Итоговое повторение · урок 7 из 7 · обобщение

Итоговое повторение курса геометрии: выбор метода

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R07 · GEOM9-068

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (7 ч), урок 7/7 — последний урок курса геометрии 7–9. Тип — О (обобщение и систематизация): теория — только сводками, остальное — практика. Акцент урока — R07.1: «выбирать метод для решения задачи» и связи между частями курса.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 карта методов 2,5 · 5 сводка «треугольник» 2,5 · 7 сводка «окружность и четырёхугольники» 2,5 · 10 сводка «координаты и векторы» 2,5.
Практика (33): 3 разминка 2 · 6, 8, 9, 11, 12, 13 шесть «Образец → сам» по 2,5 · 14 ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 2,5 · 17 повышенный 2,5 · 18 ОГЭ 2,5 · 19 самостоятельная 4 · 20 итог 1.
Если не успеваете: задание 3 «сам» на сл. 12 и 13 — в ДЗ; самостоятельную (сл. 19) не сокращать — это итоговая проверка по курсу.
Изображение на титуле: треугольник, вписанный в окружность, на координатной сетке и вектор — четыре линии курса в одном рисунке.

R07.1 · R07.13 · R07.7 · R07.22 · R07.23

Цели урока

Сегодня вы соберёте весь курс в одну систему

Выбирать метод решения

по тому, что дано: теоремы, подобие, площади, координаты (ПР-10)

Решать треугольники

теоремы синусов и косинусов, тригонометрия, формулы площади (ПР-1, ПР-3)

Работать с окружностью

углы в окружности, касательная, хорды, вписанные четырёхугольники (ПР-5, ПР-8)

Применять координаты и векторы

длины, середины, углы, доказательство вычислением (ПР-6, ПР-7)

1 мин · теория
ПР-1: решение прямоугольных треугольников; ПР-3: теоремы синусов и косинусов; ПР-5: хорды, секущие, касательная; ПР-6: векторы и скалярное произведение; ПР-7: метод координат; ПР-8: правильные многоугольники, длина окружности, площадь круга; ПР-10: математические модели задач реальной жизни.
Вид деятельности строки R07: «Решать задачи на повторение основных понятий, иллюстрацию связей между различными частями курса. Выбирать метод для решения задачи. Решать задачи из повседневной жизни».

R07.4 · R07.7 · R07.12 · R07.22

Разминка · устно

Восемь вопросов по всему курсу

Сумма углов выпуклого шестиугольника? $72 0^{\circ}$
Катеты $6$ и $8$ . Гипотенуза? $10$
Вписанный угол опирается на дугу $10 0^{\circ}$ . Угол? $5 0^{\circ}$
$sin 3 0^{\circ} = ?$ $cos 6 0^{\circ} = ?$ $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$

Площадь круга радиуса $3$ ? $9 π$
Расстояние от $O (0; 0)$ до $P (3; 4)$ ? $5$
$a (2; 3) + b (1; - 1) = ?$ $(3; 2)$
Подобие с $k = 3$ . Во сколько раз больше площадь? в $9$ раз

R07.1 · R07.12 · R07.13 · R07.17 · R07.22

Сводка · карта методов

Что дано — тем и решаем

Что дано в задаче	Метод
прямоугольный треугольник: две стороны или сторона и острый угол	теорема Пифагора, $sin$ , $cos$ , $tg$
две стороны и угол между ними; три стороны	теорема косинусов
сторона и противолежащий угол (и ещё угол или сторона)	теорема синусов
параллельные прямые, общий угол, отношения отрезков	подобие: $k$ , площади — $k^{2}$
углы, хорды, касательные к окружности	вписанный угол, касательная $⊥$ радиусу, произведения отрезков
точки заданы координатами	метод координат, векторы

2,5 мин · теория
Работа с таблицей: сначала закрыть правый столбец и спросить класс, каким методом решать в каждом случае; затем открыть. Подчеркнуть: метод выбирают по данным задачи, а не по теме урока, на котором её решали.
Для площадей — отдельная «развилка»: высота известна → $S = \frac{1}{2} ah$ ; две стороны и угол → $S = \frac{1}{2} ab sin C$ ; координаты вершин → достроить до прямоугольника или найти основание и высоту.
Вопрос: если в задаче есть и окружность, и координаты? (выбираем то, что короче: уравнение окружности или свойства углов; см. сл. 12 — одна задача двумя методами).

R07.4 · R07.12 · R07.13 · R07.20

Сводка · треугольник

Три теоремы и три формулы площади

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos C

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

S = \frac{1}{2} c h_{c} = \frac{1}{2} a b sin C = p r

2,5 мин · теория
Чертёж: стороны раскрашены так же, как в формулах: $a = BC$ (бирюзовая) — против $∠ A$ , $b = A C$ (фиолетовая) — против $∠ B$ , $c = A B$ (розовая) — против $∠ C$ (оранжевая дуга); $h_{c}$ — высота к стороне $c$ .
Теорема косинусов при $C = 9 0^{\circ}$ превращается в теорему Пифагора ( $cos 9 0^{\circ} = 0$ ). Если $cos C < 0$ (угол тупой), то $c^{2} > a^{2} + b^{2}$ — так определяют вид треугольника по сторонам.
$R$ — радиус описанной окружности, $r$ — вписанной, $p$ — полупериметр. Табличные значения: $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , $sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ}$ ; нетабличные — по калькулятору.

R07.13 · R07.20

Образец → сам · решение треугольника

Две стороны и угол между ними — теорема косинусов

Образец: в $△ A BC$ $BC = 5$ , $A C = 8$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ и площадь треугольника.

$A B^{2} = 5^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 49$ теорема косинусов, $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
$A B = 7$ длина положительна
$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{3}{2} = 103 \approx 17, 3$ $S = \frac{1}{2} ab sin C$

Сам

$BC = 3$ , $A C = 5$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $7$
Стороны треугольника $7$ , $8$ и $13$ . Найдите больший угол. $12 0^{\circ}$
$A B = 12$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите радиус описанной окружности. $12$

R07.7 · R07.9 · R07.10 · R07.11 · R07.19

Сводка · окружность и четырёхугольники

Главные факты в одном месте

вписанный угол $=$ половине центрального (дуги)
касательная $⊥$ радиусу в точке касания
хорды: $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ ; касательная и секущая: $P T^{2} = P A \cdot PB$
вписанный четырёхугольник: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ ; описанный: $a + c = b + d$

параллелограмм

$S = ah = ab sin α$

трапеция

$S = \frac{a + b}{2} h$

ромб

$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

круг

$C = 2 π R$ , $S = π R^{2}$

2,5 мин · теория
Чертёж: центральный угол $∠ A OB = 10 0^{\circ}$ (розовый) и вписанный $∠ A CB = 5 0^{\circ}$ (оранжевый) опираются на одну дугу $A B$ ; касательная в точке $T$ перпендикулярна радиусу $OT$ (бирюзовые).
Следствия: вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой; вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны; отрезки касательных из одной точки равны.
Вопрос классу: какой параллелограмм можно вписать в окружность? (только прямоугольник: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ и $∠ A = ∠ C$ ). Какой описать? (только ромб).

R07.7 · R07.9

Образец → сам · углы и касательная

Диаметр даёт прямой угол, касательная — тоже

Образец: $A B$ — диаметр, $C$ — точка окружности, $∠ B A C = 2 8^{\circ}$ . Касательная в точке $B$ пересекает прямую $A C$ в $D$ . Найдите $∠ A BC$ и $∠ A D B$ .

$∠ A CB = 9 0^{\circ}$ вписанный угол опирается на диаметр
$∠ A BC = 9 0^{\circ} - 2 8^{\circ} = 6 2^{\circ}$ сумма острых углов прямоугольного треугольника
$∠ A B D = 9 0^{\circ}$ ⇒ $∠ A D B = 6 2^{\circ}$ касательная $⊥$ радиусу $OB$ ; в $△ A B D$ сумма острых углов $9 0^{\circ}$

Сам

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ : $A E = 4$ , $EB = 6$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $8$
Из точки $P$ — касательная $PT$ и секущая: $P A = 4$ , $PB = 9$ . Найдите $PT$ . $6$
$A BC D$ вписан в окружность, $∠ A = 7 4^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $10 6^{\circ}$

R07.10 · R07.12 · R07.20

Образец → сам · четырёхугольник и площадь

Высота трапеции — через прямоугольный треугольник

Образец: основания равнобедренной трапеции $6$ и $16$ , боковая сторона $13$ . Найдите площадь.

$A H = \frac{16 - 6}{2} = 5$ высоты из $B$ и $C$ отсекают равные отрезки (трапеция равнобедренная)
$h = B H = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ теорема Пифагора в $△ A B H$
$S = \frac{6 + 16}{2} \cdot 12 = 132$ площадь трапеции

Сам

Диагонали ромба $10$ и $24$ . Найдите сторону и площадь. $13$ ; $120$
Стороны параллелограмма $6$ и $10$ , угол $3 0^{\circ}$ . Площадь? $30$
Прямоугольная трапеция: основания $4$ и $9$ , большая боковая сторона $13$ . Площадь? $78$

R07.22 · R07.23

Сводка · координаты и векторы

Шесть формул метода координат

вектор	$A B (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1})$
расстояние	$A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$
середина	$M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$
скалярное произведение	$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ$
перпендикулярность	$a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0$
окружность	$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$

2,5 мин · теория
Чертёж: $A (1; 1)$ , $B (5; 4)$ ; $A B (4; 3)$ — розовая стрелка, катеты $4$ и $3$ (бирюзовые пунктиры) — поэтому $A B = 16 + 9 = 5$ ; середина $M (3; 2, 5)$ .
Формула расстояния — это теорема Пифагора для катетов $∣ x_{2} - x_{1} ∣$ и $∣ y_{2} - y_{1} ∣$ . Угол между векторами: $cos φ = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{∣ a ∣ ∣ b ∣}$ ; если скалярное произведение отрицательно, угол тупой.
Вопрос: как проверить, что треугольник прямоугольный, по координатам вершин? (скалярное произведение векторов-сторон равно $0$ или обратная теорема Пифагора).

R07.22 · R07.4 · R07.20

Образец → сам · метод координат

Вид треугольника и площадь — вычислением

Образец: $A (1; 1)$ , $B (7; 3)$ , $C (3; 7)$ . Постройте треугольник, докажите, что он равнобедренный, и найдите его площадь.

$A B = 6^{2} + 2^{2} = 40$ , $A C = 2^{2} + 6^{2} = 40$ формула расстояния ⇒ $A B = A C$ , треугольник равнобедренный
$M (5; 5)$ , $A M = 32 = 42$ , $BC = 32 = 42$ $M$ — середина $BC$ ; медиана $A M$ — высота
$S = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 42 = 16$ $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot A M$

Сам

$A (- 2; 1)$ , $B (4; 9)$ . Длина $A B$ и середина? $10$ ; $(1; 5)$
Уравнение окружности с диаметром $A B$ из задачи 1? $(x - 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 25$
$O (0; 0)$ , $P (3; 4)$ , $Q (- 4; 3)$ . Прямоугольный ли $△ OPQ$ ? да, $∠ O = 9 0^{\circ}$

R07.1 · R07.13 · R07.23

Образец → сам · одна задача — два метода

Выберите короткий путь

Образец: $A (4; 2)$ , $B (1; 1)$ , $C (2; 3)$ . Найдите угол $B$ треугольника $A BC$ .

$A B^{2} = 10$ , $B C^{2} = 5$ , $A C^{2} = 5$ формула расстояния
I способ: $B C^{2} + A C^{2} = A B^{2}$ ⇒ $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = A C$ ⇒ $∠ B = 4 5^{\circ}$ обратная теорема Пифагора; равнобедренный прямоугольный треугольник
II способ: $cos B = \frac{3 \cdot 1 + 1 \cdot 2}{10 \cdot 5} = \frac{2}{2}$ $B A (3; 1)$ , $BC (1; 2)$ — угол между векторами

Сам: выберите метод

Угол между $a (1; 1)$ и $b (- 1; 0)$ ? $13 5^{\circ}$
$∠ A$ треугольника $A (0; 0)$ , $B (2; 0)$ , $C (1; 3)$ ? $6 0^{\circ}$
$A B = 6$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 7 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $26 \approx 4, 9$

R07.10 · R07.17 · R07.19

Образец → сам · доказательство

Равновеликие треугольники в трапеции

Образец: диагонали трапеции $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ) пересекаются в $O$ . Докажите: $S_{A OB} = S_{CO D}$ .

$S_{A B D} = S_{A C D}$ общее основание $A D$ , равные высоты — расстояние между $BC$ и $A D$
$S_{A OB} = S_{A B D} - S_{A O D}$ , $S_{CO D} = S_{A C D} - S_{A O D}$ площадь фигуры равна сумме площадей её частей
$S_{AOB} = S_{COD}$ из равных величин вычли одно и то же

Сам: план и обоснования

Для той же трапеции докажите: $△ BOC \sim △ D O A$ . накрест лежащие углы при $BC ∥ A D$ и вертикальные — I признак
Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ . Докажите: $△ A EC \sim △ D EB$ . вписанные углы на дугу $CB$ и вертикальные

2,5 мин · практика
Образец: на чертеже розовый $△ A OB$ и бирюзовый $△ CO D$ . Каждый шаг — вопрос «почему?». Шаг 1 опирается на то, что все точки прямой $BC$ одинаково удалены от $A D$ . «На рисунке видно, что они равны» — не доказательство: треугольники не равны, равны только их площади.
Сам: 1) $∠ OBC = ∠ O D A$ и $∠ OCB = ∠ O A D$ (накрест лежащие при $BC ∥ A D$ и секущих $B D$ , $A C$ ), $∠ BOC = ∠ D O A$ (вертикальные) — подобие по двум углам, $k = \frac{BC}{A D}$ . 2) $∠ C A B = ∠ C D B$ — вписанные, опираются на дугу $CB$ ; $∠ A EC = ∠ D EB$ — вертикальные; I признак. Из подобия: $\frac{A E}{D E} = \frac{EC}{EB}$ , то есть $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ — это доказательство теоремы о хордах со сл. 7.

R07.7 · R07.13 · R07.17 · R07.20

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
вписанный угол на дугу $8 0^{\circ}$ равен $8 0^{\circ}$	вписанный угол равен половине дуги	$4 0^{\circ}$
$∠ C = 12 0^{\circ}$ : $c^{2} = a^{2} + b^{2} - ab$	$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ — знак меняется	$c^{2} = a^{2} + b^{2} + ab$
площадь параллелограмма $=$ произведению сторон	нужна высота, перпендикулярная стороне	$S = ah = ab sin α$
подобие с $k = 2$ : площадь больше в $2$ раза	площади подобных фигур относятся как $k^{2}$	в $4$ раза

R07.13 · R07.22

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) В $△ A BC$ $A B = 4$ , $BC = 6$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ .

Решение ученика

$A C^{2} = 4^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot cos 6 0^{\circ}$
$A C^{2} = 16 + 36 - 48 = 4$
$A C = 2$

Шаг 2: забыт множитель $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ : $A C^{2} = 52 - 24 = 28$ , $A C = 27$ .

б) $A (2; - 1)$ , $B (- 4; 7)$ . Найдите длину $A B$ и середину.

Решение ученика

$A B (- 6; 8)$
$A B = - 36 + 64 = 28 = 27$
$M (\frac{2 - 4}{2}; \frac{- 1 + 7}{2}) = (- 1; 3)$

Шаг 2: квадрат отрицательного числа положителен: $(- 6)^{2} = 36$ , $A B = 100 = 10$ .

R07.3 · R07.7 · R07.12 · R07.14 · R07.23

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте

базаГипотенуза $10$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Катет против этого угла? $5$
базаСтороны $6$ и $10$ , угол между ними $15 0^{\circ}$ . Площадь треугольника? $15$
базаЦентральный угол $11 0^{\circ}$ . Вписанный угол на ту же дугу? $5 5^{\circ}$

базаДлина окружности радиуса $5$ ? $10 π \approx 31, 4$
базаДлина вектора $a (- 5; 12)$ ? $13$
базаУгол правильного восьмиугольника? $13 5^{\circ}$

R07.13 · R07.21 · R07.23 · R07.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны треугольника $5$ , $6$ и $7$ . Найдите косинус наибольшего угла. Какой это треугольник? $0, 2$ ; остроугольный
повыш.Треугольники подобны, $k = 1, 5$ , площадь меньшего $20$ . Площадь большего? $45$
повыш.При каком $m$ векторы $a (2; m)$ и $b (3; - 6)$ перпендикулярны? $m = 1$
из жизниДиаметр колеса велосипеда $70$ см. Сколько примерно оборотов сделает колесо на пути $1$ км? $\approx 455$

R07.12 · R07.19 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15В $△ A BC$ $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 8$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите $A B$ . $10$
ОГЭ 18На клетчатой бумаге с клеткой $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь. $22$
ОГЭ 18Найдите длину её средней линии. $5, 5$
ОГЭ 19Укажите номера верных утверждений.
1) Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
2) Вписанный угол равен дуге, на которую он опирается.
3) Ромб с прямым углом — квадрат. 13

R07.7 · R07.10 · R07.13 · R07.22

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A C = 6$ , $BC = 10$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $14$
Вписанный угол опирается на дугу $14 0^{\circ}$ . Угол? $7 0^{\circ}$
Диагонали ромба $6$ и $8$ . Площадь и сторона? $24$ ; $5$
$A (1; 2)$ , $B (7; 10)$ : длина и середина $A B$ ? $10$ ; $(4; 6)$

Вариант 2

$A C = 3$ , $BC = 8$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $7$
Центральный угол $8 4^{\circ}$ . Вписанный угол на ту же дугу? $4 2^{\circ}$
Диагонали ромба $12$ и $16$ . Площадь и сторона? $96$ ; $10$
$A (- 3; 1)$ , $B (3; 9)$ : длина и середина $A B$ ? $10$ ; $(0; 5)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Курс пройден — проверьте себя

Ответьте одной фразой

Какой метод выбрать, если даны две стороны и угол между ними?
Как по координатам вершин узнать, что угол прямой?
Какая тема курса для вас самая трудная — и что повторить к ОГЭ?

Домашнее задание

$A B = 3$ , $BC = 5$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ и площадь.
$A (- 1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $C (6; 1)$ . Докажите, что $∠ B = 9 0^{\circ}$ .
* Диагонали трапеции делят её на 4 треугольника, $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 9$ . Найдите площадь трапеции.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_shpargalka.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-068 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 7 ч · урок 7/7 · тип О (обобщение и систематизация)
Единицы → слайды	R07.1 → 2, 4, 12, 20 · R07.3 → 16, 17 · R07.4 → 3, 5, 11 · R07.7 → 3, 7, 8, 14, 16, 19 · R07.9 → 7, 8 · R07.10 → 7, 9, 13, 19 · R07.11 → 7, 8 · R07.12 → 3, 5, 9, 16, 18 · R07.13 → 5, 6, 12, 14, 15, 17, 19 · R07.14 → 16 · R07.17 → 3, 4, 13, 14 · R07.19–R07.21 → 5, 9, 11, 13, 17, 18 · R07.22 → 10, 11, 15, 19 · R07.23 → 3, 10, 12, 16, 17. Единицы R07.2, R07.5, R07.6, R07.8, R07.15, R07.16, R07.18 — в уроках 062–067 строки
Результаты	ПР-1 → 5, 16, 18 · ПР-3 → 5, 6, 12, 15, 17, 19 · ПР-4 → 4, 13, 17 · ПР-5 → 7, 8, 13 · ПР-6 → 10, 12, 17 · ПР-7 → 10, 11, 15, 19 · ПР-8 → 7, 16, 17 · ПР-10 → 4, 12, 17
Виды деятельности	«оперировать понятиями…» → 3–10 · «использовать формулы периметра и площади, длины окружности и площади круга» → 7, 9, 16, 17 · «система координат, вектор» → 10–12 · «связи между частями курса» → 4, 12, 13 · «выбирать метод для решения задачи» → 4, 12 · «задачи из повседневной жизни» → 17
ОГЭ	линии 15 (треугольники), 16 (окружность), 17 (четырёхугольники), 18 (клетчатая бумага), 19 (верные утверждения) → 6, 8, 9, 16, 18; 24 (доказательство) → 13
Вне урока	объём прямоугольного параллелепипеда, построения, движения и симметрия — в уроках GEOM9-062–067; подготовка к ОГЭ — банк заданий /oge/
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Итоговое повторение курса геометрии: выбор метода

Сегодня вы соберёте весь курс в одну систему

Выбирать метод решения

Решать треугольники

Работать с окружностью

Применять координаты и векторы

Восемь вопросов по всему курсу

Что дано — тем и решаем

Три теоремы и три формулы площади

Две стороны и угол между ними — теорема косинусов

Образец: в △ABC BC=5, AC=8, ∠C=60∘. Найдите AB и площадь треугольника.

Сам

Главные факты в одном месте

параллелограмм

трапеция

ромб

круг

Диаметр даёт прямой угол, касательная — тоже

Образец: AB — диаметр, C — точка окружности, ∠BAC=28∘. Касательная в точке B пересекает прямую AC в D. Найдите ∠ABC и ∠ADB.

Сам

Высота трапеции — через прямоугольный треугольник

Образец: основания равнобедренной трапеции 6 и 16, боковая сторона 13. Найдите площадь.

Сам

Шесть формул метода координат

Вид треугольника и площадь — вычислением

Образец: A(1;1), B(7;3), C(3;7). Постройте треугольник, докажите, что он равнобедренный, и найдите его площадь.

Сам

Выберите короткий путь

Образец: A(4;2), B(1;1), C(2;3). Найдите угол B треугольника ABC.

Сам: выберите метод

Равновеликие треугольники в трапеции

Образец: диагонали трапеции ABCD (BC∥AD) пересекаются в O. Докажите: SAOB​=SCOD​.

Сам: план и обоснования

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) В △ABC AB=4, BC=6, ∠B=60∘. Найдите AC.

Решение ученика

б) A(2;−1), B(−4;7). Найдите длину AB и середину.

Решение ученика

Решите и сверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Курс пройден — проверьте себя

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-068 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Образец: в $△ A BC$ $BC = 5$ , $A C = 8$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ и площадь треугольника.

Образец: $A B$ — диаметр, $C$ — точка окружности, $∠ B A C = 2 8^{\circ}$ . Касательная в точке $B$ пересекает прямую $A C$ в $D$ . Найдите $∠ A BC$ и $∠ A D B$ .

Образец: основания равнобедренной трапеции $6$ и $16$ , боковая сторона $13$ . Найдите площадь.

Образец: $A (1; 1)$ , $B (7; 3)$ , $C (3; 7)$ . Постройте треугольник, докажите, что он равнобедренный, и найдите его площадь.

Образец: $A (4; 2)$ , $B (1; 1)$ , $C (2; 3)$ . Найдите угол $B$ треугольника $A BC$ .

Образец: диагонали трапеции $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ) пересекаются в $O$ . Докажите: $S_{A OB} = S_{CO D}$ .

а) В $△ A BC$ $A B = 4$ , $BC = 6$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ .

б) $A (2; - 1)$ , $B (- 4; 7)$ . Найдите длину $A B$ и середину.