Решение треугольников · урок 1 из 22

Синус, косинус и тангенс углов от 0° до 180°

Геометрия · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9U-001

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Решение треугольников» (22 ч), урок 1/22, единица R01.1. Тип урока — Н.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 2 · независимость от радиуса 2 · особые углы и знаки 2 · изменение значений 1,5 · таблица 2 · координаты точки 1,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 3 + 3 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1,5.
Основное тождество — тема урока 2 (GEOM9U-002), формулы приведения — урока 3: здесь только наблюдения по чертежу и таблице.
Если не успеваете: третье задание образцов 4 и 5 — в ДЗ; определение и доказательство (сл. 4–5) не сокращать.

R01.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Определять и обосновывать

$sin α$ , $cos α$ , $tg α$ для $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ — и доказывать, что они не зависят от радиуса (ПР-1)

Находить значения и знаки

для $0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $18 0^{\circ}$ и тупых углов; сравнивать значения без калькулятора

Находить угол по значению

помнить: одному синусу — два угла $α$ и $18 0^{\circ} - α$ , косинусу — один (ПР-2)

Применять в задачах

координаты точки $(r cos α; r sin α)$ , высота при тупом угле, клетчатая бумага, ОГЭ

0,5 мин · теория
ПР-1: «Знать тригонометрические функции острых углов, уметь находить с их помощью различные элементы прямоугольного треугольника… Находить (с помощью калькулятора) длины и углы для нетабличных значений».
ПР-2: «Пользоваться формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством для нахождения соотношений между тригонометрическими величинами» — сегодня пропедевтика: связь значений углов α и 180° − α замечаем по чертежу.
Вид деятельности ФРП R01: «Формулировать определения тригонометрических функций тупых и прямых углов. Составлять таблицу значений… для основных углов от 0 до 180».

повторение: 8 класс

Разминка · устно

Синус, косинус и тангенс острого угла

$sin A$ , $cos A$ $\frac{5}{13}$ и $\frac{12}{13}$
$tg A$ , $tg B$ $\frac{5}{12}$ и $\frac{12}{5}$
Почему $sin B = cos A$ ? оба равны $\frac{A C}{A B}$
$sin 3 0^{\circ}$ , $cos 3 0^{\circ}$ , $tg 3 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$ , $\frac{3}{2}$ , $\frac{3}{3}$
$sin 4 5^{\circ}$ , $tg 4 5^{\circ}$ , $cos 6 0^{\circ}$ $\frac{2}{2}$ , $1$ , $\frac{1}{2}$
А $cos 15 0^{\circ}$ ? по определению 8 класса — нельзя

R01.1

Определение

Синус, косинус, тангенс на единичной полуокружности

Полуокружность радиуса

1

, центр

O

. Луч

OM

образует с лучом

O A

угол

α

,

0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}

.

sin α = y

ордината

M

cos α = x

абсцисса

M

tg α = \frac{sin α}{cos α}

при

α \neq = 9 0^{\circ}

2 мин · теория
Единичная полуокружность: центр в начале координат, радиус 1, верхняя полуплоскость; A(1; 0). Угол α отсчитываем от луча OA против часовой стрелки.
Определение: синус угла α — ордината y точки M, косинус — абсцисса x, тангенс — отношение sin α : cos α (при α ≠ 90°). На чертеже α = 140°: x < 0, поэтому розовый отрезок y — длина, а бирюзовый отрезок на оси — это |x|.
Вопрос: каждому ли углу от 0° до 180° соответствует ровно одна точка M? (Да — поэтому определение корректно.) И наоборот, каждой точке — один угол.
Ошибка: отсчитывать угол от оси Oy или по часовой стрелке.

R01.1

Теорема · доказательство

Значения не зависят от радиуса полуокружности

Дано: полуокружность радиуса

R

,

M (x; y)

на ней,

∠ MO x = α

.
Доказать:

sin α = \frac{y}{R}

,

cos α = \frac{x}{R}

.

1

M_{1} (cos α; sin α)

на луче

OM

,

O M_{1} = 1

определение (единичная полуокружность)

2

△ O H_{1} M_{1} \sim △ O H M

,

k = \frac{OM}{O M _{1}} = R

общий угол при

O

, прямые углы при

H_{1}

и

H

3

y = R sin α

,

∣ x ∣ = R ∣ cos α ∣

M

и

M_{1}

по одну сторону от

O y

— знаки

x

и

cos α

одинаковы

4

sin α = \frac{y}{R}

,

cos α = \frac{x}{R}

,

tg α = \frac{y}{x}

для острого

α

это отношения сторон

△ O H M

— как в 8 классе

2 мин · теория
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». На чертеже α = 130°: угол при O в треугольниках — смежный с α (50°), он общий для △OH₁M₁ и △OHM.
Случаи α = 0°, 90°, 180° (треугольника нет) проверяются сразу: M(R; 0), M(0; R), M(−R; 0).
Два вывода: 1) определение корректно — можно брать полуокружность любого радиуса (удобно на клетчатой бумаге); 2) для острого угла получаем прежние отношения «катет : гипотенуза» — новое определение продолжает старое.
Попутно доказано: точка M на расстоянии R от O под углом α имеет координаты (R cos α; R sin α) — это сл. 12.

R01.1

Свойство · особые углы и знаки

Углы $0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $18 0^{\circ}$ ; острые и тупые

$α$	$sin α$	$cos α$	$tg α$
$0^{\circ}$	$0$	$1$	$0$
острый	$+$	$+$	$+$
$9 0^{\circ}$	$1$	$0$	не сущ.
тупой	$+$	$-$	$-$
$18 0^{\circ}$	$0$	$- 1$	$0$

0 \leq sin α \leq 1, - 1 \leq cos α \leq 1

2 мин · теория
Значения для 0°, 90°, 180° читаем с координат точек (1; 0), (0; 1), (−1; 0). tg 90° не существует: cos 90° = 0.
Синус — ордината точки верхней полуокружности ⇒ sin α ≥ 0 всегда (0 только при 0° и 180°). Косинус: правее Oy — «+» (острый), левее — «−» (тупой). Тангенс — знак как у косинуса.
Следствие (используем в задачах): по знаку косинуса (или тангенса) узнаём, острый угол или тупой; по синусу — нельзя.
Вопрос: какое наибольшее значение у sin α? (1 при α = 90°.) Наименьшее у cos α? (−1 при 180°.)

R01.1

Свойство · как меняются значения

Угол растёт от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ — что с синусом и косинусом?

Косинус убывает от

1

до

- 1

: точка

M

идёт влево, абсцисса уменьшается.

Синус растёт от

0

до

1

на

[0^{\circ}; 9 0^{\circ}]

, затем убывает до

0

.

M

и

M^{'}

симметричны относительно

O y

:

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α

,

cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α

.

1,5 мин · теория
Показать указкой движение точки M по полуокружности против часовой стрелки: абсцисса всё время уменьшается — значит, больший угол ⇔ меньший косинус. Поэтому по косинусу угол восстанавливается однозначно.
Ордината растёт до вершины (90°) и затем убывает: два разных угла α и 180° − α имеют один синус. Это причина «двух ответов» в обратных задачах.
Симметрия M и M′ — наблюдение; строгое доказательство формул приведения — урок 3 (GEOM9U-003). Сегодня пользуемся им для сравнения и при чтении таблицы.

R01.1

Образец → сам · значения по чертежу

Найдите синус, косинус и тангенс тупого угла

Образец: найдите $sin 15 0^{\circ}$ , $cos 15 0^{\circ}$ , $tg 15 0^{\circ}$ .

$∠ MO H = 18 0^{\circ} - 15 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ смежные углы

$M H = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $O H = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ⇒ $M (- \frac{3}{2}; \frac{1}{2})$

$sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos 15 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ , $tg 15 0^{\circ} = - \frac{3}{3}$

Сам: постройте точку $M$

$sin 12 0^{\circ}$ , $cos 12 0^{\circ}$ , $tg 12 0^{\circ}$ $\frac{3}{2}$ ; $- \frac{1}{2}$ ; $- 3$
$sin 13 5^{\circ}$ , $cos 13 5^{\circ}$ , $tg 13 5^{\circ}$ $\frac{2}{2}$ ; $- \frac{2}{2}$ ; $- 1$
$2 sin 15 0^{\circ} + cos 18 0^{\circ} - tg 13 5^{\circ}$ $1 - 1 + 1 = 1$

R01.1

Сводка · таблица значений

Значения для «табличных» углов

$α$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$sin$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$cos$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{2}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$
$tg$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	—	$- 3$	$- 1$	$- \frac{3}{3}$	$0$

Одно значение синуса

s

,

0 < s < 1

— два угла:

α

и

18 0^{\circ} - α

.

Одно значение косинуса или тангенса — один угол: знак сразу говорит, острый он или тупой.

R01.1

Образец → сам · обратная задача

Найдите угол $α$ $(0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ})$ по значению

Образец: $sin α = \frac{3}{2}$ . Найдите $α$ .

Прямая $y = \frac{3}{2}$ — две точки на полуокружности

$α_{1} = 6 0^{\circ}$ таблица, $α_{2} = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ симметрия

Ответ: $6 0^{\circ}$ или $12 0^{\circ}$

Сам

$cos α = - \frac{2}{2}$ $13 5^{\circ}$ — один угол
$sin α = \frac{1}{2}$ $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$
$tg α = - 3$ $12 0^{\circ}$
$sin α = 1$ ; $cos α = - 1$ $9 0^{\circ}$ ; $18 0^{\circ}$

R01.1

Следствие · координаты точки

Точка на расстоянии $r$ от $O$ под углом $α$ к оси $O x$

x = r cos α

,

y = r sin α

Обратно:

r = x^{2} + y^{2}

,

cos α = \frac{x}{r}

,

sin α = \frac{y}{r}

,

tg α = \frac{y}{x}

.

Угол между лучами

O A

и

OB

на клетчатой бумаге: направьте

OB

по оси

O x

.

R01.1

Образец → сам · координаты точки

Найдите координаты точки — и наоборот

Образец: $O A = 8$ , угол между лучом $O A$ и осью $O x$ равен $12 0^{\circ}$ . Найдите координаты $A$ .

$x = 8 cos 12 0^{\circ} = 8 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 4$ следствие

$y = 8 sin 12 0^{\circ} = 8 \cdot \frac{3}{2} = 43$

$A (- 4; 43)$

Проверка: $16 + 48 = 8$ ✓ $r = x^{2} + y^{2}$

Сам

$O A = 10$ , угол $15 0^{\circ}$ . $A (- 53; 5)$
$A (- 3; 3)$ . Найдите $O A$ и угол луча $O A$ с осью $O x$ . $O A = 23$ , угол $15 0^{\circ}$
$△ O A B$ равносторонний, $A (- 6; 0)$ , $B$ выше оси $O x$ . Найдите $B$ . $B (- 3; 33)$

R01.1

Образец → сам · задача на доказательство

Высота к стороне: $h_{b} = A B \cdot sin A$ — при любом угле $A$

Образец: $∠ A = 12 0^{\circ}$ , $A B = 6$ , $A C = 8$ . Докажите $B H = A B sin A$ , найдите $S_{A BC}$ .

$∠ A$ тупой ⇒ $H$ на продолжении $C A$ за точку $A$

$∠ B A H = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ смежные

$B H = A B sin 6 0^{\circ} = A B sin 12 0^{\circ} = 33$ $△ A B H$

$S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B H = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 33 = 123$

Сам

$∠ A = 15 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $A C = 7$ . Высота $B H$ и $S$ ? $5$ ; $17, 5$
Стороны параллелограмма $6$ и $10$ , тупой угол $13 5^{\circ}$ . Высота к стороне $10$ ? $32$
Докажите $h_{b} = A B sin A$ для острого и прямого $∠ A$ . $△ A B H$ ; при $9 0^{\circ}$ : $H = A$ , $sin 9 0^{\circ} = 1$

3 мин · практика
План доказательства: 1) где лежит основание высоты; 2) прямоугольный треугольник ABH; 3) острый угол в нём выражаем через A; 4) заменяем sin(180° − A) на sin A (симметрия сл. 7). Итог: формула h = AB · sin A верна для острого, прямого и тупого угла A.
Образец: B(−3; 3√3) при A(0; 0), C(8; 0) — сходится со следствием сл. 11: BH = 6 sin 120° = 3√3 ≈ 5,2; S = 12√3 ≈ 20,8.
1) BH = 10 · sin 150° = 10 · 1/2 = 5; S = 1/2 · 7 · 5 = 17,5.
2) Высота к стороне 10 = 6 · sin 135° = 6 · √2/2 = 3√2 (опущена из конца стороны 6; острый угол параллелограмма 45°, ответ тот же).
3) Острый A: H на отрезке AC, в △ABH BH = AB sin A. Прямой A: H совпадает с A, BH = AB = AB · sin 90°. Заготовка к формуле S = ½ ab sin C (урок R01.7).

R01.1

Образец → сам · клетчатая бумага

Тригонометрия угла на клетчатой бумаге

Образец: найдите $cos ∠ A OB$ , $sin ∠ A OB$ , $tg ∠ A OB$ .

$O (0; 0)$ , луч $OB$ — ось $O x$ : $A (- 3; 4)$ считаем клетки

$O A = 9 + 16 = 5$ $r = x^{2} + y^{2}$

$cos = - 0, 6$ , $sin = 0, 8$ , $tg = - \frac{4}{3}$ $\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{y}{x}$

Сам: $OB$ вдоль $O x$

$A (- 1; 1)$ : $cos ∠ A OB$ и угол $- \frac{2}{2}$ ; $13 5^{\circ}$
$A (- 2; 1)$ : $tg ∠ A OB$ $- 0, 5$
$A (- 12; 5)$ : $sin ∠ A OB$ , $cos ∠ A OB$ $\frac{5}{13}$ ; $- \frac{12}{13}$

R01.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$sin 15 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$	«тупой — значит, минус»; но синус — ордината, $sin α \geq 0$	$sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
$sin α = \frac{2}{2} \Rightarrow α = 4 5^{\circ}$	прямая $y = \frac{2}{2}$ пересекает полуокружность дважды	$4 5^{\circ}$ или $13 5^{\circ}$
$cos 12 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$	точки симметричны относительно $O y$ — абсциссы противоположны	$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$
$tg 9 0^{\circ} = 0$	$cos 9 0^{\circ} = 0$ , делить на нуль нельзя	не существует

R01.1

Найди ошибку

Решение ученика: две ошибки

Задача. $O A = 4$ , луч $O A$ образует с осью $O x$ угол $13 5^{\circ}$ . Найдите координаты $A$ и $tg 13 5^{\circ}$ .

1) $cos 13 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$

2) $sin 13 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$

3) $x = 4 \cdot \frac{2}{2} = 22$ , $y = 22$

4) $tg 13 5^{\circ} = tg 4 5^{\circ} = 1$ . Ответ: $A (22; 22)$ , $1$ .

Шаг 1:

13 5^{\circ}

— тупой,

cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}

⇒

x = - 22

.

Шаг 4:

tg 13 5^{\circ} = \frac{sin}{cos} = - 1

.

Верно:

A (- 22; 22)

,

tg 13 5^{\circ} = - 1

. Шаг 2 — верный.

R01.1

Задания с самопроверкой · база

Вычислите, сравните, найдите угол

Б $2 sin 15 0^{\circ} + cos 18 0^{\circ}$ $0$
Б $cos 13 5^{\circ} \cdot tg 12 0^{\circ}$ $\frac{6}{2}$
Б $sin^{2} 12 0^{\circ} + cos^{2} 15 0^{\circ}$ $\frac{3}{2}$

БСравните $cos 10 0^{\circ}$ и $cos 14 0^{\circ}$ $cos 10 0^{\circ} > cos 14 0^{\circ}$
БСравните $sin 7 0^{\circ}$ и $sin 12 0^{\circ}$ $sin 7 0^{\circ} > sin 12 0^{\circ}$
Б $cos α = - \frac{3}{2}$ . Найдите $α$ . $15 0^{\circ}$

R01.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Уравнения, оценки, полуокружность радиуса $R$

ПРешите при $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ : $2 sin α - 1 = 0$ . $3 0^{\circ}$ ; $15 0^{\circ}$
ПРешите: $3 tg α + 1 = 0$ . $15 0^{\circ}$
ПНайдите наибольшее и наименьшее значения $3 - 2 cos α$ . $5$ при $18 0^{\circ}$ ; $1$ при $0^{\circ}$
ППри каких $α$ верно $sin α \cdot cos α < 0$ ? $9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$
ПСравните $tg 10 0^{\circ}$ и $tg 17 0^{\circ}$ . $tg 10 0^{\circ} < tg 17 0^{\circ}$
П $M (- 5; y)$ на полуокружности радиуса $13$ с центром $O$ . Найдите $sin$ , $cos$ , $tg$ угла $MO x$ . $\frac{12}{13}$ ; $- \frac{5}{13}$ ; $- \frac{12}{5}$

2,5 мин · практика
1) sin α = 1/2 ⇒ α = 30° или 150°.
2) tg α = −1/√3 = −√3/3 ⇒ α тупой, tg 30° = √3/3 ⇒ α = 150°.
3) −1 ≤ cos α ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 3 − 2 cos α ≤ 5. Наибольшее 5 при cos α = −1 (α = 180°), наименьшее 1 при cos α = 1 (α = 0°).
4) sin α > 0 при 0° < α < 180°, произведение отрицательно ⇔ cos α < 0 ⇔ α тупой. При 0°, 90°, 180° произведение равно 0.
5) tg 100° = −tg 80° ≈ −5,67, tg 170° = −tg 10° ≈ −0,18 ⇒ tg 100° < tg 170°: на (90°; 180°] тангенс возрастает (отрицателен и стремится к 0).
6) y ≥ 0, y² = 169 − 25 = 144 ⇒ y = 12. По теореме сл. 5: sin = 12/13, cos = −5/13, tg = 12 : (−5) = −12/5.

R01.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 18 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ угол $A$ равен $15 0^{\circ}$ , $A B = 8$ , $A C = 5$ . Найдите площадь треугольника. $10$

ОГЭ 19Какие утверждения верны?

Косинус тупого угла отрицателен.
Синус угла $18 0^{\circ}$ равен $1$ .
Если $sin α = sin β$ , то $α = β$ .
Тангенс тупого угла отрицателен.

Ответ: 14

ОГЭ 18Найдите тангенс угла $A OB$ , изображённого на клетчатой бумаге.

Ответ: $- 0, 5$

R01.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$sin 15 0^{\circ} + cos 12 0^{\circ} + tg 13 5^{\circ}$ $- 1$
$cos α = - \frac{1}{2}$ . Найдите $α$ . $12 0^{\circ}$
$O A = 6$ , угол с осью $O x$ — $13 5^{\circ}$ . Координаты $A$ ? $(- 32; 32)$
$∠ A = 15 0^{\circ}$ , $A B = 4$ , $A C = 6$ . Найдите $S_{A BC}$ . $6$

Вариант 2

$sin 12 0^{\circ} - cos 15 0^{\circ} + tg 18 0^{\circ}$ $3$
$sin α = \frac{3}{2}$ . Найдите $α$ . $6 0^{\circ}$ или $12 0^{\circ}$
$O A = 10$ , угол с осью $O x$ — $15 0^{\circ}$ . Координаты $A$ ? $(- 53; 5)$
$∠ A = 13 5^{\circ}$ , $A B = 6$ , $A C = 5$ . Найдите $S_{A BC}$ . $7, 52$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое $sin α$ и $cos α$ на полуокружности радиуса $R$ ?
Почему у уравнения $sin α = \frac{1}{2}$ два ответа, а у $cos α = - \frac{1}{2}$ — один?
Какие функции тупого угла отрицательны?

Домашнее задание

Таблица значений $0^{\circ}$ – $18 0^{\circ}$ — наизусть.
Решите: $2 cos α + 2 = 0$ ; $sin α = \frac{2}{2}$ .
$A (- 8; 6)$ : $sin$ , $cos$ , $tg$ угла луча $O A$ с $O x$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_adv_reshenie-treugolnikov.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9U-001 · Синус, косинус, тангенс углов от 0° до 180°

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Решение треугольников», 22 ч · урок 1/22 · тип Н
Единицы → слайды	R01.1 «Синус, косинус, тангенс углов от 0 до 180» → 2, 4–21 · повторение 8 класса (тригонометрия острого угла) → 3
Результаты	ПР-1 (тригонометрические функции, значения, калькулятор) → 4–6, 8–14, 17–20 · ПР-2 (соотношения между значениями; пропедевтика формул приведения) → 7, 9, 10, 13, 17
Вне урока	основное тригонометрическое тождество — GEOM9U-002; формулы приведения (доказательство) — GEOM9U-003; решение треугольников — GEOM9U-004; S = ½ab sin C — R01.7 (здесь только высота h = AB · sin A, сл. 13)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Синус, косинус и тангенс углов от 0° до 180°

Сегодня вы научитесь

Определять и обосновывать

Находить значения и знаки

Находить угол по значению

Применять в задачах

Синус, косинус и тангенс острого угла

Синус, косинус, тангенс на единичной полуокружности

Значения не зависят от радиуса полуокружности

Углы 0∘, 90∘, 180∘; острые и тупые

Угол растёт от 0∘ до 180∘ — что с синусом и косинусом?

Найдите синус, косинус и тангенс тупого угла

Образец: найдите sin150∘, cos150∘, tg150∘.

Сам: постройте точку M

Значения для «табличных» углов

Найдите угол α (0∘≤α≤180∘) по значению

Образец: sinα=23​​. Найдите α.

Сам

Точка на расстоянии r от O под углом α к оси Ox

Найдите координаты точки — и наоборот

Образец: OA=8, угол между лучом OA и осью Ox равен 120∘. Найдите координаты A.

Сам

Высота к стороне: hb​=AB⋅sinA — при любом угле A

Образец: ∠A=120∘, AB=6, AC=8. Докажите BH=ABsinA, найдите SABC​.

Сам

Тригонометрия угла на клетчатой бумаге

Образец: найдите cos∠AOB, sin∠AOB, tg∠AOB.

Сам: OB вдоль Ox

Неверно → почему → верно

Решение ученика: две ошибки

Вычислите, сравните, найдите угол

Уравнения, оценки, полуокружность радиуса R

Ответ — число или номера утверждений

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9U-001 · Синус, косинус, тангенс углов от 0° до 180°

Углы $0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $18 0^{\circ}$ ; острые и тупые

Угол растёт от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ — что с синусом и косинусом?

Образец: найдите $sin 15 0^{\circ}$ , $cos 15 0^{\circ}$ , $tg 15 0^{\circ}$ .

Сам: постройте точку $M$

Найдите угол $α$ $(0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ})$ по значению

Образец: $sin α = \frac{3}{2}$ . Найдите $α$ .

Точка на расстоянии $r$ от $O$ под углом $α$ к оси $O x$

Образец: $O A = 8$ , угол между лучом $O A$ и осью $O x$ равен $12 0^{\circ}$ . Найдите координаты $A$ .

Высота к стороне: $h_{b} = A B \cdot sin A$ — при любом угле $A$

Образец: $∠ A = 12 0^{\circ}$ , $A B = 6$ , $A C = 8$ . Докажите $B H = A B sin A$ , найдите $S_{A BC}$ .

Образец: найдите $cos ∠ A OB$ , $sin ∠ A OB$ , $tg ∠ A OB$ .

Сам: $OB$ вдоль $O x$

Уравнения, оценки, полуокружность радиуса $R$