Решение треугольников · урок 11 из 22

Практикум: основное тригонометрическое тождество

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9U-011

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Решение треугольников» (22 ч), урок 11/22, единица R01.2. Тип урока — П (практикум), продолжение урока GEOM9U-002: новые типы задач, сложнее.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 3 · схема 2 · приём «через тангенс» 2 · приём «симметричные выражения» 2 · приём «уравнения» 2.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 1 · самостоятельная 5 · итог 0,5.
Если не успеваете: третьи задания «сам» в образцах 4–6 и задачу из жизни — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R01.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Вычислять выражения

по одной известной функции — с верным знаком, в том числе через $tg α$

Применять в треугольнике

находить площадь и сторону, если дан синус или косинус угла

Доказывать тождества

и работать с выражениями от $sin α + cos α$ и $sin α cos α$

Решать уравнения

сводя их к одной функции, и выбирать углы от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$

0,5 мин · теория
ПР-2: «Пользоваться формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством для нахождения соотношений между тригонометрическими величинами». Применение в треугольнике опирается на ПР-3 и ПР-4 (теоремы косинусов и синусов, формула площади — уроки GEOM9U-005, GEOM9U-007).
Виды деятельности ФРП R01: выводить соотношения между тригонометрическими функциями; решать задачи с использованием изученных теорем и соотношений.

повторение: GEOM9U-010

Разминка · устно

Значения функций и тождество

$sin 12 0^{\circ} \cdot cos 15 0^{\circ}$ $- \frac{3}{4}$
$tg 13 5^{\circ}$ (точка $M$ на чертеже) $- 1$
$sin^{2} 5 0^{\circ} + cos^{2} 5 0^{\circ}$ $1$
$1 - cos^{2} 3 0^{\circ}$ $\frac{1}{4}$
$cos α = 0$ . Найдите $α$ . $9 0^{\circ}$
$sin α = \frac{1}{2}$ . Найдите $α$ . $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$
$sin α = 0, 6$ , $α$ острый. $cos α$ ? $0, 8$

R01.2

Сводка · формулы урока GEOM9U-002

Тождество, следствия и знаки

Формула	Условие
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$	$0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$
$1 + tg^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$	$α \neq = 9 0^{\circ}$
$sin α = 1 - cos^{2} α$	всегда «+»
$cos α = \pm 1 - sin^{2} α$	по виду угла
$(sin α \pm cos α)^{2} = 1 \pm 2 sin α cos α$	всегда

R01.2

Схема · что дано → с чего начать

Четыре входа в задачу

Дан $cos α$

$sin α = 1 - cos^{2} α$ — один ответ

Дан $sin α$

$cos α = \pm 1 - sin^{2} α$ — вид угла решает знак

Дан $tg α$

делим на $cos α$ или $cos^{2} α$ — без поиска $sin α$ и $cos α$

Дана сумма $sin α + cos α$

возводим в квадрат → $sin α cos α$

R01.2

Образец → сам · значение выражения

Найдите значение выражения

Образец: $cos α = - 0, 8$ . Найдите $5 sin α - 4 tg α$ .

$sin^{2} α = 1 - 0, 64 = 0, 36$ , $sin α = 0, 6$ $sin α \geq 0$

$tg α = \frac{0 , 6}{- 0 , 8} = - 0, 75$ определение

$5 \cdot 0, 6 - 4 \cdot (- 0, 75) = 3 + 3 = 6$

Сам

$sin α = 0, 6$ , $α$ тупой. Найдите $10 cos α + 8 tg α$ . $- 14$
$tg α = - \frac{3}{4}$ . Найдите $5 cos α + 10 sin α$ . $2$
$sin α = \frac{2 6}{5}$ , $α$ тупой. Найдите $5 cos α$ . $- 1$

R01.2

Приём · однородные выражения через тангенс

Делим на $cos α$ или на $cos^{2} α$

Все слагаемые одной степени,

α \neq = 9 0^{\circ}

— однородное выражение.

1

\frac{a sin α + b cos α}{c sin α + d cos α} = \frac{a tg α + b}{c tg α + d}

числитель и знаменатель

: cos α

2

sin α cos α = \frac{sin α cos α}{sin ^{2} α + cos ^{2} α} = \frac{tg α}{1 + tg ^{2} α}

единицу заменили тождеством, затем

: cos^{2} α

Почему можно делить?

$tg α$ существует ⇒ $α \neq = 9 0^{\circ}$ ⇒ $cos α \neq = 0$

Выгода

не нужно искать $sin α$ , $cos α$ и выбирать знак

R01.2

Образец → сам · через тангенс

Известен $tg α$ — найдите значение

Образец: $tg α = - 2$ . Найдите

\frac{3 sin α + cos α}{sin α - 2 cos α}

$cos α \neq = 0$ тангенс существует, $α \neq = 9 0^{\circ}$

$= \frac{3 tg α + 1}{tg α - 2}$ делим на $cos α$

$= \frac{- 6 + 1}{- 2 - 2} = \frac{5}{4}$

Сам

$tg α = 3$ . Найдите $\frac{4 sin α - cos α}{sin α + 3 cos α}$ . $\frac{11}{6}$
$tg α = - \frac{1}{2}$ . Найдите $sin α cos α$ . $- 0, 4$
$tg α = 2$ . Найдите $sin^{2} α + 3 sin α cos α$ . $2$

R01.2 · R01.5 · R01.7

Образец → сам · в треугольнике

Дан синус тупого угла — найдите сторону и площадь

Образец: $A B = 9$ , $A C = 10$ , $sin A = 0, 8$ , $∠ A$ тупой. Найдите $BC$ и $S_{A BC}$ .

$cos A = - 1 - 0, 64 = - 0, 6$ угол тупой

$B C^{2} = 81 + 100 + 108 = 289$ , $BC = 17$ т. косинусов

$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 10 \cdot 0, 8 = 36$

Сам

$A B = 6$ , $BC = 10$ , $cos B = 0, 8$ . Найдите $S_{A BC}$ . $18$
Стороны параллелограмма $4$ и $7$ , косинус угла между ними $- 0, 28$ . Найдите площадь. $26, 88$
$S_{A BC} = 24$ , $A B = 8$ , $A C = 10$ , $∠ A$ тупой. Найдите $cos A$ . $- 0, 8$

R01.2

Образец → сам · доказательство тождества

Докажите, указав, где выражения имеют смысл

Образец: при $0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$

\frac{sin α}{1 + cos α} = \frac{1 - cos α}{sin α}

$sin α > 0$ , $1 + cos α > 0$ знаменатели не равны нулю

$sin α \cdot sin α = ? (1 - cos α) (1 + cos α)$ пропорция

$sin^{2} α = 1 - cos^{2} α$ ✓ основное тождество

Сам ( $α \neq = 9 0^{\circ}$ )

Докажите: $(1 - sin^{2} α) (1 + tg^{2} α) = 1$ $cos^{2} α \cdot \frac{1}{cos ^{2} α} = 1$
Докажите:
$\frac{1}{1 - sin α} + \frac{1}{1 + sin α} = \frac{2}{cos ^{2} α}$ знаменатель $1 - sin^{2} α = cos^{2} α$
Упростите: $\frac{sin ^{4} α + sin ^{2} α cos ^{2} α}{cos ^{2} α}$ $tg^{2} α$

R01.2

Приём · сумма, разность и произведение

Всё выражается через $p = sin α cos α$

1. Квадрат суммы и разности

$(sin α \pm cos α)^{2} = 1 \pm 2 p$

2. Сумма и разность кубов

$sin^{3} α \pm cos^{3} α = (sin α \pm cos α) (1 \mp p)$

3. Четвёртые степени

$sin^{4} α + cos^{4} α = 1 - 2 p^{2}$

4. Знак

$p < 0$ ⇔ угол тупой

тогда $sin α - cos α > 0$

R01.2

Образец → сам · симметричные выражения

Известна разность $sin α - cos α$

Образец: $sin α - cos α = \frac{7}{5}$ .
Найдите $sin α cos α$ и $sin^{3} α - cos^{3} α$ .

$1 - 2 p = \frac{49}{25}$ , $p = - \frac{12}{25}$ квадрат разности

$sin^{3} α - cos^{3} α = \frac{7}{5} (1 + p)$ разность кубов

$= \frac{7}{5} \cdot \frac{13}{25} = \frac{91}{125}$

Проверка: $sin α = \frac{4}{5}$ , $cos α = - \frac{3}{5}$ ✓

Сам

$sin α cos α = 0, 4$ . Найдите $sin^{4} α + cos^{4} α$ . $0, 68$
$sin α + cos α = \frac{1}{3}$ . Найдите $sin^{3} α + cos^{3} α$ . $\frac{13}{27}$
$sin α cos α = - 0, 3$ . Найдите $sin α - cos α$ . $\frac{2 10}{5}$

R01.2

Приём · уравнения через тождество

Сводим к одной функции и выбираем углы

1

sin^{2} α = 1 - cos^{2} α

или

cos^{2} α = 1 - sin^{2} α

2квадратное уравнение для

t

t = cos α

или

t = sin α

3отбор:

- 1 \leq cos α \leq 1

,

0 \leq sin α \leq 1

остальные корни отбрасываем

4косинус → один угол, синус → двакроме

sin α = 1

: только

9 0^{\circ}

R01.2

Образец → сам · уравнение

Найдите все $α$ от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$

Образец: $2 sin^{2} α + 3 cos α = 0$

$2 - 2 cos^{2} α + 3 cos α = 0$ $sin^{2} α = 1 - cos^{2} α$

$2 t^{2} - 3 t - 2 = 0$ , $t = 2$ или $t = - \frac{1}{2}$ $t = cos α$

$cos α = 2$ — нет углов $∣ cos α ∣ \leq 1$

$cos α = - \frac{1}{2}$ ⇒ $α = 12 0^{\circ}$

Сам

$2 cos^{2} α - sin α - 1 = 0$ $3 0^{\circ}$ ; $15 0^{\circ}$
$sin^{2} α + cos α + 1 = 0$ $18 0^{\circ}$
$tg α = 2 sin α$ $0^{\circ}$ ; $6 0^{\circ}$ ; $18 0^{\circ}$

R01.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$sin α = \frac{1}{2} \Rightarrow α = 3 0^{\circ}$	потерян тупой угол	$3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$
$cos α = 2$ или $cos α = - \frac{1}{2}$	$∣ cos α ∣ \leq 1$ — корень $2$ не годится	только $cos α = - \frac{1}{2}$
$\frac{2 sin α + 1}{cos α} = 2 tg α + 1$	$1$ тоже делится на $cos α$	$2 tg α + \frac{1}{cos α}$
$sin α cos α = tg α \cdot cos α$	$sin α$ заменили на $tg α$ , потерян $cos α$	$tg α cos^{2} α$

R01.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $tg α = 3$ . Найдите $sin α cos α$ .

$cos^{2} α = \frac{1}{1 + 3} = \frac{1}{4}$

$sin α cos α = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$1 + tg^{2} α = 10$ : $sin α cos α = \frac{3}{10}$

б) $2 sin^{2} α - cos α - 1 = 0$

$2 cos^{2} α + cos α - 1 = 0$

$cos α = \frac{1}{2}$ ⇒ $α = 6 0^{\circ}$

потерян $cos α = - 1$ : ответ $6 0^{\circ}$ ; $18 0^{\circ}$

в) $sin α cos α = - 0, 48$ . Найдите $sin α + cos α$ .

$(sin α + cos α)^{2} = 0, 04$

$sin α + cos α = 0, 2$

знак суммы не известен: $\pm 0, 2$

R01.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $cos α = - 0, 28$ . Найдите $sin α$ . $0, 96$
база $tg α = - 0, 75$ . Найдите $cos α$ . $- 0, 8$
база $tg α = 4$ . Найдите $\frac{sin α + cos α}{sin α - cos α}$ . $\frac{5}{3}$
базаУпростите $sin^{2} α + cos^{2} α + tg^{2} α$ , $α \neq = 9 0^{\circ}$ . $\frac{1}{cos ^{2} α}$
база $sin α + cos α = 1, 4$ . Найдите $sin α cos α$ . $0, 48$
базаНайдите тупой угол $α$ , если $sin^{2} α = 3 cos^{2} α$ . $12 0^{\circ}$

R01.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $tg α = - 2$ . Найдите $2 sin^{2} α - 3 sin α cos α$ . $2, 8$
повыш. $sin α + cos α = 0, 2$ . Найдите $tg α$ . $- \frac{4}{3}$
повыш.Решите на $[0^{\circ}; 18 0^{\circ}]$ : $2 sin^{2} α + 5 cos α - 4 = 0$ . $6 0^{\circ}$
повыш.Какие значения принимает $sin^{2} α + 2 cos^{2} α$ при $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ ? от $1$ до $2$

R01.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 19 и 23

Ответ — число, номера утверждений, решение

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $9 0^{\circ}$ , $A B = 20$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите $A C$ . $16$

ОГЭ 19Какие утверждения верны?

Если $tg α < 0$ , то угол $α$ тупой.
Синус угла треугольника может равняться $- 0, 5$ .
$1 + tg^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ при любом $α$ от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ .

Ответ: 1

ОГЭ 23В параллелограмме $A BC D$ : $A B = 10$ , $A D = 12$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите площадь параллелограмма.

$cos^{2} A = \frac{1}{1 + 0 , 5625} = 0, 64$ , $cos A = 0, 8$

$sin A = 0, 75 \cdot 0, 8 = 0, 6$

$S = 10 \cdot 12 \cdot 0, 6 = 72$

Ответ: $72$

R01.2 · R01.5

Задача из жизни · фронтон дома

Какой ширины дом?

Скаты крыши по

5

м, косинус угла у конька

- 0, 28

. Найдите ширину дома и площадь фронтона.

$w^{2} = 25 + 25 - 2 \cdot 25 \cdot (- 0, 28) = 64$

$w = 8$ м

$S = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 0, 96 = 12$ м $^{2}$

R01.2

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$cos α = - 0, 6$ . $sin α$ , $tg α$ ? $0, 8$ ; $- \frac{4}{3}$
$tg α = 2$ . Найдите $\frac{3 sin α - cos α}{sin α + cos α}$ . $\frac{5}{3}$
$sin α + cos α = 0, 2$ . Найдите $sin α cos α$ . $- 0, 48$
Решите на $[0^{\circ}; 18 0^{\circ}]$ : $2 cos^{2} α + 3 sin α - 3 = 0$ $3 0^{\circ}$ ; $9 0^{\circ}$ ; $15 0^{\circ}$

Вариант 2

$cos α = - 0, 8$ . $sin α$ , $tg α$ ? $0, 6$ ; $- 0, 75$
$tg α = 3$ . Найдите $\frac{2 sin α + cos α}{sin α - cos α}$ . $3, 5$
$sin α - cos α = 1, 4$ . Найдите $sin α cos α$ . $- 0, 48$
Решите на $[0^{\circ}; 18 0^{\circ}]$ : $2 sin^{2} α + 3 cos α - 3 = 0$ $0^{\circ}$ ; $6 0^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда выгодно делить на $cos α$ ?
Как найти $sin α cos α$ по сумме?
Почему синус даёт два угла?

Домашнее задание

$tg α = - 3$ : $sin α cos α$ и $\frac{sin α + cos α}{sin α - cos α}$ .
Решите: $6 cos^{2} α + sin α - 5 = 0$ .
* $sin α + cos α = - 0, 2$ : $sin^{3} α + cos^{3} α$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_reshenie-treugolnikov.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-011 · Практикум: основное тригонометрическое тождество

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Решение треугольников», 22 ч · урок 11/22 · тип П (практикум к GEOM9U-002)
Единицы → слайды	R01.2 «Основное тригонометрическое тождество» → 2–22 · повторение R01.1 (GEOM9U-010) → 3 · применение R01.5, R01.7 (теорема косинусов, площадь) → 9, 19, 20
Результаты	ПР-2 (основное тригонометрическое тождество для соотношений между тригонометрическими величинами) → 2–22; ПР-3, ПР-4 (решение треугольников, площадь) → 9, 19, 20
Вне урока	формулы приведения — GEOM9U-012 (здесь только «два угла с одним синусом» по чертежу)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: основное тригонометрическое тождество

Сегодня вы научитесь

Вычислять выражения

Применять в треугольнике

Доказывать тождества

Решать уравнения

Значения функций и тождество

Тождество, следствия и знаки

Четыре входа в задачу

Дан cosα

Дан sinα

Дан tgα

Дана сумма sinα+cosα

Найдите значение выражения

Образец: cosα=−0,8. Найдите 5sinα−4tgα.

Сам

Делим на cosα или на cos2α

Почему можно делить?

Выгода

Известен tgα — найдите значение

Образец: tgα=−2. Найдите

Сам

Дан синус тупого угла — найдите сторону и площадь

Образец: AB=9, AC=10, sinA=0,8, ∠A тупой. Найдите BC и SABC​.

Сам

Докажите, указав, где выражения имеют смысл

Образец: при 0∘<α<180∘

Сам (α=90∘)

Всё выражается через p=sinαcosα

1. Квадрат суммы и разности

2. Сумма и разность кубов

3. Четвёртые степени

4. Знак

Известна разность sinα−cosα

Образец: sinα−cosα=57​.Найдите sinαcosα и sin3α−cos3α.

Сам

Сводим к одной функции и выбираем углы

Найдите все α от 0∘ до 180∘

Образец: 2sin2α+3cosα=0

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) tgα=3. Найдите sinαcosα.

б) 2sin2α−cosα−1=0

в) sinαcosα=−0,48. Найдите sinα+cosα.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число, номера утверждений, решение

Какой ширины дом?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-011 · Практикум: основное тригонометрическое тождество

Дан $cos α$

Дан $sin α$

Дан $tg α$

Дана сумма $sin α + cos α$

Образец: $cos α = - 0, 8$ . Найдите $5 sin α - 4 tg α$ .

Делим на $cos α$ или на $cos^{2} α$

Известен $tg α$ — найдите значение

Образец: $tg α = - 2$ . Найдите

Образец: $A B = 9$ , $A C = 10$ , $sin A = 0, 8$ , $∠ A$ тупой. Найдите $BC$ и $S_{A BC}$ .

Образец: при $0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$

Сам ( $α \neq = 9 0^{\circ}$ )

Всё выражается через $p = sin α cos α$

Известна разность $sin α - cos α$

Образец: $sin α - cos α = \frac{7}{5}$ .
Найдите $sin α cos α$ и $sin^{3} α - cos^{3} α$ .

Найдите все $α$ от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$

Образец: $2 sin^{2} α + 3 cos α = 0$

а) $tg α = 3$ . Найдите $sin α cos α$ .

б) $2 sin^{2} α - cos α - 1 = 0$

в) $sin α cos α = - 0, 48$ . Найдите $sin α + cos α$ .