Решение треугольников · урок 15 из 22 · практикум

Практикум: практические задачи на теоремы косинусов и синусов

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9U-015

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Решение треугольников» (22 ч), урок 15/22, единица R01.6. Тип урока — П (практикум): теория — только сводка и три короткие модели, остальное решают ученики.
Теория (12): титул 0,5 · цели 1 · сводка «ситуация → треугольник → теорема» 3 · модель «курсовые углы» 2,5 · модель «сложение сил» 2,5 · модель «склон» 2,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 3 + 3 + 3 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 3 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Новое по сравнению с уроком 6 (GEOM9U-006: река, башня, озеро, две недоступные точки): навигация по курсовым углам, равнодействующая сил, направление тоннеля, столб на склоне, крыша. Нужны калькуляторы (DEG); промежуточные значения не округлять.

R01.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть треугольник

в задаче о судне и маяке, о силах, о склоне и крыше (ПР-3)

Находить углы модели

через сумму углов, смежные и внешний угол — до выбора теоремы

Выбирать теорему

косинусов или синусов; угол по косинусу — однозначно

Считать и проверять

нетабличные значения — на калькуляторе, ответ — на правдоподобие (ПР-1, ПР-2)

1 мин · теория
ПР-3: «Доказывать теорему синусов и теорему косинусов, применять их для нахождения различных элементов треугольника („решение треугольников“), при решении геометрических задач. Применять полученные знания при решении практических задач».
ПР-1: «…Находить (с помощью калькулятора) длины и углы для нетабличных значений». ПР-2: формулы приведения и основное тригонометрическое тождество (задача о крыше — без калькулятора).
Вид деятельности ФРП R01: «Решать практические задачи, сводящиеся к нахождению различных элементов треугольника».

повторение: R01.1–R01.5

Разминка · устно

Что пригодится сегодня

$sin 12 0^{\circ} = ?$ $\frac{3}{2}$
$cos 13 5^{\circ} = ?$ $- \frac{2}{2}$
Стороны $2$ и $3$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Квадрат третьей стороны? $7$

Внешний угол треугольника $7 0^{\circ}$ , один угол, не смежный с ним, $2 5^{\circ}$ . Другой? $4 5^{\circ}$
Угол между направлениями «на север» и «на юго-запад»? $13 5^{\circ}$
$cos C < 0$ . Угол $C$ ? Сторона $c$ ? тупой; $c$ — наибольшая

R01.4–R01.6

Сводка · ситуация → треугольник → теорема

Сначала углы модели, потом теорема

Ситуация	Что известно в треугольнике	Теорема
судно и маяк	путь и два курсовых угла → сторона и два угла	синусов
две силы, скорости	две стороны и угол $18 0^{\circ} - θ$ между ними	косинусов
тоннель, направление	три стороны → угол	косинусов: $cos$ однозначен
столб на склоне	сторона и углы: разность и $9 0^{\circ} + γ$	синусов

План: рисунок → углы треугольника (сумма, смежные, внешний) → теорема → округляем в конце → проверка: против большего угла — большая сторона.

3 мин · теория
Таблицу открываем строками после вопроса классу: «Что здесь измерено? Какие элементы треугольника это дают?»
Главная трудность практических задач — не теорема, а углы модели: курсовой угол, угол склона, угол между силами — это не всегда угол треугольника. Его находят через смежный, внешний угол или сумму углов.
Угол по теореме синусов: sin x = 0,98 даёт два угла — x ≈ 79° и x ≈ 101°. По теореме косинусов угол от 0° до 180° находится однозначно — поэтому неизвестный угол лучше искать через косинус.

R01.6

Модель · курсовые углы

Как далеко маяк и как близко пройдём

Курсовой угол — между курсом и направлением на объект. В

A

он

α

, через путь

a

в

B

—

β

.

∠ A MB = β - α

β

— внешний угол

△ A BM

BM = \frac{a sin α}{sin ( β - α )}

теорема синусов

d = BM sin β

ближайшее расстояние,

△ B H M

2,5 мин · теория
Ситуация: судно идёт прямым курсом, штурман дважды измеряет курсовой угол на маяк M и знает путь AB = a (скорость × время). По тем же формулам, что задача о башне с недоступным основанием из урока 6, но в горизонтальной плоскости.
Вывод: в △ABM угол при B смежный с β: 180° − β; ∠AMB = 180° − α − (180° − β) = β − α. Теорема синусов: BM / sin α = AB / sin(β − α).
Ближайшее расстояние до маяка — перпендикуляр MH к линии курса: d = BM sin β (если β > 90°, точка H уже пройдена, а sin β = sin(180° − β) — формула та же).
Вопрос: зачем штурману d? (Мели и рифы вокруг маяка: проходить ближе опасно.)

R01.6

Образец → сам · курсовые углы

Расстояние до маяка

Образец: $A B = 10$ миль, курсовой угол в $A$ — $3 0^{\circ}$ , в $B$ — $7 5^{\circ}$ . Найдите $BM$ и $d$ .

$∠ M = 7 5^{\circ} - 3 0^{\circ} = 4 5^{\circ}$ внешний угол

$BM = \frac{10 sin 3 0 ^{\circ}}{sin 4 5 ^{\circ}} = 52 \approx 7, 07$ мили т. синусов

$d = BM sin 7 5^{\circ} \approx 6, 83$ мили $△ B H M$

Сам: найдите $BM$

$A B = 12$ миль, углы $3 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ ; ещё $d$ $BM = 12$ ; $d = 63 \approx 10, 4$ мили
$A B = 20$ миль, углы $4 5^{\circ}$ и $9 0^{\circ}$ (маяк на траверзе) $20$ миль
$A B = 8$ миль, углы $4 0^{\circ}$ и $10 0^{\circ}$ $\approx 5, 94$ мили

3 мин · практика
Образец: BM = 10 · 0,5 / (√2/2) = 5√2 ≈ 7,07; d = 5√2 · sin 75° = 2,5(√3 + 1) ≈ 6,83 мили. Проверка: d < BM — катет меньше гипотенузы.
1) ∠M = 30° = α ⇒ △ABM равнобедренный, BM = AB = 12; d = 12 sin 60° = 6√3 ≈ 10,39 мили. Правило штурманов «удвоение угла»: если β = 2α, то расстояние до маяка равно пройденному пути.
2) ∠M = 45° = α ⇒ BM = 20 миль; маяк на траверзе (β = 90°) — это и есть ближайшее расстояние d = 20.
3) ∠M = 60°: BM = 8 sin 40° / sin 60° ≈ 8 · 0,6428 / 0,8660 ≈ 5,94 мили (d = BM sin 100° ≈ 5,85).

R01.6

Модель · сложение сил

Равнодействующая — диагональ параллелограмма

Силы

F_{1}

,

F_{2}

приложены к точке

O

, угол между ними

θ

.

в треугольнике сил угол

18 0^{\circ} - θ

соседние углы параллелограмма

R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} cos θ

т. косинусов:

cos (18 0^{\circ} - θ) = - cos θ

cos φ = \frac{F _{1}^{2} + R ^{2} - F _{2}^{2}}{2 F _{1} R}

направление

R

2,5 мин · теория
Из физики: равнодействующая двух сил — диагональ параллелограмма, построенного на силах (правило параллелограмма; векторы подробно — строка R04).
Вывод: в треугольнике O, конец F₁, конец R стороны F₁ и F₂ (противоположная сторона параллелограмма), угол между ними 180° − θ. Теорема косинусов + формула приведения cos(180° − θ) = −cos θ дают «плюс» в формуле.
Проверки: θ = 0° ⇒ R = F₁ + F₂; θ = 180° ⇒ R = |F₁ − F₂|; θ = 90° ⇒ теорема Пифагора.
Та же модель — скорость самолёта при боковом ветре, лодки при течении.

R01.6

Образец → сам · равнодействующая

Две силы под углом

Образец: $F_{1} = 30$ Н, $F_{2} = 50$ Н, угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ и угол $φ$ между $R$ и $F_{1}$ .

$R^{2} = 900 + 2500 + 2 \cdot 30 \cdot 50 \cdot \frac{1}{2} = 4900$ , $R = 70$ Н

$cos φ = \frac{900 + 4900 - 2500}{2 \cdot 30 \cdot 70} = \frac{11}{14}$ , $φ \approx 38, 2^{\circ}$ т. косинусов

Сам

$F_{1} = 6$ Н, $F_{2} = 8$ Н, угол $9 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $10$ Н
$F_{1} = 3$ Н, $F_{2} = 5$ Н, угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $19 \approx 4, 36$ Н
$F_{1} = 5$ Н, $F_{2} = 3$ Н, $R = 7$ Н. Угол между силами? $6 0^{\circ}$

R01.6

Образец → сам · направление тоннеля

Длина тоннеля и угол, под которым копать

Образец: $C A = 400$ м, $CB = 600$ м, $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ и $∠ C A B$ .

$A B^{2} = 280000$ , $A B = 2007 \approx 529, 2$ м т. косинусов

$cos A = \frac{A B ^{2} + C A ^{2} - C B ^{2}}{2 \cdot A B \cdot C A} = \frac{7}{14}$ , $∠ A \approx 79, 1^{\circ}$

Сам

$C A = 5$ км, $CB = 3$ км, $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ и $∠ A$ . $7$ км; $\approx 21, 8^{\circ}$
$C A = CB = 500$ м, $∠ C = 4 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ и $∠ A$ . $\approx 342, 0$ м; $7 0^{\circ}$
$C A = 8$ , $CB = 5$ , $A B = 7$ км. Под каким углом из $C$ виден $A B$ ? $6 0^{\circ}$

3 мин · практика
Ситуация: тоннель через холм роют с двух сторон навстречу; из точки C видны оба входа. Нужны длина AB и угол CAB — направление проходки от A.
Образец: AB = √280 000 = 200√7 ≈ 529,15 м. cos A = (280 000 + 160 000 − 360 000)/(2 · 200√7 · 400) = 80 000/(160 000√7) = 1/(2√7) = √7/14 ≈ 0,189 ⇒ ∠A ≈ 79,1°. Через синус: sin A = 600 sin 60° / 529,15 ≈ 0,982 — два кандидата 79,1° и 100,9°; выбор требует отдельного рассуждения, косинус даёт ответ сразу.
1) AB² = 25 + 9 + 15 = 49 ⇒ 7 км; cos A = (49 + 25 − 9)/(2 · 7 · 5) = 65/70 = 13/14 ⇒ ∠A ≈ 21,8°.
2) Равнобедренный: ∠A = (180° − 40°)/2 = 70°; AB = 2 · 500 · sin 20° ≈ 342,0 м (или по т. косинусов: 500 000 − 500 000 cos 40°).
3) cos C = (64 + 25 − 49)/80 = 1/2 ⇒ 60°.

R01.6

Модель · вертикальный столб на склоне

Склон под углом $γ$ : треугольник не прямоугольный

Из

A

вниз по склону (

A P = l

) вершина

T

видна под углом

ε

к горизонту.

∠ T A P = ε - γ

,

∠ A PT = 9 0^{\circ} + γ

столб вертикален, а не перпендикулярен склону

∠ A TP = 9 0^{\circ} - ε

сумма углов треугольника

h = \frac{l sin ( ε - γ )}{cos ε}

т. синусов:

sin (9 0^{\circ} - ε) = cos ε

2,5 мин · теория
Ситуация: столб (дерево, опора ЛЭП) стоит вертикально на склоне с углом γ к горизонту; наблюдатель внизу, в A, рулеткой измеряет AP = l вдоль склона, угломером — угол подъёма ε на вершину.
Углы: ∠TAP = ε − γ (из угла с горизонтом вычитаем угол склона). ∠APT: продолжение склона за P образует с горизонтом γ, вертикаль с горизонтом 90°, поэтому между PA (вниз по склону) и PT (вверх) — 90° + γ.
∠ATP = 180° − (ε − γ) − (90° + γ) = 90° − ε. Теорема синусов: h / sin(ε − γ) = l / sin(90° − ε).
Вопрос: γ = 0 — что получится? (h = l tg ε — прямоугольный треугольник, как в 8 классе.)

R01.6

Образец → сам · склон

Высота столба на склоне

Образец: склон $1 5^{\circ}$ , $A P = 20$ м, вершина видна из $A$ под углом $4 5^{\circ}$ к горизонту. Найдите $h$ .

$∠ T A P = 3 0^{\circ}$ , $∠ A PT = 10 5^{\circ}$ , $∠ T = 4 5^{\circ}$ углы модели

$h = \frac{20 sin 3 0 ^{\circ}}{sin 4 5 ^{\circ}} = 102 \approx 14, 1$ м т. синусов

Сам

Склон $3 0^{\circ}$ , $A P = 30$ м, угол подъёма $6 0^{\circ}$ . Найдите $h$ . $30$ м
В задаче 1 найдите $A T$ . $303 \approx 52, 0$ м
Склон $1 0^{\circ}$ , $A P = 50$ м, угол подъёма $4 0^{\circ}$ . Найдите $h$ . $\approx 32, 6$ м

R01.6

Образец → сам · крыша без калькулятора

Высота конька по длинам стропил

Образец: стропила $A C = 5$ м и $BC = 4$ м, пролёт $A B = 6$ м. Найдите высоту конька $h$ .

$cos A = \frac{36 + 25 - 16}{2 \cdot 6 \cdot 5} = \frac{3}{4}$ т. косинусов

$sin A = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{4}$ , $h = 5 sin A = \frac{5 7}{4} \approx 3, 31$ м

Сам

Стропила $5$ и $5$ м, пролёт $8$ м. Найдите $h$ . $3$ м
Фронтон: стороны $13$ и $15$ дм, основание $14$ дм. Найдите $h$ . $12$ дм
Стропила $5$ и $3$ м, пролёт $7$ м. Угол у конька? $12 0^{\circ}$

R01.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$R^{2} = \dots - 2 F_{1} F_{2} cos θ$	в треугольнике сил угол не $θ$ , а $18 0^{\circ} - θ$	$R^{2} = \dots + 2 F_{1} F_{2} cos θ$
склон: $∠ A PT = 9 0^{\circ}$	столб вертикален, а не перпендикулярен склону	$∠ A PT = 9 0^{\circ} + γ$
$sin A \approx 0, 98$ ⇒ $A \approx 7 9^{\circ}$	синус не различает $A$ и $18 0^{\circ} - A$	угол — через $cos A$
маяк: $∠ M = 18 0^{\circ} - α - β$	угол при $B$ в треугольнике — $18 0^{\circ} - β$	$∠ M = β - α$

R01.6

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. Силы $6$ Н и $10$ Н приложены к точке под углом $6 0^{\circ}$ . Найдите равнодействующую $R$ и угол $φ$ между $R$ и силой $10$ Н.

1)В треугольнике сил угол между сторонами $6$ и $10$ равен $6 0^{\circ}$ .

2) $R^{2} = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 76$ , $R \approx 8, 7$ Н.

3) $sin φ = \frac{10 sin 6 0 ^{\circ}}{8 , 7} \approx 0, 995$ , $φ \approx 8 4^{\circ}$ .

Шаг 1: в треугольнике сил угол

18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

.

Шаг 3: против угла

φ

лежит сторона

6

, а не

10

.

Верно:

R^{2} = 196

,

R = 14

Н;

cos φ = \frac{13}{14}

,

φ \approx 21, 8^{\circ}

.

R01.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

БДва трактора тянут под прямым углом с силами $3$ кН и $4$ кН. Равнодействующая? $5$ кН
Б $C A = 3$ км, $CB = 8$ км, $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $7$ км
БКурсовые углы $3 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ , путь $15$ миль. Найдите $BM$ . $15$ миль

БСтороны участка $5$ , $7$ , $8$ м. Угол против стороны $7$ ? $6 0^{\circ}$
БСилы $8$ Н и $8$ Н под углом $12 0^{\circ}$ . Равнодействующая? $8$ Н
БСтропила $5$ и $5$ м, угол у конька $12 0^{\circ}$ . Пролёт? $53 \approx 8, 7$ м

R01.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Модель постройте сами

ПСобственная скорость самолёта $300$ км/ч, попутно-боковой ветер $50$ км/ч дует под углом $6 0^{\circ}$ к курсу. Скорость относительно земли? $\approx 327, 9$ км/ч
ПКурсовые углы на маяк $3 0^{\circ}$ и $4 5^{\circ}$ , путь между замерами $20$ миль, скорость $10$ узлов. На каком расстоянии судно пройдёт от маяка и через сколько часов после второго замера? $10 (3 + 1) \approx 27, 3$ мили; $\approx 2, 7$ ч
ПСтолб $10$ м на склоне $2 0^{\circ}$ , наблюдатель ниже по склону в $25$ м от основания. Под каким углом к горизонту видна вершина? $\approx 38, 3^{\circ}$
ПСилы $7$ Н и $8$ Н, равнодействующая $13$ Н. Угол между силами? $6 0^{\circ}$

R01.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 12, 15 и 23

Ответ — число; в задаче 23 — полное решение

ОГЭ 12Равнодействующую двух сил находят по формуле $R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} cos θ$ . Найдите $R$ , если $F_{1} = 5$ , $F_{2} = 3$ , $cos θ = 0, 5$ . $7$

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $12 0^{\circ}$ , $A C = 3$ , $BC = 5$ . Найдите $A B$ . $7$

ОГЭ 23В параллелограмме $A BC D$ стороны $A B = 3$ , $BC = 5$ , диагональ $A C = 7$ . Найдите угол $A BC$ и диагональ $B D$ .

$cos B = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = - \frac{1}{2}$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$

$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $B D^{2} = 9 + 25 - 15 = 19$

Ответ: $12 0^{\circ}$ ; $19$

2,5 мин · практика
12) R² = 25 + 9 + 2 · 5 · 3 · 0,5 = 49 ⇒ R = 7. В бланк — «7».
15) AB² = 9 + 25 − 2 · 3 · 5 · (−1/2) = 49 ⇒ AB = 7.
23) Обоснования: в △ABC теорема косинусов ⇒ ∠B = 120°; соседний угол параллелограмма ∠A = 180° − 120° = 60°; в △ABD теорема косинусов: BD² = 9 + 25 − 2 · 3 · 5 · 1/2 = 19. Проверка: AC² + BD² = 49 + 19 = 68 = 2(9 + 25) ✓. Это та же картинка, что «равнодействующая»: силы 3 и 5 под углом 60° дают R = 7. Критерии: верное решение с обоснованием — 2 балла; верный ход, арифметическая ошибка — 1 балл.

R01.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Силы $5$ Н и $8$ Н под углом $6 0^{\circ}$ . Равнодействующая? $129 \approx 11, 4$ Н
$C A = 5$ км, $CB = 8$ км, $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $7$ км
Курсовые углы $3 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ , путь $10$ миль. Найдите $d$ . $53 \approx 8, 7$ мили
Стропила $5$ и $5$ м, пролёт $6$ м. Высота конька? $4$ м

Вариант 2

Силы $3$ Н и $8$ Н под углом $6 0^{\circ}$ . Равнодействующая? $97 \approx 9, 8$ Н
$C A = 3$ км, $CB = 5$ км, $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $7$ км
Курсовые углы $3 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ , путь $14$ миль. Найдите $d$ . $73 \approx 12, 1$ мили
Стропила $10$ и $10$ м, пролёт $12$ м. Высота конька? $8$ м

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему в формуле равнодействующей «плюс»?
Чему равен угол между склоном и столбом?
Почему неизвестный угол лучше искать через косинус?

Домашнее задание

Силы $4$ Н и $6$ Н под углом $12 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .
Склон $1 5^{\circ}$ , $A P = 40$ м, угол подъёма на вершину столба $4 5^{\circ}$ . Найдите его высоту.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_reshenie-treugolnikov.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-015 · Практикум: практические задачи на теоремы косинусов и синусов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Решение треугольников», 22 ч · урок 15/22 · тип П
Единицы → слайды	R01.6 «Решение практических задач с использованием теоремы косинусов и теоремы синусов» → 2, 4–19 · повторение R01.1–R01.5 → 3
Результаты	ПР-3 (теоремы синусов и косинусов, практические задачи) → 4–18 · ПР-1 (калькулятор) → 6, 8, 9, 11, 16 · ПР-2 (основное тождество, формулы приведения) → 3, 7, 12
Вне урока	векторы и сложение сил — R04 (здесь только правило параллелограмма как модель); формулы площади — GEOM9U-016
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: практические задачи на теоремы косинусов и синусов

Сегодня вы научитесь

Видеть треугольник

Находить углы модели

Выбирать теорему

Считать и проверять

Что пригодится сегодня

Сначала углы модели, потом теорема

Как далеко маяк и как близко пройдём

Расстояние до маяка

Образец: AB=10 миль, курсовой угол в A — 30∘, в B — 75∘. Найдите BM и d.

Сам: найдите BM

Равнодействующая — диагональ параллелограмма

Две силы под углом

Образец: F1​=30 Н, F2​=50 Н, угол между ними 60∘. Найдите R и угол φ между R и F1​.

Сам

Длина тоннеля и угол, под которым копать

Образец: CA=400 м, CB=600 м, ∠C=60∘. Найдите AB и ∠CAB.

Сам

Склон под углом γ: треугольник не прямоугольный

Высота столба на склоне

Образец: склон 15∘, AP=20 м, вершина видна из A под углом 45∘ к горизонту. Найдите h.

Сам

Высота конька по длинам стропил

Образец: стропила AC=5 м и BC=4 м, пролёт AB=6 м. Найдите высоту конька h.

Сам

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки

Решите и проверьте

Модель постройте сами

Ответ — число; в задаче 23 — полное решение

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-015 · Практикум: практические задачи на теоремы косинусов и синусов

Образец: $A B = 10$ миль, курсовой угол в $A$ — $3 0^{\circ}$ , в $B$ — $7 5^{\circ}$ . Найдите $BM$ и $d$ .

Сам: найдите $BM$

Образец: $F_{1} = 30$ Н, $F_{2} = 50$ Н, угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ и угол $φ$ между $R$ и $F_{1}$ .

Образец: $C A = 400$ м, $CB = 600$ м, $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ и $∠ C A B$ .

Склон под углом $γ$ : треугольник не прямоугольный

Образец: склон $1 5^{\circ}$ , $A P = 20$ м, вершина видна из $A$ под углом $4 5^{\circ}$ к горизонту. Найдите $h$ .

Образец: стропила $A C = 5$ м и $BC = 4$ м, пролёт $A B = 6$ м. Найдите высоту конька $h$ .