Решение треугольников · урок 9 из 22

Формула площади выпуклого четырёхугольника

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9U-009

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Решение треугольников» (22 ч), урок 9/22, единица R01.9 «Формула площади выпуклого четырехугольника». Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · угол между диагоналями 2,5 · теорема и доказательство 4 · следствия 2,5 · сводка формул площади 2,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 3 + 3 + 3 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · задача из жизни 1 · самостоятельная 4 · итог 1.
Опора урока — формула S = ½ab sin C (R01.7) и равенство sin(180° − φ) = sin φ (формулы приведения, уроки 2–3).
Если не успеваете: третье задание образцов 4 и 5 — в ДЗ; доказательство теоремы (сл. 5) не сокращать.

R01.9

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить формулу

$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$ для любого выпуклого четырёхугольника (ПР-4)

Применять её

находить площадь, диагональ или угол между диагоналями — прямая и обратная задачи

Видеть частные случаи

ромб, прямоугольник, трапеция; оценка $S \leq \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

Доказывать и решать

соотношения площадей четырёх треугольников, клетчатая бумага, ОГЭ 17 и 24

0,5 мин · теория
ПР-4: «Применять тригонометрию в задачах на нахождение площади, выводить и владеть тригонометрическими формулами для площади треугольника, параллелограмма, ромба, трапеции, выводить и применять формулу Герона и формулу для площади выпуклого четырехугольника».
Вид деятельности ФРП R01: «Выводить… формулу площади выпуклого четырехугольника. Решать практические задачи на нахождение площади с применением данных формул».

повторение: R01.7, R01.8

Разминка · устно

Площадь треугольника и углы при пересечении прямых

$S_{△}$ : стороны $6$ и $8$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ $12$
То же, но угол $15 0^{\circ}$ $12$
Сравните $sin 11 0^{\circ}$ и $sin 7 0^{\circ}$ равны
Ромб с диагоналями $6$ и $8$ : площадь $24$
По Герону: стороны $5$ , $5$ , $6$ $12$
Диагонали пересекаются под углом $7 0^{\circ}$ . Остальные углы при $O$ ? $11 0^{\circ}$ , $7 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$

R01.9

Понятие · угол между диагоналями

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются

Четырёхугольник выпуклый ⇒ диагонали

A C = d_{1}

и

B D = d_{2}

пересекаются в точке

O

внутри него.

При

O

— две пары вертикальных углов:

φ

и

18 0^{\circ} - φ

.

Угол между диагоналями — меньший из них,

0^{\circ} < φ \leq 9 0^{\circ}

. Но

sin (18 0^{\circ} - φ) = sin φ

.

2,5 мин · теория
Выпуклый четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону; поэтому вершины B и D лежат по разные стороны от прямой AC (и A, C — по разные стороны от BD), и диагонали пересекаются во внутренней точке O.
На чертеже φ = 67°: при O углы 67°, 113°, 67°, 113°.
Вопрос: какой угол брать в формуле — острый или тупой? Ответ после теоремы: всё равно, синусы смежных углов равны. Поэтому в задачах часто дают «угол AOB», который может быть и тупым.
Ошибка: путать угол между диагоналями с углом между диагональю и стороной (например, ∠CAD).

R01.9

Теорема · доказательство

$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$

Дано:

A BC D

выпуклый,

A C = d_{1}

,

B D = d_{2}

, угол между ними

φ

.
Доказать:

S_{A BC D} = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ

.

1

A O = a

,

OC = c

,

BO = b

,

O D = d

O

— внутренняя точка диагоналей:

a + c = d_{1}

,

b + d = d_{2}

2

S_{A OB} = \frac{1}{2} ab sin φ

,

S_{CO D} = \frac{1}{2} c d sin φ

S = \frac{1}{2} ab sin C

; вертикальные углы равны

3

S_{BOC} = \frac{1}{2} b c sin φ

,

S_{A O D} = \frac{1}{2} a d sin φ

∠ BOC = 18 0^{\circ} - φ

,

sin (18 0^{\circ} - φ) = sin φ

4

S = \frac{1}{2} sin φ (a + c) (b + d) = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ

сложили:

ab + b c + c d + d a = (a + c) (b + d)

4 мин · теория
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Шаг 2 и 3 — формула площади треугольника через две стороны и угол (R01.7).
Шаг 4: ab + bc + cd + da = b(a + c) + d(c + a) = (a + c)(b + d) = d₁d₂. Значит, S = ½ d₁ d₂ sin φ. ∎
Выпуклость нужна в шаге 1: только тогда четырёхугольник разбивается диагоналями на четыре треугольника с общей вершиной O.
Замечание для сильных: формула верна и для невыпуклого четырёхугольника (φ — угол между прямыми AC и BD), но доказательство другое — на уроке не разбираем.

R01.9

Следствия · частные случаи

Что даёт формула для знакомых фигур

Диагонали $⊥$

$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

ромб, квадрат, любой четырёхугольник с $d_{1} ⊥ d_{2}$

Диагонали равны

$S = \frac{1}{2} d^{2} sin φ$

прямоугольник, равнобедренная трапеция

Оценка

$S \leq \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

так как $sin φ \leq 1$ ; равенство ⇔ $d_{1} ⊥ d_{2}$

R01.9

Образец → сам · прямое применение

Площадь по диагоналям и углу между ними

Образец: $A C = 8$ , $B D = 12$ , угол между диагоналями $3 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$ теорема

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot sin 3 0^{\circ} = 48 \cdot \frac{1}{2}$ $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

Ответ: $24$

Сам

$d_{1} = 10$ , $d_{2} = 14$ , $φ = 4 5^{\circ}$ $352$
$d_{1} = 6$ , $d_{2} = 9$ , $∠ A OB = 15 0^{\circ}$ $13, 5$
$d_{1} = 7$ , $d_{2} = 43$ , $φ = 6 0^{\circ}$ $21$

R01.9

Образец → сам · обратная задача

Найдите угол между диагоналями или диагональ

Образец: $S_{A BC D} = 30$ , $A C = 10$ , $B D = 12$ . Найдите угол между диагоналями.

$sin φ = \frac{2 S}{d _{1} d _{2}}$ выразили из формулы

$sin φ = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$

$φ = 3 0^{\circ}$ угол между диагоналями не больше $9 0^{\circ}$

Ответ: $3 0^{\circ}$ (смежный угол при $O$ — $15 0^{\circ}$ )

Сам

$S = 122$ , $d_{1} = 6$ , $φ = 4 5^{\circ}$ . Найдите $d_{2}$ . $8$
Диагонали равны, $φ = 3 0^{\circ}$ , $S = 16$ . Найдите диагональ. $8$
$S = 20$ , $d_{1} = 5$ , $d_{2} = 8$ . Найдите $φ$ . $9 0^{\circ}$ — диагонали перпендикулярны

R01.7 · R01.9

Сводка · формулы площади четырёхугольников

Через стороны и угол — через диагонали

Фигура	Стороны и угол / высота	Диагонали
выпуклый четырёхугольник	—	$\frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$
параллелограмм	$ab sin α$ , $a h_{a}$	$\frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$
ромб	$a^{2} sin α$	$\frac{1}{2} d_{1} d_{2}$
прямоугольник / квадрат	$ab$ / $a^{2}$	$\frac{1}{2} d^{2} sin φ$ / $\frac{1}{2} d^{2}$
трапеция	$\frac{a + b}{2} h$	$\frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$

Угол

φ

не дан? Найдите его из треугольника

A OB

— по теореме косинусов или синусов.

R01.9

Образец → сам · комбинированная задача

Трапеция с перпендикулярными диагоналями

Образец: диагонали трапеции перпендикулярны, $A C = 6$ , $B D = 8$ . Найдите площадь и высоту.

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ следствие 1

$CE ∥ B D$ ⇒ $A E = A D + BC$ , $A E = 36 + 64 = 10$ $△ A CE$ прямоугольный

$S = \frac{A D + BC}{2} h = 5 h = 24$ ⇒ $h = 4, 8$

Сам

Равнобедренная трапеция: диагональ $10$ , угол между диагоналями $6 0^{\circ}$ . $S$ ? $253$
Прямоугольник: диагональ $12$ , угол между диагоналями $3 0^{\circ}$ . $S$ ? $36$
Диагонали трапеции перпендикулярны и равны $5$ и $12$ . Средняя линия? $6, 5$

R01.9

Образец → сам · задача на доказательство

Диагонали делят четырёхугольник на 4 треугольника

Образец: докажите, что $S_{1} \cdot S_{3} = S_{2} \cdot S_{4}$ .

$S_{1} = \frac{1}{2} ab sin φ$ , $S_{3} = \frac{1}{2} c d sin φ$ как в теореме

$S_{2} = \frac{1}{2} b c sin φ$ , $S_{4} = \frac{1}{2} d a sin φ$ $sin (18 0^{\circ} - φ) = sin φ$

$S_{1} S_{3} = \frac{1}{4} ab c d sin^{2} φ = S_{2} S_{4}$ ∎

Сам

$S_{A OB} = 4$ , $S_{BOC} = 6$ , $S_{CO D} = 9$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $25$
Трапеция, $A D ∥ BC$ . Докажите: $S_{A OB} = S_{CO D}$ . $S_{A B D} = S_{A C D}$ , вычесть $S_{A O D}$
Трапеция: $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 9$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $25$

R01.9

Образец → сам · клетчатая бумага

Площадь по диагоналям на сетке

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$A C = 7$ — по линии сетки; $d_{2} sin φ = h_{B} + h_{D}$ расстояния от $B$ и $D$ до $A C$

$h_{B} + h_{D} = 3 + 2 = 5$ считаем клетки

$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 = 17, 5$

Сам

$A (0; 0)$ , $B (2; 4)$ , $C (8; 0)$ , $D (3; - 3)$ . Найдите $S$ . $28$
Найдите $sin φ$ для образца: $B D = 34$ . $\frac{5}{34} = \frac{5 34}{34}$
Диагонали идут по линиям сетки: $6$ и $5$ клеток. $S$ ? $15$

R01.9

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$S = d_{1} d_{2} sin φ$	потерян множитель $\frac{1}{2}$ ; проверка на квадрате: $d^{2} \neq = a^{2}$	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$
$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ для любого четырёхугольника	верно только при $d_{1} ⊥ d_{2}$ (ромб, квадрат)	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$
$φ = ∠ C A D$	это угол между диагональю и стороной	$φ = ∠ A OB$ или $∠ BOC$
$sin 12 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$	синус тупого угла положителен	$sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}$

R01.9

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. Диагонали $A BC D$ пересекаются в $O$ : $A O = 3$ , $OC = 5$ , $BO = 4$ , $O D = 6$ , $∠ A OB = 15 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC D}$ и $S_{BOC}$ .

1) $A C = 8$ , $B D = 10$

2) $sin 15 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$

3) $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 20$ ; площадь положительна ⇒ $S = 20$

4) $S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10$

Шаг 2:

sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

. Ответ

20

«угадан» — рассуждение неверно.

Шаг 4: забыт синус:

∠ BOC = 3 0^{\circ}

,

S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 5

.

Верно:

S_{A BC D} = 20

,

S_{BOC} = 5

.

2 мин · практика
Ученики 1 минуту ищут ошибки в парах, затем называют номера шагов. Шаг 1 верен.
Шаг 2–3: «минус убрали — получили ответ» — так делать нельзя: при ошибке в знаке синуса проверка «площадь не может быть отрицательной» сигналит о неверном шаге, а не разрешает отбросить минус.
Шаг 4: ½ · BO · OC — формула для прямого угла. ∠BOC = 180° − 150° = 30°, sin 30° = ½ ⇒ 5.
Самопроверка: S(AOB) = ½ · 3 · 4 · ½ = 3, S(BOC) = 5, S(COD) = ½ · 5 · 6 · ½ = 7,5, S(DOA) = ½ · 3 · 6 · ½ = 4,5; сумма 20 ✓.

R01.9

Задания с самопроверкой · база

Площадь, угол, диагональ

Б $d_{1} = 14$ , $d_{2} = 10$ , $φ = 3 0^{\circ}$ . $S$ ? $35$
Б $d_{1} = 6$ , $d_{2} = 8$ , $φ = 4 5^{\circ}$ . $S$ ? $122$
БКвадрат с диагональю $72$ . $S$ ? $49$

БПрямоугольник: диагональ $8$ , $φ = 3 0^{\circ}$ . $S$ ? $16$
Б $S = 24$ , $d_{1} = 8$ , $d_{2} = 12$ . $φ$ ? $3 0^{\circ}$
Б $S = 40$ , $d_{1} ⊥ d_{2}$ , $d_{1} = 10$ . $d_{2}$ ? $8$

R01.9

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Оценки, части диагоналей, доказательство

ПДиагонали выпуклого четырёхугольника $8$ и $15$ . Наибольшая возможная площадь? $60$
П $A O = 2$ , $OC = 6$ , $BO = 3$ , $O D = 4$ , $∠ A OB = 6 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A OB}$ и $S_{A BC D}$ . $\frac{3 3}{2}$ ; $143$
П $S_{A OB} = 2$ , $S_{BOC} = 3$ , $S_{CO D} = 6$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $15$
П $d_{1} = 10$ , $d_{2} = 12$ , $S = 303$ . Найдите угол между диагоналями. $6 0^{\circ}$
ПДокажите: середины сторон выпуклого четырёхугольника — вершины параллелограмма площадью $\frac{1}{2} S$ . стороны $\frac{d _{1}}{2}$ , $\frac{d _{2}}{2}$ , угол $φ$

R01.9 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 24

Ответ — число; доказательство — с обоснованием

ОГЭ 17Диагонали ромба равны $10$ и $24$ . Найдите площадь ромба. $120$

ОГЭ 17Диагональ прямоугольника равна $10$ , угол между диагоналями $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь прямоугольника. $25$

ОГЭ 24Диагонали $A C$ и $B D$ трапеции $A BC D$ с основаниями $A D$ и $BC$ пересекаются в точке $O$ . Докажите, что площади треугольников $A OB$ и $CO D$ равны.

План: $S_{A B D} = S_{A C D}$ — общее основание $A D$ , высоты равны (расстояние между $A D$ и $BC$ ); вычитаем $S_{A O D}$ .

R01.9 · практика

Задача из жизни · участок под газон

Хватит ли семян на участок?

Участок — выпуклый четырёхугольник. Рулеткой и угломером измерили диагонали

120

м и

85

м и угол между ними

7 2^{\circ}

. Упаковки семян хватает на

1000 м^{2}

; купили

5

.

S = \frac{1}{2} \cdot 120 \cdot 85 \cdot sin 7 2^{\circ}

S \approx 5100 \cdot 0, 951 \approx 4850 м^{2}

Хватит:

4850 < 5000

(запас около

150 м^{2}

).

R01.9

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$d_{1} = 10$ , $d_{2} = 6$ , $φ = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $15$
Прямоугольник: диагональ $6$ , угол между диагоналями $3 0^{\circ}$ . $S$ ? $9$
$S = 21$ , $d_{1} = 7$ , $d_{2} = 12$ . Угол между диагоналями? $3 0^{\circ}$
$S_{A OB} = 3$ , $S_{BOC} = 4$ , $S_{CO D} = 8$ . $S_{A BC D}$ ? $21$

Вариант 2

$d_{1} = 12$ , $d_{2} = 5$ , $∠ A OB = 15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $15$
Равнобедренная трапеция: диагональ $8$ , угол между диагоналями $3 0^{\circ}$ . $S$ ? $16$
$S = 152$ , $d_{1} = 6$ , $d_{2} = 10$ . Угол между диагоналями? $4 5^{\circ}$
$S_{A OB} = 2$ , $S_{BOC} = 5$ , $S_{CO D} = 10$ . $S_{A BC D}$ ? $21$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие треугольники и какую формулу мы использовали в выводе?
Почему можно брать и острый, и тупой угол при $O$ ?
Когда площадь при данных диагоналях наибольшая?

Домашнее задание

Выучить вывод формулы площади.
$d_{1} = 9$ , $d_{2} = 14$ , $φ = 4 5^{\circ}$ : найдите $S$ .
Трапеция: $S_{BOC} = 9$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите $S_{A BC D}$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_reshenie-treugolnikov.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-009 · Формула площади выпуклого четырёхугольника

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Решение треугольников», 22 ч · урок 9/22 · тип Н
Единицы → слайды	R01.9 «Формула площади выпуклого четырехугольника» → 2, 4–20 · повторение R01.7, R01.8 (площадь треугольника, формула Герона) → 3
Результаты	ПР-4 (тригонометрические формулы площади, вывод и применение формулы площади выпуклого четырёхугольника) → 2, 4–19
Вне урока	практикум по тригонометрии углов 0°–180° — GEOM9U-010; формула для невыпуклого четырёхугольника — только упоминание в заметках сл. 5
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Формула площади выпуклого четырёхугольника

Сегодня вы научитесь

Выводить формулу

Применять её

Видеть частные случаи

Доказывать и решать

Площадь треугольника и углы при пересечении прямых

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются

S=21​d1​d2​sinφ

Что даёт формула для знакомых фигур

Диагонали ⊥

Диагонали равны

Оценка

Площадь по диагоналям и углу между ними

Образец: AC=8, BD=12, угол между диагоналями 30∘. Найдите SABCD​.

Сам

Найдите угол между диагоналями или диагональ

Образец: SABCD​=30, AC=10, BD=12. Найдите угол между диагоналями.

Сам

Через стороны и угол — через диагонали

Трапеция с перпендикулярными диагоналями

Образец: диагонали трапеции перпендикулярны, AC=6, BD=8. Найдите площадь и высоту.

Сам

Диагонали делят четырёхугольник на 4 треугольника

Образец: докажите, что S1​⋅S3​=S2​⋅S4​.

Сам

Площадь по диагоналям на сетке

Образец: клетка 1×1. Найдите SABCD​.

Сам

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки

Площадь, угол, диагональ

Оценки, части диагоналей, доказательство

Ответ — число; доказательство — с обоснованием

Хватит ли семян на участок?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-009 · Формула площади выпуклого четырёхугольника

$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$

Диагонали $⊥$

Образец: $A C = 8$ , $B D = 12$ , угол между диагоналями $3 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

Образец: $S_{A BC D} = 30$ , $A C = 10$ , $B D = 12$ . Найдите угол между диагоналями.

Образец: диагонали трапеции перпендикулярны, $A C = 6$ , $B D = 8$ . Найдите площадь и высоту.

Образец: докажите, что $S_{1} \cdot S_{3} = S_{2} \cdot S_{4}$ .

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите $S_{A BC D}$ .