Решение треугольников · урок 8 из 22

Формула Герона

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9U-008

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Решение треугольников» (22 ч), урок 8/22, единица R01.8. Тип урока — Н.
Теория (13,5): титул 0,5 · цели 0,5 · идея и формулировка 2 · вывод, шаг 1 — 3 · вывод, шаг 2 — 3 · высоты и радиусы 2,5 · сводка 2.
Практика (31,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 5 · итог 1.
На титуле: треугольник 13, 14, 15 — «треугольник Герона» с целыми сторонами и целой площадью 84; он проходит через весь урок.
Если не успеваете: образец 5 (участок) и задание ОГЭ 23 — в ДЗ; вывод формулы не сокращать.

R01.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить формулу Герона

из теоремы косинусов и формулы $S = \frac{1}{2} ab sin C$ (ПР-4)

Находить площадь по трём сторонам

в том числе когда стороны — корни

Находить высоты и радиусы

$h = \frac{2 S}{a}$ , $r = \frac{S}{p}$ , $R = \frac{ab c}{4 S}$ (ПР-3, ПР-4)

Решать задачи

о трапеции, параллелограмме, участке земли; ОГЭ 15 и 23

0,5 мин · теория
ПР-4: «Применять тригонометрию в задачах на нахождение площади, выводить и владеть тригонометрическими формулами для площади треугольника, параллелограмма, ромба, трапеции, выводить и применять формулу Герона и формулу для площади выпуклого четырехугольника».
ПР-3: применение теорем синусов и косинусов для нахождения элементов треугольника (радиус описанной окружности — через теорему синусов).
Виды деятельности ФРП R01: выводить тригонометрические формулы площади, формулу Герона; решать практические задачи на нахождение площади.

повторение: уроки 5–7

Разминка · устно

Всё, что понадобится для вывода

$S = \frac{1}{2} ab sin C$ : $a = 6$ , $b = 8$ , $C = 3 0^{\circ}$ . $12$
$C$ — угол треугольника, $cos C = 0, 6$ . $sin C$ ? $0, 8$
Теорема косинусов: $c^{2} = \dots$ $a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$
$1 3^{2} - 5^{2}$ — устно через разность квадратов. $8 \cdot 18 = 144$

Полупериметр треугольника $13$ , $14$ , $15$ ? $p = 21$
$16 \cdot 9 \cdot 4$ ? $24$
Есть ли треугольник со сторонами $3$ , $4$ , $8$ ? нет: $3 + 4 < 8$

R01.8

Новый материал · формула Герона

Площадь по трём сторонам

Три стороны задают треугольник однозначно (III признак) — значит, и площадь выражается через

a

,

b

,

c

.

S = p (p - a) (p - b) (p - c)

$p = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр

Герон Александрийский, I век н. э., «Метрика»

2 мин · теория
Вопрос классу: какие формулы площади треугольника мы знаем? (½ah, ½ab·sin C.) Что нужно знать для каждой? (высоту или угол). А если измерены только три стороны — например, у земельного участка?
Цвета сторон на чертеже совпадают с цветом букв в записи.
Исторически: формула приведена в «Метрике» Герона Александрийского (I в. н. э.); по свидетельствам арабских учёных, была известна ещё Архимеду.
Сразу обратить внимание: все множители под корнем положительны — p − a > 0 равносильно a < b + c (неравенство треугольника).

R01.8

Вывод формулы · шаг 1

Убираем угол: тождество и теорема косинусов

Дано:

△ A BC

,

BC = a

,

C A = b

,

A B = c

.
Выразить:

S

через

a

,

b

,

c

.

1

S = \frac{1}{2} ab sin C

тригонометрическая формула площади (урок 7)

2

cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}

теорема косинусов

3

sin^{2} C = 1 - cos^{2} C

основное тождество;

sin C > 0

, так как

0^{\circ} < C < 18 0^{\circ}

4

16 S^{2} = 4 a^{2} b^{2} sin^{2} C = 4 a^{2} b^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}

возвели п. 1 в квадрат, умножили на 16, подставили п. 2–3

R01.8

Вывод формулы · шаг 2

Раскладываем на множители — появляется $p$

5

16 S^{2} = (2 ab - a^{2} - b^{2} + c^{2}) (2 ab + a^{2} + b^{2} - c^{2})

разность квадратов:

(2 ab)^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}

6

16 S^{2} = (c^{2} - (a - b)^{2}) ((a + b)^{2} - c^{2})

сгруппировали полные квадраты

7

16 S^{2} = (b + c - a) (a + c - b) (a + b - c) (a + b + c)

ещё дважды разность квадратов

8

a + b + c = 2 p

,

b + c - a = 2 (p - a)

,

a + c - b = 2 (p - b)

,

a + b - c = 2 (p - c)

вычитаем из

2 p

удвоенную сторону

9

16 S^{2} = 16 p (p - a) (p - b) (p - c)

\Rightarrow

S = p (p - a) (p - b) (p - c)

сократили на 16,

S > 0

R01.8

Образец → сам · прямое применение

Площадь по трём сторонам

Образец: стороны треугольника $13$ , $14$ , $15$ . Найдите $S$ .

$p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$

$p - a$ : $8, 7, 6$

$S = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6$

$21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 7^{2} \cdot 144$ разложили, а не перемножали

$S = 7 \cdot 12 = 84$

Сам

Стороны $5$ , $5$ , $6$ . Найдите $S$ . $12$
Стороны $7$ , $8$ , $9$ . Найдите $S$ . $125$
Стороны $6$ , $25$ , $29$ . Найдите $S$ . $60$

R01.8 · R01.5

Следствия · высоты и радиусы через площадь

Нашли $S$ — находим $h$ , $r$ и $R$

Вписанная окружность

$S = \frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} c r$

$S = p r$ , $r = \frac{S}{p}$

Описанная окружность

$sin A = \frac{a}{2 R}$ теорема синусов

$S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{ab c}{4 R}$

$R = \frac{ab c}{4 S}$

Высота:

h_{a} = \frac{2 S}{a}

— к меньшей стороне проведена большая высота

2,5 мин · теория
Слева: центр I вписанной окружности соединяем с вершинами — треугольник делится на три с высотами r (радиусы в точки касания перпендикулярны сторонам). S = ½(a + b + c)r = pr. Эта формула известна с 8 класса — повторяем.
Справа: по теореме синусов a/sin A = 2R (урок 5) ⇒ sin A = a/(2R). Подставляем в S = ½bc·sin A: S = abc/(4R).
Чертёж точный: треугольник 13, 14, 15; r = 4, R = 65/8 — числа понадобятся в образце 2.
h = 2S/a: чем меньше сторона, тем больше высота к ней — частая ловушка в задачах «найдите наибольшую высоту».

R01.8

Образец → сам · высоты и радиусы

Сначала площадь — потом всё остальное

Образец: стороны $13$ , $14$ , $15$ , $S = 84$ . Найдите высоту к стороне $14$ , $r$ и $R$ .

$h = \frac{2 \cdot 84}{14} = 12$

$r = \frac{84}{21} = 4$

$R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{65}{8} = 8, 125$ сократили до умножения

Сам: треугольники из образца 1

$5$ , $5$ , $6$ : высота к боковой стороне. $4, 8$
$5$ , $5$ , $6$ : найдите $r$ и $R$ . $r = 1, 5$ ; $R = \frac{25}{8}$
$6$ , $25$ , $29$ : наибольшая высота. $20$

R01.8

Образец → сам · стороны — корни

Герон «в квадратах»

Образец: $a = 5$ , $b = 10$ , $c = 13$ . Найдите $S$ .

$S = \frac{1}{4} 4 a^{2} b^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}$

$= \frac{1}{4} 4 \cdot 5 \cdot 10 - (5 + 10 - 13)^{2}$

$= \frac{1}{4} 196 = 3, 5$

Проверка по клеткам: $9 - 1 - 1, 5 - 3 = 3, 5$

Сам

Стороны $2$ , $5$ , $3$ . $1, 5$
Стороны $17$ , $22$ , $5$ . $3$
Стороны $10$ , $10$ , $25$ . Какой это треугольник? $S = 5$ , прямоугольный

2,5 мин · практика
Когда стороны — корни, полупериметр «некрасивый»; удобнее промежуточная формула из шага 4 вывода: 16S² = 4a²b² − (a² + b² − c²)². В неё входят только квадраты сторон.
Образец: a² = 5, b² = 10, c² = 13: 200 − 2² = 196, √196 = 14, S = 14/4 = 3,5. Треугольник на клетках: A(1; 0), B(3; 1), C(0; 3) — AB² = 5, AC² = 10, BC² = 13. По клеткам: 9 − ½·2·1 − ½·1·3 − ½·3·2 = 3,5 ✓.
1) a² = 2, b² = 5, c² = 9: 4·10 − (−2)² = 36, S = 6/4 = 1,5. 2) 17, 8, 5: 4·17·8 − (17 + 8 − 5)² = 544 − 400 = 144, S = 12/4 = 3.
3) 10, 10, 20: 400 − 0 = 400, S = 20/4 = 5; 10 + 10 = 20 — по обратной теореме Пифагора прямоугольный (равнобедренный), S = ½·10 = 5 ✓.

R01.8

Образец → сам · комбинированная задача

Трапеция по четырём сторонам

Образец: основания трапеции $25$ и $11$ , боковые стороны $13$ и $15$ . Найдите $S$ .

$CE ∥ A B$ : $CE = 13$ , $E D = 25 - 11 = 14$ $A BCE$ — параллелограмм

$S_{EC D} = 84$ , $h = \frac{2 \cdot 84}{14} = 12$ Герон

$S = \frac{25 + 11}{2} \cdot 12 = 216$

Сам

Стороны параллелограмма $13$ и $14$ , диагональ $15$ . Найдите $S$ . $168$
Основания трапеции $20$ и $6$ , боковые $13$ и $15$ . Найдите $S$ . $156$
Стороны треугольника $5$ , $5$ , $x$ ; $S = 12$ . Найдите $x$ . $6$ или $8$

3,5 мин · практика
Образец: через C проводим CE ∥ AB (E на AD). ABCE — параллелограмм (BC ∥ AE, AB ∥ CE) ⇒ CE = 13, AE = 11, ED = 14. △ECD со сторонами 13, 14, 15 имеет S = 84; его высота к ED — это высота трапеции: h = 12. S = 18·12 = 216.
Почему нельзя сразу: трапецию по четырём сторонам «Героном» не посчитать, нужен вспомогательный треугольник с разностью оснований.
1) Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника 13, 14, 15: S = 2·84 = 168.
2) Разность оснований 14, треугольник 13, 14, 15 ⇒ h = 12; S = (20 + 6)/2·12 = 156.
3) p = 5 + x/2; S² = (5 + x/2)(x/2)(x/2)(5 − x/2) = (x²/4)(25 − x²/4) = 144 ⇒ x⁴ − 100x² + 2304 = 0 ⇒ x² = 36 или 64 ⇒ x = 6 или x = 8. Оба треугольника существуют (5 + 5 > 8). Углублённый уровень: два ответа — остроугольный и тупоугольный.

R01.8

Образец → сам · задача из жизни

Площадь участка по рулетке

Образец: стороны треугольного участка $50$ м, $70$ м, $80$ м. Сколько это соток?

$p = 100$ , $S = 100 \cdot 50 \cdot 30 \cdot 20 = 10003$

$S \approx 1732 м^{2} \approx 17, 3$ сотки 1 сотка = 100 м²

Сам

Газон $13$ м, $14$ м, $15$ м. Сколько рулонов по $2 м^{2}$ ? $42$
Поле $60$ м, $80$ м, $100$ м. Сколько соток? $24$
Участок $A BC D$ : $A B = 13$ , $BC = 14$ , $C D = 12$ , $D A = 9$ , диагональ $A C = 15$ (м). Найдите $S$ . $138 м^{2}$

2 мин · практика
Образец: p = 100, p − a: 50, 30, 20. 100·50·30·20 = 3 000 000 = 10⁶·3 ⇒ S = 1000√3 ≈ 1732 м² ≈ 17,3 сотки. Угол между сторонами 50 и 80 равен 60° — проверка: ½·50·80·sin 60° = 1000√3 ✓.
1) S = 84 м², 84 : 2 = 42 рулона (без запаса на подрезку). 2) p = 120: √(120·60·40·20) = 2400 м² = 24 сотки (прямоугольный: ½·60·80).
3) Так работают землемеры — делят участок диагоналями на треугольники (триангуляция). △ABC: 13, 14, 15 ⇒ 84; △ACD: 15, 12, 9 ⇒ p = 18, √(18·3·6·9) = 54 (прямоугольный). Итого 138 м². Четыре стороны без диагонали четырёхугольник не задают!

R01.7 · R01.8

Сводка · какую формулу выбрать

Что известно → чем считать

Известно	Формула
сторона и высота к ней	$S = \frac{1}{2} a h_{a}$
две стороны и угол между ними	$S = \frac{1}{2} ab sin C$
три стороны (целые, дроби)	$S = p (p - a) (p - b) (p - c)$
три стороны — корни	$S = \frac{1}{4} 4 a^{2} b^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}$
$S$ и стороны → радиусы, высоты	$r = \frac{S}{p}$ , $R = \frac{ab c}{4 S}$ , $h_{a} = \frac{2 S}{a}$

R01.8

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$p = a + b + c$	в формуле — полупериметр	$p = \frac{a + b + c}{2}$
$3, 4, 5$ : $S = 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 36$	забыли корень: $36$ — это $S^{2}$	$S = 36 = 6$
$2, 3, 6$ : под корнем $5, 5 \cdot 3, 5 \cdot 2, 5 \cdot (- 0, 5)$ — «берём модуль»	$2 + 3 < 6$ — треугольника нет	сначала неравенство треугольника
Четырёхугольник: $S = (p - a) (p - b) (p - c) (p - d)$	четыре стороны не задают четырёхугольник	разбить диагональю на два треугольника

1,5 мин · практика (ученики сами объясняют «почему», учитель открывает строку)
Строка 1: самая частая ошибка; с периметром множители p − a получаются слишком большими — ответ завышен.
Строка 3: если хотя бы один множитель ≤ 0, такого треугольника не существует — в ответ так и пишем.
Строка 4: шарнирный четырёхугольник из реек можно «сложить», стороны прежние, площадь меняется. Формула Брахмагупты из строки верна только для вписанного четырёхугольника (за рамками урока).

R01.8

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Стороны $4$ , $13$ , $15$ . Найдите $S$ .

$p = 4 + 13 + 15 = 32$

$S = 32 \cdot 28 \cdot 19 \cdot 17$

$p = 16$

$S = 16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1 = 24$

б) Стороны $7$ , $15$ , $20$ . Найдите наибольшую высоту.

$p = 21$

$S = 21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1 = 42$

$h = \frac{2 \cdot 42}{20} = 4, 2$

наибольшая — к стороне $7$ :
$h = \frac{84}{7} = 12$

в) Стороны $13$ , $14$ , $15$ . Найдите $R$ .

$S = 84$ , $R = \frac{ab c}{4 S}$

$R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{84} = 32, 5$

потеряна четвёрка:
$R = \frac{2730}{336} = 8, 125$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Взят периметр вместо полупериметра. Верно: p = 16, p − a: 12, 3, 1; S = √576 = 24.
б) Площадь найдена верно (21·14·6·1 = 1764 = 42²), но наибольшая высота проведена к наименьшей стороне: h = 2·42/7 = 12. Ученик нашёл наименьшую.
в) В знаменателе 4S = 336, а не 84. Проверка разумности: треугольник 13, 14, 15 остроугольный (15² < 13² + 14²), его R лишь немного больше половины наибольшей стороны (7,5); 32,5 — явно слишком много.

R01.8

Задания с самопроверкой · база

Найдите площадь треугольника со сторонами…

база $3$ , $4$ , $5$ $6$
база $5$ , $12$ , $13$ $30$
база $10$ , $10$ , $12$ $48$

база $9$ , $10$ , $17$ $36$
база $4$ , $5$ , $7$ $46$
база $6$ , $6$ , $6$ $93$

R01.8

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны $25$ , $29$ , $36$ . Найдите наименьшую высоту. $20$
повыш.Стороны $10$ , $17$ , $21$ . Найдите $r$ и $R$ . $r = 3, 5$ ; $R = \frac{85}{8}$
повыш.Стороны относятся как $5 : 5 : 6$ , $S = 48$ . Найдите стороны. $10$ , $10$ , $12$
повыш.Выведите из формулы Герона площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ . $\frac{a ^{2} 3}{4}$

R01.8 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 23

Короткий ответ и развёрнутое решение

ОГЭ 15Стороны треугольника $13$ , $14$ , $15$ . Найдите высоту, проведённую к стороне $14$ . $12$
ОГЭ 15Стороны треугольника $10$ , $10$ , $12$ . Найдите радиус вписанной окружности. $3$

ОГЭ 23 Основания трапеции $16$ и $44$ , боковые стороны $17$ и $25$ . Найдите площадь трапеции.

$CE ∥ A B$ : $△ EC D$ со сторонами $17$ , $25$ , $28$

$p = 35$ , $S = 35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7 = 210$ , $h = \frac{420}{28} = 15$

$S = \frac{16 + 44}{2} \cdot 15 = 450$

2 мин · практика
15-1) S = 84, h = 168 : 14 = 12. В бланк — «12». 15-2) p = 16, S = √(16·6·6·4) = 48, r = 48 : 16 = 3.
23) Полное решение на 2 балла: через C проведём CE ∥ AB (E ∈ AD); ABCE — параллелограмм ⇒ CE = 17, AE = 16, ED = 44 − 16 = 28. △ECD: p = 35, S = √(35·18·10·7) = √44100 = 210. Высота △ECD к ED — высота трапеции: h = 2·210 : 28 = 15. S = 30·15 = 450. Ответ: 450.
Обязательно: обоснование того, что ABCE — параллелограмм, и что высота треугольника равна высоте трапеции (обе — расстояние между параллельными прямыми).

R01.8

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Стороны $5$ , $5$ , $8$ . Найдите $S$ . $12$
Стороны $13$ , $20$ , $21$ . Найдите высоту к стороне $21$ . $12$
Стороны $9$ , $10$ , $17$ . Найдите $r$ . $2$
Стороны параллелограмма $10$ и $17$ , диагональ $21$ . Найдите $S$ . $168$

Вариант 2

Стороны $10$ , $13$ , $13$ . Найдите $S$ . $60$
Стороны $11$ , $25$ , $30$ . Найдите высоту к стороне $11$ . $24$
Стороны $8$ , $15$ , $17$ . Найдите $r$ . $3$
Стороны параллелограмма $14$ и $30$ , диагональ $40$ . Найдите $S$ . $336$

5 мин · практика
Вариант 1: 1) p = 9: √(9·4·4·1) = 12. 2) p = 27: √(27·14·7·6) = √15876 = 126; h = 252 : 21 = 12. 3) p = 18, S = 36, r = 2. 4) Треугольник 10, 17, 21: p = 24, √(24·14·7·3) = 84; S = 2·84 = 168.
Вариант 2: 1) p = 18: √(18·8·5·5) = 60. 2) p = 33: √(33·22·8·3) = √17424 = 132; h = 264 : 11 = 24. 3) p = 20, S = 60, r = 3. 4) Треугольник 14, 30, 40: p = 42, √(42·28·12·2) = √28224 = 168; S = 336.
Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3». Взаимопроверка по ответам (по щелчку). В задании 4 требовать запись «диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Из каких двух фактов выводится формула Герона?
Почему все множители под корнем положительны?
Как найти $r$ и $R$ , зная три стороны?

Домашнее задание

Стороны $13$ , $20$ , $21$ : найдите $S$ , $r$ и $R$ .
Основания трапеции $8$ и $22$ , боковые $13$ и $15$ . Найдите $S$ .
* Стороны — три последовательных натуральных числа, $S = 84$ . Найдите их.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_ploshchad.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-008 · Формула Герона

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Решение треугольников», 22 ч · урок 8/22 · тип Н
Единицы → слайды	R01.8 «Формула Герона» → 2, 4–20 · повторение R01.5, R01.7 (уроки 5–7) → 3, 8, 13
Результаты	ПР-4 (выводить и применять формулу Герона, площади фигур) → 4–20 · ПР-3 (теоремы синусов и косинусов, радиус описанной окружности) → 5, 8, 9
Вне урока	площадь выпуклого четырёхугольника — GEOM9U-009; формула Брахмагупты — только упоминание в заметках (сл. 14)
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Формула Герона

Сегодня вы научитесь

Выводить формулу Герона

Находить площадь по трём сторонам

Находить высоты и радиусы

Решать задачи

Всё, что понадобится для вывода

Площадь по трём сторонам

Убираем угол: тождество и теорема косинусов

Раскладываем на множители — появляется p

Площадь по трём сторонам

Образец: стороны треугольника 13, 14, 15. Найдите S.

Сам

Нашли S — находим h, r и R

Вписанная окружность

Описанная окружность

Сначала площадь — потом всё остальное

Образец: стороны 13, 14, 15, S=84. Найдите высоту к стороне 14, r и R.

Сам: треугольники из образца 1

Герон «в квадратах»

Образец: a=5​, b=10​, c=13​. Найдите S.

Сам

Трапеция по четырём сторонам

Образец: основания трапеции 25 и 11, боковые стороны 13 и 15. Найдите S.

Сам

Площадь участка по рулетке

Образец: стороны треугольного участка 50 м, 70 м, 80 м. Сколько это соток?

Сам

Что известно → чем считать

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Стороны 4, 13, 15. Найдите S.

б) Стороны 7, 15, 20. Найдите наибольшую высоту.

в) Стороны 13, 14, 15. Найдите R.

Найдите площадь треугольника со сторонами…

Подумайте и решите

Короткий ответ и развёрнутое решение

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-008 · Формула Герона

Раскладываем на множители — появляется $p$

Образец: стороны треугольника $13$ , $14$ , $15$ . Найдите $S$ .

Нашли $S$ — находим $h$ , $r$ и $R$

Образец: стороны $13$ , $14$ , $15$ , $S = 84$ . Найдите высоту к стороне $14$ , $r$ и $R$ .

Образец: $a = 5$ , $b = 10$ , $c = 13$ . Найдите $S$ .

Образец: основания трапеции $25$ и $11$ , боковые стороны $13$ и $15$ . Найдите $S$ .

Образец: стороны треугольного участка $50$ м, $70$ м, $80$ м. Сколько это соток?

а) Стороны $4$ , $13$ , $15$ . Найдите $S$ .

б) Стороны $7$ , $15$ , $20$ . Найдите наибольшую высоту.

в) Стороны $13$ , $14$ , $15$ . Найдите $R$ .