Повторение, обобщение, систематизация знаний · урок 4 из 7 · обобщение

Повторение: площади фигур

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R07 · GEOM9-065

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (7 ч), урок 4/7, тип О. Единицы урока: R07.3 «Измерение геометрических величин», R07.19 «Площадь», R07.20 «Вычисление площадей», R07.21 «Площади подобных фигур»; связи с R07.12–R07.13 (тригонометрия), R07.17 (подобие).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 площади многоугольников 2 · 5 площадь треугольника, вывод $S = \frac{1}{2} ab sin C$ 2,5 · 6 площади подобных фигур 2,5 · 7 круг и сектор 2,5 · 8 схема-конспект 1,5. Тип О — теория только сводкой.
Практика (32): 3 разминка 2 · 9–13 пять «Образец → сам» по 2,5 · 14 типичные ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 3 · 17 повышенный 2,5 · 18 ОГЭ 2,5 · 19 самостоятельная 5 · 20 итог 1.
Если не успеваете: в образцах «сам» — по одному заданию, повышенный уровень (сл. 17) — в ДЗ; сводки не выбрасывать.
На титуле: средние линии делят треугольник на 4 равных треугольника, подобных исходному с $k = \frac{1}{2}$ — площадь в $k^{2} = \frac{1}{4}$ раза; сектор круга.
Нужны: калькулятор (задача из жизни), листы в клетку.

R07.19 · R07.20 · R07.21

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Площади многоугольников

выбирать формулу: через высоту, диагонали, клетки (R07.19, R07.20)

$S = \frac{1}{2} ab sin C$

находить площадь по двум сторонам и углу, в том числе тупому (ПР-2, ПР-3)

Подобные фигуры

площади относятся как $k^{2}$ (ПР-4, R07.21)

Круг и сектор

площадь круга, сектора, длина дуги; задачи из жизни (ПР-8, ПР-10)

1 мин · теория
ПР-2 = REQ-6.2: «Пользоваться формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством…» — нужно для $sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ}$ .
ПР-3 = REQ-6.3: «Использовать теоремы синусов и косинусов… (решение треугольников)» — формула площади через синус угла.
ПР-4 = REQ-6.4: «…свойствами подобия произвольных фигур…». ПР-8 = REQ-6.8: «…вычислять площадь круга и его частей». ПР-10 = REQ-6.10: модели задач реальной жизни.
Вид деятельности R07: «Использовать формулы периметра и площади многоугольников, длины окружности и площади круга… Выбирать метод для решения задачи».

повторение: R03, R05

Разминка · устно

Площади — в уме

$S$ прямоугольника $7 \times 6$ $42$
$S$ треугольника: основание $10$ , высота $7$ $35$
$S$ трапеции: основания $3$ и $7$ , высота $4$ $20$
$S$ ромба с диагоналями $6$ и $8$ $24$

$sin 15 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$
$S$ круга радиуса $3$ $9 π$
Длина окружности радиуса $5$ $10 π$
Стороны выросли в $2$ раза. Площадь — во сколько раз? в $4$

R07.19 · R07.20

Сводка формул · многоугольники

Площадь: высота, диагонали или угол

Прямоугольник

S = ab

Параллелограмм

S = ah

S = ab sin α

Треугольник

S = \frac{1}{2} ah

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} h

Ромб

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

Свойства площади: равные фигуры — равные площади; фигуру можно разбить на части и сложить их площади.

Высота — перпендикуляр к стороне, а не боковая сторона.

R07.20 · R07.13

Сводка · площадь треугольника

Три формулы площади треугольника

S = \frac{1}{2} a h

S = \frac{1}{2} a b sin C

S = p r, p = \frac{a + b + c}{2}

Угол тупой?

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α

:

sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}

2,5 мин · теория
Вывод (по клику — высота): в $△ A H C$ $∠ H = 9 0^{\circ}$ , $A H = A C sin C = b sin C$ ; подставляем в $S = \frac{1}{2} ah$ — получаем $S = \frac{1}{2} ab sin C$ : «половина произведения двух сторон на синус угла между ними».
Вопрос: какой угол брать? (только угол между данными сторонами.) Если угол тупой, высота падает на продолжение стороны, но формула та же: $sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ (формулы приведения, R01).
$S = p r$ — $r$ радиус вписанной окружности, $p$ полупериметр: разбиение на три треугольника с высотой $r$ .
Цвета на чертеже и в формулах совпадают: $a$ — бирюзовый, $b$ — розовый, $h$ — фиолетовый.

R07.21 · R07.17

Сводка · площади подобных фигур

Стороны в $k$ раз — площадь в $k^{2}$ раз

\frac{S _{2}}{S _{1}} = k^{2}

Периметры, высоты, медианы — в

k

раз

k = 3

: площадь — в

9

раз

Для любых подобных фигур, в том числе кругов

R07.3 · R07.20

Сводка · круг и его части

Окружность, круг, сектор

C = 2 π R, S = π R^{2}

S_{сект} = \frac{π R ^{2}}{36 0 ^{\circ}} \cdot α

l = \frac{2 π R}{36 0 ^{\circ}} \cdot α

Ответ с

π

— точно;

π \approx 3, 14

— приближённо

R07.19 · R07.20 · R07.21

Схема-конспект · какую формулу выбрать

Что известно → формула

Известно	Формула
сторона и высота к ней	$S = \frac{1}{2} ah$ , $S = ah$ , $S = \frac{a + b}{2} h$
две стороны и угол между ними	$S = \frac{1}{2} ab sin C$ (треуг.), $S = ab sin α$ (паралл.)
площадь подобной фигуры и $k$	$S_{2} = k^{2} S_{1}$
радиус и угол сектора	$S = π R^{2}$ , $S_{сект} = \frac{π R ^{2} α}{36 0 ^{\circ}}$
фигура на клетчатой бумаге	по формуле или «достроить до прямоугольника и вычесть»

R07.20 · R07.13

Образец → сам · две стороны и угол

$A B = 6$ , $A C = 10$ , $∠ A = 15 0^{\circ}$ . Найдите $S$

Образец

1

sin 15 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 3 0^{\circ}) = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

формула приведения

2

S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 15

S = \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot sin A

3Проверка:

B H = 3

,

S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3 = 15

высота на продолжение

C A

Сам

Треугольник: стороны $8$ и $5$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . $S$ ? $10$
Параллелограмм: стороны $6$ и $9$ , угол $15 0^{\circ}$ . $S$ ? $27$
$S = 12$ , стороны $6$ и $8$ , угол между ними острый. Угол? $3 0^{\circ}$

R07.19 · R07.20 · ОГЭ 18

Образец → сам · клетчатая бумага

Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь

Образец: «достроить и вычесть»

$6 \times 5 = 30$ описанный прямоугольник
Углы: $6 + 6 + 5 = 17$ три прямоугольных треугольника $\frac{1}{2} ab$
$S = 30 - 17 = 13$ свойство площади: разность

а) трапеция, $S$ ? $20$

б) треугольник, $S$ ? $6$

в) ромб, $S$ ? $12$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): вершины треугольника в узлах $(0; 0)$ , $(6; 2)$ , $(2; 5)$ . Описанный прямоугольник $6 \times 5 = 30$ ; угловые треугольники: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$ (бирюзовый), $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ (жёлтый), $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 = 5$ (розовый). $S = 30 - 17 = 13$ .
Сам (1,5 мин): а) основания $3$ и $7$ , высота $4$ : $\frac{3 + 7}{2} \cdot 4 = 20$ . б) основание $4$ , высота $3$ (падает вне треугольника): $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ . в) диагонали $6$ и $4$ : $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ .
Ошибка в б): высоту ищут как наклонную сторону; высота — расстояние по вертикали до прямой основания, 3 клетки.

R07.21 · R07.17

Образец → сам · площади подобных треугольников

$MN ∥ A C$ , $BM : B A = 1 : 3$ , $S_{A BC} = 45$

Образец: найдите $S_{MBN}$ и $S_{A MNC}$

$△ MBN \sim △ A BC$ $∠ B$ общий, $∠ BMN = ∠ B A C$ (соответственные при $MN ∥ A C$ )
$k = \frac{BM}{B A} = \frac{1}{3}$ соответственные стороны
$S_{MBN} = 45 \cdot \frac{1}{9} = 5$ площади — как $k^{2}$
$S_{A MNC} = 45 - 5 = 40$ свойство площади

Сам

Средняя линия отсекает треугольник площадью $8$ . $S$ исходного? $32$
$△ \sim △$ : $S$ равны $18$ и $50$ , сторона меньшего $6$ . Соответственная сторона большего? $10$
$MN ∥ A C$ , $BM = 4$ , $M A = 6$ , $S_{MBN} = 8$ . $S_{A BC}$ ? $50$

R07.20 · R07.3

Образец → сам · сектор и кольцо

Круг радиуса $6$ , сектор $12 0^{\circ}$

Образец: площадь сектора и длина его дуги

$\frac{12 0 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} = \frac{1}{3}$ доля круга
$S_{сект} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 6^{2} = 12 π \approx 37, 7$ $S = π R^{2}$
$l = \frac{1}{3} \cdot 2 π \cdot 6 = 4 π \approx 12, 6$ $C = 2 π R$

Сам

$R = 10$ , сектор $9 0^{\circ}$ . $S_{сект}$ ? $25 π$
$S$ круга $49 π$ . Радиус и длина окружности? $7$ ; $14 π$
Кольцо между окружностями радиусов $5$ и $3$ . $S$ ? $16 π$

R07.21 · R07.20

Образец → сам · задача из жизни

Одна пицца $30$ см или две по $20$ см?

Образец: где больше пиццы (диаметры в см)?

1

π \cdot 1 5^{2} = 225 π

радиус

15

см

2

2 \cdot π \cdot 1 0^{2} = 200 π

две пиццы, радиус

10

см

3Одна большая больше на

25 π \approx 79

см²сравниваем площади, а не диаметры:

30 < 40

, но

225 π > 200 π

Сам (калькулятор можно)

базаВо сколько раз пицца $40$ см больше пиццы $20$ см? в $4$
практика $40$ см — $800$ ₽, $20$ см — $250$ ₽. Что выгоднее? $40$ см
повыш.Клумба — круг $R = 3$ м, $4$ растения на м². Сколько купить? $114$

R07.20 · R07.21

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Перемножили стороны

✗ $S = 6 \cdot 10 = 60$

$6$ — не высота: нужен $sin$ угла

✓ $S = 6 \cdot 10 \cdot sin 3 0^{\circ} = 30$

$k$ вместо $k^{2}$

✗ площадь больше в $3$ раза

площади подобных — как $k^{2}$

✓ в $3^{2} = 9$ раз

Диаметр вместо радиуса

✗ $S = π \cdot 1 0^{2} = 100 π$

в $S = π R^{2}$ — радиус, $R = 5$

✓ $S = π \cdot 5^{2} = 25 π$

R07.20 · R07.21

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A B = 6$ , $A C = 8$ ,
$∠ A = 15 0^{\circ}$ ; $S$ ?

$sin 15 0^{\circ} = \frac{3}{2}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{3}{2} = 123$

$sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 12$

б) $MN$ — средняя линия, $S_{A BC} = 48$ ; $S_{MBN}$ ?

$k = \frac{1}{2}$ , значит $S_{MBN} = \frac{48}{2} = 24$

площади — как $k^{2} = \frac{1}{4}$

$S_{MBN} = \frac{48}{4} = 12$

в) $R = 6$ , сектор $6 0^{\circ}$ ; $S_{сект}$ ?

$S = \frac{π \cdot 6 \cdot 6 0 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} = π$

в формуле $R^{2}$ , а не $R$

$S = \frac{π \cdot 36}{6} = 6 π$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Ученик взял $sin 15 0^{\circ}$ равным $sin 6 0^{\circ}$ . По формуле приведения $sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ; $S = 12$ .
б) $k = \frac{1}{2}$ верно, но площадь уменьшается в $k^{2} = \frac{1}{4}$ : $S = 12$ . Проверка: средние линии делят треугольник на 4 равные части.
в) В формуле площади сектора — $R^{2}$ : $S = \frac{60}{360} \cdot 36 π = 6 π \approx 18, 8$ . Для сравнения длина дуги $l = \frac{1}{6} \cdot 12 π = 2 π$ — ответ ученика $π$ не совпадает ни с чем, это сигнал ошибки.

R07.20

Задания с самопроверкой · база

Найдите площадь

база

а) $S_{A BC}$
$17, 5$

база

б) $S$ круга и длина окружности
$16 π$ ; $8 π$

база

в) $S$ ромба
$18$

R07.20 · R07.21

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Чертёж — сами

повыш. $S_{A BC} = 20$ , $A B = 8$ , $A C = 10$ , угол $A$ тупой. Найдите $∠ A$ . $15 0^{\circ}$
повыш.Площади подобных треугольников $27$ и $75$ , периметр меньшего $15$ . Периметр большего? $25$
повыш.Хорда круга радиуса $6$ стягивает дугу $9 0^{\circ}$ . Найдите площадь меньшего сегмента. $9 π - 18$
повыш.Прямоугольник $6 \times 8$ вписан в окружность. Найдите площадь части круга вне прямоугольника. $25 π - 48$

R07.20 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 17

Ответ — одно число

17 1. Стороны параллелограмма $A BC D$ равны $8$ и $10$ , угол $A$ равен $3 0^{\circ}$ . Найдите его площадь.

Ответ: ________ $40$

Ещё два задания линии 17

Сторона ромба $10$ , один из углов $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь ромба. $50$
Основания трапеции $4$ и $12$ , боковая сторона $8$ образует с основанием угол $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь. $32$

R07.20 · R07.21

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Стороны треугольника $12$ и $5$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $15$
Найдите площадь круга радиуса $9$ . $81 π$
$△ \sim △$ , $k = 3$ , площадь меньшего $7$ . Площадь большего? $63$
Радиус $6$ , сектор $6 0^{\circ}$ . Найдите $S_{сект}$ . $6 π$

Вариант 2

Стороны треугольника $14$ и $6$ , угол между ними $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $21$
Найдите площадь круга диаметра $10$ . $25 π$
$△ \sim △$ , $k = 2$ , площадь большего $36$ . Площадь меньшего? $9$
Радиус $12$ , сектор $3 0^{\circ}$ . Найдите $S_{сект}$ . $12 π$

R07.19 · R07.20 · R07.21

Итог урока

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Две стороны и угол — какая формула?
Стороны в $k$ раз — площадь во сколько?
Как найти площадь сектора?

Дома

$A B = 10$ , $A C = 12$ , $∠ A = 15 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC}$ .
$MN ∥ A C$ , $BM : M A = 3 : 2$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{MBN}$ .
Радиус $9$ , сектор $4 0^{\circ}$ . Найдите его площадь и длину дуги.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_ploshchad.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-065 · Повторение: площади фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 7 ч · урок 4/7 · тип О
Единицы → слайды	R07.3 «Измерение геометрических величин» → 7, 12 · R07.19 «Площадь» → 4, 10 · R07.20 «Вычисление площадей» → 3–5, 7–10, 12–19 · R07.21 «Площади подобных фигур» → 6, 11, 13–15, 17, 19
Результаты	ПР-2 = REQ-6.2 (формулы приведения) → 3, 5, 9, 15 · ПР-3 = REQ-6.3 ( $S = \frac{1}{2} ab sin C$ ) → 5, 9, 16–19 · ПР-4 = REQ-6.4 (подобие) → 6, 11, 13, 14, 15, 17, 19 · ПР-8 = REQ-6.8 (круг и его части) → 7, 12, 13, 14, 16, 17, 19 · ПР-10 = REQ-6.10 (практические задачи) → 13
ОГЭ	линия 17 (четырёхугольники) → 18; линия 18 (клетчатая бумага) → 10; линии 15, 16 → 9, 12, 16
Вне урока	теоремы синусов и косинусов, векторы, координаты, движения — другие уроки повторения R07 (GEOM9-062…GEOM9-068)
Формат	тип О, теория 13 мин · практика 32 мин (71 %); 5 образцов «Образец → сам», разбор ошибок — сл. 14–15, самостоятельная — сл. 19
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение: площади фигур

Сегодня вы повторите и научитесь

Площади многоугольников

S=21​absinC

Подобные фигуры

Круг и сектор

Площади — в уме

Площадь: высота, диагонали или угол

Прямоугольник

Параллелограмм

Треугольник

Трапеция

Ромб

Три формулы площади треугольника

Стороны в k раз — площадь в k2 раз

Окружность, круг, сектор

Что известно → формула

AB=6, AC=10, ∠A=150∘. Найдите S

Образец

Сам

Клетка 1×1. Найдите площадь

Образец: «достроить и вычесть»

MN∥AC, BM:BA=1:3, SABC​=45

Образец: найдите SMBN​ и SAMNC​

Сам

Круг радиуса 6, сектор 120∘

Образец: площадь сектора и длина его дуги

Сам

Одна пицца 30 см или две по 20 см?

Образец: где больше пиццы (диаметры в см)?

Сам (калькулятор можно)

Неверно → почему → верно

Перемножили стороны

k вместо k2

Диаметр вместо радиуса

Где ошибся ученик?

а) AB=6, AC=8,∠A=150∘; S?

б) MN — средняя линия, SABC​=48; SMBN​?

в) R=6, сектор 60∘; Sсект​?

Найдите площадь

Чертёж — сами

Ответ — одно число

Ещё два задания линии 17

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Дома

GEOM9-065 · Повторение: площади фигур

$S = \frac{1}{2} ab sin C$

Стороны в $k$ раз — площадь в $k^{2}$ раз

$A B = 6$ , $A C = 10$ , $∠ A = 15 0^{\circ}$ . Найдите $S$

Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь

$MN ∥ A C$ , $BM : B A = 1 : 3$ , $S_{A BC} = 45$

Образец: найдите $S_{MBN}$ и $S_{A MNC}$

Круг радиуса $6$ , сектор $12 0^{\circ}$

Одна пицца $30$ см или две по $20$ см?

$k$ вместо $k^{2}$

а) $A B = 6$ , $A C = 8$ ,
$∠ A = 15 0^{\circ}$ ; $S$ ?

б) $MN$ — средняя линия, $S_{A BC} = 48$ ; $S_{MBN}$ ?

в) $R = 6$ , сектор $6 0^{\circ}$ ; $S_{сект}$ ?