Решение треугольников · урок 20 из 22

Практикум: основное тригонометрическое тождество

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9U-020

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Решение треугольников» (22 ч), урок 20/22, единица R01.2. Тип урока — П (второй практикум по тождеству; первый — GEOM9U-011). Не повтор: новые типы — обратная задача «тангенс по $sin α cos α$ », однородные уравнения, два треугольника по синусу, радиус описанной окружности, площадь четырёхугольника, наибольшее и наименьшее значения.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 3,5 · приём «однородные уравнения» 2,5 · приём «тождество в треугольнике» 2,5 · приём «оценка» 2,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 1 · самостоятельная 5 · итог 0,5.
Если не успеваете: третьи задания «сам» в образцах 4–6 и задачу из жизни — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R01.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить тангенс

по произведению $sin α cos α$ и решать однородные уравнения

Видеть два треугольника

когда известен только синус угла, и выбирать нужный

Находить $R$ и площадь

радиус описанной окружности, площадь параллелограмма и четырёхугольника

Оценивать выражения

находить наибольшее и наименьшее значения при $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$

0,5 мин · теория
ПР-2: «Пользоваться формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством для нахождения соотношений между тригонометрическими величинами». Задачи в треугольнике опираются на ПР-3 и ПР-4 (теоремы синусов и косинусов, формулы площади — уроки GEOM9U-005, GEOM9U-007, GEOM9U-009).
Виды деятельности ФРП R01: выводить соотношения между тригонометрическими функциями; решать задачи с использованием изученных теорем и соотношений.

повторение: GEOM9U-019, GEOM9U-011

Разминка · устно

Значения функций и тождество

$tg α$ для точки $M$ на чертеже $- 3$
$sin 15 0^{\circ} \cdot tg 13 5^{\circ}$ $- \frac{1}{2}$
$3 sin^{2} 7 0^{\circ} + 3 cos^{2} 7 0^{\circ}$ $3$
$tg α = 1$ . Найдите $sin α cos α$ . $\frac{1}{2}$
$cos α = - 1$ . Найдите $α$ . $18 0^{\circ}$
$sin α = 0, 6$ . Каким может быть $cos α$ ? $0, 8$ или $- 0, 8$
$tg α = 2$ . Угол острый или тупой? острый

R01.2 · R01.5 · R01.7

Сводка · формулы для практикума

Тождество и его следствия

Формула	Когда
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$	всегда
$sin α cos α = \frac{tg α}{1 + tg ^{2} α}$	связь с $tg α$
$cos α = \pm 1 - sin^{2} α$	знак — по виду угла
$R = \frac{a}{2 sin A}$	теорема синусов
$S = \frac{1}{2} ab sin C$ , $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$	площади

3,5 мин · теория
Сводка вместо новой теории: класс называет формулу и объясняет условие, учитель открывает. Чертёж: одной ординате $0, 6$ соответствуют два угла — $α$ и $18 0^{\circ} - α$ ; косинусы у них противоположны ( $0, 8$ и $- 0, 8$ ). Это главный источник «двух ответов» на уроке.
Строка 2 выведена на уроке GEOM9U-011: делим $sin α cos α$ на $1 = sin^{2} α + cos^{2} α$ , затем на $cos^{2} α$ . Строка 4 — следствие теоремы синусов $\frac{a}{sin A} = 2 R$ (GEOM9U-005). Строка 5 — GEOM9U-007 и GEOM9U-009.
Вопрос: зачем в задаче на площадь знать вид угла? (Не нужно: $sin α = sin (18 0^{\circ} - α)$ , площадь одна и та же.)

R01.2

Образец → сам · обратная задача

Известно $sin α cos α$ — найдите $tg α$

Образец: $sin α cos α = 0, 4$ . Найдите $tg α$ .

$\frac{t}{1 + t ^{2}} = 0, 4$ $t = tg α$ , формула сводки

$0, 4 t^{2} - t + 0, 4 = 0 \Leftrightarrow 2 t^{2} - 5 t + 2 = 0$

$t = 2$ или $t = \frac{1}{2}$ $D = 9$

Ответ: $tg α = 2$ или $\frac{1}{2}$ оба $> 0$ : угол острый

Сам

$sin α cos α = - 0, 3$ . Найдите $tg α$ . $- 3$ или $- \frac{1}{3}$
$sin^{2} α + sin α cos α = 1, 2$ . Найдите $tg α$ . $2$ или $3$
$sin α cos α = 0, 5$ . Найдите $α$ . $4 5^{\circ}$

R01.2

Приём · однородные уравнения

$a sin^{2} α + b sin α cos α + c cos^{2} α = d$

1

d \neq = 0

: заменяем

d = d (sin^{2} α + cos^{2} α)

теперь все слагаемые второй степени

2проверяем

α = 9 0^{\circ}

отдельнопри

cos α = 0

делить нельзя

3делим на

cos^{2} α

: квадратное уравнение для

t = tg α

4каждое

t \neq = 0

даёт один угол

t > 0

— острый угол,

t < 0

— тупой

Почему один угол?

тангенс на $(0^{\circ}; 9 0^{\circ})$ и на $(9 0^{\circ}; 18 0^{\circ})$ принимает каждое значение один раз

Нетабличный $t$

угол — по калькулятору: $tg α = 3 \Rightarrow α \approx 71, 6^{\circ}$

R01.2

Образец → сам · однородное уравнение

Решите на отрезке $[0^{\circ}; 18 0^{\circ}]$

Образец: $sin^{2} α + 2 sin α cos α - 3 cos^{2} α = 0$

$α = 9 0^{\circ}$ : $1 + 0 - 0 \neq = 0$ — не корень

$t^{2} + 2 t - 3 = 0$ , $t = 1$ или $t = - 3$ $: cos^{2} α$

$tg α = 1 \Rightarrow α = 4 5^{\circ}$

$tg α = - 3 \Rightarrow α \approx 18 0^{\circ} - 71, 6^{\circ} = 108, 4^{\circ}$

Сам

$sin^{2} α - 3 cos^{2} α = 0$ $6 0^{\circ}$ ; $12 0^{\circ}$
$2 sin^{2} α - 3 sin α cos α + cos^{2} α = 0$ $4 5^{\circ}$ ; $\approx 26, 6^{\circ}$
$sin^{2} α + sin α cos α = 1$ $4 5^{\circ}$ ; $9 0^{\circ}$

R01.2 · R01.5 · R01.9

Приём · тождество в треугольнике

Что даёт синус, а что — косинус

1. Дан косинус угла

$sin A = 1 - cos^{2} A$

угол один — треугольник один

2. Дан синус угла

$cos A = \pm 1 - sin^{2} A$

углы $A$ и $18 0^{\circ} - A$ — два треугольника, если нет условия

3. Радиус описанной окружности

$R = \frac{a}{2 sin A}$

три стороны → $cos A$ → $sin A$ → $R$

4. Площадь — без выбора знака

$S = \frac{1}{2} ab sin C$ , $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$

нужен только синус

R01.2 · R01.5

Образец → сам · радиус описанной окружности

Три стороны → радиус $R$

Образец: $A B = 15$ , $A C = 14$ , $BC = 13$ . Найдите $R$ .

$cos A = \frac{1 4 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 14 \cdot 15} = \frac{252}{420} = 0, 6$ т. косинусов

$sin A = 1 - 0, 36 = 0, 8$ тождество

$R = \frac{13}{2 \cdot 0 , 8} = 8, 125$ т. синусов

Сам: найдите $R$

Стороны $5$ , $5$ и $6$ . $3, 125$
Стороны $7$ , $8$ и $13$ . $\frac{13 3}{3}$
$BC = 10$ , $cos A = - 0, 6$ . $6, 25$

R01.2 · R01.4 · R01.5

Образец → сам · два треугольника

Дан синус угла — сколько ответов?

Образец: $A B = 5$ , $A C = 8$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $BC$ .

$cos A = \pm 0, 8$ угол $A$ острый или тупой

$B C^{2} = 25 + 64 \mp 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 0, 8 = 89 \mp 64$

$BC = 5$ или $BC = 153 = 317$

Сам

$A B = 3$ , $BC = 5$ , $sin B = 0, 8$ . Найдите $A C$ . $4$ или $213$
Две стороны $5$ и $6$ , площадь $12$ . Найдите третью сторону. $5$ или $97$
То же, но треугольник остроугольный. $5$

R01.2 · R01.7 · R01.9

Образец → сам · площадь четырёхугольника

Косинус по теореме — синус по тождеству

Образец: стороны параллелограмма $5$ и $6$ , диагональ $B D = 5$ . Найдите $S$ .

$cos α = \frac{25 + 36 - 25}{2 \cdot 5 \cdot 6} = 0, 6$ т. косинусов в $△ A B D$

$sin α = 0, 8$ тождество

$S = 5 \cdot 6 \cdot 0, 8 = 24$

Сам

Диагонали четырёхугольника $10$ и $12$ , косинус угла между ними $0, 6$ . Найдите $S$ . $48$
Диагонали $8$ и $9$ , тангенс угла между ними $- 22$ . Найдите $S$ . $242$
Сторона ромба $10$ , площадь $96$ . Найдите косинус тупого угла. $- 0, 28$

R01.2

Приём · наибольшее и наименьшее значения

Тождество помогает оценивать

1. Границы

$0 \leq sin α \leq 1$ , $- 1 \leq cos α \leq 1$

при $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$

2. Одна функция

$sin^{2} α = 1 - cos^{2} α$

выражение → квадратный трёхчлен от $t$ на отрезке

3. Произведение

$(sin α - cos α)^{2} \geq 0 \Rightarrow sin α cos α \leq \frac{1}{2}$

равенство при $α = 4 5^{\circ}$

4. Площадь

$S = \frac{1}{2} ab sin C \leq \frac{1}{2} ab$

наибольшая при $C = 9 0^{\circ}$

R01.2

Образец → сам · оценка выражения

Наибольшее и наименьшее значения

Образец: $E = sin^{2} α + 4 cos α$ , $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$

$E = 1 - t^{2} + 4 t = 5 - (t - 2)^{2}$ $t = cos α \in [- 1; 1]$

$t \leq 1 < 2$ ⇒ $E$ растёт по $t$ вершина вне отрезка

$E_{m i n} = - 4$ ( $18 0^{\circ}$ ), $E_{m a x} = 4$ ( $0^{\circ}$ )

Сам

Наибольшая площадь треугольника со сторонами $6$ и $8$ ? $24$
Наименьшее значение $sin α cos α$ на $[0^{\circ}; 18 0^{\circ}]$ ? $- \frac{1}{2}$
Наибольшее значение $cos^{2} α + sin α$ ? $\frac{5}{4}$

R01.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$sin A = 0, 6 \Rightarrow cos A = 0, 8$	угол $A$ может быть тупым	$cos A = \pm 0, 8$
$sin α cos α = 2 cos^{2} α \Rightarrow tg α = 2$	делили на $cos^{2} α$ — потерян $9 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$ и $tg α = 2$
$R = \frac{a}{sin A}$	$\frac{a}{sin A}$ — это диаметр	$R = \frac{a}{2 sin A}$
$sin α cos α \leq 1 \cdot 1 = 1$	оценка не достигается	$sin α cos α \leq \frac{1}{2}$

R01.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A B = 5$ , $A C = 8$ , $sin A = 0, 6$ , $∠ A$ тупой. Найдите $BC$ .

$cos A = 0, 8$

$B C^{2} = 89 - 64 = 25$ , $BC = 5$

$cos A = - 0, 8$ : $B C^{2} = 153$ , $BC = 317$

б) $sin^{2} α + 3 sin α cos α = 2$

$: cos^{2} α$ : $t^{2} + 3 t = 2$

$t = \frac{- 3 \pm 17}{2}$

$2 = 2 sin^{2} α + 2 cos^{2} α$ : $t^{2} - 3 t + 2 = 0$ , $4 5^{\circ}$ ; $\approx 63, 4^{\circ}$

в) Наибольшее значение $sin^{2} α + 4 cos α$

$sin^{2} α \leq 1$ , $4 cos α \leq 4$

значит, наибольшее $5$

$1$ и $4$ — при разных $α$ ( $9 0^{\circ}$ и $0^{\circ}$ ): наибольшее $4$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Не учёл, что угол тупой: $cos A < 0$ ; $B C^{2} = 25 + 64 + 64 = 153$ . Проверка: против тупого угла — большая сторона: $317 \approx 12, 4 > 8$ ✓.
б) Правая часть не второй степени — разделил « $2$ » на $cos^{2} α$ как будто это $2$ . Верно: $- sin^{2} α + 3 sin α cos α - 2 cos^{2} α = 0$ ⇒ $t^{2} - 3 t + 2 = 0$ ⇒ $t = 1$ , $t = 2$ ; $9 0^{\circ}$ не корень ( $1 \neq = 2$ ). Проверка: $t = 2$ : $(4 + 6) : 5 = 2$ ✓.
в) Сумма оценок не достигается: $sin^{2} α = 1$ при $9 0^{\circ}$ , а $4 cos α = 4$ при $0^{\circ}$ . Верно — образец 6: $E = 5 - (cos α - 2)^{2} \leq 4$ .

R01.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $tg α = 0, 5$ . Найдите $sin^{2} α$ . $0, 2$
базаРешите на $[0^{\circ}; 18 0^{\circ}]$ : $sin^{2} α - cos^{2} α = 0$ . $4 5^{\circ}$ ; $13 5^{\circ}$
базаСтороны треугольника $3$ , $5$ , $7$ . Найдите наибольший угол. $12 0^{\circ}$
базаСтороны $6$ и $10$ , площадь $15$ . Найдите косинус угла между ними. $\pm \frac{3}{2}$
база $BC = 12$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $R$ . $10$
базаДиагонали $6$ и $10$ , $tg φ = \frac{4}{3}$ . Найдите $S$ . $24$

R01.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $sin α cos α = - 0, 4$ . Найдите $tg α$ . $- 2$ или $- \frac{1}{2}$
повыш.Решите: $sin^{2} α - (1 + 3) sin α cos α + 3 cos^{2} α = 0$ . $4 5^{\circ}$ ; $6 0^{\circ}$
повыш.Наименьшее значение $cos^{2} α - 3 sin α$ на $[0^{\circ}; 18 0^{\circ}]$ ? $- 3$
повыш. $A B = 4$ , $BC = 6$ , $S_{A BC} = 63$ . Найдите $A C$ . $27$ или $219$

R01.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16, 19 и 23

Ответ — число, номера утверждений, решение

ОГЭ 16В треугольнике $A BC$ : $A B = 6$ , $sin C = 0, 3$ . Найдите радиус описанной окружности. $10$

ОГЭ 19Какие утверждения верны?

Синус любого угла треугольника положителен.
Если $sin A = sin B$ в треугольнике $A BC$ , то $∠ A = ∠ B$ .
Наибольшее значение $sin α cos α$ равно $1$ .

Ответ: 12

ОГЭ 23В треугольнике $A BC$ : $A C = 10$ , $BC = 6$ , площадь $24$ , угол $C$ тупой. Найдите $A B$ .

$sin C = \frac{2 \cdot 24}{10 \cdot 6} = 0, 8$

$cos C = - 0, 6$ угол тупой

$A B^{2} = 100 + 36 + 72 = 208$

Ответ: $413$

R01.2 · R01.5 · R01.6

Задача из жизни · круглая клумба

Окружность через три куста

Три куста растут на расстояниях

5

м,

7

м и

8

м друг от друга. Каким радиусом разметить круглую клумбу, чтобы её граница прошла через все три куста?

$cos = \frac{25 + 64 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{1}{2}$ , $sin = \frac{3}{2}$

$R = \frac{7}{3} = \frac{7 3}{3} \approx 4, 04$ м

R01.2

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$sin α cos α = 0, 4$ . Найдите $tg α$ . $2$ или $\frac{1}{2}$
Решите: $sin^{2} α - sin α cos α - 2 cos^{2} α = 0$ $13 5^{\circ}$ ; $\approx 63, 4^{\circ}$
Стороны $5$ и $6$ , площадь $9$ . Найдите третью сторону. $13$ или $109$
$BC = 9$ , $cos A = - 0, 8$ . Найдите $R$ . $7, 5$

Вариант 2

$sin α cos α = 0, 3$ . Найдите $tg α$ . $3$ или $\frac{1}{3}$
Решите: $sin^{2} α + sin α cos α - 2 cos^{2} α = 0$ $4 5^{\circ}$ ; $\approx 116, 6^{\circ}$
Стороны $4$ и $10$ , площадь $16$ . Найдите третью сторону. $217$ или $241$
$BC = 12$ , $cos A = - 0, 6$ . Найдите $R$ . $7, 5$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему по синусу бывает два треугольника?
Что проверить перед делением на $cos^{2} α$ ?
Как найти $R$ по трём сторонам?

Домашнее задание

$sin α cos α = - 0, 48$ . Найдите $tg α$ .
Решите: $2 sin^{2} α + sin α cos α = 1$ .
* Наибольшее и наименьшее значения $2 cos^{2} α + 3 cos α$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_reshenie-treugolnikov.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-020 · Практикум: основное тригонометрическое тождество

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Решение треугольников», 22 ч · урок 20/22 · тип П (второй практикум к GEOM9U-002, после GEOM9U-011)
Единицы → слайды	R01.2 «Основное тригонометрическое тождество» → 2–21 · повторение R01.1 (GEOM9U-019) → 3 · применение R01.4, R01.5, R01.7, R01.9 (решение треугольников, теоремы, площади) → 8–11, 16–20
Результаты	ПР-2 (основное тригонометрическое тождество для соотношений между тригонометрическими величинами) → 2–21; ПР-3, ПР-4 (решение треугольников, площади) → 8–11, 18–20
Вне урока	формулы приведения — GEOM9U-021 (здесь только «тупой угол $18 0^{\circ} - β$ » по чертежу)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: основное тригонометрическое тождество

Сегодня вы научитесь

Находить тангенс

Видеть два треугольника

Находить R и площадь

Оценивать выражения

Значения функций и тождество

Тождество и его следствия

Известно sinαcosα — найдите tgα

Образец: sinαcosα=0,4. Найдите tgα.

Сам

asin2α+bsinαcosα+ccos2α=d

Почему один угол?

Нетабличный t

Решите на отрезке [0∘;180∘]

Образец: sin2α+2sinαcosα−3cos2α=0

Сам

Что даёт синус, а что — косинус

1. Дан косинус угла

2. Дан синус угла

3. Радиус описанной окружности

4. Площадь — без выбора знака

Три стороны → радиус R

Образец: AB=15, AC=14, BC=13. Найдите R.

Сам: найдите R

Дан синус угла — сколько ответов?

Образец: AB=5, AC=8, sinA=0,6. Найдите BC.

Сам

Косинус по теореме — синус по тождеству

Образец: стороны параллелограмма 5 и 6, диагональ BD=5. Найдите S.

Сам

Тождество помогает оценивать

1. Границы

2. Одна функция

3. Произведение

4. Площадь

Наибольшее и наименьшее значения

Образец: E=sin2α+4cosα, 0∘≤α≤180∘

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) AB=5, AC=8, sinA=0,6, ∠A тупой. Найдите BC.

б) sin2α+3sinαcosα=2

в) Наибольшее значение sin2α+4cosα

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число, номера утверждений, решение

Окружность через три куста

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-020 · Практикум: основное тригонометрическое тождество

Находить $R$ и площадь

Известно $sin α cos α$ — найдите $tg α$

Образец: $sin α cos α = 0, 4$ . Найдите $tg α$ .

$a sin^{2} α + b sin α cos α + c cos^{2} α = d$

Нетабличный $t$

Решите на отрезке $[0^{\circ}; 18 0^{\circ}]$

Образец: $sin^{2} α + 2 sin α cos α - 3 cos^{2} α = 0$

Три стороны → радиус $R$

Образец: $A B = 15$ , $A C = 14$ , $BC = 13$ . Найдите $R$ .

Сам: найдите $R$

Образец: $A B = 5$ , $A C = 8$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $BC$ .

Образец: стороны параллелограмма $5$ и $6$ , диагональ $B D = 5$ . Найдите $S$ .

Образец: $E = sin^{2} α + 4 cos α$ , $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$

а) $A B = 5$ , $A C = 8$ , $sin A = 0, 6$ , $∠ A$ тупой. Найдите $BC$ .

б) $sin^{2} α + 3 sin α cos α = 2$

в) Наибольшее значение $sin^{2} α + 4 cos α$