Решение треугольников · урок 6 из 22

Практические задачи на теоремы косинусов и синусов

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9U-006

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Решение треугольников» (22 ч), урок 6/22, единица R01.6. Тип урока — Н.
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка «что дано → какая теорема» 2,5 · модель «ширина реки» 2,5 · модель «высота башни» 2,5 · модель «через озеро» 2 · модель «две недоступные точки» 2,5.
Практика (32): разминка 1,5 · образцы → сам 3 + 3 + 3 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Нужны калькуляторы (режим градусов, DEG). Правило урока: промежуточные значения не округлять, ответ — с единицами и разумной точностью (метры — до десятых).
Если не успеваете: третье задание образцов 1–3 — в ДЗ; модели (сл. 5, 7, 9, 11) не сокращать.

R01.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить модель

видеть в задаче с местности треугольник: что измерено, что нужно найти (ПР-3)

Выбирать теорему

косинусов или синусов — по тому, какие элементы треугольника известны

Измерять недоступное

ширину реки, высоту башни, расстояние через озеро и между двумя точками на том берегу

Считать с калькулятором

находить нетабличные значения, округлять ответ и проверять его на правдоподобие (ПР-1)

0,5 мин · теория
ПР-3: «Доказывать теорему синусов и теорему косинусов, применять их для нахождения различных элементов треугольника („решение треугольников“), при решении геометрических задач. Применять полученные знания при решении практических задач».
ПР-1: «…Находить (с помощью калькулятора) длины и углы для нетабличных значений».
Вид деятельности ФРП R01: «Решать практические задачи, сводящиеся к нахождению различных элементов треугольника».

повторение: R01.4–R01.5

Разминка · устно

Теоремы косинусов и синусов

$b = 5$ , $c = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $a$ . $7$
Стороны $3$ , $5$ , $7$ . Наибольший угол? $12 0^{\circ}$
$a = 6$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Радиус $R$ ? $6$
$a = 42$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ . Найдите $b$ . $4$
Известны три угла. Можно найти стороны? нет — только $a : b : c$
Против большего угла лежит… большая сторона

R01.4–R01.6

Сводка · что дано → какая теорема

Ключ к практической задаче — выбрать теорему

Известно	Ищем	Теорема
три стороны	угол	косинусов: $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$
две стороны и угол между ними	третью сторону	косинусов: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$
сторона и два угла	другие стороны	сумма углов + синусов: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$
сторона и противолежащий угол	радиус $R$	синусов: $\frac{a}{sin A} = 2 R$

План: модель (рисунок, что измерено) → теорема → калькулятор, округляем в конце → проверка: против большего угла — большая сторона.

2,5 мин · теория
Таблицу заполняем вопросами: «Даны три стороны — что сразу можно найти?» и т. д. Каждую строку открываем щелчком после ответа класса.
Случай «две стороны и угол не между ними» (урок 4) решается теоремой синусов и может дать два треугольника — на местности второй отбрасываем по смыслу (например, угол заведомо острый).
В практических задачах на местности обычно измеряют одну длину (базу) и углы (угломер, теодолит) — углы измерить проще, чем расстояния через препятствие.
Калькулятор: sin 75° ≈ 0,9659, sin 15° ≈ 0,2588. Промежуточное округление до 0,1 даёт ошибку в ответе — показываем это в «типичных ошибках».

R01.6

Модель · расстояние до недоступной точки

Ширина реки: база на своём берегу и два угла

Измеряем на своём берегу базу

A B = a

и углы

α

,

β

на дерево

C

.

∠ C = 18 0^{\circ} - α - β

сумма углов треугольника

A C = \frac{a sin β}{sin ( α + β )}

теорема синусов;

sin C = sin (α + β)

d = A C sin α

△ A C H

прямоугольный: ширина реки

2,5 мин · теория
Ситуация: на том берегу дерево C, переправы нет. На своём берегу отмеряем рулеткой базу AB, угломером — ∠CAB = α и ∠CBA = β.
Вывод: ∠C = 180° − (α + β); по формуле приведения sin C = sin(180° − (α + β)) = sin(α + β) (урок 3). Теорема синусов в △ABC: AC / sin β = AB / sin C ⇒ AC = a sin β / sin(α + β).
Ширина реки — перпендикуляр d = CH; в прямоугольном △ACH d = AC · sin α. Итог: d = a sin α sin β / sin(α + β).
Вопрос: почему базу берут длинной, а углы — не близкими к 0° и 180°? (Малые ошибки измерения углов меньше влияют на ответ.)

R01.6

Образец → сам · теорема синусов

Через реку: расстояние и ширина

Образец: $A B = 100$ м, $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ и ширину реки $d$ .

$∠ C = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 6 0^{\circ} = 7 5^{\circ}$ сумма углов

$A C = \frac{100 sin 6 0 ^{\circ}}{sin 7 5 ^{\circ}} \approx \frac{86 , 60}{0 , 9659} \approx 89, 7$ м т. синусов

$d = A C sin 4 5^{\circ} \approx 63, 4$ м $△ A C H$

Сам: найдите $A C$

$A B = 50$ м, $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 5^{\circ}$ $25 (1 + 3) \approx 68, 3$ м
$A B = 200$ м, $∠ A = ∠ B = 7 5^{\circ}$ $\approx 386, 4$ м
$A B = 30$ м, $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ — двумя способами $303 \approx 52, 0$ м

R01.6

Модель · высота недоступного объекта

Основание башни недоступно — два наблюдения

Идём к башне по прямой: из

A

угол подъёма

α

, через

a

метров из

B

— угол

β

.

∠ A TB = β - α

β

— внешний угол

△ A BT

BT = \frac{a sin α}{sin ( β - α )}

теорема синусов в

△ A BT

h = BT sin β

△ B H T

прямоугольный

2,5 мин · теория
Ситуация: до основания H не дойти (ров, река, забор). Измеряем угол подъёма α из A, проходим к башне a метров, измеряем угол β из B; β > α.
Вывод: ∠ABT = 180° − β (смежный), ∠ATB = 180° − α − (180° − β) = β − α — или сразу: внешний угол β равен сумме α и ∠ATB.
Теорема синусов в △ABT: BT / sin α = AB / sin(β − α). Сторона BT лежит против угла A — частая ошибка взять sin β.
Итог: h = a sin α sin β / sin(β − α). Высоту прибора (рост наблюдателя) добавляем к ответу, если она указана.

R01.6

Образец → сам · высота башни

Два угла подъёма и база — высота

Образец: $A B = 40$ м, из $A$ вершина видна под углом $3 0^{\circ}$ , из $B$ — под углом $4 5^{\circ}$ . Найдите $h$ .

$∠ A TB = 4 5^{\circ} - 3 0^{\circ} = 1 5^{\circ}$ внешний угол

$BT = \frac{40 sin 3 0 ^{\circ}}{sin 1 5 ^{\circ}} \approx \frac{20}{0 , 2588} \approx 77, 3$ м т. синусов

$h = BT sin 4 5^{\circ} \approx 54, 6$ м $△ B H T$

Сам: найдите высоту $h$

$a = 50$ м, $α = 3 0^{\circ}$ , $β = 6 0^{\circ}$ $253 \approx 43, 3$ м
$a = 100$ м, $α = 2 0^{\circ}$ , $β = 4 0^{\circ}$ $100 sin 4 0^{\circ} \approx 64, 3$ м
$a = 30$ м, $α = 4 5^{\circ}$ , $β = 6 0^{\circ}$ $45 + 153 \approx 71, 0$ м

R01.6

Модель · расстояние через препятствие

Между $A$ и $B$ — озеро: теорема косинусов

Из точки

C

видны обе точки: измеряем

C A = b

,

CB = a

и угол

γ

.

A B^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

Обратно, по трём расстояниям — угол (направление):

cos γ = \frac{a ^{2} + b ^{2} - A B ^{2}}{2 ab}

.

γ

тупой ⇒

cos γ < 0

, и

A B > a^{2} + b^{2}

.

2 мин · теория
Та же модель — в навигации: два судна вышли из порта C по разным курсам; расстояние между ними — третья сторона треугольника (курсы задают угол γ, скорость × время — стороны).
Обратная задача: известны три расстояния (по карте или GPS) — под каким углом из C видно отрезок AB. Ответ — один угол: косинус определяет угол от 0° до 180° однозначно (урок 1).
Вопрос: при каком γ AB² = a² + b²? (γ = 90°, теорема Пифагора — частный случай.)

R01.6

Образец → сам · теорема косинусов

Через озеро, курсы судов, направление

Образец: $C A = 300$ м, $CB = 500$ м, $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

$A B^{2} = 30 0^{2} + 50 0^{2} - 2 \cdot 300 \cdot 500 cos 12 0^{\circ}$ т. косинусов

$= 90000 + 250000 + 150000 = 490000$ $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$

$A B = 700$ м проверка: $700 > 500$ ✓

Сам

Два катера вышли из порта под углом $6 0^{\circ}$ со скоростями $24$ и $15$ км/ч. Расстояние через $2$ ч? $42$ км
$C A = 5$ км, $CB = 8$ км, $A B = 7$ км. Под каким углом из $C$ виден отрезок $A B$ ? $6 0^{\circ}$
$C A = CB = 100$ м, $∠ C = 15 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $\approx 193, 2$ м

R01.6

Модель · две недоступные точки

Расстояние между точками на том берегу

На своём берегу — база

A B

; из

A

и

B

измеряем углы на

C

и на

D

.

A C

— из

△ A BC

теорема синусов

A D

— из

△ A B D

теорема синусов

φ = ∠ C A B - ∠ D A B

угол

C A D

C D

— из

△ A C D

теорема косинусов

2,5 мин · теория
Обе точки недоступны (два дерева, два буя). Четыре угла: ∠CAB, ∠CBA, ∠DAB, ∠DBA и база AB — достаточно.
План (составляем вместе): два треугольника с общей стороной AB «доставляют» к нам длины AC и AD, потом треугольник ACD — две стороны и угол между ними.
Вопрос: можно ли вместо AC и AD найти BC и BD? (Да, тогда угол CBD = ∠DBA − ∠CBA, треугольник BCD.) Так проверяют ответ.
Это способ триангуляции — им строили карты и измеряли дугу меридиана (Струве, XIX век).

R01.6

Образец → сам · комбинированная задача

Синусы, затем косинусы

Образец: $A B = 100$ м, $∠ C A B = ∠ CB A = 6 0^{\circ}$ , $∠ D A B = 3 0^{\circ}$ , $∠ D B A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $C D$ .

$△ A BC$ равносторонний ⇒ $A C = 100$ все углы $6 0^{\circ}$

$∠ A D B = 3 0^{\circ}$ , $A D = \frac{100 sin 12 0 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} = 1003$ т. синусов

$C D^{2} = 10 0^{2} + 30000 - 2 \cdot 100 \cdot 1003 cos 3 0^{\circ} = 10000$ , $C D = 100$ м

Сам

$A B = 60$ м; $∠ C A B = 9 0^{\circ}$ , $∠ CB A = 4 5^{\circ}$ ; $∠ D A B = 4 5^{\circ}$ , $∠ D B A = 9 0^{\circ}$ . Найдите $C D$ . $60$ м
Найдено $A C = 80$ м, $A D = 120$ м, $∠ C A D = 6 0^{\circ}$ . Найдите $C D$ . $407 \approx 105, 8$ м

3 мин · практика
Образец: ∠CAD = 60° − 30° = 30° (на чертеже розовая дуга). △ABD: ∠ADB = 180° − 30° − 120° = 30° ⇒ AD = 100 · (√3/2) : (1/2) = 100√3. △ACD: CD² = 10 000 + 30 000 − 2 · 100 · 100√3 · √3/2 = 40 000 − 30 000 = 10 000.
Проверка координатами: A(0; 0), B(100; 0), C(50; 50√3), D(150; 50√3) — CD параллельна AB и равна 100.
1) △ABC прямоугольный равнобедренный: AC = 60; △ABD: ∠ADB = 45°, AD = 60√2 (или 60 · sin 90° / sin 45°); ∠CAD = 90° − 45° = 45°; CD² = 3600 + 7200 − 2 · 60 · 60√2 · √2/2 = 3600, CD = 60.
2) CD² = 6400 + 14 400 − 2 · 80 · 120 · 1/2 = 11 200 ⇒ CD = 40√7 ≈ 105,83 м.

R01.6

Образец → сам · радиус по трём точкам

Радиус круглой площадки по трём столбикам

Образец: $A$ , $B$ , $C$ на краю фонтана, $C A = 5$ м, $CB = 8$ м, $∠ A CB = 12 0^{\circ}$ . Найдите радиус.

$A B^{2} = 25 + 64 + 40 = 129$ , $A B = 129$ т. косинусов

$R = \frac{A B}{2 sin 12 0 ^{\circ}} = \frac{129}{3} = 43 \approx 6, 56$ м т. синусов

Сам

$A B = 10$ м, $∠ A CB = 15 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $10$ м
$C A = 6$ м, $CB = 10$ м, $A B = 14$ м. Найдите $∠ C$ и $R$ . $12 0^{\circ}$ ; $\frac{14 3}{3} \approx 8, 08$ м
Хорда колеса $1, 2$ м видна из точки обода под углом $3 0^{\circ}$ . Диаметр? $2, 4$ м

R01.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$∠ A TB = 18 0^{\circ} - α - β$	башня: в $△ A BT$ угол при $B$ равен $18 0^{\circ} - β$ , а не $β$	$∠ A TB = β - α$
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - ab$	при $γ = 12 0^{\circ}$ : $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , минус на минус	$c^{2} = a^{2} + b^{2} + ab$
$\frac{A C}{sin A} = \frac{A B}{sin C}$	сторона берётся с противолежащим углом	$\frac{A C}{sin B} = \frac{A B}{sin C}$
$sin 7 5^{\circ} \approx 1$ , $sin 1 5^{\circ} \approx 0, 3$	грубое округление в середине решения: ответ «уезжает» на метры	округлять только ответ

R01.6

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. Из порта вышли два катера: один на север, другой на юго-восток. Первый прошёл $4$ км, второй — $6$ км. Найдите расстояние между ними.

1)Угол между курсами: $4 5^{\circ}$ .

2) $d^{2} = 4^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot cos 4 5^{\circ}$

3) $d^{2} = 52 - 242 \approx 18, 06$

4)Ответ: $d \approx 18, 06$ км.

Шаг 1: от севера до юго-востока

9 0^{\circ} + 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}

.

Шаг 4: найден

d^{2}

, а не

d

— забыт корень.

Верно:

d^{2} = 52 + 242 \approx 85, 94

,

d \approx 9, 27

км.

R01.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

БДве тропинки $5$ м и $8$ м, угол между ними $6 0^{\circ}$ . Расстояние между концами? $7$ м
БСтороны участка $7$ , $8$ , $13$ м. Наибольший угол? $12 0^{\circ}$
Б $A B = 12$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $12$

Б $a = 10$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $b$ . $56 \approx 12, 2$
БУчасток: стороны $50$ и $80$ м, угол $12 0^{\circ}$ . Длина забора? $\approx 243, 6$ м
БВ $30$ м от основания башни вершина видна под углом $6 0^{\circ}$ . Высота? $303 \approx 52, 0$ м

R01.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Модель придумайте сами

ПДва туриста вышли из лагеря под углом $12 0^{\circ}$ со скоростями $3$ и $5$ км/ч. Через сколько часов между ними будет $14$ км? через $2$ ч
ПС крыши дома высотой $20$ м вершина башни видна под углом $4 5^{\circ}$ вверх, основание — под углом $3 0^{\circ}$ вниз. Высота башни? $20 + 203 \approx 54, 6$ м
ПВышку ставят на равном расстоянии от трёх посёлков; между посёлками $13$ , $14$ и $15$ км. Найдите это расстояние. $8, 125$ км
ПРама — параллелограмм со сторонами $5$ и $8$ дм и углом $6 0^{\circ}$ . Найдите длины диагоналей. $7$ и $129 \approx 11, 4$ дм

2,5 мин · практика
1) За t ч: стороны 3t и 5t, d² = 9t² + 25t² + 15t² = 49t² ⇒ d = 7t; 7t = 14 ⇒ t = 2.
2) Горизонтальное расстояние до башни: 20 / tg 30° = 20√3; превышение вершины над крышей 20√3 · tg 45° = 20√3; h = 20 + 20√3 ≈ 54,64 м.
3) Это радиус описанной окружности. Против стороны 15: cos B = (169 + 196 − 225)/(2 · 13 · 14) = 140/364 = 5/13 ⇒ sin B = 12/13 (основное тождество, урок 2). R = 15 / (2 · 12/13) = 195/24 = 8,125 км. Треугольник остроугольный — вышка внутри.
4) Малая диагональ против 60°: 25 + 64 − 40 = 49 ⇒ 7; большая против 120°: 89 + 40 = 129 ⇒ √129 ≈ 11,36 дм. Проверка: 7² + 129 = 2(25 + 64) = 178 ✓.

R01.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 12, 15 и 23

Ответ — число; в задаче 23 — полное решение

ОГЭ 12Расстояние между судами вычисляют по формуле $d^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$ . Найдите $d$ , если $a = 5$ , $b = 8$ , $cos γ = 0, 5$ . $7$

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ сторона $A B = 52$ , угол $C$ равен $4 5^{\circ}$ . Найдите радиус описанной окружности. $5$

ОГЭ 23В треугольнике $A BC$ стороны $A B = 3$ , $BC = 5$ , $A C = 7$ . Найдите угол $B$ и радиус описанной окружности.

$cos B = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = - \frac{1}{2}$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$

$R = \frac{7}{2 sin 12 0 ^{\circ}} = \frac{7}{3}$

Ответ: $12 0^{\circ}$ ; $\frac{7 3}{3}$

R01.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Стороны $6$ и $10$ , угол между ними $12 0^{\circ}$ . Третья сторона? $14$
$A B = 50$ м, $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 10 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $\approx 96, 6$ м
$BC = 9$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $33 \approx 5, 2$
Башня: $a = 20$ м, $α = 3 0^{\circ}$ , $β = 6 0^{\circ}$ . Высота? $103 \approx 17, 3$ м

Вариант 2

Стороны $3$ и $8$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Третья сторона? $7$
$A B = 60$ м, $∠ A = 10 5^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $602 \approx 84, 9$ м
$BC = 12$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $43 \approx 6, 9$
Башня: $a = 30$ м, $α = 3 0^{\circ}$ , $β = 6 0^{\circ}$ . Высота? $153 \approx 26, 0$ м

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему на местности измеряют базу и углы, а не расстояние сразу?
Даны две стороны и угол между ними — какая теорема?
Как найти высоту башни, если до основания не дойти?

Домашнее задание

Башня: $a = 20$ м, $α = 3 0^{\circ}$ , $β = 4 5^{\circ}$ . Найдите $h$ .
Суда вышли из порта под углом $12 0^{\circ}$ со скоростями $12$ и $18$ км/ч. Расстояние через $2$ ч?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_reshenie-treugolnikov.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-006 · Практические задачи на теоремы косинусов и синусов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Решение треугольников», 22 ч · урок 6/22 · тип Н
Единицы → слайды	R01.6 «Решение практических задач с использованием теоремы косинусов и теоремы синусов» → 2, 4–20 · повторение R01.4–R01.5 → 3
Результаты	ПР-3 (теоремы синусов и косинусов, решение треугольников, практические задачи) → 4–19 · ПР-1 (калькулятор, нетабличные значения) → 6, 8, 10, 13, 16, 19
Вне урока	формулы площади S = ½ab sin C — GEOM9U-007; формула Герона — GEOM9U-008 (в задаче 3 повышенного уровня R найден без площади)
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практические задачи на теоремы косинусов и синусов

Сегодня вы научитесь

Строить модель

Выбирать теорему

Измерять недоступное

Считать с калькулятором

Теоремы косинусов и синусов

Ключ к практической задаче — выбрать теорему

Ширина реки: база на своём берегу и два угла

Через реку: расстояние и ширина

Образец: AB=100 м, ∠A=45∘, ∠B=60∘. Найдите AC и ширину реки d.

Сам: найдите AC

Основание башни недоступно — два наблюдения

Два угла подъёма и база — высота

Образец: AB=40 м, из A вершина видна под углом 30∘, из B — под углом 45∘. Найдите h.

Сам: найдите высоту h

Между A и B — озеро: теорема косинусов

Через озеро, курсы судов, направление

Образец: CA=300 м, CB=500 м, ∠C=120∘. Найдите AB.

Сам

Расстояние между точками на том берегу

Синусы, затем косинусы

Образец: AB=100 м, ∠CAB=∠CBA=60∘, ∠DAB=30∘, ∠DBA=120∘. Найдите CD.

Сам

Радиус круглой площадки по трём столбикам

Образец: A, B, C на краю фонтана, CA=5 м, CB=8 м, ∠ACB=120∘. Найдите радиус.

Сам

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки

Решите и проверьте

Модель придумайте сами

Ответ — число; в задаче 23 — полное решение

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-006 · Практические задачи на теоремы косинусов и синусов

Образец: $A B = 100$ м, $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ и ширину реки $d$ .

Сам: найдите $A C$

Образец: $A B = 40$ м, из $A$ вершина видна под углом $3 0^{\circ}$ , из $B$ — под углом $4 5^{\circ}$ . Найдите $h$ .

Сам: найдите высоту $h$

Между $A$ и $B$ — озеро: теорема косинусов

Образец: $C A = 300$ м, $CB = 500$ м, $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

Образец: $A B = 100$ м, $∠ C A B = ∠ CB A = 6 0^{\circ}$ , $∠ D A B = 3 0^{\circ}$ , $∠ D B A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $C D$ .

Образец: $A$ , $B$ , $C$ на краю фонтана, $C A = 5$ м, $CB = 8$ м, $∠ A CB = 12 0^{\circ}$ . Найдите радиус.