Решение треугольников · урок 3 из 22

Формулы приведения

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9U-003

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Решение треугольников» (22 ч), урок 3/22, единица R01.3. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · идея симметрии 1,5 · вывод для 180° − α 3 · вывод для 90° − α 2,5 · вывод для 90° + α 2,5 · сводка и правило 2.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 3 + 3 + 2,5 + 3 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задание «сам» № 3 в образце 5 и задачу ОГЭ 18 — в ДЗ; выводы формул не сокращать.

R01.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить формулы

для углов $18 0^{\circ} - α$ , $9 0^{\circ} - α$ , $9 0^{\circ} + α$ из симметрии на полуокружности

Сводить тупой угол к острому

и находить значения $sin$ , $cos$ , $tg$ без калькулятора (ПР-2)

Упрощать и доказывать

тригонометрические выражения вместе с основным тождеством (ПР-2)

Применять к фигурам

углы треугольника, смежные углы, высота к тупому углу, задачи ОГЭ

повторение: уроки 1–2

Разминка · устно

Единичная полуокружность

$OM = 1$ , $∠ x OM = 12 0^{\circ}$ . Координаты $M$ ? $(- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})$
Значит, $sin 12 0^{\circ}$ и $cos 12 0^{\circ}$ равны… $\frac{3}{2}$ и $- \frac{1}{2}$
$sin^{2} α + cos^{2} α = ?$ $1$
$sin α = 0, 6$ , $α$ — острый. $cos α$ ? $0, 8$
Знак $tg 10 0^{\circ}$ ? минус: $cos 10 0^{\circ} < 0$
Сравните $sin 3 0^{\circ}$ и $cos 6 0^{\circ}$ . равны: оба $\frac{1}{2}$

2 мин · практика
Ответы: 1) M(cos 120°; sin 120°) = (−1/2; √3/2): ∠ между OM и отрицательной полуосью Ox равен 60°, проекции 1/2 и √3/2. 2) sin 120° = √3/2, cos 120° = −1/2 (по определению: ордината и абсцисса). 3) 1 (урок 2). 4) cos α = √(1 − 0,36) = 0,8, острый ⇒ плюс. 5) tg 100° = sin/cos, sin > 0, cos < 0 ⇒ минус. 6) Равны — это и есть первая формула приведения сегодняшнего урока: sin 30° = cos(90° − 30°).
Вопрос 1 и 2 — подводка: заметить, что sin 120° = sin 60°, а cos 120° = −cos 60°. Не объяснять почему — это вывод урока.

R01.3

Новый материал · идея симметрии

Симметричные точки — «родственные» углы

M (cos α; sin α)

— точка единичной полуокружности,

∠ x OM = α

.

$M_{1}$ симметрична

M

относительно оси

O y

:

∠ x O M_{1} = 18 0^{\circ} - α

$N$ симметрична

M

относительно прямой

y = x

:

∠ x ON = 9 0^{\circ} - α

Симметрия меняет знак или меняет местами координаты — отсюда все формулы.

R01.3

Теорема 1 · доказательство

Угол $18 0^{\circ} - α$

Дано:

∠ x OM = α

,

∠ x O M_{1} = 18 0^{\circ} - α

,

OM = O M_{1} = 1

,

0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}

.
Доказать:

M_{1} (- cos α; sin α)

.

1

∠ M_{1} O H_{1} = α

смежный с

∠ x O M_{1}

:

18 0^{\circ} - (18 0^{\circ} - α)

2

△ OM H

=

△ O M_{1} H_{1}

по гипотенузе (

OM = O M_{1}

) и острому углу

α

3

M_{1} H_{1} = M H

,

O H_{1} = O H

,

H_{1}

левее

O

соответственные стороны равных треугольников

4

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α

,

cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α

по определению: ординаты равны, абсциссы противоположны

3 мин · теория
Каждый шаг — вопрос «почему?». Первый щелчок открывает на чертеже дугу угла α у точки $M_{1}$ , далее — строки.
Следствие (записать): tg(180° − α) = sin(180° − α) / cos(180° − α) = sin α / (−cos α) = −tg α при α ≠ 90°.
Граничные значения — по определению: α = 0° ⇒ sin 180° = 0 = sin 0°, cos 180° = −1 = −cos 0°; α = 90° ⇒ 180° − 90° = 90°, cos 90° = 0 = −0. Для тупого α формула получается подстановкой β = 180° − α (острый): значит, формулы верны для всех α от 0° до 180°.
Углублённый уровень: спросить, где в доказательстве использована острота α (шаг 1 — чтобы H лежала на положительной полуоси).

R01.3

Образец → сам · значения для тупых углов

Тупой угол → острый

Образец: найдите $sin 15 0^{\circ}$ , $cos 13 5^{\circ}$ , $tg 12 0^{\circ}$ .

$sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ $15 0^{\circ} = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ}$ , синус тот же

$cos 13 5^{\circ} = - cos 4 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ косинус меняет знак

$tg 12 0^{\circ} = - tg 6 0^{\circ} = - 3$ $tg (18 0^{\circ} - α) = - tg α$

Сам

$cos 15 0^{\circ}$ $- \frac{3}{2}$
$sin 12 0^{\circ} + cos 12 0^{\circ}$ $\frac{3 - 1}{2}$
$tg 13 5^{\circ} \cdot cos 15 0^{\circ}$ $\frac{3}{2}$

R01.3

Теорема 2 · доказательство

Угол $9 0^{\circ} - α$

Дано:

∠ x OM = α

,

∠ x ON = 9 0^{\circ} - α

,

OM = ON = 1

;

M H ⊥ O x

,

N K ⊥ O y

.
Доказать:

N (sin α; cos α)

.

1

∠ NO K = α

∠ x O y = 9 0^{\circ}

:

9 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - α)

2

△ OM H

=

△ ON K

по гипотенузе (

OM = ON

) и острому углу

α

3

N K = M H = sin α

— абсцисса

N

O K = O H = cos α

— ордината

N

соответственные стороны

4

cos (9 0^{\circ} - α) = sin α

,

sin (9 0^{\circ} - α) = cos α

синус и косинус меняются местами

R01.3

Теорема 3 · доказательство

Угол $9 0^{\circ} + α$

Дано:

∠ x OP = 9 0^{\circ} + α

,

0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}

,

OP = 1

,

P L ⊥ O y

.
Доказать:

P (- sin α; cos α)

.

1

∠ PO L = α

∠ x OP - ∠ x O y = (9 0^{\circ} + α) - 9 0^{\circ}

2

△ OM H

=

△ OP L

по гипотенузе и острому углу

3

P L = M H = sin α

,

P

левее

O y

O L = O H = cos α

соответственные стороны

4

sin (9 0^{\circ} + α) = cos α

,

cos (9 0^{\circ} + α) = - sin α

по определению синуса и косинуса

R01.3

Сводка · формулы и правило

Шесть формул — одно правило

угол	$sin$	$cos$	$tg$
$18 0^{\circ} - α$	$sin α$	$- cos α$	$- tg α$
$9 0^{\circ} - α$	$cos α$	$sin α$	$\frac{1}{tg α}$
$9 0^{\circ} + α$	$cos α$	$- sin α$	$- \frac{1}{tg α}$

1. Функция

при $18 0^{\circ}$ — та же; при $9 0^{\circ}$ — синус ↔ косинус

2. Знак

как у исходной функции угла слева ( $α$ острый): тупой угол — $cos$ и $tg$ отрицательны

R01.3

Образец → сам · упрощение выражений

Приведите и упростите

Образец: упростите при $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$

sin (18 0^{\circ} - α) cos (9 0^{\circ} - α)

- cos (18 0^{\circ} - α) sin (9 0^{\circ} - α)

$sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ ,
$cos (9 0^{\circ} - α) = sin α$ теоремы 1, 2

$cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ ,
$sin (9 0^{\circ} - α) = cos α$ теоремы 1, 2

$sin^{2} α - (- cos α) cos α = sin^{2} α + cos^{2} α$ знак

$= 1$ основное тождество

Сам ( $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ )

$\frac{cos ( 9 0 ^{\circ} - α )}{sin ( 18 0 ^{\circ} - α )}$ $1$
$sin (9 0^{\circ} + α) + cos (18 0^{\circ} - α)$ $0$
$tg (18 0^{\circ} - α) \cdot tg (9 0^{\circ} - α)$ $- 1$

R01.3

Образец → сам · обратная задача

Известна одна функция — найдите остальные

Образец: $sin α = \frac{3}{5}$ , угол $α$ тупой. Найдите $cos α$ , $tg α$ и $cos (18 0^{\circ} - α)$ .

$cos^{2} α = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ основное тождество

$cos α = - \frac{4}{5}$ угол тупой ⇒ $cos α < 0$

$tg α = \frac{3}{5} : (- \frac{4}{5}) = - \frac{3}{4}$ определение тангенса

$cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α = \frac{4}{5}$ теорема 1

Сам ( $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ )

$cos (18 0^{\circ} - α) = 0, 6$ . Найдите $sin α$ и $tg α$ . $0, 8$ и $- \frac{4}{3}$
$sin α = sin 4 0^{\circ}$ , $α \neq = 4 0^{\circ}$ . Найдите $α$ . $14 0^{\circ}$
$cos α = - cos 2 5^{\circ}$ . Найдите $α$ . $15 5^{\circ}$

R01.3

Образец → сам · углы треугольника

$A + B = 18 0^{\circ} - C$

Образец: в $△ A BC$ $cos C = - 0, 28$ . Найдите $cos (A + B)$ и $sin (A + B)$ .

$cos (A + B) = - cos C = 0, 28$ теорема 1

$sin C = 1 - 0, 0784 = 0, 96$ $sin C > 0$

$sin (A + B) = sin C = 0, 96$

Сам

$sin (A + B) = 0, 8$ , угол $C$ тупой. Найдите $cos C$ . $- 0, 6$
Вычислите $cos A + cos (B + C)$ . $0$
Докажите: $sin \frac{A + B}{2} = cos \frac{C}{2}$ . $\frac{A + B}{2} = 9 0^{\circ} - \frac{C}{2}$ , теорема 2

R01.3

Образец → сам · высота и тупой угол

Расстояние через синус тупого угла

Образец: в $△ A BC$ $∠ B = 13 5^{\circ}$ , $A B = 62$ . Найдите расстояние от $A$ до прямой $BC$ .

$A H ⊥ BC$ , $H$ — на продолжении $CB$ $∠ B$ тупой

$∠ A B H = 18 0^{\circ} - 13 5^{\circ} = 4 5^{\circ}$ смежный

$A H = A B sin 4 5^{\circ} = 62 \cdot \frac{2}{2} = 6$

Сам

Ромб со стороной $10$ , тупой угол $12 0^{\circ}$ . Найдите высоту. $53$
В $△ A BC$ $∠ C = 15 0^{\circ}$ , $A C = 8$ . Найдите расстояние от $A$ до прямой $BC$ . $4$
Параллелограмм: стороны $8$ и $10$ , угол $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь. $40$

R01.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$cos (18 0^{\circ} - α) = cos α$	тупой угол: косинус отрицателен	$- cos α$
$sin (9 0^{\circ} + α) = - cos α$	знак — по исходной функции: синус тупого угла положителен	$cos α$
$tg (9 0^{\circ} - α) = tg α$	при $9 0^{\circ}$ функция меняется: синус ↔ косинус	$\frac{1}{tg α}$
$sin A = \frac{1}{2}$ ⇒ $∠ A = 3 0^{\circ}$	угол треугольника может быть тупым	$3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$

R01.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Вычислите $cos 12 0^{\circ} \cdot tg 15 0^{\circ}$ .

$cos 12 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

$tg 15 0^{\circ} = - \frac{3}{3}$

ответ: $- \frac{3}{6}$

$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , ответ: $\frac{3}{6}$

б) В $△ A BC$ $∠ B = 2 0^{\circ}$ , $sin A = \frac{1}{2}$ . Найдите $∠ C$ .

$∠ A = 3 0^{\circ}$

$∠ C = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}$

ещё $∠ A = 15 0^{\circ}$ , тогда $∠ C = 1 0^{\circ}$ : два ответа

в) Упростите $sin (9 0^{\circ} + α) \cdot$ $cos (18 0^{\circ} - α)$ .

$= cos α \cdot cos α$

$= cos^{2} α$

$cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ , ответ: $- cos^{2} α$

R01.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $sin 13 5^{\circ}$ $\frac{2}{2}$
база $cos 15 0^{\circ}$ $- \frac{3}{2}$
база $tg 12 0^{\circ}$ $- 3$
база $sin α = 0, 3$ . Найдите $sin (18 0^{\circ} - α)$ . $0, 3$
база $cos (9 0^{\circ} - α) = 0, 7$ . Найдите $sin α$ . $0, 7$
база $cos α = - cos 5 0^{\circ}$ . Найдите $α$ . $13 0^{\circ}$

R01.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Вычислите $sin^{2} 12 0^{\circ} + cos^{2} 15 0^{\circ} + tg 13 5^{\circ}$ . $\frac{1}{2}$
повыш.Упростите $cos (9 0^{\circ} + α) sin (18 0^{\circ} - α) + sin (9 0^{\circ} + α) cos (18 0^{\circ} - α)$ , $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ . $- 1$
повыш.Трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$ , $cos ∠ A = 0, 6$ . Найдите $cos ∠ B$ и $sin ∠ B$ . $- 0, 6$ и $0, 8$
повыш.Докажите: в треугольнике с непрямым углом $A$ верно $tg A \cdot tg (B + C) \leq 0$ . произведение $- tg^{2} A < 0$

R01.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 18 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 15В $△ A BC$ $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите косинус внешнего угла при вершине $A$ . $- 0, 8$
ОГЭ 18Найдите тангенс угла $A OB$ на клетчатой бумаге (рисунок). $- 2$
ОГЭ 19Какие утверждения верны?1) $sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ 2) Косинус тупого угла положителен.3) $tg 13 5^{\circ} = - 1$ $13$

R01.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$cos 13 5^{\circ}$ $- \frac{2}{2}$
$sin 15 0^{\circ} \cdot tg 13 5^{\circ}$ $- \frac{1}{2}$
$sin α = 0, 8$ , $α$ тупой. Найдите $cos (18 0^{\circ} - α)$ . $0, 6$
Упростите $sin (18 0^{\circ} - α) + cos (9 0^{\circ} + α)$ . $0$

Вариант 2

$sin 12 0^{\circ}$ $\frac{3}{2}$
$cos 15 0^{\circ} \cdot tg 12 0^{\circ}$ $\frac{3}{2}$
$cos α = - 0, 6$ . Найдите $sin (18 0^{\circ} - α)$ . $0, 8$
Упростите $cos (18 0^{\circ} - α) + sin (9 0^{\circ} + α)$ . $0$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Из каких двух шагов состоит правило приведения?
Почему синусы смежных углов равны?
Какой угол по синусу находится неоднозначно?

Домашнее задание

$sin 15 0^{\circ} + cos 12 0^{\circ} + tg 13 5^{\circ}$
Упростите $tg (18 0^{\circ} - α) cos (18 0^{\circ} - α)$ .
* $α + β = 18 0^{\circ}$ . Докажите: $sin α cos β + cos α sin β = 0$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_reshenie-treugolnikov.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-003 · Формулы приведения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Решение треугольников», 22 ч · урок 3/22 · тип Н
Единицы → слайды	R01.3 «Формулы приведения» → 2, 4–20 · повторение R01.1–R01.2 → 3
Результаты	ПР-2 (формулы приведения и основное тригонометрическое тождество для соотношений между тригонометрическими величинами) → 4–20
Вне урока	решение треугольников — GEOM9U-004; теоремы косинусов и синусов — GEOM9U-005; площадь через синус — GEOM9U-007 (в сл. 13 площадь — через высоту)
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Формулы приведения

Сегодня вы научитесь

Выводить формулы

Сводить тупой угол к острому

Упрощать и доказывать

Применять к фигурам

Единичная полуокружность

Симметричные точки — «родственные» углы

Угол 180∘−α

Тупой угол → острый

Образец: найдите sin150∘, cos135∘, tg120∘.

Сам

Угол 90∘−α

Угол 90∘+α

Шесть формул — одно правило

1. Функция

2. Знак

Приведите и упростите

Образец: упростите при 0∘<α<90∘

Сам (0∘<α<90∘)

Известна одна функция — найдите остальные

Образец: sinα=53​, угол α тупой. Найдите cosα, tgα и cos(180∘−α).

Сам (0∘≤α≤180∘)

A+B=180∘−C

Образец: в △ABC cosC=−0,28. Найдите cos(A+B) и sin(A+B).

Сам

Расстояние через синус тупого угла

Образец: в △ABC ∠B=135∘, AB=62​. Найдите расстояние от A до прямой BC.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Вычислите cos120∘⋅tg150∘.

б) В △ABC ∠B=20∘, sinA=21​. Найдите ∠C.

в) Упростите sin(90∘+α)⋅cos(180∘−α).

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-003 · Формулы приведения

Угол $18 0^{\circ} - α$

Образец: найдите $sin 15 0^{\circ}$ , $cos 13 5^{\circ}$ , $tg 12 0^{\circ}$ .

Угол $9 0^{\circ} - α$

Угол $9 0^{\circ} + α$

Образец: упростите при $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$

Сам ( $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ )

Образец: $sin α = \frac{3}{5}$ , угол $α$ тупой. Найдите $cos α$ , $tg α$ и $cos (18 0^{\circ} - α)$ .

Сам ( $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ )

$A + B = 18 0^{\circ} - C$

Образец: в $△ A BC$ $cos C = - 0, 28$ . Найдите $cos (A + B)$ и $sin (A + B)$ .

Образец: в $△ A BC$ $∠ B = 13 5^{\circ}$ , $A B = 62$ . Найдите расстояние от $A$ до прямой $BC$ .

а) Вычислите $cos 12 0^{\circ} \cdot tg 15 0^{\circ}$ .

б) В $△ A BC$ $∠ B = 2 0^{\circ}$ , $sin A = \frac{1}{2}$ . Найдите $∠ C$ .

в) Упростите $sin (9 0^{\circ} + α) \cdot$ $cos (18 0^{\circ} - α)$ .