Решение треугольников · урок 14 из 22 · практикум

Практикум: теорема косинусов и теорема синусов

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9U-014

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Решение треугольников» (22 ч), урок 14/22, единица R01.5. Тип урока — П (практикум). Теоремы доказаны на уроке 5 (GEOM9U-005); сегодня — задачи углублённого уровня, новые типы.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка теорем 2,5 · следствия 2 · схема четырёх случаев 1,5 · демонстрация «сколько треугольников» 3 · демонстрация «вписанный четырёхугольник» 2,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 5 × 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · из жизни 1,5 · самостоятельная 4,5 · итог 1.
Если не успеваете: третье задание «сам» в образцах 4 и 5 и задача из жизни — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R01.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить сторону из уравнения

теорема косинусов даёт квадратное уравнение — один или два ответа (ПР-3)

Считать число решений

две стороны и угол не между ними: $0$ , $1$ или $2$ треугольника

Работать с двумя треугольниками

медиана, биссектриса, вписанный четырёхугольник (ПР-2, ПР-3)

Доказывать и исследовать

свойство биссектрисы, вид треугольника с параметром, ОГЭ 23

0,5 мин · теория
ПР-3: «Доказывать теорему синусов и теорему косинусов, применять их для нахождения различных элементов треугольника („решение треугольников“), при решении геометрических задач».
ПР-2: «Пользоваться формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством…» — нужно в задачах с углами β и 180° − β (вписанный четырёхугольник, биссектриса).
Виды деятельности ФРП R01: решать задачи по геометрии с использованием теорем косинусов и синусов, находить радиус описанной окружности.

повторение: уроки 5, 12, 13

Разминка · устно

Вспомним всё, что понадобится

$cos 15 0^{\circ} = ?$ $- \frac{3}{2}$
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$ . Чему равен $∠ A$ ? $6 0^{\circ}$
$\frac{a}{sin A} = 10$ . Найдите $R$ . $5$
$sin B = \frac{1}{2}$ , $B$ — угол треугольника. $∠ B = ?$ $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$

Стороны $3$ , $4$ , $6$ . Вид треугольника? тупоугольный
$x^{2} - 8 x + 15 = 0$ $x = 3$ или $x = 5$
$A BC D$ вписан в окружность, $∠ B = 7 0^{\circ}$ . $∠ D = ?$ $11 0^{\circ}$
$cos (18 0^{\circ} - β) = ?$ $- cos β$

R01.5

Сводка · две теоремы

Что доказали на уроке 5

Теорема косинусов

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

угол по сторонам: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$

Теорема синусов

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

хорда: $a = 2 R sin A$ ; синус не различает $α$ и $18 0^{\circ} - α$

2,5 мин · теория
Сводка — без доказательств: их повторяет по вопросу учителя один ученик (метод координат для косинусов, диаметр BD для синусов).
Цвета на чертеже и в формуле совпадают: квадрат стороны a и косинус противолежащего ей угла A. В теореме синусов в каждой дроби — сторона и противолежащий угол.
Вопросы классу: что значит cos A < 0? (угол тупой). Почему в теореме синусов возможны два ответа для угла, а в теореме косинусов — нет? (косинус различает углы от 0° до 180°).

R01.5

Сводка · следствия для задач

Три формулы, которые экономят время

Медиана

m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}

Диагонали параллелограмма

d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})

Вписанный четырёхугольник

cos D = - cos B

$∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ , $sin D = sin B$

2 мин · теория
Формулы медианы и диагоналей выведены на уроке 5 (из теоремы косинусов, удвоение медианы до параллелограмма). Здесь — напоминание и запись в опорный конспект.
Вписанный четырёхугольник: сумма противоположных углов 180°, по формулам приведения cos D = −cos B, sin D = sin B. Это ключ к демонстрации 2 и к «Найди ошибку».
Вопрос: как проверить формулу медианы на прямоугольном треугольнике? (Медиана к гипотенузе равна её половине: при a² = b² + c² получаем m² = a²/4.)

R01.5

Схема · четыре случая решения треугольника

Что дано → чем решаем → сколько ответов

Дано	Сначала	Потом	Ответов
две стороны и угол между ними	косинусов → сторона	косинусов → угол	1
три стороны	косинусов → угол	сумма углов / косинусов	1 (если $a < b + c$ )
сторона и два угла	сумма углов	синусов → стороны	1
две стороны и угол не между ними	синусов или уравнение	проверка обоих углов	0, 1 или 2

R01.5

Демонстрация · сколько треугольников

$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A C = 8$ , $BC = a$ . Где точка $B$ ?

$B$ — на луче и на окружности $(C; a)$ . Расстояние $C H = 8 sin 3 0^{\circ} = 4$ .

$a$	треугольников
$a < 4$	нет
$a = 4$	один, прямоугольный
$4 < a < 8$	два: $B_{1}$ и $B_{2}$
$a \geq 8$	один

3 мин · теория (учитель рассуждает, класс отвечает на вопросы)
Строим: угол 30° с вершиной A, на одной стороне AC = 8, из C — окружность радиуса a. Вершина B — точка пересечения окружности со вторым лучом угла.
CH — расстояние от C до луча, CH = AC · sin 30° = 4. Окружность радиуса a < 4 луч не пересекает; a = 4 — касается (∠B = 90°); 4 < a < 8 — две точки на луче (на чертеже a = 5: AB₁ = 4√3 − 3 ≈ 3,9 и AB₂ = 4√3 + 3 ≈ 9,9); a ≥ 8 — вторая точка уходит за вершину A на продолжение луча, остаётся одна.
Связь с теоремой синусов: sin B = 8 · ½ / a = 4/a. При a = 5 sin B = 0,8 — углы B₁ и B₂ смежные, в сумме 180°. Треугольники AB₁C (с тупым углом B₁) и AB₂C.

R01.5

Образец → сам · сторона из квадратного уравнения

Две стороны и угол не между ними

Образец: $A B = 8$ , $BC = 7$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ .

$7^{2} = x^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \frac{1}{2}$ т. косинусов, $x = A C$

$x^{2} - 8 x + 15 = 0$ , $x = 3$ или $x = 5$ оба $> 0$

$A C = 3$ или $A C = 5$ два треугольника

Сам

$A B = 16$ , $BC = 14$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $6$ или $10$
$A B = 3$ , $BC = 7$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $5$
$A B = 42$ , $BC = 5$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $1$ или $7$

2,5 мин · практика
Образец: неизвестную сторону обозначаем x и пишем теорему косинусов для стороны, лежащей против известного угла (BC против ∠A). Получаем квадратное уравнение. Оба корня положительны — оба треугольника существуют (как B₁, B₂ на демонстрации).
1) 196 = x² + 256 − 16x ⇒ x² − 16x + 60 = 0 ⇒ x = 6 или 10.
2) 49 = x² + 9 + 3x (cos 120° = −½) ⇒ x² + 3x − 40 = 0 ⇒ x = 5 (x = −8 не подходит). Один ответ: угол A тупой.
3) 25 = x² + 32 − 2 · 4√2 · x · (√2/2) = x² − 8x + 32 ⇒ x² − 8x + 7 = 0 ⇒ x = 1 или 7. Проверка: AB · sin 45° = 4 < 5 < 4√2 — два решения.

R01.5

Образец → сам · медиана треугольника

Медиана по сторонам — и обратно

Образец: $A B = 7$ , $A C = 9$ , $BC = 8$ . Найдите медиану $A M$ .

$cos B = \frac{49 + 64 - 81}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{2}{7}$ т. косинусов, $△ A BC$

$A M^{2} = 49 + 16 - 2 \cdot 7 \cdot 4 \cdot \frac{2}{7} = 49$ $△ A BM$

$A M = 7$ совпадает с формулой медианы

Сам

Стороны $4$ , $6$ , $8$ . Найдите медиану к стороне $8$ . $10$
$A B = 5$ , $A C = 7$ , медиана $A M = 4$ . Найдите $BC$ . $221$
$A B = A C = 6$ , медиана $BM = 5$ . Найдите $BC$ . $42$

R01.5

Образец → сам · два треугольника с общим углом

Точка на стороне: сначала один треугольник, потом другой

Образец: $∠ C = 6 0^{\circ}$ , $D \in BC$ , $C D = 3$ , $D B = 2$ , $A D = 7$ . Найдите $A C$ и $A B$ .

$49 = x^{2} + 9 - 3 x$ , $x = A C = 8$ $△ A D C$ ; $x = - 5$ — нет

$A B^{2} = 64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 49$ $△ A BC$ , $BC = 5$

$A B = 7$ $△ A B D$ — равнобедренный

Сам

$A B = 5$ , $BC = 7$ , $A C = 8$ , $D \in A C$ , $A D = 3$ . Найдите $B D$ . $19$
$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A B = 8$ , $D \in A C$ , $B D = 7$ , $A C = 10$ . Найдите $A D$ и $BC$ . $A D = 3$ или $5$ ; $BC = 221$
Трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$ , $A D = 8$ , $BC = 3$ , $A B = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $B D$ и $C D$ . $7$ и $5$

2,5 мин · практика
План: ищем треугольник, где известно всё, кроме одного элемента (△ADC: угол C, CD, AD). Нашли AC — переходим в △ABC (угол C, AC, BC = 5).
1) cos A = (25 + 64 − 49)/(2·5·8) = 40/80 = ½ ⇒ ∠A = 60°; BD² = 25 + 9 − 2·5·3·½ = 19, BD = √19.
2) 49 = 64 + x² − 8x ⇒ x² − 8x + 15 = 0 ⇒ AD = 3 или 5 (обе точки лежат на отрезке AC = 10). BC² = 64 + 100 − 80 = 84, BC = 2√21 — от выбора D не зависит.
3) △ABD: BD² = 25 + 64 − 40 = 49, BD = 7. CD: опустим высоты, или по координатам A(0; 0), B(2,5; 2,5√3), C(5,5; 2,5√3), D(8; 0): CD² = 6,25 + 18,75 = 25, CD = 5 — трапеция равнобокая.

R01.5

Демонстрация · вписанный четырёхугольник

Одна диагональ — два треугольника

Дано:

A BC D

вписан,

A B = 3

,

BC = 5

,

C D = 5

,

D A = 8

.
Найти:

∠ B

,

A C

,

R

.

1

A C^{2} = 9 + 25 - 30 cos β

т. косинусов,

△ A BC

,

∠ B = β

2

A C^{2} = 25 + 64 + 80 cos β

△ A C D

:

∠ D = 18 0^{\circ} - β

,

cos D = - cos β

3

110 cos β = - 55

,

cos β = - \frac{1}{2}

,

∠ B = 12 0^{\circ}

приравняли правые части

4

A C^{2} = 34 + 15 = 49

,

A C = 7

подставили в шаг 1

5

R = \frac{A C}{2 sin 12 0 ^{\circ}} = \frac{7}{3} = \frac{7 3}{3}

т. синусов,

△ A BC

R01.5

Образец → сам · вид треугольника с параметром

При каких $x$ треугольник тупоугольный?

Образец: стороны $x$ , $x + 1$ , $x + 2$ . При каких $x$ треугольник тупоугольный?

$x + (x + 1) > x + 2$ ⇒ $x > 1$ неравенство треугольника

$(x + 2)^{2} > x^{2} + (x + 1)^{2}$ ⇒ $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ тупой угол против $x + 2$

$- 1 < x < 3$ , ответ: $1 < x < 3$

Сам

Стороны $4$ , $5$ , $x$ . При каких $x$ треугольник остроугольный? $3 < x < 41$
Стороны $2$ , $3$ , $x$ . При каких $x$ он тупоугольный? $1 < x < 5$ или $13 < x < 5$
Стороны $x$ , $x + 2$ , $x + 4$ , один угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $x$ . $3$

2,5 мин · практика
Образец: наибольшая сторона x + 2; тупой угол — против неё, условие a² > b² + c². x² + 4x + 4 > 2x² + 2x + 1 ⇒ x² − 2x − 3 < 0 ⇒ (x − 3)(x + 1) < 0. Не забыть существование треугольника. При x = 3 — египетский треугольник 3, 4, 5 (прямоугольный).
1) Если x ≥ 5 — наибольшая x: x² < 16 + 25 ⇒ x < √41. Если x < 5 — наибольшая 5: 25 < 16 + x² ⇒ x > 3. Неравенство треугольника 1 < x < 9 выполнено. Ответ 3 < x < √41.
2) x ≤ 3: тупой против 3: 9 > 4 + x² ⇒ x < √5, и x > 1. x > 3: x² > 13 ⇒ x > √13, и x < 5. Ответ: 1 < x < √5 или √13 < x < 5.
3) 120° — против наибольшей стороны: (x + 4)² = x² + (x + 2)² + x(x + 2) ⇒ x² − x − 6 = 0 ⇒ x = 3 (x = −2 — нет). Стороны 3, 5, 7.

R01.5

Образец → сам · задача на доказательство

Свойство биссектрисы через теорему синусов

Образец: $A D$ — биссектриса $△ A BC$ . Докажите: $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ .

$\frac{B D}{sin \frac{A}{2}} = \frac{A B}{sin φ}$ , $\frac{D C}{sin \frac{A}{2}} = \frac{A C}{sin ( 18 0 ^{\circ} - φ )}$ т. синусов

$sin (18 0^{\circ} - φ) = sin φ$ ; разделим: $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$

Сам

$A B = 6$ , $A C = 9$ , $BC = 10$ , $A D$ — биссектриса. Найдите $B D$ . $4$
Докажите: если $sin A = 2 sin B cos C$ , то $△ A BC$ равнобедренный. $a = 2 b cos C$ ⇒ $b = c$
$A B = 6$ , $A C = 3$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите биссектрису $A D$ . $2$

2,5 мин · практика
План доказательства: две теоремы синусов (△ABD и △ADC), равные половины угла A, синусы смежных углов ADB = φ и ADC = 180° − φ равны (формула приведения). Делим одно равенство на другое.
1) BD : DC = 6 : 9 = 2 : 3, BD = 10 · 2/5 = 4.
2) По теореме синусов sin A = a/(2R), sin B = b/(2R) ⇒ a = 2b cos C; cos C = (a² + b² − c²)/(2ab) ⇒ a = (a² + b² − c²)/a ⇒ a² = a² + b² − c² ⇒ b = c.
3) BC² = 36 + 9 + 18 = 63, BC = 3√7; BD = ⅔ · 3√7 = 2√7; cos B = (36 + 63 − 9)/(2·6·3√7) = 5/(2√7); AD² = 36 + 28 − 2·6·2√7·5/(2√7) = 64 − 60 = 4, AD = 2. (Быстрее площадями — на уроке 7.)

R01.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$sin B = \frac{3}{2}$ ⇒ $∠ B = 6 0^{\circ}$	синус не различает $β$ и $18 0^{\circ} - β$	$6 0^{\circ}$ или $12 0^{\circ}$ — проверить оба
$x^{2} - 8 x + 15 = 0$ ⇒ $A C = 5$	оба корня положительны — оба подходят	$A C = 3$ или $A C = 5$
$A BC D$ вписан: $cos D = cos B$	$∠ D = 18 0^{\circ} - ∠ B$	$cos D = - cos B$
$\frac{B D}{D C} = \frac{A C}{A B}$	отрезок прилегает к своей стороне	$\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$

R01.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A B = 15$ , $BC = 13$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ .

$169 = x^{2} + 225 - 15 x$

$x^{2} - 15 x + 56 = 0$ , $x = 7$ или $8$

Ответ: $8$ (больший корень)

оба корня подходят: $A C = 7$ или $8$

б) $A BC D$ вписан, $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $A B = 3$ , $BC = 8$ , $C D = 3$ . Найдите $A D$ .

$A C^{2} = 9 + 64 - 24 = 49$ , $A C = 7$

$49 = 9 + x^{2} - 3 x$ , $x = 8$

$∠ D = 12 0^{\circ}$ : $49 = 9 + x^{2} + 3 x$ , $A D = 5$

в) $A B = 4$ , $A C = 6$ , $BC = 5$ , $A D$ — биссектриса. Найдите $B D$ .

$\frac{B D}{D C} = \frac{6}{4}$

$B D = 5 \cdot \frac{6}{10} = 3$

$\frac{B D}{D C} = \frac{4}{6}$ , $B D = 2$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Уравнение верное, ошибка в выводе: оба корня положительны; проверка: AB · sin 60° = 15 · √3/2 ≈ 12,99 < 13 < 15 — два треугольника. Ответ: 7 или 8.
б) AC найден верно. Ошибка: в △ACD взят угол D = 60°. Во вписанном четырёхугольнике ∠D = 180° − 60° = 120°, cos D = −½: 49 = 9 + x² + 3x ⇒ x² + 3x − 40 = 0 ⇒ x = 5.
в) Перепутано отношение: BD прилегает к AB = 4. BD : DC = 4 : 6, BD = 5 · 4/10 = 2.

R01.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $A B = 5$ , $A C = 3$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $7$
базаСтороны $5$ , $7$ , $8$ . Найдите угол против стороны $7$ . $6 0^{\circ}$
база $BC = 12$ , $∠ A = 13 5^{\circ}$ . Найдите $R$ . $62$

база $BC = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $26$
базаСтороны $7$ , $8$ , $12$ . Определите вид. тупоугольный
базаСтороны $6$ , $8$ , $10$ . Найдите медиану к стороне $10$ . $5$

R01.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A B : A C = 3 : 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $BC = 7$ . Найдите $A B$ . $3$
повыш. $R = 7$ , $A B = 7$ , $BC = 73$ . Найдите $∠ B$ (все случаи). $9 0^{\circ}$ или $3 0^{\circ}$

повыш. $A BC D$ вписан, $A B = BC = 7$ , $C D = 3$ , $D A = 5$ . Найдите $∠ B$ и $A C$ . $6 0^{\circ}$ и $7$
повыш.При каких $x$ треугольник со сторонами $3$ , $4$ , $x$ тупоугольный? $1 < x < 7$ или $5 < x < 7$

R01.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 16 и 23

Ответ — одно число; в задаче 23 — решение

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ , $BC = 36$ . Найдите $A C$ . $6$
ОГЭ 16Сторона $A B$ треугольника $A BC$ равна $42$ , угол $C$ равен $4 5^{\circ}$ . Найдите радиус описанной окружности. $4$

ОГЭ 23 $A B = 4$ , $A C = 12$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите биссектрису $A D$ .

$BC = 413$ , $B D = \frac{1}{4} BC = 13$

$cos B = \frac{16 + 208 - 144}{2 \cdot 4 \cdot 4 13} = \frac{5}{2 13}$

$A D^{2} = 16 + 13 - 20 = 9$ , $A D = 3$

R01.5 · практика

Задача из жизни · тоннель через гору

Длину тоннеля измеряют, не входя в гору

Из точки $C$ видны оба входа: $C A = 500$ м, $CB = 800$ м, $∠ A CB = 6 0^{\circ}$ . Найдите длину тоннеля $A B$ и угол $C A B$ .

$A B^{2} = 50 0^{2} + 80 0^{2} - 500 \cdot 800 = 490000$

$A B = 700$ м

$cos A = \frac{50 0 ^{2} + 70 0 ^{2} - 80 0 ^{2}}{2 \cdot 500 \cdot 700} = \frac{1}{7}$ , $∠ A \approx 8 2^{\circ}$

R01.5

Самостоятельная работа · 4,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A B = 3$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $7$
$A B = 5$ , $BC = 7$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $3$
$A B = 6$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $23$
$A B = 8$ , $A C = 12$ , $BC = 15$ , $A D$ — биссектриса. Найдите $B D$ . $6$

Вариант 2

$A B = 5$ , $A C = 16$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $19$
$A B = 7$ , $BC = 13$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $15$
$A B = 8$ , $∠ C = 15 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $8$
$A B = 6$ , $A C = 10$ , $BC = 12$ , $A D$ — биссектриса. Найдите $B D$ . $4, 5$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда у треугольника может быть два решения?
Как связаны $cos B$ и $cos D$ во вписанном четырёхугольнике?
Какой отрезок прилегает к стороне $A B$ при биссектрисе?

Домашнее задание

$A B = 32$ , $BC = 10$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ .
$A BC D$ вписан, $A B = 3$ , $BC = 8$ , $C D = 5$ , $D A = 3$ . Найдите $∠ B$ и $R$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_reshenie-treugolnikov.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-014 · Практикум: теорема косинусов и теорема синусов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Решение треугольников», 22 ч · урок 14/22 · тип П (практикум к уроку 5)
Единицы → слайды	R01.5 «Теорема косинусов и теорема синусов» → 2, 4–21 · повторение R01.1–R01.4 → 3
Результаты	ПР-3 (применять теоремы синусов и косинусов для решения треугольников и геометрических задач) → 4–21; ПР-2 (формулы приведения: cos(180° − β), sin(180° − φ)) → 3, 5, 11, 13
Вне урока	практические задачи — GEOM9U-015 (R01.6); площадь через синус, биссектриса площадями — R01.7 (GEOM9U-016)
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: теорема косинусов и теорема синусов

Сегодня вы научитесь

Находить сторону из уравнения

Считать число решений

Работать с двумя треугольниками

Доказывать и исследовать

Вспомним всё, что понадобится

Что доказали на уроке 5

Теорема косинусов

Теорема синусов

Три формулы, которые экономят время

Медиана

Диагонали параллелограмма

Вписанный четырёхугольник

Что дано → чем решаем → сколько ответов

∠A=30∘, AC=8, BC=a. Где точка B?

Две стороны и угол не между ними

Образец: AB=8, BC=7, ∠A=60∘. Найдите AC.

Сам

Медиана по сторонам — и обратно

Образец: AB=7, AC=9, BC=8. Найдите медиану AM.

Сам

Точка на стороне: сначала один треугольник, потом другой

Образец: ∠C=60∘, D∈BC, CD=3, DB=2, AD=7. Найдите AC и AB.

Сам

Одна диагональ — два треугольника

При каких x треугольник тупоугольный?

Образец: стороны x, x+1, x+2. При каких x треугольник тупоугольный?

Сам

Свойство биссектрисы через теорему синусов

Образец: AD — биссектриса △ABC. Докажите: DCBD​=ACAB​.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) AB=15, BC=13, ∠A=60∘. Найдите AC.

б) ABCD вписан, ∠B=60∘, AB=3, BC=8, CD=3. Найдите AD.

в) AB=4, AC=6, BC=5, AD — биссектриса. Найдите BD.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число; в задаче 23 — решение

Длину тоннеля измеряют, не входя в гору

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-014 · Практикум: теорема косинусов и теорема синусов

$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A C = 8$ , $BC = a$ . Где точка $B$ ?

Образец: $A B = 8$ , $BC = 7$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ .

Образец: $A B = 7$ , $A C = 9$ , $BC = 8$ . Найдите медиану $A M$ .

Образец: $∠ C = 6 0^{\circ}$ , $D \in BC$ , $C D = 3$ , $D B = 2$ , $A D = 7$ . Найдите $A C$ и $A B$ .

При каких $x$ треугольник тупоугольный?

Образец: стороны $x$ , $x + 1$ , $x + 2$ . При каких $x$ треугольник тупоугольный?

Образец: $A D$ — биссектриса $△ A BC$ . Докажите: $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ .

а) $A B = 15$ , $BC = 13$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ .

б) $A BC D$ вписан, $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $A B = 3$ , $BC = 8$ , $C D = 3$ . Найдите $A D$ .

в) $A B = 4$ , $A C = 6$ , $BC = 5$ , $A D$ — биссектриса. Найдите $B D$ .