Решение треугольников · урок 16 из 22 · практикум

Практикум: площадь треугольника и параллелограмма через синус

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9U-016

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Решение треугольников» (22 ч), урок 16/22, единица R01.7 «Тригонометрические формулы для площади треугольника, параллелограмма». Тип урока — П (практикум к уроку GEOM9U-007).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка формул 2,5 · схема выбора 2 · метод: отношение площадей 2 · метод площадей (учитель решает) 2,5 · дополнительно S = abc/(4R) 2.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Новое по сравнению с уроком 7: связки «площадь + теорема косинусов», стороны параллелограмма по диагоналям, площади частей фигуры, метод площадей (биссектриса), площадь по трём сторонам через косинус — подготовка к формуле Герона (урок 17).
Если не успеваете: слайд «Дополнительно» (S = abc/(4R)) и третье задание образцов 4 и 6 — в ДЗ.

R01.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу

по тому, что дано: стороны и угол, диагонали, площадь (ПР-4)

Связывать площадь и стороны

площадь → угол → теорема косинусов → сторона или диагональ (ПР-3)

Делить фигуру на части

площади частей по отношению сторон, метод площадей (ПР-4)

Решать задачи ОГЭ

линии 15, 17 и 23, участки и детали из жизни (ПР-1)

повторение: уроки 7 и 15

Разминка · устно

Синусы, высота и теорема косинусов

$sin 12 0^{\circ}$ и $sin 15 0^{\circ}$ $\frac{3}{2}$ и $\frac{1}{2}$
$sin α = \frac{1}{2}$ , $0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ . $α$ ? $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$
На рисунке: высота $B H$ ? $5 sin 6 0^{\circ} = \frac{5 3}{2}$
Площадь $△ A BC$ ? $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{3}{2} = 103$
Сторона $A B$ ? $64 + 25 - 40 = 7$
Площадь параллелограмма со сторонами $8$ и $5$ и углом $6 0^{\circ}$ ? $203$

R01.7

Сводка · формулы площади через синус

Четыре формулы урока 7

Треугольник

S = \frac{1}{2} a b sin C

угол — между сторонами

a

и

b

Параллелограмм

S = a b sin α

любой из двух углов параллелограмма

Ромб

S = a^{2} sin α

частный случай:

a = b

Параллелограмм через диагонали

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ

φ

— угол между диагоналями

R01.7 · R01.5

Схема · как выбрать путь к площади

Что дано → что делать

Дано	Первый шаг	Площадь
две стороны и угол между ними	—	$S = \frac{1}{2} ab sin C$
две стороны и угол не между ними	теорема синусов → нужный угол	$S = \frac{1}{2} ab sin C$
три стороны	теорема косинусов → $cos C$ → $sin C$	$S = \frac{1}{2} ab sin C$
площадь и две стороны	$sin C = \frac{2 S}{ab}$ — два угла	→ третья сторона по т. косинусов
площадь, нужна высота	—	$h_{a} = \frac{2 S}{a}$ (параллелограмм: $\frac{S}{a}$ )

R01.7

Образец → сам · площадь и высота

Тупой угол: высота падает на продолжение

Образец: $A B = 12$ , $A C = 10$ , $∠ A = 15 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC}$ и высоту $C H$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot sin 15 0^{\circ} = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30$ $S = \frac{1}{2} b c sin A$

$C H = \frac{2 S}{A B} = \frac{60}{12} = 5$ $S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C H$

Проверка: $C H = 10 sin 3 0^{\circ} = 5$ ✓ $△ A C H$ , $∠ C A H = 3 0^{\circ}$

Сам

$a = 5$ , $b = 8$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $S$ и высоту к стороне $b$ . $103$ ; $\frac{5 3}{2}$
Равнобедренный треугольник: боковая сторона $10$ , угол при вершине $3 0^{\circ}$ . $S$ ? $25$
$a = b = 6$ , $S = 18$ . Найдите $∠ C$ . $9 0^{\circ}$ — единственный

R01.7 · R01.5

Образец → сам · площадь и диагональ параллелограмма

Площадь + теорема косинусов

Образец: $A B = 6$ , $A D = 10$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC D}$ и большую диагональ.

$S = 6 \cdot 10 \cdot sin 6 0^{\circ} = 303$ $S = ab sin α$

$∠ B = 12 0^{\circ}$ — против большей диагонали $A C$

$A C^{2} = 36 + 100 + 60 = 196$ , $A C = 14$ т. косинусов

Сам

Периметр ромба $24$ , один из углов $15 0^{\circ}$ . $S$ ? $18$
Стороны $8$ и $10$ , угол $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ и обе высоты. $402$ ; $42$ и $52$
Площадь ромба $50$ , сторона $10$ . Найдите углы. $3 0^{\circ}$ и $15 0^{\circ}$

R01.7 · R01.5

Образец → сам · по диагоналям

Диагонали и угол между ними → площадь и стороны

Образец: $A C = 16$ , $B D = 10$ , $∠ COB = 6 0^{\circ}$ . Найдите $S$ и стороны.

$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 10 \cdot sin 6 0^{\circ} = 403$ $\frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$

$B C^{2} = 8^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 49$ , $BC = 7$ $△ BOC$

$A B^{2} = 64 + 25 + 40 = 129$ , $A B = 129$ $∠ A OB = 12 0^{\circ}$

Сам

$d_{1} = 6$ , $d_{2} = 8$ , $φ = 4 5^{\circ}$ . $S$ ? $122$
$S = 30$ , $d_{1} = 10$ , $d_{2} = 12$ . Острый угол между диагоналями? $3 0^{\circ}$
Диагональ прямоугольника $8$ , угол между диагоналями $3 0^{\circ}$ . $S$ ? $16$

R01.7

Метод · отношение площадей (учитель доказывает)

Общая сторона и углы, дающие в сумме $18 0^{\circ}$

Дано:

D \in BC

,

∠ A D B = φ

.
Доказать:

S_{A B D} : S_{A D C} = B D : D C

.

1

S_{A B D} = \frac{1}{2} A D \cdot B D sin φ

S = \frac{1}{2} ab sin C

2

S_{A D C} = \frac{1}{2} A D \cdot D C sin (18 0^{\circ} - φ)

∠ A D C

смежный с

∠ A D B

3

sin (18 0^{\circ} - φ) = sin φ

формула приведения

★

\frac{S _{A B D}}{S _{A D C}} = \frac{B D}{D C}

; в общем случае при равных углах или углах с суммой

18 0^{\circ}

площади относятся как произведения сторон

R01.7

Образец → сам · площади частей

Часть параллелограмма — без высот

Образец: $S_{A BC D} = 48$ , $A N : NB = 3 : 1$ , $A M : M D = 1 : 2$ . Найдите $S_{A NM}$ .

$S_{A NM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} A B \cdot \frac{1}{3} A D \cdot sin A$ $S = \frac{1}{2} ab sin C$

$= \frac{1}{8} \cdot A B \cdot A D sin A = \frac{1}{8} S_{A BC D}$ $S = ab sin α$

$S_{A NM} = \frac{48}{8} = 6$

Сам

$S_{A BC} = 40$ , $D$ — середина $A B$ , $BE : EC = 1 : 3$ . Найдите $S_{D BE}$ . $5$
В образце найдите $S_{CNM}$ . $48 - 6 - 6 - 16 = 20$
Докажите: диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих треугольника. половины диагоналей и $sin φ = sin (18 0^{\circ} - φ)$

R01.7 · R01.5

Образец → сам · обратная задача + теорема косинусов

По площади — угол, по углу — сторона

Образец: $A C = 8$ , $BC = 5$ , $S = 103$ , $∠ C$ тупой. Найдите $A B$ .

$sin C = \frac{2 S}{ab} = \frac{20 3}{40} = \frac{3}{2}$ из $S = \frac{1}{2} ab sin C$

$∠ C$ тупой $\Rightarrow ∠ C = 12 0^{\circ}$ второй угол $6 0^{\circ}$ отброшен

$A B^{2} = 64 + 25 + 40 = 129$ , $A B = 129$ т. косинусов

Сам

То же условие, но $∠ C$ острый. $A B$ ? $7$
Стороны треугольника $5$ , $7$ , $8$ . Найдите $S$ . $cos = \frac{1}{2}$ ; $S = 103$
Стороны $5$ , $5$ , $6$ . Найдите $S$ через угол между сторонами $5$ и $5$ . $cos = 0, 28$ , $sin = 0, 96$ ; $S = 12$

R01.7

Метод площадей · учитель решает

Биссектриса через площади

Дано:

A B = 6

,

A C = 12

,

∠ A = 12 0^{\circ}

,

A D

— биссектриса.
Найти:

A D = l

.

1

S_{A BC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 \cdot sin 12 0^{\circ} = 183

S = \frac{1}{2} b c sin A

2

S_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot 6 l sin 6 0^{\circ}

,

S_{A D C} = \frac{1}{2} \cdot 12 l sin 6 0^{\circ}

биссектриса делит

∠ A

на два по

6 0^{\circ}

3

\frac{3}{4} (6 + 12) l = 183

S_{A B D} + S_{A D C} = S_{A BC}

★

l = 4

R01.7 · R01.6

Образец → сам · задача из жизни

Участок, плитка, парус

Образец: участок — треугольник со сторонами $40$ м и $50$ м и углом $12 0^{\circ}$ между ними. Сколько это соток?

$S = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 50 \cdot sin 12 0^{\circ} = 5003 м^{2}$

$5003 \approx 866 м^{2} \approx 8, 7$ сотки $1$ сотка $= 100 м^{2}$

Сам

Плитка — ромб со стороной $20$ см и углом $6 0^{\circ}$ . Сколько плиток на $1 м^{2}$ ? $\approx 346 см^{2}$ ; $29$ плиток
Парус: стороны $3$ м и $4$ м, угол $5 0^{\circ}$ (по калькулятору $sin 5 0^{\circ} \approx 0, 766$ ). $\approx 4, 6 м^{2}$
Газон — параллелограмм $12$ м на $15$ м с углом $3 0^{\circ}$ ; семян $40$ г на $1 м^{2}$ . Сколько кг? $90 м^{2}$ ; $3, 6$ кг

R01.7 · R01.5

Дополнительно · площадь и радиус описанной окружности

$S = \frac{ab c}{4 R}$ — из теоремы синусов

1

\frac{c}{sin C} = 2 R \Rightarrow sin C = \frac{c}{2 R}

теорема синусов (урок 5)

2

S = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} ab \cdot \frac{c}{2 R}

подставили синус

★

S = \frac{ab c}{4 R}

,

R = \frac{ab c}{4 S}

Проверка: прямоугольный треугольник

6, 8, 10

:

R = 5

,

S = \frac{480}{20} = 24 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8

✓

R01.7

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$S = \frac{1}{2} A B \cdot BC sin A$	угол $A$ не лежит между $A B$ и $BC$	$S = \frac{1}{2} A B \cdot BC sin B$
$S_{парал .} = d_{1} d_{2} sin φ$	четыре треугольника по $\frac{1}{8} d_{1} d_{2} sin φ$	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$
$sin C = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 3 0^{\circ}$	на $(0^{\circ}; 18 0^{\circ})$ синус $\frac{1}{2}$ у двух углов	$C = 3 0^{\circ}$ или $C = 15 0^{\circ}$
$S = ab cos α$	высота $h = b sin α$ — противолежащий катет	$S = ab sin α$

R01.7

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Диагонали параллелограмма $10$ и $12$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$S_{A OB} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 7, 5$

$S = 2 \cdot 7, 5 = 15$

треугольников четыре: $S = 4 \cdot 7, 5 = 30$

б) $A B = 8$ , $BC = 5$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC}$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot sin 3 0^{\circ} = 10$

$∠ A$ не между $A B$ и $BC$ ; нужен $∠ B$ — сначала теорема синусов

в) $a = 6$ , $b = 10$ , $S = 15$ . Найдите $c$ .

$sin C = \frac{1}{2}$ , $C = 3 0^{\circ}$

$c^{2} = 136 - 603$

ещё $C = 15 0^{\circ}$ : $c^{2} = 136 + 603$ — два ответа

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Половины диагоналей 5 и 6 найдены верно, но диагонали делят параллелограмм на 4 равновеликих треугольника: S = 30 (= ½ · 10 · 12 · ½).
б) Формулу нельзя применять: угол A лежит между AB и AC. По теореме синусов sin C = 8 · ½ / 5 = 0,8 — угол C может быть острым или тупым, так что треугольников два и площадей тоже две (данных для однозначного ответа нет).
в) sin C = 2 · 15/60 = ½ ⇒ C = 30° или 150°; c² = 36 + 100 ∓ 2 · 60 · (√3/2) = 136 ∓ 60√3; c = √(136 − 60√3) ≈ 5,7 или c = √(136 + 60√3) ≈ 15,5.

R01.7

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $a = 7$ , $b = 4$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $7$
база $a = b = 8$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $163$
базаСтороны параллелограмма $5$ и $12$ , угол $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $30$
базаСторона ромба $9$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $40, 5$
базаДиагонали параллелограмма $8$ и $10$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $20$
база $S = 12$ , $a = 4$ , $b = 12$ . Найдите $∠ C$ . $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$

R01.7 · R01.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны параллелограмма $6$ и $8$ , $S = 243$ . Найдите меньшую диагональ. $213$
повыш. $A B = 4$ , $A C = 6$ , $S_{A BC} = 63$ . Найдите $BC$ . $27$ или $219$
повыш.Трапеция: основания $4$ и $10$ , боковая сторона $6$ образует с большим основанием угол $3 0^{\circ}$ . $S$ ? $21$
исследуйДве стороны треугольника $6$ и $10$ . При каком угле между ними площадь равна $15$ ? Наибольшая площадь? $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$ ; $30$ при $9 0^{\circ}$

R01.7 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17 и 23

Ответ — одно число

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ $A B = 12$ , $BC = 15$ , $sin ∠ A BC = \frac{4}{5}$ . Найдите площадь. $72$
ОГЭ 15 $BC = 8$ , $A C = 14$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC}$ . $28$
ОГЭ 17Сторона ромба $12$ , один из углов $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь. $72$
ОГЭ 17Стороны параллелограмма $10$ и $18$ , угол $4 5^{\circ}$ . Найдите $S : 2$ . $90$

ОГЭ 23 В треугольнике $A BC$ $A B = 3$ , $A C = 6$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите биссектрису $A D$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 sin 12 0^{\circ} = \frac{1}{2} (3 + 6) l sin 6 0^{\circ}$

$18 = 9 l$ , $l = 2$

R01.7

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$a = 6$ , $b = 10$ , $∠ C = 15 0^{\circ}$ . $S$ ? $15$
Ромб: сторона $4$ , угол $4 5^{\circ}$ . $S$ ? $82$
Параллелограмм: $d_{1} = 12$ , $d_{2} = 14$ , $φ = 3 0^{\circ}$ . $S$ ? $42$
Стороны $6$ и $10$ , $S = 153$ , угол между ними тупой. Найдите третью сторону. $14$

Вариант 2

$a = 8$ , $b = 9$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . $S$ ? $18$
Ромб: сторона $6$ , угол $13 5^{\circ}$ . $S$ ? $182$
Параллелограмм: $d_{1} = 10$ , $d_{2} = 18$ , $φ = 15 0^{\circ}$ . $S$ ? $45$
Стороны $3$ и $5$ , $S = \frac{15 3}{4}$ , угол между ними тупой. Найдите третью сторону. $7$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какой угол стоит в формуле $\frac{1}{2} ab sin C$ ?
Почему в обратной задаче бывает два ответа?
Как найти площадь по трём сторонам?

Домашнее задание

$A B = 10$ , $A C = 6$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $S$ , $BC$ и высоту к $BC$ .
Параллелограмм: $d_{1} = 62$ , $d_{2} = 10$ , $φ = 4 5^{\circ}$ . $S$ ?
* Методом площадей докажите: $B D : D C = A B : A C$ для биссектрисы $A D$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_ploshchadi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-016 · Практикум: тригонометрические формулы для площади треугольника, параллелограмма

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Решение треугольников», 22 ч · урок 16/22 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R01.7 «Тригонометрические формулы для площади треугольника, параллелограмма» → 2, 4–21 · повторение R01.5–R01.6 → 3, 7, 8, 11
Результаты	ПР-4 (тригонометрия в задачах на площадь: треугольник, параллелограмм, ромб, трапеция) → 4–21 · ПР-3 (теоремы синусов и косинусов) → 5, 7, 8, 11, 14 · ПР-1 (вычисления с калькулятором) → 13
Вне урока	формула Герона — GEOM9U-017; площадь выпуклого четырёхугольника через диагонали — GEOM9U-018; S = abc/(4R) — «Дополнительно» (сл. 14)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: площадь треугольника и параллелограмма через синус

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу

Связывать площадь и стороны

Делить фигуру на части

Решать задачи ОГЭ

Синусы, высота и теорема косинусов

Четыре формулы урока 7

Что дано → что делать

Тупой угол: высота падает на продолжение

Образец: AB=12, AC=10, ∠A=150∘. Найдите SABC​ и высоту CH.

Сам

Площадь + теорема косинусов

Образец: AB=6, AD=10, ∠A=60∘. Найдите SABCD​ и большую диагональ.

Сам

Диагонали и угол между ними → площадь и стороны

Образец: AC=16, BD=10, ∠COB=60∘. Найдите S и стороны.

Сам

Общая сторона и углы, дающие в сумме 180∘

Часть параллелограмма — без высот

Образец: SABCD​=48, AN:NB=3:1, AM:MD=1:2. Найдите SANM​.

Сам

По площади — угол, по углу — сторона

Образец: AC=8, BC=5, S=103​, ∠C тупой. Найдите AB.

Сам

Биссектриса через площади

Участок, плитка, парус

Образец: участок — треугольник со сторонами 40 м и 50 м и углом 120∘ между ними. Сколько это соток?

Сам

S=4Rabc​ — из теоремы синусов

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Диагонали параллелограмма 10 и 12, угол между ними 30∘. Найдите S.

б) AB=8, BC=5, ∠A=30∘. Найдите SABC​.

в) a=6, b=10, S=15. Найдите c.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-016 · Практикум: тригонометрические формулы для площади треугольника, параллелограмма

Образец: $A B = 12$ , $A C = 10$ , $∠ A = 15 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC}$ и высоту $C H$ .

Образец: $A B = 6$ , $A D = 10$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC D}$ и большую диагональ.

Образец: $A C = 16$ , $B D = 10$ , $∠ COB = 6 0^{\circ}$ . Найдите $S$ и стороны.

Общая сторона и углы, дающие в сумме $18 0^{\circ}$

Образец: $S_{A BC D} = 48$ , $A N : NB = 3 : 1$ , $A M : M D = 1 : 2$ . Найдите $S_{A NM}$ .

Образец: $A C = 8$ , $BC = 5$ , $S = 103$ , $∠ C$ тупой. Найдите $A B$ .

Образец: участок — треугольник со сторонами $40$ м и $50$ м и углом $12 0^{\circ}$ между ними. Сколько это соток?

$S = \frac{ab c}{4 R}$ — из теоремы синусов

а) Диагонали параллелограмма $10$ и $12$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

б) $A B = 8$ , $BC = 5$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC}$ .

в) $a = 6$ , $b = 10$ , $S = 15$ . Найдите $c$ .