Решение треугольников · урок 17 из 22

Практикум: формула Герона

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9U-017

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Решение треугольников» (22 ч), урок 17/22, единица R01.8. Тип урока — П (практикум после урока 8 «Формула Герона»).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · повторение 2,5 · смысл p − a 3 · обратная задача 2 · трапеция по диагоналям 2,5 · сводка 1.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 3 + 3 + 3 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 5 · итог 1.
На титуле: треугольник 13, 14, 15, вписанная окружность делит его на три «дельтоида» — по одному у каждой вершины; отрезки касательных из вершин равны p − a, p − b, p − c (главная новая идея практикума).
Не повторяем урок 8: там была прямая формула, высоты, радиусы и трапеция по четырём сторонам. Здесь — новые типы задач: синус угла, отрезки касательных, третья сторона по площади (два ответа), трапеция по диагоналям, доказательство.

R01.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить углы по трём сторонам

$sin C = \frac{2 S}{ab}$ — без теоремы косинусов

Видеть смысл $p - a$

отрезки касательных к вписанной окружности

Решать обратные задачи

третья сторона по площади — и не терять второй ответ

Применять Герона к трапеции

по диагоналям; доказывать формулы; ОГЭ 15, 16, 23

повторение: уроки 7, 8, 16

Разминка · устно

Разогреваем Герона

Полупериметр треугольника $17$ , $25$ , $28$ ? $35$
Для него $p - a$ , $p - b$ , $p - c$ ? $18$ , $10$ , $7$
$S = 84$ , $p = 21$ . Найдите $r$ . $4$
$S = 84$ , сторона $14$ . Высота к ней? $12$

$S = 84$ , $a = 13$ , $b = 15$ . $sin C$ ? $\frac{56}{65}$
$sin C = 0, 6$ . Чему может быть равен $cos C$ ? $0, 8$ или $- 0, 8$
$(p - a) + (p - b) + (p - c) = ?$ $p$

R01.7 · R01.8

Повторение · формула Герона и её следствия

Три стороны → площадь → всё остальное

Формула Герона

$S = p (p - a) (p - b) (p - c)$

Стороны — корни

$16 S^{2} = 4 a^{2} b^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}$

Синус угла

$sin C = \frac{2 S}{ab}$

Высота

$h_{a} = \frac{2 S}{a}$

Радиусы

$r = \frac{S}{p}$ , $R = \frac{ab c}{4 S}$

Тупой ли угол?

$c^{2} > a^{2} + b^{2} \Leftrightarrow C > 9 0^{\circ}$

2,5 мин · теория
Опорная сводка урока 8 + одна новая строка: синус угла через площадь (из S = ½ab·sin C). Открывать карточки по одной, спрашивая «откуда формула?».
Синус не различает острый и тупой угол (sin C = sin(180° − C)), поэтому для косинуса нужна последняя карточка: сравнить квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других (следствие теоремы косинусов).
Вторая карточка — та же формула Герона «в квадратах», шаг 4 вывода с урока 8: удобна, когда стороны — корни, и в обратной задаче.

R01.8 · R01.4

Образец → сам · угол по трём сторонам

Синус и косинус наибольшего угла

Образец: $A B = 17$ , $A C = 25$ , $BC = 28$ . Найдите $sin A$ и $cos A$ .

$p = 35$ ; $18, 10, 7$

$S = 35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7 = 210$

$sin A = \frac{2 \cdot 210}{17 \cdot 25} = \frac{84}{85}$

$2 8^{2} = 784 < 1 7^{2} + 2 5^{2} = 914$ $\Rightarrow$ $A$ острый

$cos A = + 1 - \frac{8 4 ^{2}}{8 5 ^{2}} = \frac{13}{85}$

Сам

Стороны $13$ , $14$ , $15$ . Синус угла против стороны $14$ ? $\frac{56}{65}$
Стороны $10$ , $17$ , $21$ . $sin$ и $cos$ наибольшего угла? $\frac{84}{85}$ ; $- \frac{13}{85}$
Стороны $25$ , $29$ , $36$ . Синус угла между $25$ и $29$ ? $\frac{144}{145}$

3 мин · практика
Образец: p = 35; 35·18·10·7 = 44 100 = 210². sin A = 420/425 = 84/85. Против 28 лежит наибольший угол A; 784 < 914 ⇒ острый, cos A = √(1 − 7056/7225) = √(169/7225) = 13/85. Проверка теоремой косинусов: (289 + 625 − 784)/(2·17·25) = 130/850 = 13/85 ✓.
Чертёж точный: B(0; 0), C(28; 0), A(8; 15) — высота к BC равна 15 = 2·210/28 (открывается по щелчку для проверки).
1) S = 84; против 14 — угол между 13 и 15: sin = 168/195 = 56/65.
2) S = 84; наибольший угол — против 21, между 10 и 17: sin = 168/170 = 84/85. 21² = 441 > 100 + 289 = 389 ⇒ угол тупой, cos = −13/85. Типичная ошибка — забыть знак «минус».
3) p = 45, √(45·20·16·9) = 360; sin = 720/725 = 144/145.

R01.8

Новый взгляд · смысл множителей формулы Герона

Отрезки касательных из вершин

Отрезки касательных из одной точки равны: из

A

—

x

, из

B

—

y

, из

C

—

z

.

1

x + y = c

,

y + z = a

,

x + z = b

каждая сторона — два отрезка касательных

2

2 (x + y + z) = 2 p

\Rightarrow

x + y + z = p

сложили три равенства

3

x = p - a

,

y = p - b

,

z = p - c

вычли из суммы п. 1

4

S = p x yz

,

A I^{2} = r^{2} + (p - a)^{2}

Герон «на языке касательных»; теорема Пифагора

3 мин · теория
Вопрос классу перед шагом 3: из какой вершины отрезок равен p − a? (из A — противолежащей стороне a = BC). Мнемоника: «вершина A — минус сторона a».
Чертёж точный: B(0; 0), C(14; 0), A(5; 12) — треугольник 13, 14, 15; I(6; 4), r = 4; точка касания на BC — (6; 0): BK = 6 = 21 − 15 = p − b, CK = 8 = p − c ✓. Из A — 7 = p − a.
Шаг 4: радиус в точку касания перпендикулярен стороне, поэтому A, точка касания и I образуют прямоугольный треугольник с катетами p − a и r.
Красивое следствие: множители под корнем в формуле Герона — это отрезки касательных; «треугольник существует» ⇔ все три отрезка положительны.

R01.8

Образец → сам · отрезки касательных

Вписанная окружность без построений

Образец: $A B = 13$ , $BC = 14$ , $C A = 15$ . Найдите отрезки касательных и $A I$ .

$p = 21$

из $A$ : $21 - 14 = 7$
из $B$ : $21 - 15 = 6$
из $C$ : $21 - 13 = 8$

$r = \frac{84}{21} = 4$

$A I = 7^{2} + 4^{2} = 65$ по Пифагору

Сам

Стороны $5$ , $5$ , $6$ . На какие отрезки точка касания делит боковую сторону? $2$ и $3$ (от вершины — $2$ )
Докажите: в прямоугольном треугольнике $r = p - c$ . Найдите $r$ для $6$ , $8$ , $10$ . $r = 2$
Стороны $25$ , $29$ , $36$ . Расстояние от вершины наибольшего угла до $I$ ? $145$

3 мин · практика
Образец: S = 84 (известный треугольник), p = 21. Отрезки: из A — p − BC = 7, из B — p − CA = 6, из C — p − AB = 8. Проверка: 7 + 6 = 13 = AB, 6 + 8 = 14 = BC, 7 + 8 = 15 = CA ✓. AI² = 49 + 16 = 65.
1) p = 8; из вершины (против основания 6) — 8 − 6 = 2, из концов основания — 8 − 5 = 3. Боковая сторона 5 = 2 + 3.
2) Из вершины прямого угла C радиусы в точки касания и отрезки касательных образуют квадрат ⇒ отрезок касательной из C равен r; с другой стороны он равен p − c. Для 6, 8, 10: p = 12, r = 12 − 10 = 2 (проверка: S/p = 24/12 = 2 ✓).
3) p = 45, S = 360, r = 8; наибольший угол — против 36, отрезок касательной из этой вершины = 45 − 36 = 9; d = √(81 + 64) = √145 ≈ 12,04.

R01.4 · R01.8

Обратная задача · две стороны и площадь

Почему ответов бывает два

1

sin C = \frac{2 S}{ab}

площадь задаёт только синус угла

2подходят

C

и

18 0^{\circ} - C

sin (18 0^{\circ} - C) = sin C

— формула приведения

3

(a^{2} + b^{2} - x^{2})^{2} = 4 a^{2} b^{2} - 16 S^{2}

Герон «в квадратах» — сразу оба ответа

4один ответ, только если

sin C = 1

,

C = 9 0^{\circ}

R01.8

Образец → сам · обратная задача

Третья сторона по площади

Образец: две стороны $13$ и $15$ , $S = 84$ . Найдите третью сторону $x$ .

$4 \cdot 169 \cdot 225 = 152100$

$16 \cdot 8 4^{2} = 112896$

$(394 - x^{2})^{2} = 19 8^{2}$

$394 - x^{2} = \pm 198$ $\Rightarrow$ $x^{2} = 196$ или $x^{2} = 592$

$x = 14$ или $x = 437$ угол между $13$ и $15$ острый или тупой

Сам: найдите третью сторону

Стороны $10$ и $17$ , $S = 84$ . $21$ или $337$
Стороны $13$ и $20$ , $S = 126$ . $21$ или $697$
Стороны $6$ и $8$ , $S = 24$ . Почему ответ один? $10$ : угол прямой

3 мин · практика
Образец: a² + b² = 169 + 225 = 394. 4a²b² − 16S² = 152 100 − 112 896 = 39 204 = 198². x² = 394 ∓ 198 = 196 или 592; √592 = √(16·37) = 4√37 ≈ 24,3. Оба треугольника существуют (Герон для 13, 14, 15 = 84 ✓; второй — тупоугольный).
Другой путь: sin C = 56/65, cos C = ±33/65, x² = 394 ∓ 2·13·15·33/65 = 394 ∓ 198 — то же.
1) 4·100·289 = 115 600; 16·84² = 112 896; разность 2704 = 52²; x² = 389 ∓ 52 = 337 или 441 ⇒ 21 или √337.
2) 4·169·400 = 270 400; 16·126² = 254 016; разность 16 384 = 128²; x² = 569 ∓ 128 = 441 или 697 ⇒ 21 или √697.
3) 4·36·64 = 9216 = 16·24² ⇒ разность 0 ⇒ x² = 100, x = 10. sin C = 48/48 = 1 — угол прямой, второго треугольника нет.

R01.8

Приём · трапеция по диагоналям

Сдвигаем диагональ — получаем треугольник

1

CE ∥ B D

,

E

на прямой

A D

BCE D

— параллелограмм:

CE = d_{2}

,

D E = b

2

△ A CE

: стороны

d_{1}

,

d_{2}

,

a + b

3

S_{A CE} = \frac{1}{2} (a + b) h = S_{A BC D}

та же высота — расстояние между

BC

и

A D

4

S_{трап}

— по Герону для

d_{1}

,

d_{2}

,

a + b

R01.8

Образец → сам · трапеция по диагоналям

Диагонали и основания → площадь

Образец: диагонали трапеции $13$ и $15$ , основания $10$ и $4$ . Найдите $S$ и $h$ .

$CE ∥ B D$ : $CE = 15$

$A E = 10 + 4 = 14$

$△ A CE$ : $13$ , $14$ , $15$

$S = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 84$

$h = \frac{2 S}{a + b} = \frac{168}{14} = 12$ та же высота

Сам

Диагонали $17$ и $25$ , основания $16$ и $12$ . Найдите $S$ . $210$
Диагонали $5$ и $12$ , средняя линия $6, 5$ . $S$ и угол между диагоналями? $30$ ; $9 0^{\circ}$
Равнобедренная: диагонали по $10$ , основания $4$ и $12$ . Найдите $S$ . $48$

R01.8

Образец → сам · доказательство

Стороны — три последовательных числа

Докажите: если стороны $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ , то
$S = \frac{n}{4} 3 (n^{2} - 4)$ .

$p = \frac{3 n}{2}$

$p - a$ : $\frac{n}{2} + 1, \frac{n}{2}, \frac{n}{2} - 1$

$S^{2} = \frac{3 n}{2} \cdot \frac{n}{2} (\frac{n ^{2}}{4} - 1)$

$S^{2} = \frac{3 n ^{2} ( n ^{2} - 4 )}{16}$ $\Rightarrow$ $S = \frac{n}{4} 3 (n^{2} - 4)$ $S > 0$

Проверка: $n = 14$ : $\frac{14}{4} 576 = 84$ ✓

Сам

Найдите $S$ при $n = 4$ . Какой это треугольник? $6$ ; $3, 4, 5$
Стороны — последовательные натуральные числа, $r = 4$ . Найдите их. $13$ , $14$ , $15$
Докажите: высота $A H$ делит сторону $n$ на отрезки, разность которых равна $4$ . $H C^{2} - B H^{2} = 4 n$ , $H C + B H = n$

2,5 мин · практика
Доказательство по шагам, каждое — с обоснованием: p − (n − 1) = n/2 + 1, p − n = n/2, p − (n + 1) = n/2 − 1; (n/2 + 1)(n/2 − 1) = n²/4 − 1 (разность квадратов). Треугольник существует при n ≥ 3 (n − 1 + n > n + 1 ⇔ n > 2).
1) n = 4: ¼·4·√(3·12) = 6 — египетский треугольник 3, 4, 5 ✓.
2) r = S/p = (n/4)√(3(n² − 4)) : (3n/2) = √(3(n² − 4))/6 = 4 ⇒ 3(n² − 4) = 576 ⇒ n² = 196, n = 14: стороны 13, 14, 15.
3) AB² − BH² = AC² − HC² (общая высота) ⇒ HC² − BH² = (n + 1)² − (n − 1)² = 4n; HC + BH = n ⇒ HC − BH = 4. Для 13, 14, 15: BH = 5, HC = 9 ✓ (на чертеже — точно).

R01.8

Сводка · какой приём выбрать

Ситуация → ход решения

Дано / найти	Ход
три стороны → угол	Герон, $sin C = \frac{2 S}{ab}$ ; знак $cos C$ — по $c^{2}$ и $a^{2} + b^{2}$
вписанная окружность	отрезки касательных $p - a$ , $p - b$ , $p - c$ ; $r = \frac{S}{p}$
две стороны и $S$ → третья	$(a^{2} + b^{2} - x^{2})^{2} = 4 a^{2} b^{2} - 16 S^{2}$ — два ответа
трапеция: диагонали, основания	треугольник $d_{1}$ , $d_{2}$ , $a + b$ — та же площадь

R01.8

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$13$ , $15$ , $S = 84$ $\Rightarrow$ $x = 14$	$sin C$ даёт острый и тупой угол	$x = 14$ или $x = 437$
отрезок касательной из $A$ : $p - A B$	вычитают противолежащую сторону	из $A$ : $p - BC$
трапеция: треугольник $d_{1}$ , $d_{2}$ , $a - b$	$D E = BC$ откладываем за точку $D$	третья сторона $a + b$
$sin A = \frac{84}{85}$ $\Rightarrow$ $cos A = \frac{13}{85}$ всегда	для тупого угла $cos A < 0$	сравнить $a^{2}$ и $b^{2} + c^{2}$

R01.8

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Диагонали трапеции $17$ и $25$ , основания $20$ и $8$ . Найдите $S$ .

третья сторона $20 - 8 = 12$

$S = 27 \cdot 10 \cdot 2 \cdot 15$

$S = 90$

сумма: $20 + 8 = 28$

$S = 210$

б) Стороны $25$ и $29$ , $S = 360$ . Найдите третью сторону.

$sin C = \frac{144}{145}$ , $cos C = \frac{17}{145}$

$x^{2} = 1466 - 170 = 1296$

$x = 36$

ещё $cos C = - \frac{17}{145}$ :

$x^{2} = 1636$ , $x = 2409$

в) $A B = 10$ , $BC = 17$ , $C A = 21$ . Отрезок касательной из $B$ ?

$p = 24$

из $B$ : $p - BC$

$24 - 17 = 7$

против $B$ — сторона $C A$

$24 - 21 = 3$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Вычли основания вместо сложения (ошибка строки 3). Ловушка: 27·10·2·15 = 8100 — «красивый» ответ 90 не гарантирует верность. Верно: 17, 25, 28 ⇒ 210.
б) Потерян тупоугольный случай: cos C = ±17/145, x² = 625 + 841 ∓ 2·25·29·17/145 = 1466 ∓ 170 ⇒ 1296 или 1636. Ответ: 36 или 2√409 (≈ 40,4).
в) Вычли прилежащую сторону. Проверка: из A — 24 − 17 = 7, из B — 3, из C — 24 − 10 = 14; AB = 7 + 3 = 10 ✓, BC = 3 + 14 = 17 ✓, CA = 7 + 14 = 21 ✓.

R01.8

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаСтороны $17$ , $25$ , $28$ . Синус угла против стороны $17$ ? $\frac{3}{5}$
базаСтороны $11$ , $13$ , $20$ . Найдите $r$ . $3$
базаСтороны $7$ , $8$ , $9$ . На какие отрезки точка касания делит сторону $9$ ? $4$ и $5$

базаДиагонали трапеции $15$ и $20$ , сумма оснований $25$ . Найдите $S$ . $150$
базаСтороны $4$ и $13$ , $S = 24$ . Найдите третью сторону. $15$ или $145$
базаПарус: $4$ м, $5$ м, $7$ м. Хватит ли $10 м^{2}$ ткани? да: $46 \approx 9, 8$

R01.8

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Периметр $42$ , одна сторона $14$ , $S = 84$ . Найдите две другие стороны. $13$ и $15$
повыш.Диагонали трапеции $9$ и $12$ , $S = 54$ . Найдите среднюю линию. $7, 5$
повыш.Стороны $13$ , $14$ , $15$ ; вписанная окружность касается стороны $14$ в точке $K$ . Найдите расстояние от $K$ до основания высоты к этой стороне. $1$
повыш.Докажите: $r = \frac{( p - a ) ( p - b ) ( p - c )}{p}$ . $r = \frac{S}{p}$ и формула Герона

2,5 мин · практика
1) p = 21, p − 14 = 7: 21·7·(p − b)(p − c) = 7056 ⇒ (p − b)(p − c) = 48, (p − b) + (p − c) = a = 14 ⇒ 6 и 8 ⇒ b = 15, c = 13.
2) S = ½·9·12·sin φ = 54 ⇒ sin φ = 1, диагонали перпендикулярны; треугольник 9, 12, a + b прямоугольный ⇒ a + b = 15, средняя линия 7,5.
3) BC = 14: точка касания K — на расстоянии p − CA = 21 − 15 = 6 от B; основание высоты H: BH = 5 (AB² − BH² = AC² − HC², 169 − BH² = 225 − (14 − BH)²). KH = 1. На чертеже слайда 6 — точки (6; 0) и (5; 0).
4) r = S/p = √(p(p − a)(p − b)(p − c))/p = √((p − a)(p − b)(p − c)/p). Для 13, 14, 15: √(7·6·8/21) = √16 = 4 ✓.

R01.8 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 16 и 23

Короткий ответ и развёрнутое решение

ОГЭ 15Стороны треугольника $10$ , $10$ , $16$ . Найдите высоту, проведённую к боковой стороне. $9, 6$
ОГЭ 16Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами $25$ , $29$ , $36$ . $8$

ОГЭ 23 Диагонали трапеции $20$ и $13$ , основания $18$ и $3$ . Найдите площадь трапеции.

$CE ∥ B D$ : $△ A CE$ со сторонами $20$ , $13$ , $21$

$p = 27$ , $S = 27 \cdot 7 \cdot 14 \cdot 6 = 126$

$S_{A BC D} = S_{A CE} = 126$

2 мин · практика
15) p = 18, S = √(18·8·8·2) = 48; h = 2·48 : 10 = 9,6. Ловушка: высота к основанию (6) — не то, что спрашивают.
16) p = 45, S = √(45·20·16·9) = 360, r = 360 : 45 = 8.
23) Полное решение на 2 балла: через C проведём CE ∥ BD (E на прямой AD); BCED — параллелограмм ⇒ CE = BD = 13, DE = BC = 3, AE = 21. △ACE: p = 27, S = √(27·7·14·6) = √15876 = 126. Треугольники ACE и трапеция имеют равные площади: S_ABC = S_DCE (равные основания BC = DE, общая высота) ⇒ S_ABCD = S_ACD + S_DCE = S_ACE = 126. Ответ: 126 (высота 12).
Чертёж точный: A(0; 0), D(18; 0), B(13; 12), C(16; 12), E(21; 0): AC = 20, BD = CE = 13.

R01.8

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Стороны $17$ , $25$ , $28$ . Синус угла против стороны $25$ ? $\frac{15}{17}$
Стороны $5$ , $6$ , $7$ . На какие отрезки точка касания делит сторону $7$ ? $3$ и $4$
Диагонали трапеции $6$ и $8$ , сумма оснований $10$ . Найдите $S$ . $24$
Стороны $13$ и $14$ , $S = 84$ . Найдите третью сторону. $15$ или $505$

Вариант 2

Стороны $13$ , $20$ , $21$ . Синус угла против стороны $21$ ? $\frac{63}{65}$
Стороны $6$ , $7$ , $9$ . На какие отрезки точка касания делит сторону $9$ ? $4$ и $5$
Диагонали трапеции $9$ и $40$ , сумма оснований $41$ . Найдите $S$ . $180$
Стороны $14$ и $15$ , $S = 84$ . Найдите третью сторону. $13$ или $673$

5 мин · практика
Вариант 1: 1) S = 210, sin = 420/(17·28) = 420/476 = 15/17. 2) p = 9: 9 − 5 = 4 и 9 − 6 = 3. 3) 6, 8, 10 — прямоугольный: 24. 4) 4·169·196 = 132 496; 16·7056 = 112 896; разность 19 600 = 140²; x² = 365 ∓ 140 = 225 или 505 ⇒ 15 или √505.
Вариант 2: 1) p = 27, S = √(27·14·7·6) = 126, sin = 252/260 = 63/65. 2) p = 11: 11 − 6 = 5 и 11 − 7 = 4. 3) 9, 40, 41 — прямоугольный (81 + 1600 = 1681): 180. 4) 4·196·225 = 176 400; разность 63 504 = 252²; x² = 421 ∓ 252 = 169 или 673 ⇒ 13 или √673.
Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3». В задании 4 за один ответ из двух — половина балла. Взаимопроверка по ответам (по щелчку).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что на чертеже означает $p - a$ ?
Почему по двум сторонам и площади бывает два треугольника?
Какой треугольник равновелик трапеции?

Домашнее задание

Стороны $25$ , $29$ , $36$ : отрезки касательных, $r$ , синус наибольшего угла.
Диагонали трапеции $25$ и $17$ , основания $21$ и $7$ . Найдите $S$ и $h$ .
* Отрезки касательных из вершин $2$ , $3$ , $10$ . Найдите стороны, $S$ , $r$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_ploshchadi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-017 · Практикум: формула Герона

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Решение треугольников», 22 ч · урок 17/22 · тип П
Единицы → слайды	R01.8 «Формула Герона» → 2–20 · повторение R01.4, R01.7 (решение треугольников, тригонометрическая площадь) → 4, 5, 8, 9
Результаты	ПР-4 (применять формулу Герона, площади треугольника и трапеции) → 4–20 · ПР-3 (решение треугольников) → 5, 8, 9, 15
Вне урока	площадь выпуклого четырёхугольника — GEOM9U-018
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: формула Герона

Сегодня вы научитесь

Находить углы по трём сторонам

Видеть смысл p−a

Решать обратные задачи

Применять Герона к трапеции

Разогреваем Герона

Три стороны → площадь → всё остальное

Формула Герона

Стороны — корни

Синус угла

Высота

Радиусы

Тупой ли угол?

Синус и косинус наибольшего угла

Образец: AB=17, AC=25, BC=28. Найдите sinA и cosA.

Сам

Отрезки касательных из вершин

Вписанная окружность без построений

Образец: AB=13, BC=14, CA=15. Найдите отрезки касательных и AI.

Сам

Почему ответов бывает два

Третья сторона по площади

Образец: две стороны 13 и 15, S=84. Найдите третью сторону x.

Сам: найдите третью сторону

Сдвигаем диагональ — получаем треугольник

Диагонали и основания → площадь

Образец: диагонали трапеции 13 и 15, основания 10 и 4. Найдите S и h.

Сам

Стороны — три последовательных числа

Докажите: если стороны n−1, n, n+1, тоS=4n​3(n2−4)​.

Сам

Ситуация → ход решения

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Диагонали трапеции 17 и 25, основания 20 и 8. Найдите S.

б) Стороны 25 и 29, S=360. Найдите третью сторону.

в) AB=10, BC=17, CA=21. Отрезок касательной из B?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Короткий ответ и развёрнутое решение

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-017 · Практикум: формула Герона

Видеть смысл $p - a$

Образец: $A B = 17$ , $A C = 25$ , $BC = 28$ . Найдите $sin A$ и $cos A$ .

Образец: $A B = 13$ , $BC = 14$ , $C A = 15$ . Найдите отрезки касательных и $A I$ .

Образец: две стороны $13$ и $15$ , $S = 84$ . Найдите третью сторону $x$ .

Образец: диагонали трапеции $13$ и $15$ , основания $10$ и $4$ . Найдите $S$ и $h$ .

Докажите: если стороны $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ , то
$S = \frac{n}{4} 3 (n^{2} - 4)$ .

а) Диагонали трапеции $17$ и $25$ , основания $20$ и $8$ . Найдите $S$ .

б) Стороны $25$ и $29$ , $S = 360$ . Найдите третью сторону.

в) $A B = 10$ , $BC = 17$ , $C A = 21$ . Отрезок касательной из $B$ ?