Решение треугольников · урок 5 из 22

Теорема косинусов и теорема синусов

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9U-005

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Решение треугольников» (22 ч), урок 5/22, единица R01.5. Тип урока — Н.
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · теорема косинусов 1,5 · доказательство 2,5 · следствия 2 · теорема синусов 1,5 · доказательство 3 · схема выбора 1,5.
Практика (32): разминка 1,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2 · ОГЭ 2 · из жизни 1 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: третье задание образцов 5 и 6 и повышенный уровень (сл. 19) — в ДЗ; доказательства (сл. 5, 10) не сокращать.

R01.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать теорему косинусов

методом координат — для любого угла от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ (ПР-3)

Доказывать теорему синусов

с радиусом описанной окружности: $a = 2 R sin A$ (ПР-3)

Находить элементы треугольника

сторону, угол, радиус $R$ — и выбирать нужную теорему

Определять вид треугольника

по сторонам и решать задачи ОГЭ 15, 16, 23

0,5 мин · теория
ПР-3: «Доказывать теорему синусов и теорему косинусов, применять их для нахождения различных элементов треугольника („решение треугольников“), при решении геометрических задач. Применять полученные знания при решении практических задач».
Виды деятельности ФРП R01: выводить теорему косинусов и теорему синусов (с радиусом описанной окружности); решать задачи с использованием теорем, находить радиус описанной окружности.

повторение: уроки 1–4

Разминка · устно

Тригонометрия углов до $18 0^{\circ}$ и вписанные углы

$sin 12 0^{\circ} = ?$ $\frac{3}{2}$
$cos 13 5^{\circ} = ?$ $- \frac{2}{2}$
$cos (18 0^{\circ} - α) = ?$ $- cos α$
$sin α = \frac{1}{2}$ , $0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ . Найдите $α$ . $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$

Гипотенуза $10$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Противолежащий катет? $5$
Вписанный угол опирается на диаметр. Его величина? $9 0^{\circ}$
Вписанные углы опираются на одну дугу. Что можно сказать? они равны
Точка на расстоянии $4$ от $O$ под углом $15 0^{\circ}$ к $O x$ . Её ордината? $2$

R01.5

Теорема косинусов

Квадрат стороны через две другие и угол между ними

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a

^{2} =

b

^{2} +

c

^{2} - 2

b

c

cos

A

Так же для других сторон:

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos B

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C

1,5 мин · теория
Обозначения: сторона a лежит против угла A, b — против B, c — против C. Угол A — между сторонами b и c (цвета на чертеже и в формуле совпадают).
Ученики сами записывают формулы для b² и c² по образцу (по щелчку — проверка). Правило: в формуле — квадрат стороны и косинус противолежащего ей угла.
Теорема верна для любого угла A от 0° до 180°: при тупом A cos A < 0, и слагаемое «−2bc cos A» положительно — квадрат стороны против тупого угла больше суммы квадратов двух других.

R01.5

Теорема косинусов · доказательство

Методом координат

Дано:

△ A BC

,

BC = a

,

A C = b

,

A B = c

.
Доказать:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

.

1

A (0; 0)

,

B (c; 0)

начало координат в

A

, луч

A B

— по оси

O x

2

C (b c o s A; b s i n A)

точка на расстоянии

b

от начала под углом

A

к

O x

3

a^{2} = (c - b c o s A)^{2} + (b s i n A)^{2}

теорема Пифагора: катеты — разности координат

4

a^{2} = c^{2} - 2 b c cos A + b^{2} (cos^{2} A + sin^{2} A)

раскрыли скобки, сгруппировали

5

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

sin^{2} A + cos^{2} A = 1

(урок 2)

2,5 мин · теория
Каждый шаг — вопрос классу «почему?», ответ — обоснование под строкой. Цвета отрезков на чертеже совпадают с цветами в записи.
Сила метода: формула координат C(b cos A; b sin A) верна для любого угла A от 0° до 180° (определение синуса и косинуса, урок 1). Если A тупой, C левее оси Oy, b cos A < 0, а катет равен |c − b cos A| = c − b cos A — в квадрате модуль не важен. Поэтому разбирать случаи не нужно, в отличие от доказательства через высоту.
Если A = 90°: cos A = 0, получаем теорему Пифагора — она частный случай.
Шаг 4: (c − b cos A)² = c² − 2bc cos A + b² cos² A; (b sin A)² = b² sin² A.

R01.5

Следствия теоремы косинусов

Угол по трём сторонам и вид треугольника

Если $∠ A = 9 0^{\circ}$

$cos 9 0^{\circ} = 0$ , значит

a^{2} = b^{2} + c^{2}

теорема Пифагора — частный случай

Угол по трём сторонам

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

$cos A > 0$ — угол острый,
$cos A < 0$ — тупой

Вид треугольника

$a$ — наибольшая сторона:

$a^{2} < b^{2} + c^{2}$ — остроугольный

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$ — прямоугольный

$a^{2} > b^{2} + c^{2}$ — тупоугольный

R01.5

Образец → сам · сторона по двум сторонам и углу

Найдите третью сторону

Образец: $A C = 6$ , $A B = 10$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

$B C^{2} = 6^{2} + 1 0^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot cos 12 0^{\circ}$ т. косинусов

$B C^{2} = 36 + 100 + 60 = 196$ $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$

$BC = 14$

Сам

$A B = 8$ , $A C = 3$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $7$
$A B = 3$ , $A C = 22$ , $∠ A = 13 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $29$
Стороны параллелограмма $3$ и $5$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите диагонали. $19$ и $7$

R01.5

Образец → сам · угол и вид треугольника по трём сторонам

Обратная задача: найдите угол

Образец: $A B = 8$ , $A C = 3$ , $BC = 7$ . Найдите $∠ A$ и вид треугольника.

$cos A = \frac{8 ^{2} + 3 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 3} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$ следствие

$∠ A = 6 0^{\circ}$

$8^{2} = 64 > 3^{2} + 7^{2} = 58$ ⇒ тупоугольный

Сам

Стороны $3$ , $5$ , $7$ . Найдите наибольший угол. $12 0^{\circ}$
Стороны $4$ , $5$ , $6$ . Определите вид треугольника. остроугольный
Стороны $2$ , $3$ , $4$ . Найдите косинус наибольшего угла. $- \frac{1}{4}$ , тупоугольный

R01.5

Теорема синусов

Стороны пропорциональны синусам противолежащих углов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а коэффициент — диаметр описанной окружности.

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

Удобная запись:

a = 2 R sin A

,

b = 2 R sin B

,

c = 2 R sin C

R01.5

Теорема синусов · доказательство

Через диаметр описанной окружности

Дано:

△ A BC

вписан в окружность

(O; R)

.
Доказать:

BC = 2 R sin A

.

1

B D = 2 R

проведём диаметр

B D

2

∠ BC D = 9 0^{\circ}

вписанный угол опирается на диаметр

3

∠ B D C = ∠ A

вписанные углы опираются на одну дугу

BC

4

BC

= B D \cdot sin D = 2 R sin A

синус острого угла в прямоугольном

△ BC D

5

∠ A

тупой:

∠ D = 18 0^{\circ} - ∠ A

,

sin D = sin A

D

на другой дуге

BC

; при

∠ A = 9 0^{\circ}

BC = 2 R

6

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

так же для сторон

A C

и

A B

3 мин · теория
Чертёж — случай острого угла A: точки A и D лежат на одной дуге BC, вписанные углы BAC и BDC равны.
Шаг 5 (нарисовать на доске): если угол A тупой, точка D лежит на другой дуге BC, четырёхугольник ABDC вписанный, ∠A + ∠D = 180°, и по формуле приведения sin D = sin(180° − A) = sin A. Если A = 90°, BC сама является диаметром.
Вопрос классу: почему достаточно доказать для стороны BC? (Вершины равноправны: для AC проводим диаметр из A или C, рассуждение то же.)
Ошибка: «∠BDC = ∠A, потому что так на рисунке видно» — требуем ссылку на теорему о вписанных углах.

R01.5

Образец → сам · сторона по стороне и двум углам

Теорема синусов: найдите сторону или угол

Образец: $A C = 6$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ , $∠ C = 10 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

$∠ A = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 10 5^{\circ} = 4 5^{\circ}$ сумма углов

$\frac{BC}{sin 4 5 ^{\circ}} = \frac{6}{sin 3 0 ^{\circ}}$ т. синусов: против $BC$ — $∠ A$

$BC = \frac{6 \cdot \frac{2}{2}}{\frac{1}{2}} = 62$

Сам

$BC = 8$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $42$
$A B = 6$ , $∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $26$
$BC = 5$ , $A C = 52$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $4 5^{\circ}$ или $13 5^{\circ}$

R01.5

Образец → сам · радиус описанной окружности

Найдите $R$ — и обратно

Образец: $BC = 9$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите радиус описанной окружности.

$2 R = \frac{BC}{sin A} = \frac{9}{sin 12 0 ^{\circ}} = \frac{18}{3} = 63$ т. синусов

$R = 33$

Сам

$A B = 7$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $7$
$R = 5$ , $∠ B = 13 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $52$
$R = 6$ , $BC = 63$ . Найдите $∠ A$ . $6 0^{\circ}$ или $12 0^{\circ}$

R01.5

Схема · какую теорему выбрать

Смотрим, что дано и что найти

Дано	Найти	Теорема	Формула
две стороны и угол между ними	третью сторону	косинусов	$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
три стороны	угол, вид	косинусов	$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$
сторона и два угла	сторону (сначала третий угол)	синусов	$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$
сторона и противолежащий угол	$R$ или хорду	синусов	$a = 2 R sin A$
две стороны и угол не между ними	угол — проверить оба	синусов	$sin B = \frac{b sin A}{a}$

R01.5

Образец → сам · обе теоремы в одной задаче

Сначала сторона, потом радиус

Образец: $A B = 5$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

$B C^{2} = 25 + 64 - 40 = 49$ , $BC = 7$ т. косинусов

$2 R = \frac{7}{sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{14}{3}$ т. синусов

$R = \frac{7}{3} = \frac{7 3}{3}$

Сам

$A B = 2$ , $A C = 4$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $2$
Стороны $7$ , $8$ , $13$ . Найдите $R$ . $\frac{13 3}{3}$
$A B = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ . Найдите $R$ и $BC$ . $32$ и $36$

R01.5

Образец → сам · задача на доказательство

Диагонали параллелограмма: $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A D = a$ , $A B = b$ , $∠ A = α$ . Докажите.

$B D^{2}$ $= a^{2} + b^{2} - 2 ab cos α$ т. косинусов, $△ A B D$

$A C^{2}$ $= a^{2} + b^{2} - 2 ab cos (18 0^{\circ} - α)$ $△ A C D$ , $∠ D = 18 0^{\circ} - α$

$cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ ⇒ сумма $= 2 (a^{2} + b^{2})$ сложили

Сам

Стороны $5$ и $7$ , одна диагональ $8$ . Найдите другую. $221$
Докажите: медиана $m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ . достроить до параллелограмма
Стороны $5$ , $6$ , $7$ . Найдите медиану к стороне $6$ . $27$

2 мин · практика
Образец: в △ACD стороны AD = a, CD = AB = b, угол D = 180° − α (односторонние углы параллелограмма).
1) d² = 2(25 + 49) − 64 = 148 − 64 = 84, d = √84 = 2√21.
2) Медиана AM треугольника ABC: продлим её за M на столько же, AD = 2m_a; ABDC — параллелограмм (диагонали делятся пополам) со сторонами b, c и диагоналями a и 2m_a: a² + 4m_a² = 2(b² + c²) ⇒ m_a² = (2b² + 2c² − a²)/4.
3) m² = (2·25 + 2·49 − 36)/4 = 112/4 = 28, m = 2√7. Формула медианы — материал углублённого уровня, в ОГЭ 25 часто экономит время.

R01.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$∠ A = 12 0^{\circ}$ : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$	$cos 12 0^{\circ} < 0$ — знак потерян	$a^{2} = b^{2} + c^{2} + b c$
$\frac{a}{sin A} = R$	отношение равно диаметру	$\frac{a}{sin A} = 2 R$
$\frac{a}{sin B} = \frac{b}{sin A}$	в дроби — сторона и противолежащий ей угол	$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos B$	в формуле для $a$ — угол между $b$ и $c$	$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$

R01.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Стороны $4$ , $5$ , $7$ . Определите вид треугольника.

$4^{2} = 16 < 5^{2} + 7^{2} = 74$

Ответ: остроугольный

сторона $7$ — наибольшая: $49 > 41$ , тупоугольный

б) $BC = 8$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

$R = \frac{BC}{sin A} = \frac{8}{\frac{1}{2}}$

$R = 16$

$2 R = 16$ , $R = 8$

в) $A C = 6$ , $BC = 63$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ .

$sin A = \frac{6 3 \cdot \frac{1}{2}}{6} = \frac{3}{2}$

$∠ A = 6 0^{\circ}$

$∠ A = 6 0^{\circ}$ или $12 0^{\circ}$ — оба подходят

R01.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $A B = 5$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $7$
база $a = 7$ , $b = 5$ , $c = 3$ . Найдите $∠ A$ . $12 0^{\circ}$
база $BC = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $10$

база $A C = 42$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $4$
базаСтороны $9$ , $12$ , $16$ . Определите вид. тупоугольный
база $R = 7$ , $∠ C = 15 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $7$

R01.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны $x$ , $x + 1$ , $x + 2$ , наибольший угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $x$ . $x = \frac{3}{2}$
повыш.Диагонали параллелограмма $6$ и $10$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите стороны. $19$ и $7$

повыш. $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $BC = 7$ , $A B + A C = 13$ . Найдите $A B$ и $A C$ . $5$ и $8$
повыш. $sin A : sin B : sin C = 3 : 5 : 7$ . Найдите наибольший угол. $12 0^{\circ}$

R01.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 16 и 23

Ответ — одно число; во второй части — решение

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ , $BC = 62$ . Найдите $A C$ . $6$
ОГЭ 16Сторона $A B$ треугольника $A BC$ равна $20$ , противолежащий ей угол $C$ равен $3 0^{\circ}$ . Найдите радиус описанной окружности. $20$

ОГЭ 23 Стороны треугольника равны $6$ , $10$ и $14$ . Найдите радиус описанной окружности.

$cos C = \frac{36 + 100 - 196}{120} = - \frac{1}{2}$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$

$R = \frac{14}{2 sin 12 0 ^{\circ}} = \frac{14}{3} = \frac{14 3}{3}$

R01.5 · практика

Задача из жизни · расстояние до острова

До острова не дойти — но можно вычислить

На берегу отмерили $A B = 200$ м. Из точек $A$ и $B$ остров $C$ виден под углами $7 5^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ к $A B$ . Найдите $A C$ .

$∠ C = 18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} - 6 0^{\circ} = 4 5^{\circ}$

$A C = \frac{A B sin B}{sin C} = \frac{200 \cdot \frac{3}{2}}{\frac{2}{2}} = 1006$

$A C \approx 245$ м (по калькулятору)

R01.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A B = 7$ , $A C = 8$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $13$
Стороны $5$ , $6$ , $9$ . Определите вид треугольника. тупоугольный
$BC = 9$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $33$
$BC = 42$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $43$

Вариант 2

$A B = 8$ , $A C = 15$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $13$
Стороны $6$ , $7$ , $9$ . Определите вид треугольника. остроугольный
$A B = 10$ , $∠ C = 13 5^{\circ}$ . Найдите $R$ . $52$
$A B = 6$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $62$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда нужна теорема косинусов, а когда — синусов?
Почему $\frac{a}{sin A} = 2 R$ , а не $R$ ?
Как по сторонам узнать вид треугольника?

Домашнее задание

$A B = 3$ , $BC = 5$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ и $R$ .
Стороны $5$ , $5$ , $8$ . Найдите косинус наибольшего угла.
* Докажите: $a = b cos C + c cos B$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_reshenie-treugolnikov.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) AC² = 9 + 25 + 15 = 49, AC = 7; R = 7 / (2 · √3/2) = 7√3/3. 2) Против 8: cos = (25 + 25 − 64)/50 = −14/50 = −7/25 (тупоугольный). 3) Теорема о проекциях: из теоремы косинусов b cos C = (a² + b² − c²)/(2a), c cos B = (a² + c² − b²)/(2a), сумма = 2a²/(2a) = a (или через высоту из A).
Дополнительно — тренажёры навыков: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_navyk_teorema-kosinusov.htm и 9_geometry_navyk_teorema-sinusov.htm.
Следующий урок (GEOM9U-006) — практические задачи с теоремами косинусов и синусов: измерения на местности, высоты недоступных объектов.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-005 · Теорема косинусов и теорема синусов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Решение треугольников», 22 ч · урок 5/22 · тип Н
Единицы → слайды	R01.5 «Теорема косинусов и теорема синусов» → 2, 4–23 · повторение R01.1–R01.4 → 3
Результаты	ПР-3 (доказывать теоремы синусов и косинусов, применять для решения треугольников и практических задач) → 4–23; ПР-1, ПР-2 (повторение) → 3
Вне урока	практические задачи — GEOM9U-006 (R01.6); площадь через синус, формула Герона — R01.7–R01.8; формула медианы и теорема о проекциях даны как задачи (сл. 15, 23)
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Теорема косинусов и теорема синусов

Сегодня вы научитесь

Доказывать теорему косинусов

Доказывать теорему синусов

Находить элементы треугольника

Определять вид треугольника

Тригонометрия углов до 180∘ и вписанные углы

Квадрат стороны через две другие и угол между ними

Методом координат

Угол по трём сторонам и вид треугольника

Если ∠A=90∘

Угол по трём сторонам

Вид треугольника

Найдите третью сторону

Образец: AC=6, AB=10, ∠A=120∘. Найдите BC.

Сам

Обратная задача: найдите угол

Образец: AB=8, AC=3, BC=7. Найдите ∠A и вид треугольника.

Сам

Стороны пропорциональны синусам противолежащих углов

Через диаметр описанной окружности

Теорема синусов: найдите сторону или угол

Образец: AC=6, ∠B=30∘, ∠C=105∘. Найдите BC.

Сам

Найдите R — и обратно

Образец: BC=9, ∠A=120∘. Найдите радиус описанной окружности.

Сам

Смотрим, что дано и что найти

Сначала сторона, потом радиус

Образец: AB=5, AC=8, ∠A=60∘. Найдите R.

Сам

Диагонали параллелограмма: d12​+d22​=2(a2+b2)

Образец: ABCD — параллелограмм, AD=a, AB=b, ∠A=α. Докажите.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Стороны 4, 5, 7. Определите вид треугольника.

б) BC=8, ∠A=30∘. Найдите R.

в) AC=6, BC=63​, ∠B=30∘. Найдите ∠A.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число; во второй части — решение

До острова не дойти — но можно вычислить

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-005 · Теорема косинусов и теорема синусов

Тригонометрия углов до $18 0^{\circ}$ и вписанные углы

Если $∠ A = 9 0^{\circ}$

Образец: $A C = 6$ , $A B = 10$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

Образец: $A B = 8$ , $A C = 3$ , $BC = 7$ . Найдите $∠ A$ и вид треугольника.

Образец: $A C = 6$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ , $∠ C = 10 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

Найдите $R$ — и обратно

Образец: $BC = 9$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите радиус описанной окружности.

Образец: $A B = 5$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

Диагонали параллелограмма: $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A D = a$ , $A B = b$ , $∠ A = α$ . Докажите.

а) Стороны $4$ , $5$ , $7$ . Определите вид треугольника.

б) $BC = 8$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

в) $A C = 6$ , $BC = 63$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ .