

Образец: в △ABC cos2C​=0,8. Найдите sin2A+B​, cos2A+B​, tg2A+B​.

Сам

Тупой угол при точке пересечения

Образец: в △ABC ∠C=60∘, биссектрисы AA1​ и BB1​ пересекаются в точке I, AI=3, BI=5. Найдите AB.

Сам

Вписанный угол тупой — синус тот же

Образец: точки A, B, C лежат на окружности, AB=6, ∠ACB=150∘. Найдите радиус R.

Сам

Углы разные — синусы равны

Образец: ABCD вписан, AB=6, BC=2, CD=3, DA=4; диагонали пересекаются в точке O. Найдите SABD​:SCBD​ и AO:OC.

Сам

Диагонали параллелограмма

Образец: докажите, что в параллелограмме AC2+BD2=2(a2+b2).

Сам

Угол поворота ≠ угол треугольника

Образец: катер прошёл 8 км на восток, повернул на 60∘ влево и прошёл ещё 7 км. На каком расстоянии он от старта?

Сам

При ∠C=60∘ отрезки IA1​ и IB1​ равны

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) △ABC, cos2C​=0,6.Найдите cos2A+B​.

б) ∠C=60∘, I — точка пересечения биссектрис, AI=7, BI=8. Найдите AB.

в) Хорда AB=10, вписанный ∠ACB=150∘. Найдите R.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-021 · Практикум: формулы приведения в задачах

Видеть $9 0^{\circ} \pm α$ и $18 0^{\circ} - α$

Биссектрисы, точка $I$

Высоты, точка $H$

Хорда $A B$

Откуда $9 0^{\circ} + \frac{C}{2}$ и $18 0^{\circ} - C$

Половина суммы — дополнение до $9 0^{\circ}$

Образец: в $△ A BC$ $cos \frac{C}{2} = 0, 8$ . Найдите $sin \frac{A + B}{2}$ , $cos \frac{A + B}{2}$ , $tg \frac{A + B}{2}$ .

Образец: в $△ A BC$ $∠ C = 6 0^{\circ}$ , биссектрисы $A A_{1}$ и $B B_{1}$ пересекаются в точке $I$ , $A I = 3$ , $B I = 5$ . Найдите $A B$ .

Образец: точки $A$ , $B$ , $C$ лежат на окружности, $A B = 6$ , $∠ A CB = 15 0^{\circ}$ . Найдите радиус $R$ .

Образец: $A BC D$ вписан, $A B = 6$ , $BC = 2$ , $C D = 3$ , $D A = 4$ ; диагонали пересекаются в точке $O$ . Найдите $S_{A B D} : S_{CB D}$ и $A O : OC$ .

Образец: докажите, что в параллелограмме $A C^{2} + B D^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ .

Образец: катер прошёл $8$ км на восток, повернул на $6 0^{\circ}$ влево и прошёл ещё $7$ км. На каком расстоянии он от старта?

При $∠ C = 6 0^{\circ}$ отрезки $I A_{1}$ и $I B_{1}$ равны

а) $△ A BC$ , $cos \frac{C}{2} = 0, 6$ .Найдите $cos \frac{A + B}{2}$ .

б) $∠ C = 6 0^{\circ}$ , $I$ — точка пересечения биссектрис, $A I = 7$ , $B I = 8$ . Найдите $A B$ .

в) Хорда $A B = 10$ , вписанный $∠ A CB = 15 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .