Решение треугольников · урок 7 из 22

Тригонометрические формулы площади треугольника и параллелограмма

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9U-007

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Решение треугольников» (22 ч), урок 7/22, единица R01.7. Тип урока — Н.
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · теорема S = ½ab sin C 4 · параллелограмм 2 · через диагонали 2,5 · равные углы 1,5 · сводка 2.
Практика (32): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2 + 2 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1,5.
Формула Герона — урок 8 (GEOM9U-008), площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через диагонали — урок 9 (GEOM9U-009): здесь только параллелограмм.
Если не успеваете: третье задание образцов 4 и 6 — в ДЗ; доказательство теоремы (сл. 4) не сокращать.

R01.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить формулы

$S = \frac{1}{2} ab sin C$ — треугольник;
$S = ab sin α$ и $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$ — параллелограмм (ПР-4)

Находить площадь

по двум сторонам и углу между ними — без высоты; площадь ромба $a^{2} sin α$

Решать обратные задачи

угол или сторону по площади; помнить: $sin C = s$ — два угла $C$ и $18 0^{\circ} - C$ (ПР-2)

Доказывать и применять

отношение площадей треугольников с равным углом, участки и детали, задачи ОГЭ

0,5 мин · теория
ПР-4: «Применять тригонометрию в задачах на нахождение площади, выводить и владеть тригонометрическими формулами для площади треугольника, параллелограмма, ромба, трапеции…» — сегодня треугольник, параллелограмм, ромб; Герон и четырёхугольник — уроки 8 и 9.
ПР-2: соотношения между тригонометрическими величинами — sin(180° − α) = sin α работает в каждом выводе урока.
Вид деятельности ФРП R01: «Выводить тригонометрические формулы для площади треугольника, параллелограмма… Решать практические задачи на нахождение площади с применением данных формул».

повторение: уроки 1–3

Разминка · устно

Площадь через высоту и синусы углов

Основание $10$ , высота $6$ : $S_{△}$ ? $30$
$sin 3 0^{\circ}$ и $sin 15 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$
$sin 13 5^{\circ}$ и $sin 9 0^{\circ}$ $\frac{2}{2}$ и $1$
На рисунке: $B H$ ? $8 sin 3 0^{\circ} = 4$
Параллелограмм: сторона $10$ , высота к ней $3$ . $S$ ? $30$
При каком $α$ значение $sin α$ наибольшее? $9 0^{\circ}$ , $sin 9 0^{\circ} = 1$

R01.7

Теорема · доказательство

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} ab sin C$

Дано:

△ A BC

,

BC = a

,

A C = b

,

∠ C

.
Доказать:

S = \frac{1}{2} ab sin C

.

1

S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B H = \frac{1}{2} b \cdot h

B H ⊥ A C

; площадь через высоту (8 класс)

2

∠ C

острый:

h = a sin C

△ B H C

прямоугольный, синус острого угла

3

∠ C

тупой:

h = a sin (18 0^{\circ} - C) = a sin C

H

на продолжении

A C

,

∠ BC H = 18 0^{\circ} - C

; формула приведения

4

∠ C = 9 0^{\circ}

:

h = a = a sin 9 0^{\circ}

высота совпадает с катетом

BC

★

S = \frac{1}{2} ab sin C

— половина произведения двух сторон на синус угла между ними

4 мин · теория
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Три случая обязательны: формула должна быть верна для любого угла C.
Шаг 3: ∠BCH смежный с ∠C, равен 180° − C (бирюзовая дуга на правом чертеже); sin(180° − C) = sin C — урок 3.
Так как за C можно взять любую вершину: S = ½ ab sin C = ½ bc sin A = ½ ac sin B. Отсюда следствие (вопрос классу): у треугольника со сторонами a, b наибольшая площадь при C = 90°.
Ошибка: брать угол, не заключённый между сторонами (разберём на сл. 15).

R01.7

Образец → сам · прямое применение

Две стороны и угол между ними → площадь

Образец: $BC = 8$ , $A C = 10$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC}$ .

$∠ C$ лежит между сторонами $8$ и $10$ условие формулы

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot sin 3 0^{\circ}$ $S = \frac{1}{2} ab sin C$

$S = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$

Сам

$a = 6$ , $b = 7$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ $\frac{21 2}{2} = 10, 52$
$a = 43$ , $b = 5$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ $15$
Выведите площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ ; найдите при $a = 6$ . $\frac{a ^{2} 3}{4}$ ; $93$

R01.7

Образец → сам · обратная задача

Площадь известна — найдите угол или сторону

Образец: $BC = 6$ , $A C = 10$ , $S_{A BC} = 15$ . Найдите $∠ C$ .

$15 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot sin C$ $S = \frac{1}{2} ab sin C$

$sin C = \frac{2 \cdot 15}{60} = \frac{1}{2}$ выразили синус

$∠ C = 3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$ — два треугольника

Сам

$a = 6$ , $b = 8$ , $S = 123$ . Найдите $∠ C$ . $6 0^{\circ}$ или $12 0^{\circ}$
$S = 24$ , $a = 8$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $b$ . $12$
Стороны $5$ и $8$ . Наибольшая площадь треугольника и угол между ними? $20$ при $9 0^{\circ}$

R01.7

Следствие · параллелограмм и ромб

Площадь параллелограмма: $S = ab sin α$

Диагональ

B D

делит параллелограмм на два равных треугольника:

△ A B D = △ C D B

(по трём сторонам).

S = 2 \cdot \frac{1}{2} a b sin α = a b sin α

Ромб (

a = b

):

S = a^{2} sin α

. Угол можно брать любой:

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α

.

R01.7

Образец → сам · параллелограмм и ромб

Площадь, угол и высоты параллелограмма

Образец: стороны параллелограмма $6$ и $10$ , один из углов $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь и обе высоты.

$S = 6 \cdot 10 \cdot sin 15 0^{\circ} = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30$ $S = ab sin α$

$h_{10} = \frac{S}{10} = 3$ $S = a h_{a}$

$h_{6} = \frac{S}{6} = 5$

Проверка: $h_{10} = 6 sin 3 0^{\circ} = 3$ ✓ острый угол $3 0^{\circ}$

Сам

Ромб со стороной $8$ и углом $6 0^{\circ}$ . $S$ ? $323$
$S = 40$ , стороны $8$ и $10$ . Найдите углы. $3 0^{\circ}$ и $15 0^{\circ}$
Стороны $4$ и $7$ , угол $4 5^{\circ}$ . $S$ и большая высота? $142$ ; $\frac{7 2}{2}$

R01.7

Теорема · площадь через диагонали

Параллелограмм: $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$

Дано:

A BC D

— параллелограмм,

A C = d_{1}

,

B D = d_{2}

,

∠ A OB = φ

.
Доказать:

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ

.

1

A O = OC = \frac{d _{1}}{2}

,

BO = O D = \frac{d _{2}}{2}

диагонали делятся точкой

O

пополам

2

S_{A OB} = S_{CO D} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d _{1}}{2} \cdot \frac{d _{2}}{2} sin φ

S = \frac{1}{2} ab sin C

; вертикальные углы

3

S_{BOC} = S_{A O D}

— то жеугол

18 0^{\circ} - φ

,

sin (18 0^{\circ} - φ) = sin φ

★

S = 4 \cdot \frac{1}{8} d_{1} d_{2} sin φ = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ

R01.7

Образец → сам · через диагонали

Диагонали и угол между ними → площадь

Образец: диагонали прямоугольника равны $10$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите площадь и стороны.

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot sin 6 0^{\circ} = 253$ $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$

$△ A OB$ равносторонний: $A B = A O = 5$ $A O = BO$

$A D = 100 - 25 = 53$ теорема Пифагора

Проверка: $5 \cdot 53 = 253$ ✓

Сам: параллелограмм

$d_{1} = 10$ , $d_{2} = 12$ , $φ = 3 0^{\circ}$ $30$
$d_{1} = 42$ , $d_{2} = 10$ , $φ = 13 5^{\circ}$ $20$
$S = 24$ , $d_{1} = 6$ , $d_{2} = 8$ . Угол между диагоналями? $9 0^{\circ}$ — это ромб

R01.7

Следствие · треугольники с равным углом

Отношение площадей треугольников с общим углом

D \in A B

,

E \in A C

, угол

A

общий.

\frac{S _{A D E}}{S _{A BC}} = \frac{\frac{1}{2} A D \cdot A E sin α}{\frac{1}{2} A B \cdot A C sin α} = \frac{A D \cdot A E}{A B \cdot A C}

Верно и для треугольников, у которых углы в сумме дают

18 0^{\circ}

: синусы равны.

R01.7

Образец → сам · задача на доказательство

Отношение площадей: план и обоснования

Образец: $A D = 2$ , $D B = 4$ , $A E = 3$ , $EC = 2$ , $S_{A BC} = 30$ . Найдите $S_{A D E}$ .

$A B = 6$ , $A C = 5$ , угол $A$ общий $D \in A B$ , $E \in A C$

$\frac{S _{A D E}}{S _{A BC}} = \frac{2 \cdot 3}{6 \cdot 5} = \frac{1}{5}$ следствие $S = \frac{1}{2} ab sin C$

$S_{A D E} = \frac{30}{5} = 6$

Сам

$A D : D B = 1 : 2$ , $A E : EC = 3 : 1$ , $S_{A BC} = 24$ . $S_{A D E}$ ? $6$
Найдите $S_{D BCE}$ в образце. $24$
Докажите: медиана $BM$ делит $△ A BC$ на два равновеликих треугольника. $∠ A MB + ∠ CMB = 18 0^{\circ}$ , $A M = MC$

R01.7

Сводка · формулы площади

Что известно — какая формула

Фигура	Формула	Что нужно знать
Треугольник	$S = \frac{1}{2} ab sin C$	две стороны и угол между ними
Равносторонний	$S = \frac{a ^{2} 3}{4}$	сторону
Параллелограмм	$S = ab sin α$	две соседние стороны и любой угол
Ромб	$S = a^{2} sin α = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$	сторону и угол или диагонали
Параллелограмм	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$	диагонали и угол между ними

R01.7

Образец → сам · задача из жизни

Площадь участка по рулетке и угломеру

Образец: стороны треугольного участка $40$ м и $55$ м, угол между ними $7 0^{\circ}$ . Сколько это соток?

$S = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 55 \cdot sin 7 0^{\circ}$ $sin 7 0^{\circ} \approx 0, 940$ — калькулятор

$S \approx 1100 \cdot 0, 940 \approx 1034 м^{2} \approx 10, 3$ сотки

Сам: калькулятор

Участок-параллелограмм: стороны $30$ м и $50$ м, угол $11 0^{\circ}$ . Сколько соток? $\approx 14, 1$
Треугольный парус: стороны $3$ м и $4$ м, угол $4 0^{\circ}$ . Площадь ткани? $\approx 3, 86 м^{2}$

R01.7

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$a, b$ и $∠ A$ : $S = \frac{1}{2} ab sin A$	угол $A$ лежит против стороны $a$ , а не между $a$ и $b$	нужен $∠ C$ между $a$ и $b$
$sin C = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 3 0^{\circ}$	синусы углов $C$ и $18 0^{\circ} - C$ равны	$3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$
Параллелограмм: $S = \frac{1}{2} ab sin α$	это площадь половины — одного треугольника	$S = ab sin α$
$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} cos φ$	в формулах площади — синус; косинус тупого угла даже отрицателен	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$

R01.7

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. Диагонали параллелограмма $A BC D$ равны $6$ и $8$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ , $O$ — точка их пересечения. Найдите $S_{A BC D}$ и $S_{A OB}$ .

1) $S_{A BC D} = d_{1} d_{2} sin φ = 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 24$

2) $A O = 3$ , $BO = 4$ — половины диагоналей

3) $S_{A OB} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot cos 3 0^{\circ} = 33$

4)Ответ: $24$ и $33$ .

Шаг 1: потерян множитель

\frac{1}{2}

:

S_{A BC D} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 12

.

Шаг 3: нужен синус:

S_{A OB} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 3

.

Проверка: четыре треугольника равновелики,

4 \cdot 3 = 12

✓. Шаг 2 — верный.

R01.7

Задания с самопроверкой · база

Найдите площадь

БТреугольник: $10$ , $12$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ $30$
БТреугольник: $6$ , $8$ , угол между ними $13 5^{\circ}$ $122$
БРавносторонний треугольник со стороной $4$ $43$

БПараллелограмм: $5$ , $8$ , угол $6 0^{\circ}$ $203$
БРомб: сторона $6$ , угол $15 0^{\circ}$ $18$
БПараллелограмм: диагонали $10$ и $14$ , угол $3 0^{\circ}$ $35$

R01.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Обратные задачи, биссектриса, радиус

ПДве стороны треугольника $6$ и $6$ , площадь $9$ . Найдите угол между ними. $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$
ПСтороны $5$ и $8$ , косинус угла между ними $- 0, 6$ . Найдите площадь. $16$
П $A B = 4$ , $A C = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A L$ — биссектриса. Найдите $A L$ . $\frac{12 3}{5}$
ППараллелограмм: стороны $3$ и $8$ , $S = 123$ . Острый угол и меньшая диагональ? $6 0^{\circ}$ ; $7$
ПДокажите: $S = \frac{ab c}{4 R}$ ( $R$ — радиус описанной окружности). $c = 2 R sin C$ ⇒ $sin C = \frac{c}{2 R}$

R01.7 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17 и 23

Ответ — число; в задании 23 — полное решение

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ : $A B = 12$ , $BC = 15$ , $sin B = \frac{4}{5}$ . Найдите площадь треугольника. $72$

ОГЭ 17Сторона ромба равна $10$ , один из углов $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь ромба. $50$

ОГЭ 23В треугольнике $A BC$ : $A B = 5$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите высоту, проведённую к стороне $BC$ .

$B C^{2} = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 49$ , $BC = 7$

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{3}{2} = 103$

$h = \frac{2 S}{BC} = \frac{20 3}{7}$

R01.7

Самостоятельная работа · 4 минуты

Найдите площадь (в № 3 — угол)

Вариант 1

Треугольник: $8$ , $9$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ $18$
Параллелограмм: $6$ , $7$ , угол $13 5^{\circ}$ $212$
Треугольник: стороны $8$ и $10$ , $S = 20$ $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$
Параллелограмм: диагонали $6$ и $10$ , угол $6 0^{\circ}$ $153$

Вариант 2

Треугольник: $12$ , $5$ , угол между ними $15 0^{\circ}$ $15$
Ромб: сторона $10$ , угол $4 5^{\circ}$ $502$
Треугольник: стороны $5$ и $8$ , $S = 103$ $6 0^{\circ}$ или $12 0^{\circ}$
Параллелограмм: диагонали $8$ и $12$ , угол $4 5^{\circ}$ $242$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какой угол нужен в формуле $S = \frac{1}{2} ab sin C$ ?
Почему по площади угол находится «с точностью до» $18 0^{\circ} - C$ ?
Как получить $S = ab sin α$ из формулы для треугольника?

Домашнее задание

Выведите $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$ без подсказки.
Стороны $7$ и $10$ , $S = \frac{35 2}{2}$ . Угол между ними?
Ромб: $S = 18$ , сторона $6$ . Углы ромба?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_reshenie-treugolnikov.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-007 · Тригонометрические формулы для площади треугольника, параллелограмма

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Решение треугольников», 22 ч · урок 7/22 · тип Н
Единицы → слайды	R01.7 «Тригонометрические формулы для площади треугольника, параллелограмма» → 2, 4–21 · повторение уроков 1–3 (высота h = a sin C, синусы тупых углов) → 3
Результаты	ПР-4 (тригонометрические формулы площади треугольника, параллелограмма, ромба) → 4–14, 17–20 · ПР-2 (sin(180° − α) = sin α, sin по cos) → 4, 6, 9, 13, 18 · ПР-3 (теоремы синусов и косинусов в задачах) → 18, 19 · ПР-19 (практические задачи с калькулятором) → 14
Вне урока	формула Герона — GEOM9U-008; площадь выпуклого четырёхугольника через диагонали — GEOM9U-009 (здесь только параллелограмм); трапеция — практикумы строки
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Тригонометрические формулы площади треугольника и параллелограмма

Сегодня вы научитесь

Выводить формулы

Находить площадь

Решать обратные задачи

Доказывать и применять

Площадь через высоту и синусы углов

Площадь треугольника: S=21​absinC

Две стороны и угол между ними → площадь

Образец: BC=8, AC=10, ∠C=30∘. Найдите SABC​.

Сам

Площадь известна — найдите угол или сторону

Образец: BC=6, AC=10, SABC​=15. Найдите ∠C.

Сам

Площадь параллелограмма: S=absinα

Площадь, угол и высоты параллелограмма

Образец: стороны параллелограмма 6 и 10, один из углов 150∘. Найдите площадь и обе высоты.

Сам

Параллелограмм: S=21​d1​d2​sinφ

Диагонали и угол между ними → площадь

Образец: диагонали прямоугольника равны 10, угол между ними 60∘. Найдите площадь и стороны.

Сам: параллелограмм

Отношение площадей треугольников с общим углом

Отношение площадей: план и обоснования

Образец: AD=2, DB=4, AE=3, EC=2, SABC​=30. Найдите SADE​.

Сам

Что известно — какая формула

Площадь участка по рулетке и угломеру

Образец: стороны треугольного участка 40 м и 55 м, угол между ними 70∘. Сколько это соток?

Сам: калькулятор

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки

Найдите площадь

Обратные задачи, биссектриса, радиус

Ответ — число; в задании 23 — полное решение

Найдите площадь (в № 3 — угол)

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-007 · Тригонометрические формулы для площади треугольника, параллелограмма

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} ab sin C$

Образец: $BC = 8$ , $A C = 10$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC}$ .

Образец: $BC = 6$ , $A C = 10$ , $S_{A BC} = 15$ . Найдите $∠ C$ .

Площадь параллелограмма: $S = ab sin α$

Образец: стороны параллелограмма $6$ и $10$ , один из углов $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь и обе высоты.

Параллелограмм: $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$

Образец: диагонали прямоугольника равны $10$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите площадь и стороны.

Образец: $A D = 2$ , $D B = 4$ , $A E = 3$ , $EC = 2$ , $S_{A BC} = 30$ . Найдите $S_{A D E}$ .

Образец: стороны треугольного участка $40$ м и $55$ м, угол между ними $7 0^{\circ}$ . Сколько это соток?