Итоговое повторение · урок 2 из 7

Повторение: окружность, касательные, вписанные и описанные окружности

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R07 · GEOM9-063

0,5 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (7 ч), урок 2/7, единицы R07.1, R07.7, R07.8, R07.9, R07.11, R07.13. Тип урока — О: теория только сводками, основное время — задачи. Фокус урока — окружность (последняя фраза видов деятельности строки: «Окружность и круг»).
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка «углы» 2,5 · сводка «касательная, хорды, секущие» 2,5 · сводка «вписанные и описанные» 2,5 · разбор учителем 2,5 · схема выбора метода 1,5.
Практика (32,5): разминка 3 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · из жизни 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задачу из жизни и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; самостоятельную не сокращать — это контроль по блоку «окружность».

R07.1 · R07.7–R07.9 · R07.11

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Находить углы в окружности

центральные, вписанные, между касательной и хордой

Применять касательную, хорды и секущие

произведения отрезков и квадрат касательной (ПР-5)

Находить радиусы $R$ и $r$

в том числе по теореме синусов: $\frac{a}{sin A} = 2 R$ (ПР-3)

Выбирать метод

в задачах ОГЭ 16, 19 и задачах из жизни (ПР-10)

0,5 мин · теория
ПР-5: «Пользоваться теоремами о произведении отрезков хорд, о произведении отрезков секущих, о квадрате касательной». ПР-3: «Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения различных элементов треугольника…». ПР-10: «Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни…».
Виды деятельности ФРП R07: «Решать задачи на повторение основных понятий, иллюстрацию связей между различными частями курса. Выбирать метод для решения задачи. Решать задачи из повседневной жизни». Углы в окружности и вписанные/описанные окружности — повторение 8 класса (единицы R07.7, R07.8, R07.11).

повторение: 8 класс, R02

Разминка · устно

Семь быстрых вопросов про окружность

На рисунке $∠ A OB = 8 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A CB$ . $4 0^{\circ}$
Вписанный угол опирается на диаметр. Он равен $9 0^{\circ}$
Угол между касательной и радиусом в точку касания? $9 0^{\circ}$
Касательные $P A$ и $PB$ , $P A = 7$ . Найдите $PB$ . $7$
Гипотенуза $10$ . Радиус описанной окружности? $5$
Вписанный: $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $11 0^{\circ}$
Описанный: $A B + C D = 15$ . Найдите $BC + A D$ . $15$

3 мин · практика
Ответы: 1) вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу: $8 0^{\circ} : 2 = 4 0^{\circ}$ . 2) $9 0^{\circ}$ (дуга $18 0^{\circ}$ ). 3) $9 0^{\circ}$ — касательная перпендикулярна радиусу. 4) $PB = P A = 7$ — отрезки касательных из одной точки равны. 5) центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы, $R = 5$ . 6) $18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ . 7) $15$ — суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.
Каждый ответ — с причиной вслух: так класс вспоминает весь блок «окружность» 8–9 классов. Ошибка в 1: « $16 0^{\circ}$ » — удвоили вместо деления пополам.

R07.7

Сводка · углы в окружности

Всё измеряем дугой

$∠ A OB = \cup A B$ центральный угол равен дуге

$∠ A CB = \frac{1}{2} \cup A B$ вписанный угол — половина дуги; на диаметр — $9 0^{\circ}$

угол между касательной и хордой $= \frac{1}{2} \cup A B$ дуга — внутри угла

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

2,5 мин · теория
На чертеже $\cup A B = 11 0^{\circ}$ : центральный $∠ A OB = 11 0^{\circ}$ , вписанный $∠ A CB = 5 5^{\circ}$ , угол между касательной в точке $B$ и хордой $B A$ — тоже $5 5^{\circ}$ (проверено вычислением координат).
Вопрос классу: где лежит вершина и куда «смотрит» угол? Вписанный и центральный опираются на дугу между сторонами угла; для угла «касательная — хорда» берём дугу внутри угла.
Вписанный угол, опирающийся на дугу больше полуокружности, тупой: если $C$ на малой дуге $A B$ , то $∠ A CB = \frac{1}{2} (36 0^{\circ} - \cup A B)$ .

R07.7

Образец → сам · вписанные и центральные углы

Угол на диаметр и центральный угол

Образец: $A B$ — диаметр, $∠ C A B = 3 2^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ и $∠ COB$ .

$∠ A CB = 9 0^{\circ}$ вписанный, опирается на диаметр

$∠ A BC = 9 0^{\circ} - 3 2^{\circ} = 5 8^{\circ}$ сумма острых углов прямоугольного треугольника

$∠ COB = 2 \cdot 3 2^{\circ} = 6 4^{\circ}$ центральный и вписанный на дугу $CB$

Сам

Центральный угол на $3 6^{\circ}$ больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. Найдите вписанный. $3 6^{\circ}$
Хорда $A B$ стягивает дугу $11 0^{\circ}$ , точка $C$ — на этой дуге. Найдите $∠ A CB$ . $12 5^{\circ}$
Касательная в точке $A$ и хорда $A B$ образуют угол $7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ . $14 0^{\circ}$

R07.9 · ПР-5

Сводка · касательная, хорды и секущие

Прямая и окружность: четыре факта

$OT ⊥ PT$ касательная перпендикулярна радиусу в точку касания

$P T_{1} = P T_{2}$ отрезки касательных из одной точки равны

$A E \cdot EB$ $=$ $CE \cdot E D$ пересекающиеся хорды

$P T^{2}$ $=$ $P A \cdot PB$ касательная и секущая; для двух секущих $P A \cdot PB = PC \cdot P D$

R07.9

Образец → сам · касательные из одной точки

Радиус в точку касания — и теорема Пифагора

Образец: $P A$ и $PB$ — касательные, $O A = 5$ , $OP = 13$ . Найдите $P A$ и периметр $O A PB$ .

$∠ O A P = 9 0^{\circ}$ касательная ⟂ радиусу

$P A = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ теорема Пифагора в $△ O A P$

$PB = 12$ , $P = 2 \cdot 12 + 2 \cdot 5 = 34$ отрезки касательных равны

Сам

$P A$ — касательная, $P A = 8$ , $R = 6$ . Найдите $OP$ . $10$
Касательные $P A$ и $PB$ , $∠ A PB = 6 0^{\circ}$ , $O A = 4$ . Найдите $OP$ . $8$
Касательные $P A$ и $PB$ , $∠ A PB = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ . $13 0^{\circ}$

R07.9 · ПР-5

Образец → сам · хорды, секущие, квадрат касательной

Произведения отрезков

Образец: $PT$ — касательная, секущая пересекает окружность в $A$ и $B$ , $P A = 4$ , $A B = 5$ . Найдите $PT$ .

$PB = 4 + 5 = 9$ берём всю секущую

$P T^{2} = P A \cdot PB = 36$ квадрат касательной

$PT = 6$ длина положительна

Сам

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A E = 3$ , $EB = 8$ , $CE = 4$ . Найдите $E D$ . $6$
Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 5$ , $PB = 12$ , $PC = 6$ . Найдите $C D$ . $4$
$PT = 12$ , секущая $P A B$ , $P A = 8$ . Найдите $A B$ . $10$

R07.8 · R07.11 · R07.13

Сводка · вписанные и описанные окружности

Где центр и чему равен радиус

Описанная: центр $O$ — пересечение серединных перпендикуляров; $\frac{a}{sin A} = 2 R$

Вписанная: центр $I$ — пересечение биссектрис; $S = p r$

Прямоугольный: $R = \frac{c}{2}$ , $r = \frac{a + b - c}{2}$

четырёхугольник вписан	$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$
четырёхугольник описан	$A B + C D = BC + A D$

2,5 мин · теория
Чертёж — треугольник со сторонами $A B = 8$ , $A C = 7$ , $BC = 6$ (остроугольный: центр $O$ внутри). Центры посчитаны точно: $O$ — равноудалён от вершин, $I$ — от сторон.
$p$ — полупериметр. Вопрос классу: где центр описанной окружности у тупоугольного треугольника? (Вне треугольника.) У прямоугольного? (Середина гипотенузы — отсюда $R = \frac{c}{2}$ .)
Теорема синусов (9 класс, R01): $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R$ . Четырёхугольники — признаки и свойства (8 класс): в окружность можно вписать только тот, у которого суммы противоположных углов $18 0^{\circ}$ ; около окружности описать — у которого суммы противоположных сторон равны.

R07.8 · R07.13

Образец → сам · радиусы R и r

Описанная и вписанная окружности треугольника

Образец: катеты прямоугольного треугольника $6$ и $8$ . Найдите $R$ и $r$ .

$c = 6^{2} + 8^{2} = 10$ теорема Пифагора

$R = \frac{10}{2} = 5$ центр — середина гипотенузы

$r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2$ проверка: $S = 24$ , $p = 12$ , $r = \frac{S}{p} = 2$

Сам

$BC = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $10$
Правильный треугольник со стороной $63$ . Найдите $R$ и $r$ . $R = 6$ , $r = 3$
Стороны $13$ , $14$ , $15$ , площадь $84$ . Найдите $r$ . $4$

R07.11

Образец → сам · вписанные и описанные четырёхугольники

Суммы углов и суммы сторон

Образец: $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A = 6 8^{\circ}$ , $∠ B = 10 4^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ .

$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ свойство вписанного четырёхугольника

$∠ C = 18 0^{\circ} - 6 8^{\circ} = 11 2^{\circ}$ $∠ A$ и $∠ C$ — противоположные

$∠ D = 18 0^{\circ} - 10 4^{\circ} = 7 6^{\circ}$ проверка: сумма углов $36 0^{\circ}$

Сам

$A BC D$ описан около окружности, $A B = 7$ , $BC = 9$ , $C D = 12$ . Найдите $A D$ . $10$
Равнобедренная трапеция описана около окружности, основания $4$ и $16$ . Найдите боковую сторону. $10$
Можно ли вписать в окружность параллелограмм с углом $7 0^{\circ}$ ? нет: $7 0^{\circ} + 7 0^{\circ} \neq = 18 0^{\circ}$

R07.7 · R07.9

Разбор учителем · доказательство

Угол между касательной и хордой равен половине дуги

Дано:

A T

— касательная,

A B

— хорда,

φ = ∠ B A T

.
Доказать:

φ = \frac{1}{2} \cup A B

.

1Диаметр

A C

:

∠ C A T = 9 0^{\circ}

касательная ⟂ радиусу в точку касания

2

∠ A BC = 9 0^{\circ}

вписанный угол, опирается на диаметр

3

φ

= 9 0^{\circ} -

∠ C A B

= ∠ A CB

из п. 1 и из прямоугольного

△ A BC

4

∠ A CB = \frac{1}{2} \cup A B

\Rightarrow φ = \frac{1}{2} \cup A B

вписанный угол

2,5 мин · теория (доказывает учитель, класс отвечает на «почему?»)
Это теорема, на которой держится квадрат касательной ( $△ PT A \sim △ PBT$ ) — связь двух частей курса. Каждый шаг — вопрос «почему?», ответ — обоснование под строкой.
Ключевая идея — дополнительное построение: диаметр $A C$ из точки касания. Цвет: янтарные дуги — равные углы $φ$ , бирюзовая — $∠ C A B$ .
Случай тупого угла между касательной и хордой (другая сторона касательной): он равен $18 0^{\circ} - φ$ , а дуга внутри него — $36 0^{\circ} - \cup A B$ ; половина — снова совпадает.

R07.1 · выбор метода

Схема · какой факт применить

Видишь на чертеже → применяй

Видишь на чертеже	Применяй
угол с вершиной на окружности	$\frac{1}{2}$ дуги; на диаметр — $9 0^{\circ}$
касательная и радиус в точку касания	прямой угол, теорема Пифагора; $P A = PB$
две хорды пересекаются	$A E \cdot EB = CE \cdot E D$
касательная и секущая из одной точки	$P T^{2} = P A \cdot PB$
сторона и противолежащий угол → $R$	$\frac{a}{sin A} = 2 R$
четырёхугольник и окружность	вписан: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ ; описан: $a + c = b + d$

R07.7–R07.11

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
вписанный угол на дугу $10 0^{\circ}$ равен $10 0^{\circ}$	дуге равен центральный угол	вписанный $= 5 0^{\circ}$
$A E \cdot E D = CE \cdot EB$	перемножают отрезки одной хорды	$A E \cdot EB = CE \cdot E D$
$P T^{2} = P A \cdot A B$	второй множитель — вся секущая от $P$	$P T^{2} = P A \cdot PB$
вписанный четырёхугольник: $∠ A = ∠ C$	это свойство параллелограмма	$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$

R07.7–R07.11

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∠ A OB = 12 0^{\circ}$ , $C$ на большей дуге. Найдите $∠ A CB$ .

$∠ A CB = ∠ A OB$

$∠ A CB = 12 0^{\circ}$

$∠ A CB = \frac{1}{2} \cdot 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$

б) $P A = 3$ , $A B = 9$ (секущая $P A B$ ). Найдите касательную $PT$ .

$P T^{2} = 3 \cdot 9 = 27$

$PT = 33$

$PB = 12$ , $P T^{2} = 36$ , $PT = 6$

в) $A BC D$ описан, $A B = 5$ , $BC = 6$ , $C D = 8$ . Найдите $A D$ .

$A B + BC = C D + A D$

$A D = 5 + 6 - 8 = 3$

$A B + C D = BC + A D$ , $A D = 7$

R07.7–R07.11

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаВписанный угол опирается на дугу $8 6^{\circ}$ . Найдите угол. $4 3^{\circ}$
базаЦентральный угол $14 0^{\circ}$ . Найдите вписанный на ту же дугу. $7 0^{\circ}$
базаКасательная $P A = 24$ , $R = 7$ . Найдите $OP$ . $25$

базаХорды: $A E = 6$ , $EB = 4$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $8$
базаКатеты $5$ и $12$ . Найдите радиус описанной окружности. $6, 5$
база $A BC D$ вписан, $∠ B = 9 7^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $8 3^{\circ}$

R07.7–R07.13

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Точки $A$ , $B$ , $C$ делят окружность на дуги в отношении $2 : 3 : 4$ . Найдите наибольший угол $△ A BC$ . $8 0^{\circ}$
повыш.Около трапеции $A BC D$ с основанием $A D$ описана окружность, $∠ A = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $11 6^{\circ}$
повыш.В $△ A BC$ : $A B = 12$ , $∠ C = 13 5^{\circ}$ . Найдите радиус описанной окружности. $62$
повыш.Вписанная окружность касается $A B$ в точке $K$ ; $A B = 10$ , $BC = 8$ , $A C = 12$ . Найдите $A K$ . $7$

R07.7 · R07.11 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 16Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A B D = 7 5^{\circ}$ , $∠ C A D = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ . $110$
ОГЭ 16Сторона квадрата равна $82$ . Найдите радиус описанной около него окружности. $8$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
Если сумма противоположных углов четырёхугольника $18 0^{\circ}$ , то около него можно описать окружность.

Ответ: 13

R07.9 · ПР-5 · ПР-10

Задача из жизни · арка и горизонт

Радиус арки и дальность видимости

1. Пролёт арки моста $24$ м, высота $8$ м. Найдите радиус дуги. $13$ м

2. Маяк высотой $50$ м, радиус Земли $6400$ км. На каком расстоянии с вершины маяка виден горизонт? $\approx 25$ км

R07.7–R07.11

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вписанный угол $3 8^{\circ}$ . Найдите центральный угол на ту же дугу. $7 6^{\circ}$
Хорды: $A E = 5$ , $EB = 6$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $10$
$R = 9$ , $OP = 15$ , $P A$ — касательная. Найдите $P A$ . $12$
$A BC D$ вписан, $∠ A = 5 4^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $12 6^{\circ}$

Вариант 2

Центральный угол $15 2^{\circ}$ . Найдите вписанный угол на ту же дугу. $7 6^{\circ}$
Хорды: $A E = 4$ , $EB = 9$ , $CE = 6$ . Найдите $E D$ . $6$
$R = 8$ , $OP = 17$ , $P A$ — касательная. Найдите $P A$ . $15$
$A BC D$ вписан, $∠ B = 11 7^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $6 3^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем вписанный угол отличается от центрального?
Какие отрезки перемножают для двух хорд? для секущей?
Как найти $R$ , зная сторону и противолежащий угол?

Домашнее задание

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A E = 2$ , $EB = 18$ , $CE = E D$ . Найдите $C D$ .
В $△ A BC$ : $A B = 9$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .
* Трапеция описана около окружности, её периметр $40$ . Найдите среднюю линию.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_ugly-okruzhnosti.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-063 · Повторение: окружность, касательные, вписанные и описанные окружности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 7 ч · урок 2/7 · тип О
Единицы → слайды	R07.1 → 2, 13 · R07.7 → 3–5, 12, 14–18 · R07.8 → 9–10 · R07.9 → 6–8, 12, 19 · R07.11 → 9, 11, 18 · R07.13 → 9–10, 17
Результаты	ПР-5 → 6, 8, 19 · ПР-3 → 9–10, 17 · ПР-10 → 19 (задача реальной жизни)
Вне урока	остальные единицы R07 (фигуры и треугольники, четырёхугольники, площади, векторы, координаты, движения) — уроки GEOM9-062, GEOM9-064–068; длина окружности и площадь круга — GEOM9-055
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение: окружность, касательные, вписанные и описанные окружности

Сегодня вы повторите и научитесь

Находить углы в окружности

Применять касательную, хорды и секущие

Находить радиусы R и r

Выбирать метод

Семь быстрых вопросов про окружность

Всё измеряем дугой

Угол на диаметр и центральный угол

Образец: AB — диаметр, ∠CAB=32∘. Найдите ∠ABC и ∠COB.

Сам

Прямая и окружность: четыре факта

Радиус в точку касания — и теорема Пифагора

Образец: PA и PB — касательные, OA=5, OP=13. Найдите PA и периметр OAPB.

Сам

Произведения отрезков

Образец: PT — касательная, секущая пересекает окружность в A и B, PA=4, AB=5. Найдите PT.

Сам

Где центр и чему равен радиус

Описанная и вписанная окружности треугольника

Образец: катеты прямоугольного треугольника 6 и 8. Найдите R и r.

Сам

Суммы углов и суммы сторон

Образец: ABCD вписан в окружность, ∠A=68∘, ∠B=104∘. Найдите ∠C и ∠D.

Сам

Угол между касательной и хордой равен половине дуги

Видишь на чертеже → применяй

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ∠AOB=120∘, C на большей дуге. Найдите ∠ACB.

б) PA=3, AB=9 (секущая PAB). Найдите касательную PT.

в) ABCD описан, AB=5, BC=6, CD=8. Найдите AD.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Радиус арки и дальность видимости

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-063 · Повторение: окружность, касательные, вписанные и описанные окружности

Находить радиусы $R$ и $r$

Образец: $A B$ — диаметр, $∠ C A B = 3 2^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ и $∠ COB$ .

Образец: $P A$ и $PB$ — касательные, $O A = 5$ , $OP = 13$ . Найдите $P A$ и периметр $O A PB$ .

Образец: $PT$ — касательная, секущая пересекает окружность в $A$ и $B$ , $P A = 4$ , $A B = 5$ . Найдите $PT$ .

Образец: катеты прямоугольного треугольника $6$ и $8$ . Найдите $R$ и $r$ .

Образец: $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A = 6 8^{\circ}$ , $∠ B = 10 4^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ .

а) $∠ A OB = 12 0^{\circ}$ , $C$ на большей дуге. Найдите $∠ A CB$ .

б) $P A = 3$ , $A B = 9$ (секущая $P A B$ ). Найдите касательную $PT$ .

в) $A BC D$ описан, $A B = 5$ , $BC = 6$ , $C D = 8$ . Найдите $A D$ .