Повторение · урок 5 из 7 · обобщение

Движения, симметрия, подобие: преобразования плоскости

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R07 · GEOM9-066

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 карта преобразований 2,5 · 5 движения в координатах 2,5 · 7 оси и центры симметрии 2 · 9 подобие 3.
Практика (33): 3 разминка 2 · 6, 8, 10, 11, 12, 13 шесть «Образец → сам» по 2,5 · 14 ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 2,5 · 17 повышенный 2 · 18 ОГЭ 2 · 19 самостоятельная 5 · 20 итог 1.
Паспорт: R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (7 ч), урок 5/7, тип О. Содержание этого урока — единицы R07.15 «Преобразования плоскости», R07.16 «Движения», R07.17 «Подобие», R07.18 «Симметрия» (строки R02 и R06 курса 9 класса). Остальные единицы R07 — на других уроках повторения.
На титуле: треугольник и его образ при осевой симметрии (вверху), треугольник и его образ при гомотетии с центром в белой точке (внизу). Вопрос: «Какая из картинок — движение?» (верхняя: фигуры равны).
Если не успеваете: задания «сам» на сл. 13 и задачу 4 на сл. 17 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R07.15 · R07.16 · R07.17 · R07.18

Цели урока

Сегодня вы повторите и свяжете

Движения

строить образы фигур при симметриях, переносе и повороте — на клетках и в координатах (ПР-9, ПР-7)

Симметрия фигур

находить оси и центры симметрии многоугольников и окружности (ПР-9)

Подобие

находить стороны, периметры и площади подобных фигур (ПР-4)

Модель задачи

решать практические задачи с масштабом и подобием (ПР-10)

1 мин · теория
ПР-9 = REQ-6.9 «Находить оси или центры симметрии фигур, применять движения плоскости в простейших случаях». ПР-4 = REQ-6.4 «Владеть понятиями преобразования подобия, соответственных элементов подобных фигур…». ПР-7 = REQ-6.7 (метод координат). ПР-10 = REQ-6.10 (модели задач реальной жизни). Элементы: EL-6.3, EL-6.11.
Вид деятельности ФРП для R07: «Решать задачи на повторение основных понятий, иллюстрацию связей между различными частями курса. Выбирать метод для решения задачи». Связь урока: движение — частный случай подобия ( $k = 1$ ).
Спросить: «Как по плану квартиры узнать площадь комнаты?» — ответ на сл. 13.

повторение: R02, R06

Разминка · устно

Восемь вопросов — по 15 секунд

Точка, симметричная $(2; 5)$ относительно $O x$ ? $(2; - 5)$
А относительно начала координат? $(- 2; - 5)$
Сколько осей симметрии у равностороннего треугольника? $3$
Есть ли центр симметрии у равнобедренного треугольника? нет

Коэффициент подобия $k = 4$ . Во сколько раз больше периметр? в $4$
А площадь? в $16$
$\frac{x}{6} = \frac{10}{15}$ $x = 4$
Середина отрезка с концами $(0; 0)$ и $(6; - 4)$ ? $(3; - 2)$

R07.15

Сводка · преобразования плоскости

Три преобразования — одна идея

2,5 мин · теория
Открывать по колонкам; перед каждой спросить: «Что сохраняется? Что меняется?».
Движение — отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния ( $A^{'} B^{'} = A B$ ); фигура переходит в равную. Подобие — расстояния умножаются на одно и то же $k > 0$ ( $A^{'} B^{'} = k \cdot A B$ ); фигура переходит в подобную, углы сохраняются. Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ : $O A^{'} = k O A$ — частный случай подобия (на рисунке $k = 2, 5$ ).
Чертежи точные: слева — осевая симметрия; в середине — треугольники со сторонами в отношении $1 : 2$ ; справа — лучи из $O$ через вершины, $O A^{'} = 2, 5 O A$ .
Вывод: движение — подобие с $k = 1$ . Поэтому всё, что верно для подобия (углы равны, площади — в $k^{2}$ раз), верно и для движения ( $k^{2} = 1$ : площади равны).

R07.16 · R07.18 · R07.22

Сводка · движения в координатах

Четыре движения — четыре правила для координат

Осевая симметрия

(x; y) \to (- x; y)

относительно оси $O y$ ;
для $O x$ : $(x; y) \to (x; - y)$

Центральная симметрия

(x; y) \to (- x; - y)

относительно начала $O$ ; центр — середина $A A^{'}$

Параллельный перенос

(x; y) \to (x + a; y + b)

на вектор $p (a; b)$ ; здесь $p (- 3; - 4)$

Поворот на $9 0^{\circ}$

(x; y) \to (- y; x)

вокруг $O$ против часовой стрелки

2,5 мин · теория
На всех четырёх рисунках один и тот же треугольник $(1; 1)$ , $(4; 1)$ , $(1; 3)$ (синий) и его образ (розовый): $O y$ — $(- 1; 1)$ , $(- 4; 1)$ , $(- 1; 3)$ ; центр $O$ — $(- 1; - 1)$ , $(- 4; - 1)$ , $(- 1; - 3)$ ; перенос на $(- 3; - 4)$ — $(- 2; - 3)$ , $(1; - 3)$ , $(- 2; - 1)$ ; поворот на $9 0^{\circ}$ — $(- 1; 1)$ , $(- 1; 4)$ , $(- 3; 1)$ . Проверить по клеткам вместе с классом хотя бы одну вершину на каждом рисунке.
Центральная симметрия относительно точки $M (m; n)$ : $M$ — середина $A A^{'}$ , поэтому $A^{'} = (2 m - x; 2 n - y)$ — это понадобится на сл. 6 и 15.
Ошибка: путают оси — относительно $O x$ меняется знак $y$ (точка «отражается вверх-вниз»), относительно $O y$ — знак $x$ . Поворот: проверка на точке $(1; 0) \to (0; 1)$ .

R07.16 · R07.22

Образец → сам · образ фигуры в координатах

Правило → координаты вершин → чертёж

Образец: постройте образ $△ A BC$ , $A (2; 1)$ , $B (5; 1)$ , $C (2; 4)$ , при симметрии относительно оси $O y$ .

$(x; y) \to (- x; y)$ относительно $O y$ меняется знак абсциссы
$A^{'} (- 2; 1)$ , $B^{'} (- 5; 1)$ , $C^{'} (- 2; 4)$ по правилу для каждой вершины
$△ A^{'} B^{'} C^{'} = △ A BC$ движение сохраняет расстояния

Сам

Образ $M (2; - 5)$ при симметрии относительно начала координат? $(- 2; 5)$
Перенос на $p (3; - 1)$ переводит $K (- 4; 2)$ в …? $(- 1; 1)$
Точка $P$ симметрична $P^{'} (5; 1)$ относительно $Q (2; 3)$ . Найдите $P$ . $(- 1; 5)$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин, шаги по клику; образ на чертеже появляется последним кликом, после трёх шагов): правило → координаты → чертёж. Пунктир соединяет каждую вершину с её образом — он перпендикулярен оси и делится ею пополам.
Сам (1,5 мин): 1) $(- 2; 5)$ — меняются оба знака. 2) $(- 4 + 3; 2 - 1) = (- 1; 1)$ . 3) $Q$ — середина $P P^{'}$ : $P = (2 \cdot 2 - 5; 2 \cdot 3 - 1) = (- 1; 5)$ . Проверка: середина $(- 1; 5)$ и $(5; 1)$ — $(2; 3)$ ✓.
Ошибка в 3): отвечают $(- 5; - 1)$ — симметрия относительно начала координат вместо точки $Q$ .

R07.18 · R07.10

Сводка · оси и центры симметрии фигур

Сколько осей и есть ли центр

Равнобедренный △

осей $1$ · центра нет

Равносторонний △

осей $3$ · центра нет

Равнобокая трапеция

осей $1$ · центра нет

Параллелограмм

осей нет · центр есть

Прямоугольник

осей $2$ · центр есть

Ромб

осей $2$ · центр есть

Квадрат

осей $4$ · центр есть

Окружность

осей бесконечно много · центр есть

2 мин · теория
Розовый пунктир — оси симметрии, бирюзовая точка — центр симметрии. Перед каждым ответом (по клику) спросить класс.
Ось симметрии фигуры — прямая, при симметрии относительно которой фигура переходит в себя; центр — точка, при симметрии относительно которой (повороте на $18 0^{\circ}$ ) фигура переходит в себя.
Здесь — прямоугольник, ромб, параллелограмм «общего вида» (не квадрат, не ромб, не прямоугольник). Оси прямоугольника — серединные перпендикуляры к сторонам (не диагонали!); оси ромба — его диагонали. У любой прямой, проходящей через центр окружности, — ось.
Ошибка №1: «диагонали параллелограмма — оси симметрии» (разбор на сл. 14). Ошибка №2: у прямоугольника 4 оси (путают с квадратом).

R07.18 · R07.14

Образец → сам · симметрия правильного многоугольника

Считаем оси по типам и проверяем центр

Образец: сколько осей симметрии у правильного шестиугольника? Есть ли центр симметрии?

Через противоположные вершины: $3$ осивершин 6, пары противоположных — 3
Через середины противоположных сторон: $3$ осивсего $3 + 3 = 6$ осей
Центр $O$ естьповорот на $18 0^{\circ}$ вокруг $O$ переводит шестиугольник в себя

Сам: осей? центр?

Правильный пятиугольник $5$ ; нет
Правильный восьмиугольник $8$ ; да
Отрезок $2$ ; да

Правильный

n

-угольник:

n

осей; центр — при чётном

n

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): оси на чертеже окрашены как в шагах — 3 розовые (через вершины), 3 фиолетовые (через середины сторон), бирюзовая точка — центр. Чертёж точный: шестиугольник вписан в окружность радиуса 128 px, вершины через $6 0^{\circ}$ .
Сам (1,5 мин): 1) правильный пятиугольник: 5 осей (каждая — через вершину и середину противоположной стороны), центра нет (нечётное $n$ ; поворот на $18 0^{\circ}$ вершину переводит в середину стороны). 2) восьмиугольник: 4 + 4 = 8 осей, центр есть. 3) отрезок: две оси — серединный перпендикуляр и прямая, содержащая отрезок; центр — середина отрезка.
Ошибка: у отрезка называют одну ось (забывают прямую, на которой он лежит).

R07.17 · R07.21

Сводка · подобие фигур

Стороны — в $k$ раз, углы равны, площади — в $k^{2}$ раз

\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{BC} = \frac{A _{1} C _{1}}{A C} = k

∠ A_{1} = ∠ A, ∠ C_{1} = ∠ C

P_{1} = k \cdot P, S_{1} = k^{2} \cdot S

Признаки подобия треугольников: по двум углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам

3 мин · теория
Чертёж точный: $△ A BC$ со сторонами $A B = 4$ , $BC = 5$ , $A C = 6$ и $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ со сторонами $6$ , $7, 5$ , $9$ ; $k = 1, 5$ . Проверка: $6 : 4 = 7, 5 : 5 = 9 : 6 = 1, 5$ . Цвета сторон — как в формуле: сходственные стороны одного цвета.
Периметры: $15$ и $22, 5$ — отношение $1, 5 = k$ . Площади (формула Герона или $\frac{1}{2} ab sin C$ ): $S \approx 9, 92$ , $S_{1} \approx 22, 32$ , отношение $2, 25 = k^{2}$ .
Почему $k^{2}$ : площадь — произведение двух длин (основание · высота), каждая умножается на $k$ . Это верно для любых подобных фигур (квадрат, круг, план комнаты — сл. 13).
Ошибки: сходственные стороны лежат против равных углов — сравнивать надо их, а не «по порядку букв»; площади — в $k^{2}$ , а не в $k$ раз.

R07.17 · R07.10

Образец → сам · подобные треугольники в трапеции

Диагонали трапеции отсекают подобные треугольники

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 12$ , $BO = 3$ . Найдите $O D$ .

$△ BOC \sim △ D O A$ $∠ BOC = ∠ D O A$ (вертикальные), $∠ OBC = ∠ O D A$ (накрест лежащие)
$k = \frac{A D}{BC} = \frac{12}{4} = 3$ сходственные стороны
$O D = k \cdot BO = 9$ $O D$ и $BO$ — сходственные

Сам: та же трапеция

$BC = 5$ , $A D = 15$ , $A C = 16$ . Найдите $A O$ . $12$
$A O = 10$ , $OC = 4$ , $BC = 6$ . Найдите $A D$ . $15$
$BO = 2$ , $O D = 7$ , $A D = 14$ . Найдите $BC$ . $4$

2,5 мин · практика
Образец: равные углы отмечены — одна розовая дуга (вертикальные при $O$ ), двойные жёлтые (накрест лежащие при $BC ∥ A D$ и секущей $B D$ ). Соответствие вершин: $B \leftrightarrow D$ , $O \leftrightarrow O$ , $C \leftrightarrow A$ . Чертёж в масштабе: $BO : O D = 1 : 3$ ; ответ $9$ на чертеже появляется последним кликом.
Сам: 1) $k = 3$ , $A O : OC = 3 : 1$ , $A O = 16 \cdot \frac{3}{4} = 12$ . 2) $k = A O : OC = 2, 5$ , $A D = 2, 5 \cdot 6 = 15$ . 3) $k = O D : BO = 3, 5$ , $BC = 14 : 3, 5 = 4$ .
Ошибка: неверное соответствие сторон ( $\frac{BO}{O D} = \frac{A D}{BC}$ ) — разбор на сл. 15. Самопроверка: против большего основания — больший отрезок диагонали.

R07.17 · R07.21

Образец → сам · площади подобных фигур

Сначала коэффициент, потом его квадрат

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{MBN}$ .

$△ MBN \sim △ A BC$ $∠ B$ — общий, $∠ BMN = ∠ B A C$ (соответственные)
$k = \frac{BM}{B A} = \frac{2}{5}$ $B A = 2 + 3 = 5$ частей
$S_{MBN} = k^{2} \cdot 50 = \frac{4}{25} \cdot 50 = 8$ площади относятся как $k^{2}$

Сам

Треугольники подобны, $k = 3$ , площадь меньшего $7$ . Площадь большего? $63$
Площади подобных треугольников $16$ и $81$ , сторона меньшего $8$ . Сходственная сторона большего? $18$
Средняя линия отсекает треугольник площадью $6$ . Площадь исходного? $24$

R07.16 · R07.18 · R07.4

Образец → сам · доказательство с помощью симметрии

Симметрия — короткий путь к равенству отрезков

Образец: $A B = BC$ , $M$ и $N$ — середины $A B$ и $BC$ . Докажите, что $A N = CM$ .

$ℓ = B H$ — ось симметрии $△ A BC$ в равнобедренном △ высота $B H$ — серединный перпендикуляр к $A C$
$A \to C$ , $B \to B$ , $M \to N$ середина $B A$ переходит в середину образа $BC$
$A N \to CM$ , значит $A N = CM$ симметрия — движение, расстояния сохраняются

Сам: план доказательства

Высоты, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны. симметрия относительно $B H$
Прямая через центр $O$ параллелограмма $A BC D$ пересекает $BC$ в $M$ , $A D$ — в $N$ . Докажите: $OM = ON$ . симметрия относительно $O$

2,5 мин · практика
Образец: на чертеже ось $ℓ = B H$ (бирюзовый пунктир) и отрезки $A N$ (фиолетовый) и $CM$ (розовый); шаги открываются по клику. Обоснование шага 2: $A$ и $C$ симметричны, так как $ℓ$ — серединный перпендикуляр к $A C$ ; $B \in ℓ$ — неподвижна; отрезок $B A$ переходит в $BC$ , а движение переводит середину отрезка в середину образа.
Сравнить с «классическим» решением: $△ A BN = △ CBM$ по двум сторонам и углу ( $A B = CB$ , $BN = BM$ , $∠ B$ — общий). Симметрия даёт то же короче.
Сам 1): при симметрии относительно $B H$ прямая $BC$ переходит в $B A$ , вершина $A$ — в $C$ ; перпендикуляр из $A$ к $BC$ переходит в перпендикуляр из $C$ к $B A$ (углы сохраняются) — высоты равны. Сам 2): при симметрии относительно $O$ ( $O$ — середина диагоналей) прямая $BC$ переходит в $D A$ , прямая $MN$ — в себя (проходит через $O$ ), значит $M \to N$ и $OM = ON$ .

R07.17 · R07.21 · ПР-10

Образец → сам · задача из жизни: масштаб

План — фигура, подобная настоящей

Образец: на плане в масштабе $1 : 200$ комната — прямоугольник $2, 5 см \times 3 см$ . Найдите площадь комнаты.

$k = 200$ масштаб $1 : 200$ — 1 см плана = 200 см
$2, 5 \cdot 200 = 500 см = 5 м$ , $3 \cdot 200 = 6 м$ длины умножаются на $k$
$S = 5 \cdot 6 = 30 м^{2}$ или: $7, 5 см^{2} \cdot 20 0^{2}$

Сам

Карта $1 : 50000$ , на карте $7$ см. Расстояние на местности? $3, 5$ км
Участок на плане $1 : 500$ имеет площадь $12 см^{2}$ . Площадь участка? $300 м^{2}$
Фото $10 \times 15$ увеличили до $20 \times 30$ . Во сколько раз больше площадь? в $4$

R07.16 · R07.17 · R07.18

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Площади подобных фигур

$k = 3$ , $S_{1} = 5$ ⇒ $S_{2} = 15$

Площади относятся как квадрат коэффициента.

$S_{2} = 3^{2} \cdot 5 = 45$

Оси параллелограмма

«Диагонали параллелограмма — его оси симметрии»

При симметрии относительно диагонали вершины не переходят в вершины (так только у ромба).

Осей нет, есть центр — точка пересечения диагоналей

Симметрия относительно $O x$

$(3; 2) \to (- 3; 2)$

Это симметрия относительно $O y$ . Относительно $O x$ меняется знак ординаты.

$(3; 2) \to (3; - 2)$

R07.16 · R07.17

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Трапеция, $BC ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 12$ , $BO = 3$ . Найдите $O D$ .

$\frac{BO}{O D} = \frac{A D}{BC}$ , $O D = \frac{3 \cdot 4}{12} = 1$

Сходственные: $BO$ и $O D$ , $BC$ и $A D$

$\frac{BO}{O D} = \frac{BC}{A D}$ , $O D = 9$

б) Образ $A (2; - 3)$ при симметрии относительно точки $M (1; 1)$ .

$A^{'} (- 2; 3)$

Это симметрия относительно $O$ ; $M$ — середина $A A^{'}$

$A^{'} (2 \cdot 1 - 2; 2 \cdot 1 + 3) = (0; 5)$

в) Площади подобных треугольников $4$ и $9$ . Как относятся периметры?

Периметры — как $4 : 9$

$k^{2} = \frac{4}{9}$ , $k = \frac{2}{3}$

Периметры — как $2 : 3$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) В $△ BOC \sim △ D O A$ сторона $BO$ соответствует $D O$ (против равных углов $∠ BCO = ∠ D A O$ ), а $BC$ — $D A$ : $\frac{BO}{O D} = \frac{BC}{A D} = \frac{1}{3}$ , $O D = 9$ (сл. 10). Сигнал ошибки: против большего основания отрезок $O D = 1$ оказался меньше $BO = 3$ .
б) Ученик применил правило $(x; y) \to (- x; - y)$ , верное только для центра $O (0; 0)$ . Для центра $M$ : $A^{'} = (2 m - x; 2 n - y) = (0; 5)$ . Проверка: середина $(2; - 3)$ и $(0; 5)$ — $(1; 1)$ ✓.
в) Периметры относятся как $k$ , площади — как $k^{2}$ : $k = 4/9 = 2/3$ .

R07.16 · R07.17 · R07.18

Задания с самопроверкой · база

Движения, симметрия, подобие

базаОбраз $A (- 5; 2)$ при симметрии относительно $O x$ ? $(- 5; - 2)$
базаПеренос на $p (2; - 3)$ переводит $B (1; 4)$ в …? $(3; 1)$
базаСколько осей симметрии у квадрата? $4$

база $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $A B = 6$ , $A_{1} B_{1} = 9$ , $BC = 8$ . Найдите $B_{1} C_{1}$ . $12$
база $k = 2$ , площадь меньшей фигуры $5$ . Площадь большей? $20$
базаПериметры подобных треугольников $12$ и $18$ , сторона меньшего $4$ . Сходственная сторона большего? $6$

R07.16 · R07.17 · R07.22

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Точки $A (- 1; 4)$ и $B (5; - 2)$ симметричны относительно точки $M$ . Найдите $M$ . $(2; 1)$
повыш.При повороте на $9 0^{\circ}$ против часовой стрелки вокруг начала координат точка $K (3; 1)$ переходит в …? $(- 1; 3)$
повыш.В трапеции $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ) диагонали пересекаются в $O$ , $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 25$ , $BC = 6$ . Найдите $A D$ . $15$
из жизниМодель самолёта в масштабе $1 : 72$ имеет размах крыльев $25$ см. Размах крыльев самолёта? $18$ м

R07.17 · R07.18 · ОГЭ 15, 19

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Задачи с кратким ответом

15 В треугольнике $A BC$ отрезок $D E$ — средняя линия. Площадь треугольника $C D E$ равна $6$ . Найдите площадь треугольника $A BC$ . $24$

19 Какие из утверждений верны? В ответ запишите номера.

Квадрат имеет четыре оси симметрии.
Любой параллелограмм имеет ось симметрии.
Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Окружность имеет бесконечно много осей симметрии.

Ответ: 14

В бланк — только число или номера, без пробелов и знаков.

R07.16 · R07.17 · R07.18

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Образ $A (4; - 1)$ при симметрии относительно оси $O y$ ? $(- 4; - 1)$
Сколько осей симметрии у ромба, не являющегося квадратом? Есть ли центр? $2$ ; да
Стороны треугольника $3$ , $5$ , $7$ . Периметр подобного ему $45$ . Его наибольшая сторона? $21$
$k = 3$ , площадь меньшего треугольника $4$ . Площадь большего? $36$

Вариант 2

Образ $B (- 3; 5)$ при симметрии относительно начала координат? $(3; - 5)$
Сколько осей симметрии у прямоугольника, не являющегося квадратом? Есть ли центр? $2$ ; да
Стороны треугольника $4$ , $6$ , $8$ . Периметр подобного ему $9$ . Его наименьшая сторона? $2$
Площади подобных треугольников $50$ и $8$ . Коэффициент подобия (большего к меньшему)? $2, 5$

R07.15–R07.18

Итог урока

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Чем движение отличается от подобия?
Как найти образ точки при симметрии относительно точки $M$ ?
Во сколько раз меняется площадь при подобии?

Дома

Поверните $△ A BC$ , $A (1; 2)$ , $B (3; - 1)$ , $C (0; - 2)$ , на $9 0^{\circ}$ вокруг $O$ против часовой стрелки.
Основания трапеции $5$ и $10$ , $S_{A O D} = 20$ . Найдите $S_{BOC}$ .
Тренажёры:
reknow.ru/9/geometry/9_geometry_dvizheniya.htm
reknow.ru/9/geometry/9_geometry_podobie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-066 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 7 ч · урок 5/7 · тип О · содержание урока: преобразования плоскости, движения, подобие, симметрия
Единицы → слайды	R07.15 → 4 · R07.16 → 5, 6, 12, 14–17, 19 · R07.17 → 9–11, 13–19 · R07.18 → 5, 7, 8, 12, 14, 18, 19 · опора: R07.10, R07.14, R07.21, R07.22 → 6, 7, 8, 11, 13
Результаты	ПР-9 = REQ-6.9 → 2–8, 12, 14–19 · ПР-4 = REQ-6.4 → 9–11, 13–19 · ПР-7 = REQ-6.7 → 5, 6, 16, 17 · ПР-10 = REQ-6.10 → 13, 17 · EL-6.3, EL-6.11
ОГЭ	линия 15 → 18; линия 19 → 18; к линиям 17 и 24 → 10, 12
Вне урока	треугольники, окружность, четырёхугольники, тригонометрия, площади, координаты и векторы — другие уроки повторения R07 (GEOM9-062…068)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %) · разобранных примеров «Образец → сам» — 6
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Движения, симметрия, подобие: преобразования плоскости

Сегодня вы повторите и свяжете

Движения

Симметрия фигур

Подобие

Модель задачи

Восемь вопросов — по 15 секунд

Три преобразования — одна идея

Четыре движения — четыре правила для координат

Осевая симметрия

Центральная симметрия

Параллельный перенос

Поворот на 90∘

Правило → координаты вершин → чертёж

Образец: постройте образ △ABC, A(2;1), B(5;1), C(2;4), при симметрии относительно оси Oy.

Сам

Сколько осей и есть ли центр

Равнобедренный △

Равносторонний △

Равнобокая трапеция

Параллелограмм

Прямоугольник

Ромб

Квадрат

Окружность

Считаем оси по типам и проверяем центр

Образец: сколько осей симметрии у правильного шестиугольника? Есть ли центр симметрии?

Сам: осей? центр?

Стороны — в k раз, углы равны, площади — в k2 раз

Диагонали трапеции отсекают подобные треугольники

Образец: ABCD — трапеция, BC∥AD, BC=4, AD=12, BO=3. Найдите OD.

Сам: та же трапеция

Сначала коэффициент, потом его квадрат

Образец: MN∥AC, BM:MA=2:3, SABC​=50. Найдите SMBN​.

Сам

Симметрия — короткий путь к равенству отрезков

Образец: AB=BC, M и N — середины AB и BC. Докажите, что AN=CM.

Сам: план доказательства

План — фигура, подобная настоящей

Образец: на плане в масштабе 1:200 комната — прямоугольник 2,5 см×3 см. Найдите площадь комнаты.

Сам

Так нельзя

Площади подобных фигур

Оси параллелограмма

Симметрия относительно Ox

Где ошибся ученик?

а) Трапеция, BC∥AD, BC=4, AD=12, BO=3. Найдите OD.

б) Образ A(2;−3) при симметрии относительно точки M(1;1).

в) Площади подобных треугольников 4 и 9. Как относятся периметры?

Движения, симметрия, подобие

Подумайте и решите

Задачи с кратким ответом

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Дома

GEOM9-066 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поворот на $9 0^{\circ}$

Образец: постройте образ $△ A BC$ , $A (2; 1)$ , $B (5; 1)$ , $C (2; 4)$ , при симметрии относительно оси $O y$ .

Стороны — в $k$ раз, углы равны, площади — в $k^{2}$ раз

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 12$ , $BO = 3$ . Найдите $O D$ .

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{MBN}$ .

Образец: $A B = BC$ , $M$ и $N$ — середины $A B$ и $BC$ . Докажите, что $A N = CM$ .

Образец: на плане в масштабе $1 : 200$ комната — прямоугольник $2, 5 см \times 3 см$ . Найдите площадь комнаты.

Симметрия относительно $O x$

а) Трапеция, $BC ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 12$ , $BO = 3$ . Найдите $O D$ .

б) Образ $A (2; - 3)$ при симметрии относительно точки $M (1; 1)$ .

в) Площади подобных треугольников $4$ и $9$ . Как относятся периметры?