Повторение · урок 6 из 7 · обобщение

Повторение: векторы и метод координат

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R07 · GEOM9-067

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (7 ч), урок 6/7, тип О. Тема этого урока внутри повторения — единицы R07.22 «Декартовы координаты на плоскости» и R07.23 «Векторы на плоскости» (с опорой на R07.1, R07.3). Темы строк R03 «Векторы» и R04 «Декартовы координаты» 9 класса.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 сводка «векторы» 3,5 · 6 сводка «координаты вектора» 3 · 9 сводка «метод координат» 3,5.
Практика (33): 3 разминка 2 · 5, 7, 8, 10, 11, 12 шесть «Образец → сам» по 2,5 (15) · 13 ошибки 1,5 · 14 найди ошибку 2 · 15 база 2,5 · 16 повышенный 2 · 17 ОГЭ 2 · 18 самостоятельная 5 · 19 итог 1.
Если не успеваете: задания «сам» на сл. 12 и задачу 4 на сл. 16 — в ДЗ; самостоятельную (сл. 18) не сокращать.
Изображение на титуле: правило треугольника — $A B + BC = A C$ на клетчатой сетке.

R07.1 · R07.22 · R07.23

Цели урока

Векторы и координаты — в одной системе

Действовать с векторами

складывать, вычитать, умножать на число — на чертеже и в координатах (ПР-6)

Находить длины и углы

через длину вектора и скалярное произведение (ПР-6)

Применять метод координат

расстояние, середина отрезка, уравнения прямой и окружности, вид фигуры (ПР-7)

Решать задачи из жизни

скорости и силы как векторы, задания ОГЭ 18 и 19 (ПР-6, ПР-10)

1 мин · теория
ПР-6: «Пользоваться векторами, понимать их геометрический и физический смысл, применять их в решении геометрических и физических задач. Применять скалярное произведение векторов для нахождения длин и углов». ПР-7: «Пользоваться методом координат на плоскости, применять его в решении геометрических и практических задач». ПР-10: «строить математические модели для задач реальной жизни…».
Виды деятельности строки R07: оперировать понятиями «прямоугольная система координат», «вектор»; использовать их для решения задач, в том числе из других учебных предметов; выбирать метод для решения задачи.

R07.1 · R07.22 · R07.23

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

Длина вектора $a (3; - 4)$ ? $5$
$A B + BC = ?$ $A C$
$A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ . Координаты $A B$ ? $(3; 4)$
$a (1; - 3)$ . Координаты $2 a$ ? $(2; - 6)$

Середина отрезка с концами $(2; 5)$ и $(6; 1)$ ? $(4; 3)$
Чему равно $a \cdot b$ , если $a ⊥ b$ ? $0$
Центр и радиус окружности $x^{2} + y^{2} = 9$ ? $O (0; 0)$ , $R = 3$
$A B + B A = ?$ $0$

R07.23

Сводка · векторы и действия с ними

Вектор — направленный отрезок

Равные векторы

сонаправлены и имеют равные длины

$a$ и $- a$ — противоположные

Правило треугольника

$A B + BC = A C$

второй вектор — от конца первого

Правило параллелограмма

$a + b$ — диагональ из общего начала

$a - b$ — от конца $b$ к концу $a$

Умножение на число

$∣ k a ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣$

$k > 0$ — сонаправлен, $k < 0$ — противоположно направлен

3,5 мин · теория
Каждую карточку класс проговаривает по вопросам: когда векторы равны? как отложить сумму? где на параллелограмме сумма и где разность? что делает умножение на отрицательное число?
Коллинеарные векторы — лежат на одной или параллельных прямых; $b$ коллинеарен ненулевому $a$ тогда и только тогда, когда $b = k a$ . На карточке 4 все три вектора коллинеарны.
Проверка разности (карточка 3): $b + (a - b) = a$ — по правилу треугольника от начала $b$ через его конец к концу $a$ .

R07.23

Образец → сам · векторы на чертеже

Выражаем векторы через $a$ и $b$

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $O$ — точка пересечения диагоналей, $A B = a$ , $A D = b$ . Выразите $A C$ , $B D$ и $A O$ .

$A C = a + b$ правило параллелограмма
$B D = A D - A B = b - a$ разность: от конца $a$ к концу $b$
$A O = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} (a + b)$ диагонали делятся точкой пересечения пополам

Сам (тот же чертёж)

Выразите $CB$ . $- b$
Выразите $O D$ . $\frac{1}{2} (b - a)$
$M$ — середина $BC$ . Выразите $A M$ . $a + \frac{1}{2} b$

R07.22 · R07.23

Сводка · координаты вектора и скалярное произведение

Всё о векторах — через координаты

Что найти	Формула · $a (x_{1}; y_{1})$ , $b (x_{2}; y_{2})$
вектор по точкам	$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$
длина	$∣ a ∣ = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}$
сумма, на число	$(x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2})$ , $k a = (k x_{1}; k y_{1})$
скалярное произведение	$a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$
угол	$cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣}$
$a ⊥ b$ · $a ∥ b$	$x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ · координаты пропорциональны

R07.22 · R07.23

Образец → сам · координаты и длина вектора

Конец минус начало — и дальше по формулам

Образец: $A (- 2; 1)$ , $B (2; 4)$ , $C (5; 0)$ . Найдите $A B$ , $∣ A B ∣$ и координаты $c = 2 A B - BC$ .

$A B = (2 - (- 2); 4 - 1) = (4; 3)$ из координат конца вычитаем координаты начала
$∣ A B ∣ = 4^{2} + 3^{2} = 5$ формула длины вектора
$BC = (3; - 4)$ , $c = (8 - 3; 6 + 4) = (5; 10)$ умножение на число и разность — покоординатно

Сам

$a (2; - 1)$ , $b (- 3; 4)$ . Найдите $a + 2 b$ . $(- 4; 7)$
Найдите $∣ b ∣$ для того же $b$ . $5$
$MN = (3; - 2)$ , $M (1; 5)$ . Найдите $N$ . $N (4; 3)$

R07.23

Образец → сам · скалярное произведение и угол

Угол между векторами — через косинус

Образец: найдите угол между векторами $a (1; 2)$ и $b (3; 1)$ .

$a \cdot b = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 5$ скалярное произведение в координатах
$∣ a ∣ = 5$ , $∣ b ∣ = 10$ формула длины вектора
$cos φ = \frac{5}{5 \cdot 10} = \frac{5}{5 2} = \frac{2}{2}$ , $φ = 4 5^{\circ}$ табличное значение косинуса

Сам

При каком $m$ векторы $(2; m)$ и $(6; - 3)$ перпендикулярны? $m = 4$
$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $a \cdot b$ . $6$
Угол между $(1; 0)$ и $(- 1; 1)$ ? $13 5^{\circ}$

R07.22

Сводка · метод координат

Четыре формулы метода координат

расстояние между точками

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$

середина $M$ отрезка $A B$

$M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$

прямая

$a x + b y + c = 0$ , $y = k x + m$

окружность с центром $Q (a; b)$ , радиус $R$

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$

R07.22

Образец → сам · уравнение окружности

Центр и радиус — и уравнение готово

Образец: $A (- 1; 2)$ и $B (5; - 6)$ — концы диаметра окружности. Напишите её уравнение. Лежит ли на ней точка $D (5; 2)$ ?

центр $Q (\frac{- 1 + 5}{2}; \frac{2 - 6}{2}) = (2; - 2)$ центр — середина диаметра
$A B = 6^{2} + 8^{2} = 10$ , $R = 5$ : $(x - 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ радиус — половина диаметра
$(5 - 2)^{2} + (2 + 2)^{2} = 9 + 16 = 25$ — лежиткоординаты $D$ обращают уравнение в верное равенство

Сам

Центр и радиус окружности $(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 16$ ? $(- 3; 1)$ , $R = 4$
Окружность с центром $(1; - 2)$ проходит через $(4; 2)$ . Уравнение? $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$
Пересекает ли окружность $x^{2} + y^{2} = 4$ прямую $y = 3$ ? нет

R07.10 · R07.22

Образец → сам · доказательство методом координат

Вид четырёхугольника — по координатам вершин

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 5)$ , $C (9; 5)$ , $D (6; 1)$ . Докажите, что $A BC D$ — ромб, но не квадрат.

середины $A C$ и $B D$ — одна точка $M (5; 3)$ ⇒ параллелограммпризнак: диагонали точкой пересечения делятся пополам
$A B = 3^{2} + 4^{2} = 5$ , $A D = 5^{2} + 0^{2} = 5$ ⇒ ромбпараллелограмм с равными смежными сторонами
$A B \cdot A D = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 0 = 15 \neq = 0$ ⇒ не квадратугол $A$ не прямой

Сам

$A (0; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (7; 1)$ , $D (6; - 2)$ . Вид $A BC D$ ? прямоугольник
$A (1; 1)$ , $B (4; 5)$ , $C (5; - 2)$ . Вид $△ A BC$ ? прямоугольный равнобедренный
$A (1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $C (6; 4)$ . Найдите $D$ : $A BC D$ — параллелограмм. $D (4; 1)$

2,5 мин · практика
Образец: середина $A C$ — $(\frac{1 + 9}{2}; \frac{1 + 5}{2}) = (5; 3)$ , середина $B D$ — $(\frac{4 + 6}{2}; \frac{5 + 1}{2}) = (5; 3)$ . Можно и так: диагонали $A C (8; 4)$ и $B D (2; - 4)$ перпендикулярны ( $16 - 16 = 0$ ) — признак ромба для параллелограмма.
Сам: 1) $A B = (1; 3) = D C$ — параллелограмм; $A D = (6; - 2)$ , $A B \cdot A D = 6 - 6 = 0$ — прямоугольник; $A B = 10 \neq = A D = 40$ — не квадрат. 2) $A B = (3; 4)$ , $A C = (4; - 3)$ : длины $5$ и $5$ , произведение $12 - 12 = 0$ — $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $A B = A C$ . 3) $A D = BC = (3; - 1)$ , $D = (1 + 3; 2 - 1) = (4; 1)$ .
Обоснование «на рисунке видно, что ромб» не засчитывается — нужны вычисления и признак.

R07.23 · ПР-10

Образец → сам · задача из жизни

Лодка пересекает реку: сложение скоростей

Образец: лодка плывёт перпендикулярно берегу со скоростью $4$ км/ч относительно воды, течение — $3$ км/ч, ширина реки $200$ м. Найдите скорость лодки относительно берега и снос.

$v = v_{л} + v_{т}$ , $∣ v ∣ = 4^{2} + 3^{2} = 5$ км/чправило треугольника; векторы перпендикулярны
$t = 0, 2 : 4 = 0, 05$ ч $= 3$ минпоперёк реки лодку несёт только её собственная скорость
снос $3 \cdot 0, 05 = 0, 15$ км $= 150$ мвдоль берега — скорость течения

Сам

Квадрокоптер летит на север со скоростью $12$ м/с, ветер дует на восток со скоростью $5$ м/с. Скорость относительно земли? $13$ м/с
Две силы $6$ Н и $8$ Н приложены к точке под прямым углом. Равнодействующая? $10$ Н
Сила $F (3; 4)$ Н, перемещение $s (5; 0)$ м. Работа $A = F \cdot s$ ? $15$ Дж

R07.1 · R07.22 · R07.23

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ : $A B = (- 3; - 4)$	вычитают координаты начала из координат конца, а не наоборот	$A B = (3; 4)$
$a (3; - 4)$ : $∣ a ∣ = 9 - 16$ или $3 - 4$	под корнем — сумма квадратов, квадрат отрицательного числа положителен	$∣ a ∣ = 9 + 16 = 5$
$(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 16$ : центр $(2; - 3)$ , $R = 16$	в уравнении стоят $x - a$ и $R^{2}$	центр $(- 2; 3)$ , $R = 4$
$cos φ = - \frac{2}{2}$ ⇒ $φ = 4 5^{\circ}$	отрицательный косинус — у тупого угла	$φ = 13 5^{\circ}$

R07.22

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

Задача: $A (2; - 1)$ , $B (- 4; 3)$ — концы диаметра. Напишите уравнение окружности.

Решение ученика

Центр $M (\frac{2 - 4}{2}; \frac{- 1 + 3}{2}) = (- 1; 1)$ .
$A B = (- 4 - 2)^{2} + (3 + 1)^{2} = 52 = 213$ .
Радиус $R = A B = 213$ .
Уравнение: $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 52$ .

Шаг 3: радиус — половина диаметра: $R = \frac{1}{2} A B = 13$ , $R^{2} = 13$ .

Шаг 4: центр $(- 1; 1)$ — в скобках противоположные знаки: $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2}$ .

Ответ: $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 13$ .

R07.1 · R07.22 · R07.23

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте

базаДлина $a (- 6; 8)$ . $10$
базаСередина $A B$ : $A (3; - 2)$ , $B (- 1; 4)$ . $(1; 1)$
база $a (2; 5)$ , $b (- 1; 3)$ : координаты $3 a - b$ . $(7; 12)$
база $a (4; - 1)$ , $b (2; 3)$ : $a \cdot b$ . $5$

базаРасстояние между $A (- 1; 3)$ и $B (5; - 5)$ . $10$
базаУравнение окружности: центр $(0; - 3)$ , $R = 6$ . $x^{2} + (y + 3)^{2} = 36$
базаЛежит ли $(- 2; 1)$ на окружности $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ ? да
базаПри каком $x$ векторы $(x; 6)$ и $(2; 3)$ коллинеарны? $x = 4$

R07.1 · R07.22 · R07.23

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A (1; 2)$ , $B (4; 2)$ , $C (- 1; 4)$ . Найдите угол $B A C$ . $13 5^{\circ}$
повыш.Уравнение прямой, проходящей через $A (1; 3)$ и $B (3; 7)$ . $y = 2 x + 1$
повыш.Найдите точки пересечения окружности $x^{2} + y^{2} = 25$ и прямой $y = x + 1$ . $(3; 4)$ и $(- 4; - 3)$
повыш. $A (- 2; 0)$ , $B (0; 4)$ , $C (4; 2)$ . Найдите $D$ , при котором $A BC D$ — параллелограмм. Каков его вид? $D (2; - 2)$ , квадрат

R07.22 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ отмечены точки $A$ , $B$ и $C$ . Найдите расстояние от $A$ до середины отрезка $BC$ . $5$
ОГЭ 18По тому же рисунку найдите площадь треугольника $A BC$ . $14$
ОГЭ 19Укажите номера верных утверждений.
1) Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.
2) Длина вектора $(3; 4)$ равна $7$ .
3) Окружность $x^{2} + y^{2} = 4$ проходит через точку $(2; 0)$ . 13

R07.1 · R07.22 · R07.23

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A (2; - 3)$ , $B (- 4; 5)$ . Найдите $A B$ . $10$
Найдите середину $M$ отрезка $A B$ . $M (- 1; 1)$
$a (3; - 1)$ , $b (2; 6)$ . Найдите $a \cdot b$ . Каков угол? $0$ ; $9 0^{\circ}$
Уравнение окружности с центром $M$ , проходящей через $A$ . $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$

Вариант 2

$A (- 3; 1)$ , $B (5; 7)$ . Найдите $A B$ . $10$
Найдите середину $M$ отрезка $A B$ . $M (1; 4)$
$a (4; 2)$ , $b (- 1; 2)$ . Найдите $a \cdot b$ . Каков угол? $0$ ; $9 0^{\circ}$
Уравнение окружности с центром $M$ , проходящей через $A$ . $(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 25$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти координаты вектора по двум точкам?
Как по координатам узнать, что векторы перпендикулярны?
Где в уравнении окружности центр и где радиус?

Домашнее задание

$A (- 2; 1)$ , $B (1; 5)$ , $C (5; 2)$ . Докажите, что $△ A BC$ прямоугольный равнобедренный; найдите его площадь.
Уравнение окружности с центром $B$ , проходящей через $A$ .
* Найдите $D$ , при котором $A BC D$ — квадрат.
Тренажёры: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_vektory.htm и 9_geometry_koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-067 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 7 ч · урок 6/7 · тип О (обобщение и систематизация) · тема урока: векторы и метод координат
Единицы → слайды	R07.23 «Векторы на плоскости» → 3–8, 12–18 · R07.22 «Декартовы координаты на плоскости» → 3, 6, 7, 9–11, 13–18 · R07.10 «Четырехугольники» → 11, 16 · R07.1, R07.3 (понятия и измерение величин) → 3, 7–10, 17
Результаты	ПР-6 (векторы, скалярное произведение для длин и углов) → 2–8, 12, 13, 15–18 · ПР-7 (метод координат) → 2, 9–11, 14–18 · ПР-10 (модели реальных задач) → 12
Виды деятельности	«оперировать понятиями: прямоугольная система координат, вектор» → 4, 6, 9 · «использовать эти понятия для решения задач, в том числе из других учебных предметов» → 5, 7, 8, 10–12 · «выбирать метод для решения задачи» → 11, 16
ОГЭ	линия 18 (клетчатая бумага), 19 (верные утверждения) → 17
Вне урока	треугольники, окружность, площади — уроки повторения GEOM9-062–066 · итоговый урок повторения — GEOM9-068
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение: векторы и метод координат

Векторы и координаты — в одной системе

Действовать с векторами

Находить длины и углы

Применять метод координат

Решать задачи из жизни

Восемь быстрых вопросов

Вектор — направленный отрезок

Равные векторы

Правило треугольника

Правило параллелограмма

Умножение на число

Выражаем векторы через a и b

Образец: ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей, AB=a, AD=b. Выразите AC, BD и AO.

Сам (тот же чертёж)

Всё о векторах — через координаты

Конец минус начало — и дальше по формулам

Образец: A(−2;1), B(2;4), C(5;0). Найдите AB, ∣AB∣ и координаты c=2AB−BC.

Сам

Угол между векторами — через косинус

Образец: найдите угол между векторами a(1;2) и b(3;1).

Сам

Четыре формулы метода координат

расстояние между точками

середина M отрезка AB

прямая

окружность с центром Q(a;b), радиус R

Центр и радиус — и уравнение готово

Образец: A(−1;2) и B(5;−6) — концы диаметра окружности. Напишите её уравнение. Лежит ли на ней точка D(5;2)?

Сам

Вид четырёхугольника — по координатам вершин

Образец: A(1;1), B(4;5), C(9;5), D(6;1). Докажите, что ABCD — ромб, но не квадрат.

Сам

Лодка пересекает реку: сложение скоростей

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

Задача: A(2;−1), B(−4;3) — концы диаметра. Напишите уравнение окружности.

Решение ученика

Решите и сверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-067 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Выражаем векторы через $a$ и $b$

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $O$ — точка пересечения диагоналей, $A B = a$ , $A D = b$ . Выразите $A C$ , $B D$ и $A O$ .

Образец: $A (- 2; 1)$ , $B (2; 4)$ , $C (5; 0)$ . Найдите $A B$ , $∣ A B ∣$ и координаты $c = 2 A B - BC$ .

Образец: найдите угол между векторами $a (1; 2)$ и $b (3; 1)$ .

середина $M$ отрезка $A B$

окружность с центром $Q (a; b)$ , радиус $R$

Образец: $A (- 1; 2)$ и $B (5; - 6)$ — концы диаметра окружности. Напишите её уравнение. Лежит ли на ней точка $D (5; 2)$ ?

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 5)$ , $C (9; 5)$ , $D (6; 1)$ . Докажите, что $A BC D$ — ромб, но не квадрат.

Задача: $A (2; - 1)$ , $B (- 4; 3)$ — концы диаметра. Напишите уравнение окружности.