Решение треугольников · урок 2 из 22

Основное тригонометрическое тождество

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9U-002

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Решение треугольников» (22 ч), урок 2/22, единица R01.2. Тип урока — Н.
Теория (13,5): титул 0,5 · цели 0,5 · определение (напоминание) 1,5 · доказательство тождества 3 · следствия 2,5 · схема «знаю одну — найду остальные» 2 · приёмы преобразований 2 · сводка 1,5.
Практика (31,5): разминка 2 · образцы → сам 2 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 3 · ОГЭ 2 · самостоятельная 5 · итог 1.
Если не успеваете: третье задание образцов 4 и 5 и задачу «из жизни» — в ДЗ; доказательство тождества и вывод $1 + tg^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ не сокращать.

R01.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать тождество

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$
для любого угла от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$

Выводить следствия

$1 + tg^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$
и выражать $sin α$ через $cos α$

Находить остальные функции

по одной известной — с верным знаком (ПР-2)

Преобразовывать выражения

упрощать и доказывать тождества, задачи ОГЭ 15, 18, 19

повторение: GEOM9U-001

Разминка · устно

Квадраты, корни и значения функций

$(- 0, 6)^{2}$ $0, 36$
$0, 64$ $0, 8$
$1 - (\frac{5}{13})^{2}$ $\frac{144}{169}$
Катеты $0, 6$ и $0, 8$ . Гипотенуза? $1$
$sin 15 0^{\circ}$ и $cos 15 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$ и $- \frac{3}{2}$
$sin α = 0, 8$ , $cos α = - 0, 6$ . $tg α$ ? $- \frac{4}{3}$
Знак $cos 14 0^{\circ}$ ? А $sin 14 0^{\circ}$ ? «−» и «+»

R01.2

Определение · напоминание

Синус и косинус — координаты точки $M$

M

— точка единичной полуокружности,

∠ MO x = α

,

0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}

.

sin α = y

,

cos α = x

tg α = \frac{sin α}{cos α}

α \neq = 9 0^{\circ}

Вопрос: как связаны

x

и

y

, если

OM = 1

?

R01.2

Теорема · доказательство

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ для любого $α$ от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$

Дано:

M (x; y)

на единичной полуокружности,

∠ MO x = α

.
Доказать:

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

.

1

OM = 1

,

x = cos α

,

y = sin α

радиус; определение

2

M H ⊥ O x

:

O H = ∣ x ∣

,

M H = y

расстояния до осей;

y \geq 0

3

O H^{2} + M H^{2} = O M^{2} \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 1

теорема Пифагора в

△ O H M

;

∣ x ∣^{2} = x^{2}

4

α = 0^{\circ}, 9 0^{\circ}, 18 0^{\circ}

:

M (1; 0)

,

(0; 1)

,

(- 1; 0)

треугольника нет — проверка подстановкой

5

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

подставили

x = cos α

,

y = sin α

3 мин · теория
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Цвета на чертеже совпадают с цветами в записи: OH = |x| — бирюзовый, MH = y — розовый, OM = 1 — фиолетовый.
Шаг 2 — тонкое место углублённого уровня: длина отрезка OH равна |x|, а не x (для тупого угла x < 0). Квадрат снимает модуль.
Шаг 4 — особые случаи: 0² + 1² = 1, 1² + 0² = 1, 0² + (−1)² = 1. Без него доказательство неполное.
Другой способ (для сильных): M лежит на окружности x² + y² = 1 — расстояние от O до M(x; y) равно √(x² + y²) = 1. Это тот же Пифагор.
Запись: sin²α означает (sin α)², а не sin(α²).

R01.2

Образец → сам · на клетчатой бумаге

Найдите синус и косинус угла $A OB$

Образец: найдите $sin ∠ A OB$ , $cos ∠ A OB$ , $tg ∠ A OB$ .

$O (0; 0)$ , $A (- 3; 4)$ ; $O A = 9 + 16 = 5$ Пифагор

$cos = - \frac{3}{5}$ , $sin = \frac{4}{5}$ , $tg = - \frac{4}{3}$ делим на $O A$

Проверка: $0, 36 + 0, 64 = 1$ ✓

Сам: $O (0; 0)$ , луч $OB$ — по оси $O x$

$A (- 8; 6)$ : $sin$ , $cos$ угла $A OB$ ? $0, 6$ и $- 0, 8$
$A (5; 12)$ : $sin$ , $cos$ , $tg$ ? $\frac{12}{13}$ , $\frac{5}{13}$ , $\frac{12}{5}$
$A (- 1; 2)$ : $sin$ , $cos$ ? $\frac{2 5}{5}$ и $- \frac{5}{5}$

R01.2

Следствия · вывод

Что ещё следует из тождества

Выведем связь тангенса и косинуса,

α \neq = 9 0^{\circ}

.

1

sin^{2} α + cos^{2} α = 1 : cos^{2} α

cos α \neq = 0

при

α \neq = 9 0^{\circ}

2

\frac{sin ^{2} α}{cos ^{2} α} + 1 = \frac{1}{cos ^{2} α}

почленное деление

3

1 + tg^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}

tg α = \frac{sin α}{cos α}

Синус через косинус

$sin α = 1 - cos^{2} α$

знак всегда «+»: $sin α \geq 0$

Косинус через синус

$cos α = \pm 1 - sin^{2} α$

«+» — острый угол, «−» — тупой

2,5 мин · теория
Вывод — по шагам, ученики записывают в тетрадь. Условие α ≠ 90° обязательно: при α = 90° делить на cos²α нельзя, тангенс не существует.
Правая колонка — выражаем одну функцию через другую. Синус на полуокружности — ордината, он не бывает отрицательным, поэтому перед корнем только «+». Косинус — абсцисса, знак зависит от вида угла.
Для сильных: аналогично делением на sin²α получается 1 + (cos α / sin α)² = 1/sin²α при 0° < α < 180° (котангенс в школьном курсе геометрии не обязателен).

R01.2

Схема · знаю одну — найду остальные

Откуда берётся знак

Дано	Находим	Знак
$cos α$	$sin α = 1 - cos^{2} α$	всегда «+»
$sin α$	$cos α = \pm 1 - sin^{2} α$	по виду угла
$tg α$	$cos^{2} α = \frac{1}{1 + tg ^{2} α}$ , $sin α = tg α \cdot cos α$	$cos α$ — как у $tg α$

Синус

0, 6

— у двух углов: острого (

cos = 0, 8

) и тупого (

cos = - 0, 8

).

R01.2

Образец → сам · известен синус

Найдите косинус и тангенс

Образец: $sin α = \frac{15}{17}$ , $α$ тупой. $cos α$ , $tg α$ — ?

$cos^{2} α = 1 - \frac{225}{289} = \frac{64}{289}$ основное тождество

$cos α = - \frac{8}{17}$ угол тупой ⇒ $cos α < 0$

$tg α = \frac{15}{17} : (- \frac{8}{17}) = - \frac{15}{8}$

Сам

$sin α = 0, 28$ , $α$ тупой. $cos α$ , $tg α$ ? $- 0, 96$ и $- \frac{7}{24}$
$cos α = - \frac{3}{2}$ . $sin α$ , $tg α$ ? $\frac{1}{2}$ и $- \frac{3}{3}$
$sin α = \frac{2 2}{3}$ . Найдите $cos α$ . $\frac{1}{3}$ или $- \frac{1}{3}$

R01.2

Образец → сам · известен тангенс

Найдите косинус и синус

Образец: $tg α = - 2$ . Найдите $cos α$ и $sin α$ .

$\frac{1}{cos ^{2} α} = 1 + 4 = 5$ , $cos^{2} α = \frac{1}{5}$ следствие

$cos α = - \frac{1}{5} = - \frac{5}{5}$ $tg α < 0$ ⇒ угол тупой

$sin α = tg α \cdot cos α = \frac{2 5}{5}$

Сам

$tg α = 0, 75$ . $cos α$ , $sin α$ ? $0, 8$ и $0, 6$
$tg α = - 2, 4$ . $cos α$ , $sin α$ ? $- \frac{5}{13}$ и $\frac{12}{13}$
$tg α = - \frac{1}{3}$ . Найдите $sin α$ . $\frac{10}{10}$

R01.2

Свойство · приёмы преобразований

Четыре приёма для упрощения выражений

1. Единица — это $sin^{2} α + cos^{2} α$

$1 - sin^{2} α = cos^{2} α$

$1 - cos^{2} α = sin^{2} α$

2. Квадрат суммы и разности

$(sin α \pm cos α)^{2} = 1 \pm 2 sin α cos α$

3. Разность квадратов

$sin^{4} α - cos^{4} α = (sin^{2} α - cos^{2} α) \cdot 1$

4. Через тангенс ( $α \neq = 9 0^{\circ}$ )

$sin α = tg α \cdot cos α$

$cos^{2} α (1 + tg^{2} α) = 1$

2 мин · теория
1) «Единицу» можно заменить на sin²α + cos²α и обратно — главный приём. 2) (sin α + cos α)² = sin²α + 2 sin α cos α + cos²α = 1 + 2 sin α cos α — по формуле квадрата суммы и тождеству.
3) sin⁴α − cos⁴α = (sin²α − cos²α)(sin²α + cos²α), второй множитель равен 1. 4) Следствие с прошлого слайда, умноженное на cos²α.
Как доказывают тождество: преобразуют одну часть, пока не получится другая (или обе части к одному выражению); указывают, при каких α выражения имеют смысл.

R01.2

Образец → сам · доказательство тождества

Упростите и докажите

Образец: докажите тождество

sin^{4} α - cos^{4} α = 2 sin^{2} α - 1

Левая $= (sin^{2} α - cos^{2} α) \cdot 1$ разность квадратов

$= sin^{2} α - (1 - sin^{2} α)$ $cos^{2} α = 1 - sin^{2} α$

$= 2 s i n^{2} α - 1$ — равна правой части ✓

Преобразуем одну часть, пока не получится другая.

Сам

Упростите: $(1 - sin α) (1 + sin α) + sin^{2} α$ $1$
Упростите: $cos^{2} α \cdot tg^{2} α + cos^{2} α$ , $α \neq = 9 0^{\circ}$ $1$
Докажите: $(sin α + cos α)^{2} +$ $+ (sin α - cos α)^{2} = 2$ слагаемые $\pm 2 sin α cos α$ сокращаются

R01.2

Образец → сам · комбинированная задача

Известна сумма $sin α + cos α$

Образец: $sin α + cos α = \frac{1}{5}$ .
Найдите $sin α$ , $cos α$ , $tg α$ .

$1 + 2 sin α cos α = \frac{1}{25}$ квадрат суммы

$sin α cos α = - \frac{12}{25} < 0$ $sin α > 0$ ⇒ $cos α < 0$

$(sin α - cos α)^{2} = \frac{49}{25}$ , $sin α - cos α = \frac{7}{5}$ $> 0$

$sin α = \frac{4}{5}$ , $cos α = - \frac{3}{5}$ , $tg α = - \frac{4}{3}$

Сам

$sin α + cos α = \frac{7}{5}$ . Найдите $sin α cos α$ . Угол острый или тупой? $\frac{12}{25}$ ; острый
$sin α cos α = - 0, 48$ . Найдите $sin α - cos α$ . $1, 4$
Может ли $sin α + cos α = 1, 5$ ? нет: $(sin α + cos α)^{2} \leq 2$

2,5 мин · практика
Образец: (1/5)² = 1/25 = 1 + 2 sin α cos α ⇒ sin α cos α = −12/25. Произведение отрицательно, sin α > 0 (при 0° и 180° сумма была бы ±1) ⇒ cos α < 0. (sin α − cos α)² = 1 − 2(−12/25) = 49/25; sin α − cos α > 0 ⇒ 7/5. Складываем и вычитаем: sin α = (1/5 + 7/5) : 2 = 4/5, cos α = (1/5 − 7/5) : 2 = −3/5; tg α = −4/3. Проверка: 4/5 − 3/5 = 1/5 ✓.
1) 49/25 = 1 + 2 sin α cos α ⇒ sin α cos α = 12/25 > 0 ⇒ cos α > 0 ⇒ угол острый. (Сами значения: 3/5 и 4/5 в любом порядке — два угла.)
2) (sin α − cos α)² = 1 + 0,96 = 1,96; sin α > 0, cos α < 0 ⇒ разность положительна: 1,4.
3) (sin α − cos α)² ≥ 0 ⇒ 2 sin α cos α ≤ sin²α + cos²α = 1 ⇒ (sin α + cos α)² = 1 + 2 sin α cos α ≤ 2 < 2,25 = 1,5². Нет. (Наибольшее значение суммы √2 — при 45°.)

R01.2

Сводка · формулы урока

Тождество и следствия — когда верны

Формула	Условие
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$	любой угол $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$
$tg α = \frac{sin α}{cos α}$ , $1 + tg^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$	$α \neq = 9 0^{\circ}$
$sin α = 1 - cos^{2} α$	всегда, $sin α \geq 0$
$cos α = \pm 1 - sin^{2} α$	«+» — острый, «−» — тупой
$0 \leq sin α \leq 1$ , $- 1 \leq cos α \leq 1$	следует из тождества

R01.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$sin α = \frac{3}{5} \Rightarrow cos α = \frac{4}{5}$	угол может быть тупым	$cos α = \pm \frac{4}{5}$
$cos α = - 0, 6 \Rightarrow$ $sin α = - 0, 8$	на полуокружности $sin α \geq 0$	$sin α = 0, 8$
$1 + tg^{2} α = \frac{1}{sin ^{2} α}$	делили тождество на $cos^{2} α$	$1 + tg^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$
$(sin α + cos α)^{2} = 1$	потеряно удвоенное произведение	$1 + 2 sin α cos α$

R01.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $tg α = - \frac{3}{4}$ . Найдите $cos α$ .

$\frac{1}{cos ^{2} α} = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$

$cos α = \frac{4}{5}$

$tg α < 0$ ⇒ угол тупой: $cos α = - \frac{4}{5}$

б) $sin α = \frac{1}{3}$ , $α$ острый. Найдите $cos α$ .

$cos^{2} α = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$cos α = \frac{2}{3}$

не возвели в квадрат: $cos^{2} α = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ , $cos α = \frac{2 2}{3}$

в) Докажите: $\frac{1 - cos ^{2} α}{sin α} = sin α$
при $0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$

$1 - cos^{2} α = (1 - cos α)^{2}$

не сокращается — тождество неверно

$1 - cos^{2} α = sin^{2} α$ ; $\frac{sin ^{2} α}{sin α} = sin α$ ✓

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Первая строка верна (cos²α = 16/25), ошибка — знак: тангенс отрицателен только у тупого угла. Ответ −4/5.
б) Ошибка в первой строке: вычли sin α, а не sin²α. cos²α = 8/9, угол острый ⇒ cos α = √8/3 = 2√2/3. Ответ ученика √(2/3) ≈ 0,82 — проверка: 1/9 + 2/3 ≠ 1.
в) Ошибка в первой строке: 1 − cos²α — разность квадратов, (1 − cos α)(1 + cos α), а не квадрат разности. Вывод «тождество неверно» тоже ложный. Верно: 1 − cos²α = sin²α, а sin α ≠ 0 при 0° < α < 180°, поэтому можно сократить.

R01.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $cos α = 0, 6$ . Найдите $sin α$ . $0, 8$
база $sin α = 0, 8$ , $α$ тупой. Найдите $cos α$ . $- 0, 6$
база $tg α = 2$ . Найдите $cos^{2} α$ . $0, 2$
базаВычислите $sin^{2} 3 7^{\circ} + cos^{2} 3 7^{\circ}$ . $1$
базаУпростите $\frac{1 - sin ^{2} α}{cos ^{2} α}$ , $α \neq = 9 0^{\circ}$ . $1$
базаМожет ли быть $sin α = cos α = 0, 6$ ? нет: $0, 72 \neq = 1$

R01.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $cos α = - \frac{7}{4}$ . Найдите $sin α$ и $tg α$ . $\frac{3}{4}$ и $- \frac{3 7}{7}$
повыш.Упростите $sin^{2} α + sin^{2} α \cdot tg^{2} α$ , $α \neq = 9 0^{\circ}$ . $tg^{2} α$
повыш. $tg α = - 2$ . Найдите $sin α$ . $\frac{6}{3}$
из жизниЛестница длиной $5$ м приставлена к стене, косинус угла между лестницей и землёй $0, 28$ . На какой высоте её верхний конец? $4, 8$ м

R01.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 18 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $9 0^{\circ}$ , $A B = 25$ , $cos A = 0, 28$ . Найдите $BC$ . $24$

ОГЭ 19Какие утверждения верны?

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ для любого угла от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ .
Если $sin α = 0, 6$ , то $cos α = 0, 8$ .
Косинус тупого угла отрицателен.

Ответ: 13

ОГЭ 18Найдите косинус угла $A OB$ , изображённого на клетчатой бумаге.

Ответ: $- 0, 8$

R01.2

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$sin α = 0, 6$ , $α$ тупой. $cos α$ , $tg α$ ? $- 0, 8$ ; $- 0, 75$
$tg α = 2, 4$ . $cos α$ , $sin α$ ? $\frac{5}{13}$ ; $\frac{12}{13}$
Упростите: $cos^{2} α - (1 - 2 sin^{2} α)$ $sin^{2} α$
$sin α + cos α = 1, 2$ . Найдите $sin α cos α$ . $0, 22$

Вариант 2

$sin α = 0, 8$ , $α$ тупой. $cos α$ , $tg α$ ? $- 0, 6$ ; $- \frac{4}{3}$
$tg α = - 2, 4$ . $cos α$ , $sin α$ ? $- \frac{5}{13}$ ; $\frac{12}{13}$
Упростите: $sin^{2} α - (1 - 2 cos^{2} α)$ $cos^{2} α$
$sin α + cos α = 0, 6$ . Найдите $sin α cos α$ . $- 0, 32$

5 мин · практика
Вариант 1: 1) cos²α = 0,64, тупой ⇒ −0,8; tg α = 0,6 : (−0,8) = −0,75. 2) 1/cos²α = 1 + 5,76 = 6,76 ⇒ cos α = 5/13 (tg > 0); sin α = 2,4 · 5/13 = 12/13. 3) cos²α − 1 + 2 sin²α = −sin²α + 2 sin²α = sin²α. 4) 1,44 = 1 + 2 sin α cos α ⇒ 0,22.
Вариант 2: 1) cos α = −0,6, tg α = 0,8 : (−0,6) = −4/3. 2) cos α = −5/13 (tg < 0), sin α = −2,4 · (−5/13) = 12/13. 3) sin²α − 1 + 2 cos²α = −cos²α + 2 cos²α = cos²α. 4) 0,36 = 1 + 2 sin α cos α ⇒ −0,32.
Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3». Без обоснования знака в заданиях 1–2 — полбалла. Взаимопроверка по ответам (по щелчку).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ ?
Когда перед корнем ставим «−»?
Как найти $cos α$ , зная $tg α$ ?

Домашнее задание

$sin α = \frac{5}{13}$ , $α$ тупой: $cos α$ , $tg α$ .
$tg α = - \frac{8}{15}$ : $cos α$ , $sin α$ .
* $sin α - cos α = \frac{17}{13}$ : $sin α$ , $cos α$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_reshenie-treugolnikov.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) cos α = −12/13, tg α = −5/12. 2) 1/cos²α = 1 + 64/225 = 289/225, tg < 0 ⇒ cos α = −15/17, sin α = (−8/15)(−15/17) = 8/17. 3) 1 − 2 sin α cos α = 289/169 ⇒ sin α cos α = −60/169; (sin α + cos α)² = 1 − 120/169 = 49/169 ⇒ sin α + cos α = ±7/13 ⇒ два ответа: sin α = 12/13, cos α = −5/13 или sin α = 5/13, cos α = −12/13 (оба угла тупые, sin α > 0).
Следующий урок — формулы приведения (GEOM9U-003): докажем, что sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α — это объясняет «две точки с одинаковым синусом» со слайда-схемы.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-002 · Основное тригонометрическое тождество

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Решение треугольников», 22 ч · урок 2/22 · тип Н
Единицы → слайды	R01.2 «Основное тригонометрическое тождество» → 2, 4–21 · повторение R01.1 (GEOM9U-001) → 3, 4
Результаты	ПР-2 (основное тригонометрическое тождество для нахождения соотношений между тригонометрическими величинами) → 4–21; ПР-1 (прямоугольный треугольник) → 18, 19
Вне урока	формулы приведения — GEOM9U-003 (на сл. 8 только наблюдение по чертежу); теоремы косинусов и синусов — GEOM9U-005; котангенс — только в заметках сл. 7
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Основное тригонометрическое тождество

Сегодня вы научитесь

Доказывать тождество

Выводить следствия

Находить остальные функции

Преобразовывать выражения

Квадраты, корни и значения функций

Синус и косинус — координаты точки M

sin2α+cos2α=1 для любого α от 0∘ до 180∘

Найдите синус и косинус угла AOB

Образец: найдите sin∠AOB, cos∠AOB, tg∠AOB.

Сам: O(0;0), луч OB — по оси Ox

Что ещё следует из тождества

Синус через косинус

Косинус через синус

Откуда берётся знак

Найдите косинус и тангенс

Образец: sinα=1715​, α тупой. cosα, tgα — ?

Сам

Найдите косинус и синус

Образец: tgα=−2. Найдите cosα и sinα.

Сам

Четыре приёма для упрощения выражений

1. Единица — это sin2α+cos2α

2. Квадрат суммы и разности

3. Разность квадратов

4. Через тангенс (α=90∘)

Упростите и докажите

Образец: докажите тождество

Сам

Известна сумма sinα+cosα

Образец: sinα+cosα=51​.Найдите sinα, cosα, tgα.

Сам

Тождество и следствия — когда верны

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) tgα=−43​. Найдите cosα.

б) sinα=31​, α острый. Найдите cosα.

в) Докажите: sinα1−cos2α​=sinα при 0∘<α<180∘

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-002 · Основное тригонометрическое тождество

Синус и косинус — координаты точки $M$

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ для любого $α$ от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$

Найдите синус и косинус угла $A OB$

Образец: найдите $sin ∠ A OB$ , $cos ∠ A OB$ , $tg ∠ A OB$ .

Сам: $O (0; 0)$ , луч $OB$ — по оси $O x$

Образец: $sin α = \frac{15}{17}$ , $α$ тупой. $cos α$ , $tg α$ — ?

Образец: $tg α = - 2$ . Найдите $cos α$ и $sin α$ .

1. Единица — это $sin^{2} α + cos^{2} α$

4. Через тангенс ( $α \neq = 9 0^{\circ}$ )

Известна сумма $sin α + cos α$

Образец: $sin α + cos α = \frac{1}{5}$ .
Найдите $sin α$ , $cos α$ , $tg α$ .

а) $tg α = - \frac{3}{4}$ . Найдите $cos α$ .

б) $sin α = \frac{1}{3}$ , $α$ острый. Найдите $cos α$ .

в) Докажите: $\frac{1 - cos ^{2} α}{sin α} = sin α$
при $0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$