Решение треугольников · урок 4 из 22

Решение треугольников

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9U-004

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Решение треугольников» (22 ч), урок 4/22, единица R01.4. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · что значит решить 1,5 · прямоугольный 2 · две стороны и угол 2 · тупой угол 2 · сторона и два угла 2 · схема 2.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2 + 2 + 3 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · из жизни 2 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Идея урока: любой треугольник решаем, разбив его высотой на два прямоугольных. Теоремы косинусов и синусов — следующий урок (GEOM9U-005); сегодня их не используем, но готовим.
Нужны калькуляторы (режим градусов). Если не успеваете: образец 5 (доказательство) и задачу ОГЭ 23 — в ДЗ.

R01.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать прямоугольный треугольник

по двум элементам, нетабличные углы — с калькулятором (ПР-1)

Решать любой треугольник

разбивая его высотой на два прямоугольных (ПР-3)

Работать с тупым углом

через $sin$ , $cos$ тупого угла и формулы приведения (ПР-2)

Решать задачи

практические и формата ОГЭ 15 и 23 (ПР-3)

0,5 мин · теория
ПР-1: «Знать тригонометрические функции острых углов, уметь находить с их помощью различные элементы прямоугольного треугольника („решение прямоугольных треугольников“). Находить (с помощью калькулятора) длины и углы для нетабличных значений».
ПР-2: формулы приведения и основное тригонометрическое тождество. ПР-3: решение треугольников и практические задачи (теоремы синусов и косинусов — на следующем уроке).

повторение: уроки 1–3

Разминка · устно

Синус и косинус углов от 0° до 180°

$cos 15 0^{\circ}$ $- \frac{3}{2}$
$sin 15 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$
$sin 12 0^{\circ}$ $\frac{3}{2}$
$tg 13 5^{\circ}$ $- 1$
$sin 4 0^{\circ} \approx 0, 643$ . Чему равен $sin 14 0^{\circ}$ ? $\approx 0, 643$
$α$ острый, $cos α = 0, 6$ . Найдите $sin α$ . $0, 8$
Катет против угла $3 0^{\circ}$ , гипотенуза $10$ . Катет? $5$

R01.4

Новое понятие

Что значит «решить треугольник»

Решить треугольник — найти все шесть его элементов (три стороны и три угла) по трём данным, среди которых есть хотя бы одна сторона.

Обозначения: сторона $a$ лежит против угла $α$ , $b$ — против $β$ , $c$ — против $γ$ .

Инструменты сегодня: $α + β + γ = 18 0^{\circ}$ , соотношения в прямоугольном треугольнике, теорема Пифагора.

Главная идея: высота разбивает треугольник на два прямоугольных.

1,5 мин · теория
Вопрос классу: почему трёх углов недостаточно? (Подобные треугольники имеют те же углы — размер не определён; поэтому нужна хотя бы одна сторона.)
Случаи по данным: две стороны и угол между ними; сторона и два угла; три стороны; две стороны и угол против одной из них. Первые два сегодня решаем через высоту, последние два — на следующем уроке теоремами косинусов и синусов.
Договорённость о калькуляторе: режим DEG (градусы), промежуточные значения не округлять, ответ — до сотых (углы — до десятых градуса).

R01.4

Прямоугольный треугольник · четыре случая

Два элемента, кроме прямого угла

Дано	Находим
катеты $a$ , $b$	$c = a^{2} + b^{2}$ , $tg α = \frac{a}{b}$
катет $a$ , гипотенуза $c$	$b = c^{2} - a^{2}$ , $sin α = \frac{a}{c}$
гипотенуза $c$ , угол $α$	$a = c sin α$ , $b = c cos α$
катет $a$ , угол $α$	$b = \frac{a}{tg α}$ , $c = \frac{a}{sin α}$

Во всех случаях $β = 9 0^{\circ} - α$ .

R01.4

Образец → сам · гипотенуза и острый угол

Нетабличный угол — калькулятор

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 12$ , $∠ A = 3 5^{\circ}$ . Решите треугольник.

$∠ B = 9 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 5 5^{\circ}$ сумма острых углов

$BC = 12 sin 3 5^{\circ} \approx 6, 88$ противолежащий катет

$A C = 12 cos 3 5^{\circ} \approx 9, 83$ прилежащий катет

Сам ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ )

$A B = 20$ , $∠ A = 5 2^{\circ}$ . Найдите $BC$ , $A C$ , $∠ B$ . $\approx 15, 76$ ; $\approx 12, 31$ ; $3 8^{\circ}$
$BC = 7$ , $∠ A = 2 8^{\circ}$ . Найдите $A C$ и $A B$ . $\approx 13, 17$ ; $\approx 14, 91$
$A C = 9$ , $∠ A = 4 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ и $A B$ . $\approx 7, 55$ ; $\approx 11, 75$

R01.4

Образец → сам · обратная задача: угол по сторонам

Найдите углы по двум сторонам

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = 5$ , $A C = 12$ . Решите треугольник.

$A B = 5^{2} + 1 2^{2} = 13$ теорема Пифагора

$tg A = \frac{5}{12}$ , $∠ A \approx 22, 6^{\circ}$ клавиша $tg^{- 1}$

$∠ B \approx 9 0^{\circ} - 22, 6^{\circ} = 67, 4^{\circ}$

Сам

Катеты $8$ и $15$ . Найдите гипотенузу и меньший острый угол. $17$ ; $\approx 28, 1^{\circ}$
Катет $6$ , гипотенуза $10$ . Найдите угол против этого катета. $\approx 36, 9^{\circ}$
Постройте сами: равнобедренный треугольник, боковая сторона $10$ , основание $12$ . Найдите его углы. $\approx 53, 1^{\circ}$ , $53, 1^{\circ}$ , $73, 7^{\circ}$

R01.4

Вывод · две стороны и угол между ними

Острый угол: высота внутри треугольника

Дано:

A B = c

,

A C = b

,

∠ A = α

— острый.
Найти:

BC

,

∠ B

,

∠ C

.

1

B H = c sin α

,

A H = c cos α

B H ⊥ A C

, прямоугольный

△ A B H

2

H C = b - c cos α

H

лежит на отрезке

A C

3

a = B H^{2} + H C^{2}

теорема Пифагора в

△ B H C

4

tg C = \frac{B H}{H C}

,

∠ B = 18 0^{\circ} - α - ∠ C

△ B H C

; сумма углов треугольника

2 мин · теория
Почему высоту проводим из B: известны сторона c = AB и угол A при ней — в △ABH есть гипотенуза и острый угол (случай 3 прямоугольного треугольника).
Шаг 2 верен, если c·cos α < b (точка H между A и C, угол C острый). Если c·cos α > b, то H за точкой C и HC = c·cos α − b; в шаге 3 стоит HC², поэтому формула для a та же. Тогда угол C тупой — его ищем через смежный: tg(180° − C) = BH / CH.
Для учителя (вперёд): раскрыв скобки, a² = c²sin²α + (b − c cos α)² = b² + c² − 2bc·cos α — это теорема косинусов, урок 5. Не называть сегодня, оставить «открытием» следующего урока.

R01.4

Вывод · тупой угол между сторонами

Тупой угол: высота падает на продолжение

Дано:

A B = c

,

A C = b

,

∠ A = α > 9 0^{\circ}

.

1

φ = ∠ B A H = 18 0^{\circ} - α

— острыйсмежный с

∠ A

;

H

на продолжении

C A

2

B H = c sin (18 0^{\circ} - α) = c sin α

△ A B H

; формула приведения

3

A H = c cos (18 0^{\circ} - α) = - c cos α

cos α < 0

, поэтому

A H > 0

4

H C = b + A H = b - c cos α

та же формула, что для острого угла

R01.4

Образец → сам · две стороны и угол между ними

Третья сторона через высоту

Образец: $A B = 5$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ и $∠ C$ .

$B H = 5 sin 6 0^{\circ} = \frac{5 3}{2}$ , $A H = 5 cos 6 0^{\circ} = 2, 5$ $△ A B H$

$H C = 8 - 2, 5 = 5, 5$ ; $BC = 18, 75 + 30, 25 = 7$

$tg C = \frac{B H}{H C} \approx 0, 787$ , $∠ C \approx 38, 2^{\circ}$ , $∠ B \approx 81, 8^{\circ}$

Сам: найдите $BC$

$A B = 3$ , $A C = 5$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . $7$
$A B = 42$ , $A C = 7$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ ; найдите и $∠ C$ . $5$ ; $\approx 53, 1^{\circ}$
$A B = 32$ , $A C = 1$ , $∠ A = 13 5^{\circ}$ . $5$

R01.4

Вывод · сторона и два прилежащих угла

Сначала третий угол, потом высота

Дано:

A B = c

,

∠ A = α

,

∠ B = β

.
Найти:

∠ C

,

BC

,

A C

.

1

γ = 18 0^{\circ} - α - β

сумма углов треугольника

2

B H = c sin α

,

A H = c cos α

B H ⊥ A C

,

△ A B H

: гипотенуза и угол

3

BC = \frac{B H}{s i n γ}

,

H C = \frac{B H}{tg γ}

△ B H C

: катет и противолежащий угол

4

A C = A H + H C

если

α

и

γ

острые:

H

на отрезке

A C

2 мин · теория
Почему высота из B: известна сторона AB и угол A при ней — в △ABH снова «гипотенуза и острый угол»; второй прямоугольный △BHC — «катет BH и противолежащий угол γ».
Если γ тупой, то H за точкой C: HC = BH / tg(180° − γ), AC = AH − HC; если α тупой — H за A, AC = HC − AH. Вопрос сильным: почему оба угла α и γ тупыми быть не могут?
Если дана сторона и два угла, не прилежащих к ней, — сначала найти третий угол, и задача сводится к этой.
Числа к чертежу: c = 7, α = 50°, β = 70°, γ = 60°.

R01.4

Образец → сам · сторона и два угла

Два прямоугольных треугольника вместо одного

Образец: $A B = 10$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 7 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ и $A C$ .

$∠ C = 6 0^{\circ}$ ; $B H = A H = 10 \cdot \frac{2}{2} = 52$ $△ A B H$

$BC = \frac{5 2}{s i n 6 0 ^{\circ}} = \frac{10 6}{3} \approx 8, 16$ $△ B H C$

$H C = \frac{5 2}{3} = \frac{5 6}{3}$ , $A C = 52 + \frac{5 6}{3} \approx 11, 15$

Сам: найдите $BC$ и $A C$

$A B = 6$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 10 5^{\circ}$ . $32$ ; $3 + 33$
$A B = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 5^{\circ}$ . $46$ ; $4 + 43$
$BC = 12$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A B$ и $A C$ . $122$ ; $62 + 66$

R01.4

Образец → сам · задача на доказательство

Формула проекций

Образец: $△ A BC$ остроугольный. Докажите: $a = b cos C + c cos B$ .

$A H ⊥ BC$ , $H$ на отрезке $BC$ $∠ B$ , $∠ C$ острые

$B H = c cos B$ , $H C = b cos C$ $△ A B H$ , $△ A H C$

$a = B H + H C = c cos B + b cos C$ ∎

Сам: докажите

$b sin A = a sin B$ (проведите высоту из $C$ ). $C H = b sin A = a sin B$
Формула образца верна и при тупом $∠ B$ . $B H = - c cos B$ , $a = H C - B H$
Равнобедренный треугольник, боковая $b$ , угол при вершине $φ$ : основание $a = 2 b sin \frac{φ}{2}$ . высота — биссектриса и медиана

2,5 мин · практика
План доказательства: провести высоту → два прямоугольных треугольника → проекции сторон через косинус → сложить. Каждое равенство — с указанием треугольника.
1) CH ⊥ AB (для остроугольного): из △ACH CH = b·sin A, из △BCH CH = a·sin B ⇒ b·sin A = a·sin B, т. е. a / sin A = b / sin B — заготовка теоремы синусов (урок 5). Если угол A тупой, CH = b·sin(180° − A) = b·sin A — то же.
2) При тупом B точка H лежит на продолжении CB за B: BH = c·cos(180° − B) = −c·cos B, HC = b·cos C, a = HC − BH = b·cos C + c·cos B.
3) Высота к основанию в равнобедренном треугольнике — биссектриса и медиана: a/2 = b·sin(φ/2) ⇒ a = 2b·sin(φ/2). Проверка: φ = 60° ⇒ a = b (равносторонний).

R01.4

Схема-конспект

Что дано → какой план

Прямоугольный: два элемента

$sin$ , $cos$ , $tg$ острого угла и теорема Пифагора; $β = 9 0^{\circ} - α$

Две стороны $b$ , $c$ и угол $α$ между ними

высота из конца стороны $c$ : $h = c sin α$ , $H C = b - c cos α$ , затем Пифагор

Сторона $c$ и два угла

$γ = 18 0^{\circ} - α - β$ ; высота $h = c sin α$ ; из второго треугольника $a = \frac{h}{s i n γ}$

Три стороны · две стороны и угол не между ними

следующий урок: теоремы косинусов и синусов

Калькулятор — в режиме градусов (DEG); промежуточные значения не округлять, округлять только ответ.

2 мин · теория
Записать схему в тетрадь — опорный конспект на всю строку R01. Общий принцип: высоту проводят так, чтобы в одном из прямоугольных треугольников было известно два элемента (сторона и угол).
Тупой угол не меняет формулы (слайд 9), меняется только положение основания высоты — всегда делать чертёж.
Последняя карточка — анонс урока 5: формула a² = b² + c² − 2bc·cos α получится из нашей схемы (слайд 8), формула a/sin α = b/sin β — из задания 1 слайда 13.

R01.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$∠ C = 9 0^{\circ}$ : $A C = A B sin A$	$A C$ — прилежащий к $∠ A$ катет	$A C = A B cos A$
$∠ A = 12 0^{\circ}$ : $H C = A C - A H$	высота падает на продолжение $C A$ за точку $A$	$H C = A C + A H$
$a = c sin α$ в любом треугольнике	соотношения — только для прямоугольного	сначала провести высоту
$sin 35 \approx - 0, 43$	калькулятор в радианах	режим DEG: $sin 3 5^{\circ} \approx 0, 57$

1,5 мин · практика (ученики сами объясняют «почему», учитель открывает строку)
Строка 1 — синус и косинус перепутаны: проговорить «косинус — прилежащий». Строка 2 — «на рисунке видно» вместо анализа: если угол тупой, основание высоты из вершины B лежит вне стороны AC.
Строка 3 — самая частая ошибка: применить «катет = гипотенуза·синус» к непрямоугольному треугольнику. Строка 4 — перед уроком проверить: sin 30 = 0,5.
Ещё одна: округлять промежуточные значения (BH ≈ 4,3 вместо 4,33…) — ответ уходит на 0,05–0,1.

R01.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A B = 4$ , $A C = 6$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

$B H = 4 sin 6 0^{\circ} = 23$ , $A H = 2$

$H C = 6 - 2 = 4$

$BC = 12 + 16 = 27$

$H C = 6 + 2 = 8$ , $BC = 76 = 219$

б) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $∠ A = 4 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ .

$A C = 10 sin 4 0^{\circ} \approx 6, 43$

$A C$ прилежит к $∠ A$ : $A C = 10 cos 4 0^{\circ} \approx 7, 66$

в) Катеты $BC = 3$ , $A C = 4$ . Найдите $∠ A$ .

$sin A = \frac{3}{4}$ , $∠ A \approx 48, 6^{\circ}$

$tg A = \frac{3}{4}$ (или $sin A = \frac{3}{5}$ ), $∠ A \approx 36, 9^{\circ}$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика»; 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Первая строка верна (угол BAH = 60°). Ошибка — H на продолжении CA за A, поэтому HC = 6 + 2 = 8; BC = √(12 + 64) = √76 = 2√19 ≈ 8,72. Самоконтроль: против тупого угла лежит наибольшая сторона, а 2√7 ≈ 5,29 < 6 — противоречие.
б) Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе; AC прилежащий ⇒ cos: 7,66.
в) Синус — отношение катета к гипотенузе, а 4 — катет. Гипотенуза 5, sin A = 3/5 или tg A = 3/4 ⇒ 36,87°.

R01.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 15$ , $sin A = 0, 4$ . Найдите $BC$ . $6$
база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 8$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $43$
базаКатеты $6$ и $8$ . Найдите угол против меньшего катета. $\approx 36, 9^{\circ}$

база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = 9$ , $cos B = 0, 6$ . Найдите $A B$ и $A C$ . $15$ и $12$
база $A B = 32$ , $A C = 5$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $13$
базаБоковая сторона равнобедренного треугольника $10$ , угол при вершине $12 0^{\circ}$ . Найдите основание. $103$

R01.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A C = 3 + 3$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите высоту $B H$ , стороны $A B$ и $BC$ . $3$ ; $32$ ; $23$
повыш. $A B = 6$ , $A C = 10$ , $∠ A = 15 0^{\circ}$ . Найдите высоту из $B$ и площадь треугольника. $3$ ; $15$
повыш.Стороны параллелограмма $8$ и $5$ , острый угол $6 0^{\circ}$ . Найдите диагонали. $7$ и $129$
повыш.Основания равнобедренной трапеции $10$ и $4$ , угол при основании $6 0^{\circ}$ . Найдите боковую сторону и высоту. $6$ ; $33$

2,5 мин · практика
1) Обратный ход: BH = x; AH = x (угол 45°), HC = x / tg 60° = x/√3; x + x/√3 = 3 + √3, т. е. x·(√3 + 1)/√3 = √3·(√3 + 1) ⇒ x = 3. AB = 3/sin 45° = 3√2, BC = 3/sin 60° = 2√3.
2) Угол тупой: высота из B на продолжение CA, BH = 6·sin 150° = 3; S = ½·AC·BH = ½·10·3 = 15.
3) Высота из B к AD: h = 5·sin 60° = 2,5√3, проекция 2,5. Короткая диагональ BD: катеты h и 8 − 2,5 = 5,5 ⇒ √(18,75 + 30,25) = 7. Длинная AC: катеты h и 8 + 2,5 = 10,5 ⇒ √(18,75 + 110,25) = √129 ≈ 11,36.
4) Проекция боковой стороны на большее основание (10 − 4)/2 = 3; боковая = 3 / cos 60° = 6; высота = 3·tg 60° = 3√3 ≈ 5,20.

R01.4 · практика

Задача из жизни · недоступное расстояние

Как далеко дерево на том берегу?

На берегу

A B = 50

м; углы на дерево

C

:

∠ A = 7 0^{\circ}

,

∠ B = 6 0^{\circ}

. Найдите расстояние

h

от

C

до прямой

A B

.

$A H = \frac{h}{tg 7 0 ^{\circ}}$ , $H B = \frac{h}{tg 6 0 ^{\circ}}$ — $△ A H C$ , $△ B H C$

$h (\frac{1}{tg 7 0 ^{\circ}} + \frac{1}{tg 6 0 ^{\circ}}) = 50$

$h \approx \frac{50}{0 , 364 + 0 , 577} \approx 53, 1$ м

Сам: лестница $5$ м стоит под углом $7 0^{\circ}$ к земле. На какой высоте её верх и как далеко низ от стены? $\approx 4, 70$ м; $\approx 1, 71$ м

R01.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 23

Ответ — одно число; вторая часть — с решением

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 9$ , $cos A = 0, 3$ . Найдите $A B$ . $30$
ОГЭ 15 $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = 7$ , $tg A = 0, 35$ . Найдите $A C$ . $20$
ОГЭ 15 $A C = BC = 5$ , $A B = 8$ . Найдите $cos A$ . $0, 8$

ОГЭ 23 В трапеции $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ) $∠ A BC = 12 0^{\circ}$ , $∠ BC D = 13 5^{\circ}$ , $C D = 36$ . Найдите $A B$ .

$∠ D = 4 5^{\circ}$ , $C K = 36 sin 4 5^{\circ} = 182$ — высота

$B H = C K$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ : $A B = \frac{18 2}{s i n 6 0 ^{\circ}}$

$A B = 126$

R01.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 13$ , $sin A = \frac{5}{13}$ . Найдите $BC$ . $5$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 20$ , $∠ A = 2 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ , $A C$ . $\approx 8, 45$ ; $\approx 18, 13$
$A B = 4$ , $A C = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $27$
$A B = 2$ , $A C = 3$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $19$

Вариант 2

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 25$ , $cos A = 0, 28$ . Найдите $A C$ . $7$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 30$ , $∠ A = 4 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ , $A C$ . $\approx 19, 28$ ; $\approx 22, 98$
$A B = 6$ , $A C = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $31$
$A B = 22$ , $A C = 3$ , $∠ A = 13 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $29$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что значит «решить треугольник»?
Зачем проводить высоту?
Где лежит основание высоты, если угол тупой?

Домашнее задание

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 16$ , $∠ A = 6 2^{\circ}$ . Решите треугольник.
$A B = 43$ , $A C = 7$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ .
$A B = 12$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ , $A C$ .
* Докажите $a = b cos C + c cos B$ при тупом $∠ C$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_reshenie-treugolnikov.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) ∠B = 28°, BC = 16 sin 62° ≈ 14,13, AC = 16 cos 62° ≈ 7,51. 2) BH = 2√3, AH = 6, HC = 1, BC = √13 ≈ 3,61. 3) ∠C = 45°, BH = 6√3, AH = 6, HC = 6√3, BC = 6√6 ≈ 14,70, AC = 6 + 6√3 ≈ 16,39. 4*) H на продолжении BC за C: HC = b·cos(180° − C) = −b·cos C, BH = c·cos B, a = BH − HC = c·cos B + b·cos C.
Следующий урок — теорема косинусов и теорема синусов (GEOM9U-005): получим общие формулы, которые сразу дают ответ без высоты. Вопрос на дом: можно ли нашим методом решить треугольник по трём сторонам?

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-004 · Решение треугольников

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Решение треугольников», 22 ч · урок 4/22 · тип Н
Единицы → слайды	R01.4 «Решение треугольников» → 2, 4–22 · повторение уроков 1–3 (R01.1–R01.3) → 3, 9
Результаты	ПР-1 (решение прямоугольных треугольников, калькулятор) → 5–7, 17, 20, 21 · ПР-2 (формулы приведения) → 3, 9, 10 · ПР-3 (решение треугольников, практические задачи) → 8–14, 18–21
Вне урока	теоремы косинусов и синусов — GEOM9U-005; практические задачи — GEOM9U-006; площадь через синус — GEOM9U-007; формула Герона — GEOM9U-008
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Решение треугольников

Сегодня вы научитесь

Решать прямоугольный треугольник

Решать любой треугольник

Работать с тупым углом

Решать задачи

Синус и косинус углов от 0° до 180°

Что значит «решить треугольник»

Два элемента, кроме прямого угла

Нетабличный угол — калькулятор

Образец: ∠C=90∘, AB=12, ∠A=35∘. Решите треугольник.

Сам (∠C=90∘)

Найдите углы по двум сторонам

Образец: ∠C=90∘, BC=5, AC=12. Решите треугольник.

Сам

Острый угол: высота внутри треугольника

Тупой угол: высота падает на продолжение

Третья сторона через высоту

Образец: AB=5, AC=8, ∠A=60∘. Найдите BC и ∠C.

Сам: найдите BC

Сначала третий угол, потом высота

Два прямоугольных треугольника вместо одного

Образец: AB=10, ∠A=45∘, ∠B=75∘. Найдите BC и AC.

Сам: найдите BC и AC

Формула проекций

Образец: △ABC остроугольный. Докажите: a=bcosC+ccosB.

Сам: докажите

Что дано → какой план

Прямоугольный: два элемента

Две стороны b, c и угол α между ними

Сторона c и два угла

Три стороны · две стороны и угол не между ними

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) AB=4, AC=6, ∠A=120∘. Найдите BC.

б) ∠C=90∘, AB=10, ∠A=40∘. Найдите AC.

в) Катеты BC=3, AC=4. Найдите ∠A.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Как далеко дерево на том берегу?

Ответ — одно число; вторая часть — с решением

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-004 · Решение треугольников

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 12$ , $∠ A = 3 5^{\circ}$ . Решите треугольник.

Сам ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ )

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = 5$ , $A C = 12$ . Решите треугольник.

Образец: $A B = 5$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ и $∠ C$ .

Сам: найдите $BC$

Образец: $A B = 10$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 7 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ и $A C$ .

Сам: найдите $BC$ и $A C$

Образец: $△ A BC$ остроугольный. Докажите: $a = b cos C + c cos B$ .

Две стороны $b$ , $c$ и угол $α$ между ними

Сторона $c$ и два угла

а) $A B = 4$ , $A C = 6$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

б) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $∠ A = 4 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ .

в) Катеты $BC = 3$ , $A C = 4$ . Найдите $∠ A$ .