Повторение и обобщение · урок 3 из 7

Повторение: окружность и круг

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R07 · GEOM9-064

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (7 ч), урок 3/7, тип О. Тема урока внутри строки — окружность и круг (единицы R07.7, R07.8, R07.9, R07.11, R07.14, R07.20).
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка «углы» 2,5 · сводка «касательная, хорды, секущие» 2,5 · сводка «вписанные и описанные» 2,5 · сводка «длина и площадь» 2,5 · демонстрационный пример 2.
Практика (32): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2 + 2,5 + 2 + 2,5 + 2 · ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2 · ОГЭ 16/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: ОГЭ 24 и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; сводки не пропускать — по ним решается вся практика.

R07.7 · R07.8 · R07.9 · R07.11 · R07.20

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь уверенно

Находить углы в окружности

центральные и вписанные, угол на диаметр

Применять касательную, хорды, секущие

отрезки и их произведения (ПР-5)

Находить радиусы $R$ и $r$

вписанной и описанной окружностей, в том числе через $\frac{a}{s i n A} = 2 R$ (ПР-3)

Считать длины и площади

окружность, дуга, круг, сектор — точно и приближённо (ПР-8)

0,5 мин · теория
ПР-3: «Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения различных элементов треугольника». ПР-5: «Пользоваться теоремами о произведении отрезков хорд, о произведении отрезков секущих, о квадрате касательной». ПР-8: «Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности… уметь вычислять площадь круга и его частей».
Виды деятельности R07: решать задачи на повторение основных понятий, иллюстрацию связей между частями курса, выбирать метод решения, решать задачи из повседневной жизни («Окружность и круг»).

R07.7 · R07.20

Разминка · устно

Семь быстрых вопросов

На рисунке $∠1 = 11 0^{\circ}$ . Чему равен $∠2$ ? $5 5^{\circ}$
А если $∠2 = 3 2^{\circ}$ , то $∠1$ ? $6 4^{\circ}$
Вписанный угол опирается на диаметр. Он равен… $9 0^{\circ}$
Угол между касательной и радиусом в точку касания? $9 0^{\circ}$
$R = 4$ . Длина окружности? $8 π$
Площадь круга с диаметром $10$ ? $25 π$
$A BC D$ вписан в окружность, $∠ A = 7 0^{\circ}$ . $∠ C$ ? $11 0^{\circ}$

R07.7

Сводка правил · углы в окружности

Центральный угол и вписанные углы

Центральный угол равен дуге:

∠ A OB = A B ⌢

Вписанный угол равен половине дуги:

∠ A CB = \frac{1}{2} A B ⌢

Вписанные углы на одну дугу равны:

∠ A CB = ∠ A D B

На диаметр — прямой угол; во вписанном четырёхугольнике

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}

2,5 мин · теория
Цвета: розовый — центральный угол и его дуга, бирюзовый и синий — два вписанных угла на ту же дугу. Вопрос: «почему ∠C = ∠D?» — оба равны половине одной и той же дуги AB.
Следствия: угол на диаметр опирается на дугу 180° ⇒ 90°; во вписанном четырёхугольнике противоположные углы опираются на дуги, дающие вместе 360° ⇒ сумма 180°.
Важно: вершина вписанного угла — на окружности; если точка C на меньшей дуге AB, то угол опирается на большую дугу (360° − дуга AB).

R07.7

Образец → сам · вписанный и центральный углы

Угол на диаметр и центральный угол

Образец: $A B$ — диаметр, $∠ A BC = 3 4^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ и $∠ A OC$ .

$∠ A CB = 9 0^{\circ}$ опирается на диаметр

$∠ B A C = 9 0^{\circ} - 3 4^{\circ} = 5 6^{\circ}$ сумма острых углов

$∠ A OC = 2 \cdot 3 4^{\circ} = 6 8^{\circ}$ центральный на дугу $A C$

Сам

$∠ A OB = 14 0^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге. Найдите $∠ A CB$ . $7 0^{\circ}$
Вписанный $∠ A CB = 3 8^{\circ}$ . Найдите центральный $∠ A OB$ . $7 6^{\circ}$
$A B$ — диаметр, $∠ B A C = 2 7^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ . $6 3^{\circ}$

R07.9

Сводка правил · касательная, хорды, секущие

Три теоремы об отрезках

Касательные из точки $M$

O A ⊥ M A

,

M A = MB

касательная ⟂ радиусу; отрезки касательных равны

Хорды $A B$ и $C D$

A E \cdot EB = CE \cdot E D

произведения отрезков хорд равны

Касательная и секущая

M K^{2} = M A \cdot MB

квадрат касательной = секущая · внешняя часть

R07.9

Образец → сам · касательная к окружности

Касательная + теорема Пифагора

Образец: $M K$ — касательная, $R = 5$ , $MO = 13$ . Найдите $M K$ .

$O K ⊥ M K$ касательная ⟂ радиусу

$M K^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 144$ теорема Пифагора в $△ O K M$

$M K = 12$

Сам

$R = 8$ , $M K = 15$ . Найдите $MO$ . $17$
$M A$ и $MB$ — касательные, $∠ A OB = 13 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A MB$ . $5 0^{\circ}$
$M A$ , $MB$ — касательные, $∠ A MB = 6 0^{\circ}$ , $M A = 63$ . Найдите $R$ . $6$

R07.9

Образец → сам · хорды и секущие

Произведения отрезков

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ , $A E = 4$ , $EB = 9$ , $CE = 6$ . Найдите $C D$ .

$A E \cdot EB = CE \cdot E D$ теорема о хордах

$4 \cdot 9 = 6 \cdot E D$ , $E D = 6$

$C D = 6 + 6 = 12$

Сам

$A E = 5$ , $EB = 8$ , $CE = 10$ . Найдите $E D$ . $4$
$M K$ — касательная, секущая $MB$ : $M A = 4$ , $MB = 16$ . Найдите $M K$ . $8$
$M K = 6$ , $M A = 3$ (внешняя часть). Найдите хорду $A B$ . $9$

R07.8 · R07.11

Сводка правил · вписанные и описанные окружности

Где центр и чему равен радиус

Описанная: центр $O$

пересечение серединных перпендикуляров

$\frac{a}{sin A} = 2 R$ ; прямоугольный: $R = \frac{c}{2}$

Вписанная: центр $I$

пересечение биссектрис, $p$ — полупериметр

$S = p r$ ; прямоугольный: $r = \frac{a + b - c}{2}$

2,5 мин · теория
Центр описанной окружности равноудалён от вершин ⇒ лежит на серединных перпендикулярах к сторонам; центр вписанной равноудалён от сторон ⇒ лежит на биссектрисах углов.
2R = a / sin A — следствие теоремы синусов (ПР-3). В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы, R = c/2.
Четырёхугольники: в окружность можно вписать ⇔ ∠A + ∠C = 180° (∠B + ∠D = 180°); около окружности можно описать (выпуклый) ⇔ AB + CD = BC + AD. Правильный треугольник со стороной a: R = a√3/3, r = a√3/6, R = 2r.

R07.8

Образец → сам · радиусы R и r треугольника

Описанная и вписанная окружности

Образец: катеты прямоугольного треугольника $6$ и $8$ . Найдите $R$ и $r$ .

$c = 6^{2} + 8^{2} = 10$ теорема Пифагора

$R = \frac{10}{2} = 5$ центр — середина гипотенузы

$r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2$

Сам

Катеты $5$ и $12$ . Найдите $R$ и $r$ . $R = 6, 5$ , $r = 2$
Сторона правильного треугольника $63$ . Найдите $R$ и $r$ . $R = 6$ , $r = 3$
В $△ A BC$ : $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $BC = 7$ . Найдите $R$ . $7$

R07.11

Образец → сам · вписанные и описанные четырёхугольники

Признаки по углам и по сторонам

Образец: $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A = 6 8^{\circ}$ , $∠ B = 10 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ .

$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ вписанный четырёхугольник

$∠ C = 11 2^{\circ}$

$∠ D = 18 0^{\circ} - 10 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$

Описанный четырёхугольник: $A B + C D = BC + A D$ .

Сам

$A BC D$ описан около окружности, $A B = 7$ , $BC = 9$ , $C D = 10$ . Найдите $A D$ . $8$
Описанный четырёхугольник: $P = 36$ , $A B = 11$ . Найдите $C D$ . $7$
Можно ли вписать в окружность параллелограмм с углом $7 0^{\circ}$ ? нет

R07.14 · R07.20

Сводка правил · длина окружности и площадь круга

Окружность, дуга, круг, сектор

C = 2 π R

длина окружности

S = π R^{2}

площадь круга

l = \frac{π R α}{18 0 ^{\circ}}

длина дуги

S = \frac{π R ^{2} α}{36 0 ^{\circ}}

площадь сектора

Правильный

n

-угольник: центральный угол

\frac{36 0 ^{\circ}}{n}

; у шестиугольника

a_{6} = R

.

R07.14 · R07.20

Демонстрационный пример · учитель решает

Шестиугольник в круге

Правильный шестиугольник со стороной

4

вписан в окружность. Найдите длину окружности и площадь закрашенной части круга.

1

R = a_{6} = 4

шесть правильных треугольников со стороной

4

2

C = 2 π \cdot 4 = 8 π

,

S_{круга} = 16 π

3

S_{6} = 6 \cdot \frac{4 ^{2} 3}{4} = 243

площадь правильного треугольника

\frac{a ^{2} 3}{4}

4

16 π - 243 \approx 8, 7

R07.20

Образец → сам · длина дуги и площадь сектора

Доля от окружности и круга

Образец: $R = 6$ , центральный угол $12 0^{\circ}$ . Найдите длину дуги и площадь сектора.

$\frac{12 0 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} = \frac{1}{3}$ доля круга

$l = \frac{1}{3} \cdot 2 π \cdot 6 = 4 π$

$S = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 6^{2} = 12 π$

Сам

$R = 9$ , $α = 4 0^{\circ}$ . Найдите длину дуги. $2 π$
$R = 10$ , $α = 7 2^{\circ}$ . Найдите площадь сектора. $20 π$
Длина окружности $18 π$ . Найдите площадь круга. $81 π$

R07.7 · R07.9 · R07.20

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Дуга $10 0^{\circ}$ ⇒ вписанный угол $10 0^{\circ}$	дуге равен центральный угол	вписанный $= 5 0^{\circ}$
$M K = MO - R$	$△ O K M$ прямоугольный: $O K ⊥ M K$	$M K^{2} = M O^{2} - R^{2}$
$M K^{2} = M A \cdot A B$	берут всю секущую, а не хорду	$M K^{2} = M A \cdot MB$
$C = π R^{2}$ , $S = 2 π R$	длина — в единицах, площадь — в квадратных единицах	$C = 2 π R$ , $S = π R^{2}$

R07.7 · R07.9

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $C$ — на меньшей дуге $A B$ , $∠ A OB = 8 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A CB$ .

$∠ A CB = 8 0^{\circ} : 2 = 4 0^{\circ}$

угол опирается на дугу $28 0^{\circ}$ : $∠ A CB = 14 0^{\circ}$

б) Хорды: $A E = 3$ , $EB = 8$ , $CE = 4$ . Найдите $E D$ .

$E D = \frac{3 \cdot 4}{8} = 1, 5$

$A E \cdot EB = CE \cdot E D$ : $E D = \frac{24}{4} = 6$

в) Секущая: $M A = 4$ , $A B = 5$ . Найдите касательную $M K$ .

$M K^{2} = 4 \cdot 5 = 20$ , $M K = 25$

$MB = 9$ , $M K^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ , $M K = 6$

R07.7 · R07.8 · R07.9 · R07.20

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаВписанный угол опирается на дугу $13 6^{\circ}$ . Найдите угол. $6 8^{\circ}$
база $A B$ — диаметр, $∠ B A C = 4 1^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ . $4 9^{\circ}$
база $R = 7$ , $MO = 25$ . Найдите касательную $M K$ . $24$

базаХорды: $A E = 6$ , $EB = 4$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $8$
базаКатеты $9$ и $12$ . Найдите $R$ описанной окружности. $7, 5$
база $R = 5$ . Найдите длину окружности и площадь круга. $10 π$ и $25 π$

R07.7 · R07.8 · R07.9 · R07.20

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A B D = 4 0^{\circ}$ , $∠ D BC = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ . $10 5^{\circ}$
повыш.Стороны треугольника $13$ , $14$ , $15$ , его площадь $84$ . Найдите радиус вписанной окружности. $4$
повыш.Касательная $M K = 12$ ; секущая из $M$ проходит через центр, ближняя точка пересечения $A$ , $M A = 8$ . Найдите $R$ . $5$
из жизниКолесо велосипеда диаметром $70$ см. Сколько полных оборотов оно сделает на пути $1$ км? $454$

R07.7 · R07.8 · R07.9 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Треугольник $A BC$ вписан в окружность с центром $O$ , $∠ B A C = 3 2^{\circ}$ . Найдите $∠ BOC$ . $64$
ОГЭ 16Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром $O$ пересекаются под углом $7 2^{\circ}$ . Найдите $∠ A BO$ . $36$
ОГЭ 16Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $6$ . Найдите высоту треугольника. $18$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вписанный угол равен дуге, на которую он опирается.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Центр описанной окружности треугольника — точка пересечения его биссектрис.

Ответ: 2

R07.9 · R07.11 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Окружность с центром на стороне $A C$ треугольника $A BC$ проходит через $C$ и касается прямой $A B$ в точке $B$ . Найдите $A C$ , если диаметр равен $7, 5$ , $A B = 2$ .

$A B^{2} = A D \cdot A C$ касательная и секущая

$4 = x (x + 7, 5)$ , $x = A D = 0, 5$

$A C = 0, 5 + 7, 5 = 8$

ОГЭ 24 Около четырёхугольника $A BC D$ описана окружность, продолжения сторон $A D$ и $BC$ пересекаются в точке $K$ . Докажите, что $△ K A B \sim △ K C D$ .

$∠ K C D = 18 0^{\circ} - ∠ BC D$ (смежные)

$∠ B A D = 18 0^{\circ} - ∠ BC D$ (вписанный)

$∠ K C D = ∠ K A B$ , $∠ K$ — общий ⇒ подобны

R07.7 · R07.9 · R07.20

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вписанный угол $4 7^{\circ}$ . Найдите дугу, на которую он опирается. $9 4^{\circ}$
$R = 6$ , $MO = 10$ . Найдите касательную $M K$ . $8$
Хорды: $A E = 2$ , $EB = 12$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $8$
$R = 3$ , $α = 6 0^{\circ}$ . Найдите длину дуги. $π$

Вариант 2

Центральный угол $15 2^{\circ}$ . Найдите вписанный угол на ту же дугу. $7 6^{\circ}$
$R = 9$ , $M K = 12$ . Найдите $MO$ . $15$
Секущая: $M A = 3$ , $MB = 12$ . Найдите касательную $M K$ . $6$
$R = 6$ , $α = 3 0^{\circ}$ . Найдите площадь сектора. $3 π$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем вписанный угол отличается от центрального?
Какой отрезок берут в формуле $M K^{2} = M A \cdot MB$ ?
Где центр описанной окружности прямоугольного треугольника?

Домашнее задание

Катеты $7$ и $24$ . Найдите $R$ и $r$ .
$R = 12$ , $α = 15 0^{\circ}$ . Найдите длину дуги и площадь сектора.
ОГЭ 24 — полная запись доказательства.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_ugly-okruzhnosti.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-064 · Повторение: окружность и круг

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 7 ч · урок 3/7 · тип О
Единицы → слайды	R07.7 «Углы в окружности» → 3–5, 15–19 · R07.8 «Вписанные и описанные окружности многоугольников» → 9, 10, 17–19 · R07.9 «Прямая и окружность» → 6–8, 15–21 · R07.11 «Вписанные и описанные четырёхугольники» → 11, 18, 20 · R07.14 «Правильные многоугольники» → 12, 13 · R07.20 «Вычисление площадей» → 12–14, 21 · R07.1 → весь урок
Результаты	ПР-3 (2R = a / sin A) → 9, 10 · ПР-5 (хорды, секущие, касательная) → 6–8, 15–21 · ПР-8 (длина окружности, дуги, площадь круга и сектора) → 12–14, 21
Вне урока	треугольники, четырёхугольники, тригонометрия, векторы, координаты, движения — другие уроки строки R07 (GEOM9-062, 063, 065–068)
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение: окружность и круг

Сегодня вы повторите и научитесь уверенно

Находить углы в окружности

Применять касательную, хорды, секущие

Находить радиусы R и r

Считать длины и площади

Семь быстрых вопросов

Центральный угол и вписанные углы

Угол на диаметр и центральный угол

Образец: AB — диаметр, ∠ABC=34∘. Найдите ∠BAC и ∠AOC.

Сам

Три теоремы об отрезках

Касательные из точки M

Хорды AB и CD

Касательная и секущая

Касательная + теорема Пифагора

Образец: MK — касательная, R=5, MO=13. Найдите MK.

Сам

Произведения отрезков

Образец: хорды AB и CD пересекаются в точке E, AE=4, EB=9, CE=6. Найдите CD.

Сам

Где центр и чему равен радиус

Описанная: центр O

Вписанная: центр I

Описанная и вписанная окружности

Образец: катеты прямоугольного треугольника 6 и 8. Найдите R и r.

Сам

Признаки по углам и по сторонам

Образец: ABCD вписан в окружность, ∠A=68∘, ∠B=105∘. Найдите ∠C и ∠D.

Сам

Окружность, дуга, круг, сектор

Шестиугольник в круге

Доля от окружности и круга

Образец: R=6, центральный угол 120∘. Найдите длину дуги и площадь сектора.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) C — на меньшей дуге AB, ∠AOB=80∘. Найдите ∠ACB.

б) Хорды: AE=3, EB=8, CE=4. Найдите ED.

в) Секущая: MA=4, AB=5. Найдите касательную MK.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-064 · Повторение: окружность и круг

Находить радиусы $R$ и $r$

Образец: $A B$ — диаметр, $∠ A BC = 3 4^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ и $∠ A OC$ .

Касательные из точки $M$

Хорды $A B$ и $C D$

Образец: $M K$ — касательная, $R = 5$ , $MO = 13$ . Найдите $M K$ .

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ , $A E = 4$ , $EB = 9$ , $CE = 6$ . Найдите $C D$ .

Описанная: центр $O$

Вписанная: центр $I$

Образец: катеты прямоугольного треугольника $6$ и $8$ . Найдите $R$ и $r$ .

Образец: $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A = 6 8^{\circ}$ , $∠ B = 10 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ .

Образец: $R = 6$ , центральный угол $12 0^{\circ}$ . Найдите длину дуги и площадь сектора.

а) $C$ — на меньшей дуге $A B$ , $∠ A OB = 8 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A CB$ .

б) Хорды: $A E = 3$ , $EB = 8$ , $CE = 4$ . Найдите $E D$ .

в) Секущая: $M A = 4$ , $A B = 5$ . Найдите касательную $M K$ .