Решение треугольников · урок 10 из 22 · практикум

Практикум: синус, косинус и тангенс углов от 0° до 180°

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9U-010

1 мин · теория (орг. момент, тема, план практикума)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Решение треугольников» (22 ч), урок 10/22, единица R01.1. Тип урока — П (практикум после уроков 1–9).
Теория (12,5): титул 1 · цели 1 · опора «определение» 2 · таблица 2 · знаки и изменение 2 · приведение и тождество 2,5 · схема-конспект 2.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 6 = 15 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Класс уже знает тождество, формулы приведения, теоремы косинусов и синусов, формулы площади (уроки 2–9) — практикум связывает их с определением R01.1.
Если не успеваете: третье задание «сам» в образцах 4–6 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R01.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь уверенно

Вычислять

значения и выражения с $sin$ , $cos$ , $tg$ углов от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ без калькулятора (ПР-1, ПР-2)

Находить угол

по значению и решать простейшие уравнения на $[0^{\circ}; 18 0^{\circ}]$ , не теряя второй угол

Сравнивать и оценивать

по знакам и изменению значений на полуокружности; находить наибольшее и наименьшее

Применять

угол между лучами на клетке, вид треугольника по косинусу, площадь и доказательства (ПР-3, ПР-4)

1 мин · теория
ПР-1: тригонометрические функции, значения, калькулятор для нетабличных углов. ПР-2: формулы приведения и основное тождество для соотношений между величинами.
ПР-3 (теорема косинусов — угол по сторонам) и ПР-4 (S = ½ab sin C) — в образцах 4–5 как применение определения.
Вид деятельности ФРП R01: «Составлять таблицу значений тригонометрических функций для основных углов от 0 до 180. Выводить соотношения между тригонометрическими функциями».

повторение: уроки 1 и 9

Разминка · устно

Значения и площадь четырёхугольника через диагонали

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ

$sin 15 0^{\circ}$ , $cos 15 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$ ; $- \frac{3}{2}$
$tg 13 5^{\circ}$ , $tg 9 0^{\circ}$ $- 1$ ; не существует
$S_{A BC D}$ при $φ = 3 0^{\circ}$ $12$
А если $φ = 15 0^{\circ}$ ? тоже $12$
$sin^{2} 13 0^{\circ} + cos^{2} 13 0^{\circ}$ $1$
Знак $sin 9 5^{\circ} \cdot cos 9 5^{\circ}$ « $-$ »
$cos α = 0$ , $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ $α = 9 0^{\circ}$

R01.1

Опора · определение

Синус, косинус, тангенс на полуокружности радиуса $R$

Луч

OM

образует с осью

O x

угол

α

,

0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}

;

OM = R

.

sin α = \frac{y}{R}

,

cos α = \frac{x}{R}

tg α = \frac{y}{x} = \frac{sin α}{cos α}

α \neq = 9 0^{\circ}

M (R cos α; R sin α)

координаты точки

R01.1

Опора · таблица значений

Табличные углы от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$

$α$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$sin$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$cos$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{2}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$
$tg$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	—	$- 3$	$- 1$	$- \frac{3}{3}$	$0$

Тупой угол: опорный угол

18 0^{\circ} - α

, значение — из таблицы, знак:

sin

«

+

»,

cos

и

tg

«

-

».

Обратно:

sin α = s

,

0 < s < 1

— два угла;

cos

и

tg

— один угол.

R01.1

Образец → сам · значения выражений

Вычислите без калькулятора

Образец: $4 cos^{2} 15 0^{\circ} - 2 sin 13 5^{\circ} cos 13 5^{\circ} + tg 12 0^{\circ} tg 15 0^{\circ}$

$cos 15 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ ⇒ $4 cos^{2} 15 0^{\circ} = 3$ опорный угол $3 0^{\circ}$

$2 \cdot \frac{2}{2} \cdot (- \frac{2}{2}) = - 1$ $cos 13 5^{\circ} < 0$

$(- 3) \cdot (- \frac{3}{3}) = 1$ таблица

$3 - (- 1) + 1 = 5$

Сам

$sin 12 0^{\circ} cos 15 0^{\circ} + cos 12 0^{\circ} sin 15 0^{\circ}$ $- 1$
$\frac{tg 13 5 ^{\circ} + cos 18 0 ^{\circ}}{2 sin 15 0 ^{\circ}}$ $- 2$
$sin^{2} 3 7^{\circ} + sin^{2} 12 7^{\circ}$ $1$

R01.1

Опора · знаки и изменение значений

Что происходит, когда угол растёт от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$

	$0^{\circ}$	острый	$9 0^{\circ}$	тупой	$18 0^{\circ}$
$sin$	$0$	$+$	$1$	$+$	$0$
$cos$	$1$	$+$	$0$	$-$	$- 1$
$tg$	$0$	$+$	—	$-$	$0$

$cos$ убывает от

1

до

- 1

: больший угол — меньший косинус.

$sin$ растёт на

[0^{\circ}; 9 0^{\circ}]

, затем убывает.

R01.1

Образец → сам · сравнение и оценки

Расположите числа в порядке возрастания

Образец: $cos 10 0^{\circ}$ , $sin 10 0^{\circ}$ , $tg 10 0^{\circ}$ , $cos 16 0^{\circ}$

$sin 10 0^{\circ} > 0$ , остальные $< 0$ $10 0^{\circ}$ , $16 0^{\circ}$ — тупые

$cos 16 0^{\circ} < cos 10 0^{\circ}$ косинус убывает

$tg 10 0^{\circ} = - tg 8 0^{\circ} < - 1 \leq cos 16 0^{\circ}$ $tg 8 0^{\circ} > tg 4 5^{\circ}$

$tg 10 0^{\circ} < c o s 16 0^{\circ} < c o s 10 0^{\circ} < s i n 10 0^{\circ}$

Сам

Знак $sin 17 0^{\circ} \cdot cos 9 1^{\circ} \cdot tg 1 5^{\circ}$ « $-$ »
Сравните $sin 5 0^{\circ}$ и $sin 14 0^{\circ}$ $sin 5 0^{\circ} > sin 14 0^{\circ}$
Наибольшее и наименьшее значения $5 - 4 sin α$ $5$ при $0^{\circ}$ , $18 0^{\circ}$ ; $1$ при $9 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец: значения для проверки — tg 100° ≈ −5,67; cos 160° ≈ −0,94; cos 100° ≈ −0,17; sin 100° ≈ 0,98. Калькулятор не нужен: знаки → убывание косинуса → оценка тангенса через −1.
1) sin 170° > 0, cos 91° < 0, tg 15° > 0 ⇒ «−».
2) sin 140° = sin 40°; синус растёт на [0°; 90°], 50° > 40° ⇒ sin 50° > sin 140°.
3) 0 ≤ sin α ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 5 − 4 sin α ≤ 5. Наибольшее 5 при sin α = 0 (α = 0° или 180°), наименьшее 1 при α = 90°. Ошибка: считать, что синус может быть −1 (как в алгебре 10 класса), и получить 9.

R01.1 · R01.2 · R01.3

Опора · формулы приведения и тождество

Связи между значениями

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α

cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α

tg (18 0^{\circ} - α) = - tg α

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

1 + tg^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}

α \neq = 9 0^{\circ}

R01.1

Образец → сам · обратная задача: уравнения

Решите при $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$

Образец: $2 sin^{2} α - sin α = 0$

$sin α (2 sin α - 1) = 0$ вынесли общий множитель

$sin α = 0$ ⇒ $α = 0^{\circ}$ или $18 0^{\circ}$ точки на оси $O x$

$sin α = \frac{1}{2}$ ⇒ $α = 3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$ прямая $y = \frac{1}{2}$

Ответ: $0^{\circ}; 3 0^{\circ}; 15 0^{\circ}; 18 0^{\circ}$

Сам

$2 cos^{2} α = 1$ $4 5^{\circ}$ ; $13 5^{\circ}$
$tg^{2} α = 3$ $6 0^{\circ}$ ; $12 0^{\circ}$
$2 cos^{2} α + 3 cos α - 2 = 0$ $6 0^{\circ}$

R01.1 · R01.5

Образец → сам · угол между лучами на клетке

Ни один луч не идёт по линии сетки

Образец: найдите $cos ∠ A OB$ и угол $A OB$ .

$O A^{2} = 10$ , $O B^{2} = 5$ , $A B = 5$ по клеткам

$cos ∠ A OB = \frac{10 + 5 - 25}{2 50} = - \frac{2}{2}$ т. косинусов

$cos < 0$ ⇒ угол тупой: $∠ A OB = 13 5^{\circ}$

Сам: $O (0; 0)$

$A (4; 3)$ , $B (- 4; 3)$ : $cos ∠ A OB$ $- 0, 28$
$A (3; 4)$ , $B (- 5; 0)$ : $cos ∠ A OB$ $- 0, 6$
$A (1; 2)$ , $B (- 3; 1)$ : $tg ∠ A OB$ $- 7$

2,5 мин · практика
Образец: O — начало, A(3; 1), B(−2; 1). Отрезок AB горизонтален — 5 клеток. Проверка через определение невозможна (ни один луч не на оси) — поэтому теорема косинусов (урок 5).
1) OA = OB = 5, AB = 8: cos = (25 + 25 − 64)/50 = −14/50 = −0,28.
2) OA = 5, OB = 5, AB² = 64 + 16 = 80: cos = (25 + 25 − 80)/50 = −0,6. Можно и по определению: луч OB — по отрицательной полуоси, угол AOB = 180° − ∠(OA, Ox), cos = −3/5.
3) OA² = 5, OB² = 10, AB² = 16 + 1 = 17: cos = (5 + 10 − 17)/(2√50) = −2/(10√2) = −√2/10; sin = √(1 − 2/100) = 7√2/10; tg = sin/cos = −7.

R01.1 · R01.5 · R01.7

Образец → сам · вид треугольника и площадь

Знак косинуса наибольшего угла решает всё

Образец: стороны $4$ , $5$ , $7$ . Вид треугольника и площадь?

$cos C = \frac{16 + 25 - 49}{2 \cdot 4 \cdot 5} = - \frac{1}{5}$ т. косинусов

$cos C < 0$ ⇒ $C$ тупой ⇒ тупоугольный $C$ — против $7$

$sin C = 1 - \frac{1}{25} = \frac{2 6}{5}$ $sin C > 0$

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{2 6}{5} = 46$ проверка Героном: $96$

Сам: вид и наибольший угол

$7$ , $8$ , $13$ ; найдите $S$ тупоугольный, $12 0^{\circ}$ ; $143$
$6$ , $7$ , $9$ остроугольный: $cos = \frac{1}{21}$
$5$ , $5$ , $8$ ; найдите $S$ тупоугольный; $12$

2,5 мин · практика
Образец: наибольший угол лежит против наибольшей стороны; по знаку его косинуса — вид треугольника. Синус любого угла треугольника положителен, поэтому sin C = +√(1 − cos²C). Проверка: p = 8, S = √(8 · 4 · 3 · 1) = √96 = 4√6 ≈ 9,8.
1) cos = (49 + 64 − 169)/112 = −1/2 ⇒ 120°; S = ½ · 7 · 8 · √3/2 = 14√3 (Герон: √(14 · 7 · 6 · 1) = √588 = 14√3).
2) cos = (36 + 49 − 81)/84 = 4/84 = 1/21 > 0 ⇒ наибольший угол острый ⇒ остроугольный.
3) cos = (25 + 25 − 64)/50 = −7/25 ⇒ тупоугольный; sin = 24/25; S = ½ · 5 · 5 · 24/25 = 12 (Герон: √(9 · 4 · 4 · 1) = 12).

R01.1 · R01.3

Образец → сам · задача на доказательство

Углы треугольника и формулы приведения

Образец: докажите, что в $△ A BC$ $sin A = sin (B + C)$ , $cos A = - cos (B + C)$ .

$A = 18 0^{\circ} - (B + C)$ сумма углов треугольника

$sin A = sin (18 0^{\circ} - (B + C)) = sin (B + C)$ приведение

$cos A = - cos (B + C)$ ; $∠ B A D = B + C$ внешний угол

Сам: докажите

$tg A \cdot tg (B + C) \leq 0$ , если $A \neq = 9 0^{\circ}$ $tg (B + C) = - tg A$
Если $cos A \cdot cos B < 0$ , то $△ A BC$ тупоугольный один из косинусов $< 0$
$sin \frac{A + B}{2} = cos \frac{C}{2}$ $\frac{A + B}{2} = 9 0^{\circ} - \frac{C}{2}$

2,5 мин · практика
План доказательства: 1) выразить A через B + C; 2) формула приведения для угла 180° − x, где 0° < x < 180°; 3) геометрический смысл: B + C — внешний угол при A, его синус равен синусу A (смежные углы).
1) tg(B + C) = tg(180° − A) = −tg A ⇒ произведение равно −tg²A ≤ 0 (при A ≠ 90°; A = 90° — tg не существует).
2) Произведение отрицательно ⇒ ровно один из косинусов отрицателен ⇒ этот угол тупой. (Оба тупыми быть не могут.)
3) (A + B)/2 = (180° − C)/2 = 90° − C/2 — острый угол; sin(90° − x) = cos x (8 класс, дополнительные острые углы).

R01.1

Схема-конспект · три алгоритма

Как действовать в задачах практикума

Значение тупого угла

опорный угол $18 0^{\circ} - α$ ;
значение из таблицы;
знак: $sin$ « $+$ », $cos$ , $tg$ « $-$ ».

$cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$

Угол по значению

$sin α = s \in (0; 1)$ : $α$ и $18 0^{\circ} - α$ ;
$cos α$ , $tg α$ : один угол, знак — острый/тупой;
в уравнении — замена и отбор $∣ t ∣ \leq 1$ .

$sin α = \frac{1}{2}$ : $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$

Угол в фигуре

угол по сторонам — теорема косинусов;
знак $cos$ — вид угла;
$sin = + 1 - cos^{2}$ — для площади.

$cos C < 0$ ⇒ $C$ тупой

R01.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$2 cos^{2} α = 1 \Rightarrow α = 4 5^{\circ}$	потерян корень $cos α = - \frac{2}{2}$	$4 5^{\circ}$ или $13 5^{\circ}$
$sin C = \frac{2 6}{5} > 0$ ⇒ $C$ острый	синус тупого угла тоже положителен — смотрят знак косинуса	$cos C = - \frac{1}{5}$ ⇒ тупой
$sin^{2} 12 0^{\circ} + cos^{2} 3 0^{\circ} = 1$	тождество — только для одного и того же угла	$\frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$
$cos α = 1 - sin^{2} α$ всегда	для тупого угла $cos α < 0$	$cos α = \pm 1 - sin^{2} α$

R01.1

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки, а площадь — верная

Задача. В $△ A BC$ $A B = 3$ , $A C = 5$ , $BC = 7$ . Найдите $∠ A$ , площадь и вид треугольника.

1) $cos A = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = - \frac{1}{2}$

2) $cos A = - \frac{1}{2}$ ⇒ $∠ A = 6 0^{\circ}$

3) $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot sin 6 0^{\circ} = \frac{15 3}{4}$

4) $sin A > 0$ ⇒ треугольник остроугольный.

Шаг 2:

cos A < 0

⇒ угол тупой:

∠ A = 12 0^{\circ}

.

Шаг 4: вид определяет знак косинуса: треугольник тупоугольный.

Шаг 3: ответ верный случайно —

sin 6 0^{\circ} = sin 12 0^{\circ}

. Запись надо исправить.

R01.1

Задания с самопроверкой · база

Вычислите, найдите угол, определите вид

Б $sin 13 5^{\circ} + cos 13 5^{\circ}$ $0$
Б $tg 15 0^{\circ} \cdot cos 15 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$
Б $sin α = \frac{2}{2}$ , $α$ тупой. $α =$ ? $13 5^{\circ}$

Б $cos α = - 0, 6$ . Найдите $sin α$ , $tg α$ . $0, 8$ ; $- \frac{4}{3}$
БЗнак $cos 11 0^{\circ} \cdot tg 17 0^{\circ}$ « $+$ »
БСтороны $5$ , $6$ , $7$ . Вид треугольника? остроугольный

R01.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Уравнения, оценки, задача из жизни

ПРешите при $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ : $sin α + cos α = 0$ . $13 5^{\circ}$
ПРешите: $4 sin^{2} α = 3$ . $6 0^{\circ}$ ; $12 0^{\circ}$
ПНаибольшее и наименьшее значения $sin^{2} α - 2 cos α$ . $2$ при $18 0^{\circ}$ ; $- 2$ при $0^{\circ}$
П $cos α = - \frac{5}{13}$ . Найдите $tg (18 0^{\circ} - α)$ . $\frac{12}{5}$
ПСтрела крана $O A = 30$ м образует с горизонтальным лучом $O x$ угол $13 5^{\circ}$ . Найдите координаты конца стрелы $A$ . $(- 152; 152)$ , $\approx 21, 2$ м

R01.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 18 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $13 5^{\circ}$ , $A C = 4$ , $BC = 32$ . Найдите площадь треугольника. $6$

ОГЭ 19Какие утверждения верны?

Синус тупого угла положителен.
Если в треугольнике $cos A < 0$ , то он тупоугольный.
Тангенс угла $9 0^{\circ}$ равен $0$ .
$cos 12 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ}$ .

Ответ: 12

ОГЭ 18Найдите тангенс угла $A OB$ , изображённого на клетчатой бумаге.

Ответ: $- 1, 5$

R01.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$2 sin 15 0^{\circ} - tg 13 5^{\circ}$ $2$
$2 cos α + 3 = 0$ . Найдите $α$ . $15 0^{\circ}$
$cos α = - 0, 8$ . Найдите $sin α$ , $tg α$ . $0, 6$ ; $- 0, 75$
Стороны $2$ , $3$ , $4$ . Вид треугольника? тупоугольный

Вариант 2

$cos 12 0^{\circ} + 2 sin 13 5^{\circ} cos 4 5^{\circ}$ $\frac{1}{2}$
$2 sin α - 3 = 0$ . Найдите $α$ . $6 0^{\circ}$ или $12 0^{\circ}$
$sin α = 0, 6$ , $α$ тупой. Найдите $cos α$ , $tg α$ . $- 0, 8$ ; $- 0, 75$
Стороны $4$ , $5$ , $6$ . Вид треугольника? остроугольный

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по знаку узнать, острый угол или тупой?
Почему у $sin α = \frac{1}{2}$ два ответа, а у $cos α = - \frac{1}{2}$ — один?
Как найти угол между лучами, если ни один не идёт по сетке?

Домашнее задание

Решите: $2 cos^{2} α = cos α$ ; $tg^{2} α = \frac{1}{3}$ .
Стороны $3$ , $7$ , $8$ : вид треугольника и площадь.
Сравните $tg 10 0^{\circ}$ и $cos 10 0^{\circ}$ без калькулятора.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_reshenie-treugolnikov.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-010 · Практикум: синус, косинус, тангенс углов от 0° до 180°

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Решение треугольников», 22 ч · урок 10/22 · тип П
Единицы → слайды	R01.1 «Синус, косинус, тангенс углов от 0 до 180» → 2, 4–21 · опора на R01.2, R01.3 (тождество, приведение) → 9, 13 · R01.5, R01.7 (угол по сторонам, площадь) → 11, 12 · повторение урока 9 (площадь четырёхугольника) → 3
Результаты	ПР-1 → 4–8, 10, 17–20 · ПР-2 → 6, 9, 10, 13 · ПР-3 → 11, 12, 16 · ПР-4 → 3, 12, 19
Вне урока	практикум по тождеству — GEOM9U-011; по формулам приведения — GEOM9U-012; теорема синусов с радиусом описанной окружности — GEOM9U-014
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: синус, косинус и тангенс углов от 0° до 180°

Сегодня вы научитесь уверенно

Вычислять

Находить угол

Сравнивать и оценивать

Применять

Значения и площадь четырёхугольника через диагонали

Синус, косинус, тангенс на полуокружности радиуса R

Табличные углы от 0∘ до 180∘

Вычислите без калькулятора

Образец: 4cos2150∘−2sin135∘cos135∘+tg120∘tg150∘

Сам

Что происходит, когда угол растёт от 0∘ до 180∘

Расположите числа в порядке возрастания

Образец: cos100∘, sin100∘, tg100∘, cos160∘

Сам

Связи между значениями

Решите при 0∘≤α≤180∘

Образец: 2sin2α−sinα=0

Сам

Ни один луч не идёт по линии сетки

Образец: найдите cos∠AOB и угол AOB.

Сам: O(0;0)

Знак косинуса наибольшего угла решает всё

Образец: стороны 4, 5, 7. Вид треугольника и площадь?

Сам: вид и наибольший угол

Углы треугольника и формулы приведения

Образец: докажите, что в △ABC sinA=sin(B+C), cosA=−cos(B+C).

Сам: докажите

Как действовать в задачах практикума

Значение тупого угла

Угол по значению

Угол в фигуре

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки, а площадь — верная

Вычислите, найдите угол, определите вид

Уравнения, оценки, задача из жизни

Ответ — число или номера утверждений

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-010 · Практикум: синус, косинус, тангенс углов от 0° до 180°

Синус, косинус, тангенс на полуокружности радиуса $R$

Табличные углы от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$

Образец: $4 cos^{2} 15 0^{\circ} - 2 sin 13 5^{\circ} cos 13 5^{\circ} + tg 12 0^{\circ} tg 15 0^{\circ}$

Что происходит, когда угол растёт от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$

Образец: $cos 10 0^{\circ}$ , $sin 10 0^{\circ}$ , $tg 10 0^{\circ}$ , $cos 16 0^{\circ}$

Решите при $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$

Образец: $2 sin^{2} α - sin α = 0$

Образец: найдите $cos ∠ A OB$ и угол $A OB$ .

Сам: $O (0; 0)$

Образец: стороны $4$ , $5$ , $7$ . Вид треугольника и площадь?

Образец: докажите, что в $△ A BC$ $sin A = sin (B + C)$ , $cos A = - cos (B + C)$ .